Об одном свойстве корректности линейных операторов в пространствах Соболева и Соболева-Степанова Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 20, вып. 5, 2015

УДК 517.983

ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ корректности линеиных операторов в

ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА И СОБОЛЕВА-СТЕПАНОВА

© В.М. Тюрин

Ключевые слова: линейные операторы; пространство Соболева-Степанова; обобщенная корректность.

При некоторых требованиях к двум линейным операторам, действующим соответственно в пространствах Соболева и Соболева-Степанова, приводится теорема об одновременной обобщенной корректности этих операторов.

Примем следующие обозначения: X — банахово пространство; Ьр = ^(М"^) — пространство Лебега сильно измеримых функций (по Бохнеру) п : М" ^ X(р > 1,п € М) с обычной нормой ||п||ю; Н1ш = Н 1т(М",Х) — пространство Соболева, норма в котором определяется формулой

||п||1т = ^ 11^П||10 < Ж, \а\^ш

а — мультииндекс, т € N [1, с. 60]; Мр = МР(М",Х) — пространство Степанова сильно измеряемых функций п : М" ^ X, у которых норма

|п||20 = йир

жекп

( \

J ||п(х)||р^х \к(х) )

1/р

<,

К(х) — единичный куб в М" с центром в точке х € М" [2, с. 78], [3, с. 165]; Н2т = = Н2ш(М", X) — пространство Соболева-Степанова функций п : М" ^ X с обобщенными производными Бап € Мр, при этом

||п||2т = ||^"п||20 < Ж.

\а\^ш

Для произвольного Т > 2п определим на М" главную неотрицательную финитную функцию ¡т(х,е) с носителем в шаре Б(е, 2Т), причем ¡т(х,е) = 1 при х € Б(е,Т), и | < ЪгТ(Ь1 > 0 не зависит от Т, а = 0).

Рассмотрим два линейных оператора Рг : Нгш ^ Нг0 (г = 1, 2) связанные между собой равенством Р1 п = Р2п если п € Н1ш П Н2ш.

Оператор Рг : Нгш ^ Нг0 назовем обобщенно корректным, если существуют постоянные Кг > 0, К2 > 0 такие, что для любых функций ¡т(х,е), п € Нгш выполняется неравенство

||фТп||гш < К! ||фт/||г0 + К2Т-11|¡4Тп||гш

как только Ргп = /.

При некоторых предположениях относительно операторов Р1 и Р2, получена следующая теорема.

Теорема. Операторы Р1 : Н1ш ^ Н10 и Р2 : Н2ш ^ Н20 обобщенно корректны одновременно.

ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 20, вып. 5, 2015

Приводятся различные примеры, в частности дифференциальные операторы эллиптического типа.

ЛИТЕРАТУРА

1. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. 3-е изд., доп. и перераб. М.: Наука, 1988.

2. Массера Х., Шеффер Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1970.

3. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд-во МГУ, 1978.

Поступила в редакцию 5 мая 2015 г.

Tyurin V.M. ABOUT ONE PROPERTY OF WELL-POSED LINER OPERATORS IN THE SO-BOLEV AND SOBOLEV-STEPANOV SPACES

Under some requirements on two linear operators that act accordingly in the spaces of Sobolev and Sobolev-Stepanov, a theorem about simultaneous generalized well-posedness of these operators is obtained.

Key words: linear operators; space of Sobolev-Stepanov; generalized well-posedness.

Тюрин Василий Михайлович, Липецкий государственный педагогический университет, г. Липецк, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики, e-mail: [email protected]

Tyurin Vasily Mikhailovich, Lipetsk State Pedagogical University, Lipetsk, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of the Mathematics Department, e-mail: [email protected]

УДК 517.51

О КОРРЕКТНОСТИ УПРАВЛЯЕМОЙ ИМПУЛЬСНОЙ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ, СОДЕРЖАЩЕЙ ФАЗОВЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ ПО

УПРАВЛЕНИЮ

© О.И. Филиппова

Ключевые слова: управляемая импульсная система с запаздыванием; дифференциальное включение; априорная ограниченность в совокупности на множестве. Рассматривается управляемая импульсная система с запаздыванием, содержащая фазовые ограничения по управлению. Показано, что если в какой-либо точке параметра множество фазовых траекторий системы априорно ограничено, то оно будет априорно ограничено при всех значениях параметра из некоторой окрестности этой точки. Получены оценки отклонения в пространстве кусочно-непрерывных функций множества фазовых траекторий от наперед заданной функции. Установлена непрерывная зависимость фазовых траекторий от параметров и начальных условий.

Основные обозначения

Для линейного нормированного пространства X с нормой У ■ Ух обозначаем рх[х; и] — = ш!(Уж — и||х : и € и} — расстояние от точки х € X до множества и С X ; Л-Х^; и] — — 8ир(рх[х, и] : х € и{} — полуотклонение по Хаусдорфу от множества и\ С X до