О корректности и обратимости линейных дифференциальных операторов в пространствах Соболева–Слободецкого Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.983.36

О КОРРЕКТНОСТИ И ОБРАТИМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА-СЛОБОДЕЦКОГО

© В.М. Тюрин, А.М. Шмырин

Ключевые слова: функциональные пространства; корректность; эллиптичность; оценки решений.

Показано, что дифференциальный оператор корректен в пространствах Соболева-Слободецкого, если он обратим лишь в пространствах Соболева.

В работе приняты следующие обозначения: X -банахово пространство; Ьр = Ьр {яп, X) - Лебеговы пространства сильно измеримых по Бохнеру функций и : Я" ^ X с конечной нормой || -|| {р > 1, п е N);

Нт = Нт {я", X) - пространство Соболева [1, с. 60; 2, с. 21], норма в котором определяется формулой:

11^ = ^ |оаи <от {т е N).

II 11т || || о 4 у

Пространство Соболева-Слободецкого

Ит+"!= Ит+у(к" , X) [3, с. 228] состоит из функций и є Ьр с конечной нормой:

1|и||, = \\и\\ +(и) + (и)

\т N / ут \ /.

ІІІт

1т 5

(и) = 7 8ир

\ /ут / л 1 і і

|фт х,уєК" \Х - у

и у= и у0 (° <У< 1);

Б аи(х)- Баи(у)

Нт = 7 8иР„

|а|<т х’уєК

і

|Ьаи(х)- Б0

К" хК"

- у

п+ ру

-dxdy

Через Ь р = Ь р (к ", х) обозначим пространства, в

,у ^у,

которых норма задается формулой:

и = и +\и) +(и) <да.

II ||°у II 11° \ /у \ /1°

Дифференциальное выражение в частных производных:

Рх =7 4о(х)Ба (т є М),

|а|<т

в котором коэффициенты Ла е С {я", EndX), определяет линейные дифференциальные операторы Рх : Нт ^ Ьр и Рх : Нт+1у ^ Ьр , действующие по формуле:

Рхи = 7 ^а(х)Б0и(х) .

Лемма. Пусть оператор р : Ит ^ Ьр непрерыв-

но обратим и |рх 1| = |рх Ц (Ьр ^ Ит )< Ь < да . Если рхи = /, / є Ьр , <да , то (и)10 <да и

справедливо неравенство:

¥) 1° < Ь1

11°у 5

(1)

Ь1 не зависит от и .

Доказательство. Наряду с оператором Рх : Ит ^ Ьр рассмотрим оператор Ру : Ит ^ Ьр , задаваемый формулой:

Руи(у)= 7 Аа(у)Баи(у)

|а|<т

Так как

\р-1/(х)- Ру-1/(у) < |\рх1(/(х)- /(у)) +

+ Р - Ру- )/(у)|,

а <т

а <т

у

р

то

\P-If (x)-PyXf (yf

Rn xRn

- У

n+py

-dxdy

* m io+

IP-1 - p-11p ,

x У

If (y )|-

RnxRn

x - У

in+ py

-dxdy

s HA

10

Í

IP-1 - p,-1!!p

RnxRn |x - У

n+ py

2f) y+ 4f\ lo ^fdxdy

\Yp

< ¿ill

llQy 5

при этом в (1) величина bi = max |b, 2(Px ^ ,

a(PX^iqK a = a(n, P, ї)> Q ■

Лемма доказана.

Оператор p : Hm+1y ^ Lp называется сущест-

D П

венно эллиптическим на R , если существует оператор Aq1 є C(Rn, EndX), числа xQ є R и Хє C такие, что найдется постоянная C(x)> Q , для которой выполняется неравенство:

Uym +U 1m S C(X^^0 1pmu - Xu)_

10

при Яе X < Х0 , Рт - главная часть оператора Р .

Рх : Нт+1у^ Ьр назовем корректным [4, с. 166], если существует такая постоянная к1 > 0, что выполняется неравенство: ||и||1т < к||Р^у .

Положим а0 =|ЛдЦ , а1 =^Лд1^ <да, а =

= ^1Ла||с , аз = X (Ло 1 Ла) 10

'а|<т 0<|а|< т

°<1

/10

< <Х .

Теорема 1. Пусть для оператора Рх : Ит ^ Ьр выполнены условия леммы, и оператор Рх : Ит+1у^ Ьр существенно эллиптичен на К".

Тогда при выполнении неравенств а°а2С1 (х) < < — ,

2а3С (х) < 1 оператор р : Ит+1у ^ Ьр корректен. Доказательство. Возьмем произвольную функцию

Ят+1у

и оценим сумму:

£ (A-'A^u^ s £ |КЧ

D“u(x)-Dau(y)|

Л Уг

dxdy +

У

„ Г Ik 1(x)A2(x)- A0 ‘(уШуҐ f , . II

+ £ I 1-----------Lf2(D4+HID“HI0J dxdy

°<|a|<m^Fn xRn |x y V У

S «0«H^1(m-1) + «3 (2(^ym + HIHIm ).

Так как оператор Px : Hm+1y ^ Lp существенно эллиптичен и P = p + Q + A , то

Uym + U 1m S A0-)10 +

+ c Ц A0-1e^o + (1+|X|)C1 (xX u) 1C

(2)

здесь Pu = / ■

С учетом леммы и

(aq'A < oq( /> IQ + a-fo /) t

+ a||/| lQ ), согласно (2),

неравенства

t IQ

получаем:

Uym + (U 1m S *A(XXf) 10 +

+ 2«1C1(XX f) y+ aa1C1(k)\f |0 +

+ a0a2Cx(u) 1m + 2a3C1(xX^ y +

(1 -

+ 11 +

/ ym

+ aa,bC,|

Il0y ' --,3UC1\\J ІІ0-Из этого неравенства по условию теоремы следует

Uym +(U 1m S MfIL> (3)

k2 = max 4 (a0Cj (x) + 2ajCi (x) + a0ajCi (x) + aa3bCj (x)),

(l + |x| Ci(x)bi) ■

Поскольку ||u|| < b||/|o , то, согласно (3), окончательно получаем оценку ||u||lm < кЦ/|| , к1 = b + к2 ■

Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть выполнены предположения теоремы 1 и n > p . Тогда оператор Px : Hm+1y ^ Lp обратим.

Доказательство. Проведем с сокращением. Возьмем произвольный элемент / є Lp , и пусть /j є Lp локально сходится к / , при этом функции /j - финитны. Тогда можно построить последовательность u j ,

которая локально фундаментальна в Hm+ly и удовлетворяет уравнению PxUj = /j. Оператор Px : Hm+1y ^ Lp локально непрерывен, поэтому Pxu = /. Поскольку / -

Il0y 5

произвольный элемент

lp ,

то оператор

Р : Нт+1у ^ Lp обратим (непрерывно). Теорема

доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.

2. Тейлор М. Псевдо-дифференциальные операторы. М.: Мир, 1985.

3. Трибель Х. Теория интерполяции, дифференциальные пространства, диффернциальные операторы. М.: Мир, 1980.

V

У

+

+

V

У

+

У

C

0<1а

0<1а

4. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд-во МГУ, 1978.

Поступила в редакцию 11 марта 2013 г.

Tyurin V.M., Shmyrin A.M. ON WELL-POSEDNESS AND INVERTIBILITY OF LINEAR DIFFERENTIAL OPERATORS IN SOBOLEV-SLOBODETSKII SPACES

It is shown that differential operator is well-posed in the Sobo-lev-Slobodetskii spaces, if it is invertible in the Sobolev spaces only.

Key words: functional spaces; well-posedness; ellipticity; estimates forsolutions.