О разложимости определителей булевых (0,1)-матриц Текст научной статьи по специальности «Математика»

В. Б. Поплавекий

УДК 512.56

О РАЗЛОЖИМОСТИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ БУЛЕВЫХ (0,1)-МАТРИЦ

+ -

Известно, что для ориентированных полуперманентов V /1, V (ком-

+ -

понент бидетерминанта) и перманентов РегЛ = V А и V А справедливы формулы Лапласа, дающие разложения по элементам строк или столбцов

любой квадратной матрицы с элементами из произвольного коммутатив-

■+• —

ного полукольца [1-3]. Для правых ЯОе1А = УА\\'Л и левых

- +

ЬОе!А = V А \ V А ориентированных определителей квадратных п х «-матриц над произвольной булевой алгеброй, определяемых [4, 5] как соответствующие булевы разности ориентированных полуперманентов и для определителей, определяемых как симметрическая разность ори-

+ - - +

ентированных полуперманентов Ое1А= (V А \ V А)и(VА \ VА), формулы Лапласа не выполняются в общем случае. Попытки в определении условий, при которых разложения таких определителей возможны, предпринимались и ранее. Авторы работы [6] приводят достаточные условия разложения определителя по некоторой строке, удовлетворяющей определенным условиям. Тем не менее формулы разложения определителей по элементам строк или столбцов булевой матрицы верны для достаточно широкого класса матриц над двухэлементной булевой алгеброй В2 = {0,1}. К таким матрицам, в частности, относятся матрицы, которые в данной статье названы матрицами без внутренности. Это и есть основной результат статьи. В ней продолжаются исследования булевых ориентированных полуперманентов и определителей дающие булевозначные инварианты бинарных отношений на конечных множествах.

В случае булевой алгебры В2 всякая ненулевая булева п х я-матрица

может быть одного из четырех типов: внешней (V А, V А) = (0,0), внут-

+ — + —

ренней(У А, V А) = (1,1), положительной (V А, V А) = (1,0) или отрицатель-

+ -

ной(У А, V А) = (0,1), употребляя терминологию, введенную в [7]. Оказывается, что формулы Лапласа всегда выполняются для матриц Л, если

+ — + —

(V Л,УЛ) = (0,0),(УЛ,УЛ) = (1,1). Такие матрицы можно назвать матрицами без внутренности. Определители таких булевых (0,1)-матриц всегда совпадают с их перманентами: Ре г А = ВегА = 1 или РегА = Ое!А = 0.

Определение. Перестановочная пх п-матрица Р, получаемая четной или нечетной перестановкой столбцов (или строк) единичной ихя-матрицы, называется четной или нечетной диагональю матрицы А соответственно, если Ра А.

+ -

Из определения полуперманентов V А, V А получаем следующее утверждение.

ЛЕММА. Квадратная матрица является внутренней тогда и только тогда, когда у нее есть четные и нечетные диагонали,

СЛЕДСТВИЕ. Матрица является положительной булевой матрицей тогда и только тогда, когда у нее есть четная диагональ и нет нечетной диагонали. Аналогично для отрицательной булевой матрицы найдется нечетная диагональ и не существует четная. Матрица является внешней булевой матрицей тогда и только тогда, когда у нее нет ни четных, ни нечетных диагоналей.

Символом д'кА (г,4 = 1,2...,и) обозначим матрицу, получаемую из ихя-матрицы А удалением строки и столбца с соответствующими номерами г и к,

ТЕОРЕМА. Пусть матрица А над булевой алгеброй В2 является матрицей без внутренности, тогда выполняются формулы разложения детерминантов по любой 1-Й строке этой матрицы:

КОе1А= [)(а'к Г\ Я'к Ое1(д[ А)), (1)

к=1

где Я'к= Я, если г + к - четное, и Я'к = £, если г + к - нечетное;

Юе1А = б {а[ г>4 ВеКд[ А)), (2)

к=1

где Ь'к = £, если г + к - четное, и Ь'к = Я, если г + к - нечетное. Аналогичное утверждение верно и для столбцов.

Доказательство. Для внешней матрицы, определяемой условием

+ -

ЯОе1А = ¡,Ве1А = РегА = V A = V А = 0, известная формула разложения

п

РегА= и(<я* пРег(д'кА)) = 0 дает а'к г\ Рег(д'кА) = 0 для всех г и £.Сле-

*=I

довательно,

а[ пЯОе!(8'кА) = а'к пЮе1(д[А) = О,

так как Я(Ь)Ое^д'кА) с Рег{д'к А). Тогда формулы (1), (2) выполняются, так как в правых и левых частях стоят нули.

Докажем теперь формулу (1), полагая для определенности, что А есть матрица положительная. Тогда можно разложить перманент, получая

равенство №)е1А= РегА=\^]{а'к с-,Рег{д'кА))= I. Остается показать, что

к=\

а'к пРег(д'кА) = а'к г\(Я)'к Ое1(д'кА) для всех значений индексов г и к.

Действительно, это выполняется, если а'кпРе>{С?кА) = 0, так как Я(Ь)Ое1{д'кА) с Рег(д'кА). Если же а'к = Рег(д'кА) = 1, то, как будет показано ниже, верным становится равенство Рег(д'к А)= Я'к Ое((д'к (А)) = I.

Это действительно так. В противном случае были бы две альтерна-

+ -

тивные ситуации: либо Рег(д'кА) = У(дкА) = У(д'кА) = 1, либо Рег(д'кА) = 1!кОе1(д'кА) = I. В случае, когда матрица д'кА удовлетворяет первому условию, то есть является внутренней, она содержит по лемме две диагонали Рх и Р2 разной четности. Рассмотрим теперь матрицы

находится в строчках и столбцах, образующих подматрицу д'кА получаем, что матрицы Р[ и Р2 , после г + к - 2 транспозиций их строк или столбцов, выводящих единицу из верхнего правого угла на место элемента а'к, остаются перестановочными матрицами разной четности, содержащимися в матрице А . Последнее противоречит положительности матрицы А .

Рассмотрим теперь второй случай, когда Рег(д'кА) = ¿!кОе1(д'кА) = 1. Если сумма г + к четна, то Ь'кОе1(д'кА) = ЬОе((д'кА) = I. Следовательно, матрица д'кА отрицательная. У нее есть нечетная диагональ Р, и нет чет-

I О^

есть нечетная перестановочная матри-

11 ( I o^ . Учитывая, что ак = I и этот элемент не

и о ~ и Р2 = т

Рх) Рг)

ной диагонали. Но тогда

уОт Р

ца, которая после г + к - 2 (четного числа) транспозиций ее строк или столбцов, выводящих единицу из верхнего правого угла на место элемента а'к, дает нечетную диагональ матрицы А, что противоречит начальному условию ее положительности. Если сумма номеров / + к нечетная, то 11кОе((д'кА) = ЯОе1(д'кА) = I. Следовательно, матрица д'кА положительная. У нее есть четная диагональ Р и нет нечетной диагонали. Но тогда I О^

.т р I есть четная перестановочная матрица, которая после ¡' + к - 2

(нечетного числа) транспозиций ее строк или столбцов дает нечетную диагональ матрицы А, что вновь противоречит условию ее положительности. Доказательство формулы (2) проходит похожим образохм. Для случая, когда матрица А является отрицательной, рассуждения проводятся аналогично. □

107

СЛЕДСТВИЕ. Определитель всякой матрицы без внутренности можно разложить по любой строке с номером i, то есть

" " Ir i

DetA-\J(a'kr\Det{d'kA)). Аналогично DetA= U(a* nDet(d A)) есть раз-

4=1 к=1

ложение по произвольному столбцу с номером j.

Последняя формула является очевидным следствием формул (1), (2).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Rutherford D. Е. Inverses of Boolean matrices // Proc. Glasgow Math. Assoc. 1963. Vol. 6,№1.P. 49-53.

2. Golan J. S. Semirings and their Applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. 1999. xi, 381 p.

3. Poplin P. L., Hartwig R. E. Determinantal identities over commutative semirings // Linear Algebra Appl. 2004. Vol. 387. P. 99 - 132.

4. Попяавский В. Б. О равенстве обратных булевых матриц симметрической разности ориентированных присоединенных матриц // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов, 2005. Вып. 7. С. 94 - 97.

5. Потавский В. Б. Ориентированные определители произведения булевых матриц // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов, 2004. Вып. 6. С. 111 - 114.

6. Chesley D. S., Bevis J. Н. Determinants for matrices over lattices // Proc. Roy. Soc Edinburgh. 1969. A 68, №2. P. 138- 144.

7. Poplavski V. B. Orientation and permanent decomposition of Boolean matrices // Abstracts The 9lh Asian Logic Conference. 16 - 19 aug. 2005, Novosibirsk, Russia. Novosibirsk State University, Sobolev Institute of Mathematics. Novosibirsk, 2005. P. 117-119.

УДК 517.95

Д. В. Поплавский

МЕТОД ОБРАТНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЕКТОРНОГО МОДИФИЦИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ КДФ

НА ПОЛУОСИ*

Рассматривается следующая краевая задача при х > 0, / > 0

(1)

u¡ + 2 их (3 и2 + у2 ) + 4 uvvx + и¿¿j,. = 0, V, +2vx(3v2 +u2) + Avuux +vjxi =0,J

"I í=o = "о (*)> Ч /=о = vo (*)> (2)

dk~xu

8xk

= «*('). ?TT =v*(f). /С = 1,3. (3)

c=0 " Lo

' Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 04-01-00007).

108