Об одном свойстве автомодельности в задаче о флаттере Текст научной статьи по специальности «Физика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ НАГИ

Т о м XI 19 80

№ 5

УДК 629.7.015.4:533.6.013.122 629.735.33.015.4:533.6.013

ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ АВТОМОДЕЛЬНОСТИ В ЗАДАЧЕ О ФЛАТТЕРЕ

И- М. Пархомовский, Л. С. Попов

Выявлена связь двух свойств критической скорости флаттера, установленных практикой флаттерных расчетов и опытов: слабой зависимости от изменения массы крыла и увеличения примерно в У п раз критической скорости флаттера при уменьшении плотности воздуха в п раз (что дает возможность пользоваться понятием .индикаторная критическая скорость флаттера").

На основе анализа размерностей получены некоторые качественные зависимости в той области параметров крыла, где указанные свойства имеют место.

Показано, что вне этой области обычно применяемые приемы подбора противофлаттерных приспособлений — по расчету или по испытаниям моделей в аэродинамических трубах — нуждаются в корректировке.

Анализируя результаты расчетов на изгибно-крутильный флаттер нескольких консольных крыльев, не несущнх сосредоточенных грузов, Е. П, Гроссман заметил, что для них критическая скорость флаттера мало зависела от массовых характеристик крыла при пропорциональном изменении массовых характеристик крыла— его погонных массы, статического момента и момента инерции относительно оси жесткости — в п раз, начиная от некоторого их исходного значения при п=\, критическая скорость флаттера 1/кр в достаточно широком диапазоне чисел оставалась почти неизменной (1]. Иными словами, имела место автомодельность критической скорости флаттера по массе крыла.

Было замечено также, что в ряде случаев при уменьшении плотности воздуха в п раз критическая скорость Ккр изгибно-кру-тильного флаттера возрастала примерно в \‘ п раз.

Ниже мы покажем, что оба этих свойства (и еще некоторые другие) суть следствие одного и того же факта. Они присущи той области параметров крыльев, в которой появление флаттера определяется не порознь плотностью воздуха р и скоростью полета V,

а только скоростным напором q — -^-pV2, т. е. определяется .стационарной“ частью аэродинамических воздействий и не зависит от числа Струхаля. Расчеты и исследования на моделях показывают, что такая область параметров фактически существует и параметры многих натурных крыльев лежат внутри нее.

I. Критическая скорость флаттера крыла определяется единственным способом, если заданы его инерционные, упругие и аэродинамические характеристики. Но если даны общий чертеж крыла (без указания масштаба) и выполненные в том же масштабе чертежи всех его элементов, а также известен материал, то массовые и упругие характеристики крыла вполне определяются тремя величинами: линейным размером l[L\, погонной массой т\ML~X) и жесткостью K[ML3 Т~\ заданными в некотором характерном сечении*.

Если ограничиться идеальной несжимаемой жидкостью, то можно полагать, что аэродинамические воздействия определены, если известны массовая плотность воздуха p[AfL-3J и скорость V\LT~X\ потока, обтекающего крыло.

Указанные величины связаны между собой зависимостью F(p, V, I, m, /() = 0.

Вид ее можно установить, используя известную процедуру анализа размерностей [2]. Проведя соответствующие вычисления, получим:

где С — безразмерная постоянная. Показатель степени а остается неопределенным.

Величина тГ' есть массовая плотность конструкции. Поэтому из формулы (1) видно, что критическая скорость флаттера зависит от отношения массовых плотностей конструкции и потока (т. е. в общем случае автомодельность по массе не выполняется).

Предположим теперь, что аэродинамические воздействия при флаттере таковы, что за единственную аэродинамическую характеристику флаттера данного крыла может быть взят скоростной напор потока д\ЛИ~х Т\

Ищем зависимость Г(д, т, I, /0 = 0. Тогда та же процедура анализа размерностей даст следующий результат:

(2)

Из выражения (2) вытекает как первое из указанных выше свойств, т. е. автомодельность по массе, так и второе свойство (оно, по существу, заложено в самом предположении).

Если за упругую характеристику крыла принять не жесткость К, а некий редуцированный модуль упругости материала конструкции Еф [ЛИ~1 Т~2], то легко получить и другую, эквивалентную (2) формулу:

<7кР — СЕф. (3)

Из (3) следует, что изменение материала конструкциии крыла (при сохранении, конечно, его силовой схемы и геометрии) изме-

* В квадратных скобках указаны размерности величин в физической системе единиц.

няет критический скоростной напор флаттера пропорционально изменению модуля упругости конструкции.

2. В области, для которой имеет место автомодельность по массе, удается получить дополнительные по сравнению с (2) сведения о влиянии конструктивных параметров крыла на величину 1/кр.

Будем считать заданными эпюры распределения по размаху крыла его массовых (т, /яз, /т), жесткостных (ЛГкруч, А'изг) и геометрических характеристик. Положение оси жесткости считаем фиксированным (обозначения см. в таблице).

Имея в виду, что существует автомодельность по массе, для определения характеристик крыла необходимо задать не шесть,

как в общем виде, а пять величин ^например, А'„руч, Кизп /, з, --)■

Зависимость между этими характеристиками и д ищем в виде:

дкр=К1\,уч^^Гг"; ___ (4)

здесь < = Кк?учК,13Т — отношение жесткостей, г = --радиус

инерции массы т относительно оси жесткости. Все величины берутся в некотором характерном сечении крыла.

Расширим число независимых единиц. Для этого введем, согласно Хантли [3], .векторные“ линейные размерности Ьу, 1г по осям х, у, г, направленным соответственно по хорде крыла, вертикально вверх и но размаху.

Тогда в выбранной системе координат .векторные“ размерности входящих в (4) величин примем такими, как указано в таблице.

Физическая величина Обозна- чения Формула размерности Физическая величина Обозна- чения Формула размер- ности

Жесткость на кручение Л’круч MLZL\ Т~г * Скорость полета V Lx Т-1

Жесткость на изгиб Лизг ml\ т~2 Массовая плотность воздуха 9 M(LxLyLz)~'

Отношение жесткостей V х Скоростной напор Я MLX L.,Lt Г-

Погонная масса т MLJ1 Прогиб У Ly

Погонный массовый момент инерции 1 т MLxLyL-' Угол закручивания ? h L7l

Погонный массовый статический момент т~ MLXL~l Крутящий момент Л1круч MLX Ly T~-

Полуразмах крыла 1 Изгибающий момент Л£|(зг MLy Lz T~*

Удлинение А Lz LJ1 - - —

Сделаем некоторые замечания по поводу размерностей, приведенных в таблице.

При определении размерностей и Кнзг мы исходили из

формул

Л}Круч ., Л||13Г

^КОУЧ 6=3 "лГТТГ" » ИЭР

'«руч • 'Л,!ЗГ &у1<и* •

Из соображений .изотропности* формула размерности для массовой плотности воздуха р принята [/МАГ1 ¿¡Г1 /-Г1], а размерность 1т принята равной \АИх1.у ¿71]-

Если теперь применить к выражению (4) процедуру анализа размерностей, то, используя данные таблицы, получим:

^ = С^=Ч-^)\ (5)

где показатель степени ¡3, остается неопределенным.

Введя относительные величины г и з по формулам

г = г/, з = з/, (6>

можно из (5) получить

^=С|/^тИт-)’ <7>

Из того факта, что при встречающихся на практике параметрах крыла уменьшение з приводит к увеличению Ккр, следует, что 3>0. Тогда из формулы (7) следует, что увеличение жесткости

крыла на изгиб приводит к уменьшению 1/кр. Это согласуется

с практикой расчетов при обычно встречающихся соотношениях жесткостей изгиба и кручения крыла*.

Из формулы (7) следует также, что одно и то же приращение 1/кр можно получить либо уменьшая з в п раз, либо увеличивая V в п2 раз. (Все остальные параметры крыла предполагаются при этом неизменными. Сохраняется, в частности, А'круч, т. е. увеличение V Происходит ТОЛЬКО за счет уменьшения Л'нзг-)

Если ввести парциальные частоты крутильных ркруч и изгибных ризг колебаний крыла, то формуле (7) можно придать и другой вид:

УМ-Л’.

(8)

где * = ркР рнзг—отношение парциальных частот.

Наконец, сопоставляя (см. таблицу) „векторные“ размерности V

и I, замечаем, что [X] = у4=. Это соотношение позволяет формулу (7) представить в виде

(9>

3. Итак, свойство автомодельности по массе и вытекающая из него формула (7) [или эквивалентные ей (8) и (9)] — следствия допущения, что флаттер определяется только темн слагаемыми

* Заметим, что для ряда конкретных крыльев показатель степени ¡* лежит в пределах 8 = 0,1-5-0.2.

аэродинамических воздействий, которые пропорциональны скоростному напору. Мы пренебрегали, в частности, влиянием состав-ляющнх аэродинамических воздействий, которые пропорциональны ?У И].

Заранее ясно, что такое пренебрежение допустимо только в ограниченной области параметров крыла. Формула (7) это

наглядно иллюстрирует. Так, известно, что увеличение жесткости Кизт крыла на изгиб приводит к уменьшению 1/*р не всегда, а лишь в определенной области параметров /Скр5.ч и Кнзт. При значительном увеличении /СНзГ ситуация изменяется на обратную: при беспредельном увеличении Кизг (или, что то же, уменьшении V) мы должны были бы прийти к системе с одной степенью свободы, для которой флаттер уже невозможен. Но это обстоятельство из формулы (7) (при ?>0) уже не вытекает.

То же самое относится и к влиянию на Ккр параметра о. Начиная с некоторого значения з, увеличение его приводит не к умень-

шению, как это следует из (7), а к увеличению Икр*. Заметим еще, что из (7) следует, что исключение инерционной СВЯЗИ (з = 0) во всех случаях делает невозможным появление изгибно-крутилыюго флаттера. Между тем известно, что исключения связи в ряде случаев недостаточно для полного устранения флаттера**.

Впрочем, то обстоятельство, что формула (8) справедлива

только в некоторой области параметров, —атрибут любого свойства автомодельности.

Вопрос об определении границ области параметров крыла, в которых с достаточной точностью выполняется автомодельность по массе, здесь не рассматривается. Однако можно ожидать, что при значениях какого-нибудь параметра крыла и, близких к тем, при которых нарушается монотонное течение кривой 1/кр = /(и) (например, в области значений / — близких к единице, з — близких к нулю), автомодельность по массе будет заметно нарушаться. Перестанут правильно отражать явление и формулы, из этого свойства вытекающие. Дело в том, что именно при этих, так сказать, .критических“ значениях параметров существенную роль играют демпфирующие аэродинамические воздействия (пропорциональные рУ).

Практика показывает, что реальные значения параметров крыла обычно довольно далеки от .критических“ (так, х>1, з“>0 и т. д.). Это дает основания полагать, что при относительно малом изменении этих параметров будет выполняться свойство автомодельности по массе и что, во всяком случае для предварительных оценок, можно пользоваться формулами типа (7) — (9).

* Получается, что в формуле (7) знак и величина показателя степени ¡1 зависит от параметров V и в; 3 = з(-<, я). При некоторых их значениях знак £ как бы меняется на обратный.

** Приведенные выше примеры показывают, что при практическом использовании свойства автомодельности по массе (например, при пересчете по высоте, перетяжелении моделей) надо проявлять достаточную осмотрительность. Здесь возможны заметные ошибки как .в запас*, так и наоборот.

4. Отметим еще, что, по крайней мере, теоретически существует область параметров несущей и рулевой поверхностей, в которых выполняется условие автомодельности по массовым характеристикам и для рулевых форм флаттера. Однако будут встречаться и обратные случаи. Так, расчет изгибно-элеронного флаттера одного самолета показал, что балансировка, потребная для устранения флаттера, существенно различна для различных высот Н полета. Нельзя, следовательно, ограничиваться при подборе балансировки только расчетом или моделированием флаттера при Н—О или вообще на какой-либо одной высоте полета.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гроссман Е. П. Флаттер. Труды НАГИ, вып. 284, 1937.

2. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М.. .Наука*, 1977.

3. Хантли Г. Анализ размерностей. М., .Мир*, 1970.

4. Рокар И. Неустойчивость в механике. М., Изд. иностр. лит., 1959.

Рукопись поступила 17[У11 1979 г.