Об одном расширении класса нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка с подвижной особой точкой Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95:515.172.22

ОБ ОДНОМ РАСШИРЕНИИ КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С ПОДВИЖНОЙ ОСОБОЙ ТОЧКОЙ

© В. Н. Орлов, П. В. Захарова*

Гуманитарно-педагогической академии (филиал) «Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского» Россия, Республика Крым, 298635 г. Ялта, ул. Севастопольская, 2-А.

Тел.: +7 (3654) 32 30 13.

*ЕтаИ: pavaluck@gmail.com

Дифференциальные уравнения являются одним из важных разделов математики, возникшим с XVII века и связаны с приложениями в различных областях деятельности человека. В настоящее время существуют работы, направленные на дальнейшее развитие классической теории, связанной с аналитическим приближенным методом решения указанных уравнений. Данная работа посвящена развитию разработанного аналитического метода решения нового класса нелинейных дифференциальных уравнений. В нашем случае применяем новый подход в методе мажорант при доказательстве теорем существования и единственности решения, который, в отличии от классического варианта, позволяет получить решение всех задач, связанных с аналитическим приближенным методом решений рассматриваемой категории уравнений, не только в области аналитичности, но и в окрестности подвижной особой точки. Последние являются неотъемлемой частью нелинейности дифференциального уравнения.

Ключевые слова: теорема существования и единственности решения, нелинейные дифференциальные уравнения, подвижная особая точка, аналитический метод решения.

Введение

Одним из аспектов дифференциальных уравнений являются математические модели различных процессов и явлений, что подтверждается публикациями в таких областях, как механика [1-4], математическая физика, нелинейная оптика [5], теория эволюционных процессов [6-10], теория упругости [11, 12], нелинейная диффузия [13, 14], теория устойчивости элементов строительных сооружений и анализ живучести (жизнестойкости) зданий [15-17], фундаментальные исследования [18]. Следует отметить результаты Белорусской школы, связанные с разрешимостью в квадратурах такой категории уравнений [19, 20], что возможно лишь в частных случаях. Данная задача решена для случая нормальной формы [21], в нашем случае эта задача решается для более широкого класса нелинейных дифференциальных уравнений.

Постановка задачи

Доказательство теоремы существования и единственности решения для расширенного класса нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка, основанная на модификации метода мажорант.

Рассмотрим задачу Коши

у"' = а0(х)у4 + а1(х)у3 + +а2(х)у2 + аз (х)у + а4(х), (1) У(хо) = Уо,У'(хо) = Уг,У"(хо) = У2. (2)

Теорема 1. Пусть выполняются условия:

1) х* - подвижная особая точка задачи (1) и (2);

2) а(х) е Ст в \х-х'\<р1,р1 = const, где i = 0,... ,4;

3)

< Mi, Mi = const, где i = 0,...,4.

(1), (2) можно

Тогда решение задачи Коши представить в виде

у = (х — X*)

I

Сп (х х )

в области

\х

где

'\<Р2,

р2 = min{Pl,

\Pl,M +

а;

(п)

(х*)

М = max\\yo\,\y1\,\y2\,sup

где I = 0, ...,4.

Доказательство. На основании условий теоремы функции а1(х), где I = 0,...,4 представляем в виде регулярного ряда, в силу регулярности точки

х*для функций ai(x):

ж

at(x) = 1

Вi,n(x х )

Ищем решение уравнения (1) удовлетворяю щее условие (2) в виде

у(х) = (х - х*УЪп=0Сп(х - х*)п. Подставляем (3) в (1) и получаем:

(3)

(п + р)(п + р — 1)(п + р

+

= (х

*)4р I (

— 2)1

П=0

ж

Сп(х — х*)п+Р-

С*п*(х — х*)п I ВоМ — х*Т +

п=0

п

п

п=0

ж

п=0

п=0

+ (х — х*)3^ I С* (х - х*)и I В1,„(х - х*)и +

п=0 п=0

ж ж

+ (х — х*)2^ ^ С* (х — х*)" ^ В2,„ (х — х*)" +

п=0 п=0

ж ж

+ (х — х*)Р ^ С„ (х — х*)и ^ Вз,„ (х — х*)и +

п=0 п=0

ж

+ ^54,„(х —х*)",(4)

п=0

п

где С*

_ \ л1* л1* _

п п

**

— 11 С; С,* — ^ ' С; Сп-.

¿=0 ¿=0 Из (4) следует:

1) п + р — 3 — п + 4р;

П

2) (п —1)(п —2)(п —3)^ —

¿=0

п п

¿=0 ¿=0 п п

^^ ^¿-4^2,п-2 + ^^ ^¿-4^3,1-3 + ^4,п-4'

-4^3,1-3 ^ 4,п-4'

¿=0 ¿=0

V п — 4,5,6, ... .(5) Первое соотношение определяет значение р — —1, а второе позволяет однозначно определить все выражения коэффициентов Си, в частности

0> —

N

6

#0,0

С помощью ПК на основании рекурентного соотношения (5) можно получить аналитические выражения этих коэффициентов.

На основании выражений коэффициентов Си строим гипотезу их оценок

|С4Ш| < (М + 1)т+1, |С4т+1| < (М + 1)т+1,

|С4т+2| < (М + 1)т+1,|С4т+3| < (М + 1)т+1.

(6)

Методом математической индукции докажем нашу гипотезу для коэффициента С4т+4. Из (5) для случая С4т+4 имеем

(4т + 3)(4т + 2)(4т + 1)С4т+4 —

**

¿=0

ш ш-1

+ ^^ С41^1,4т-41+3 + ^^ С4,Д т-2

I

,4т-41+4

+

т-2

41°2,4т-41+2

+

+ / ^41^3,4т-41 +1 + ®4,4т. ¿=0 Или:

(4т + 3)(4т + 2)(4т + 1)С4т+4

¿ = 1

ш ш

+ ^^ ^¿^(т-О ^0,0 + ^^ ^4* ^0,4т-41+4 +

¿=1 ¿=0 т ш-1

+ ^^ С41^1,4т-41+3 + ^^

4 ¿°2,4т-41+2

+

т-2

I

=0

^41^3,4т-41 + 1 + ®4,4т.

Из последнего, с учетом гипотезы оценок и ряда преобразований, следует:

|С4т+4| < (М + 1)т + (М + 1)т-2 +

т

+2 1(М + 1)-2 + =0

ш-1 ш-2

+ 1(М + 1)-2 + 1(М + 1)-2. =0 =0 Окончательно получаем:

I ^4т+4 I < (М + 1)т+2. На основании достаточного признака, получаем область сходимости правильной части ряда (3):

1

|х — х*| < ——-.

М + 1

Следовательно, сама теорема будет справедлива в области

Р2

М — тах{|у0|, |У1|, ^^ир

а(п)(х*)

П!

где I — 0, .,4.

Как следствие теоремы 1 имеем возможность построить аналитическое приближенное решение в окрестности подвижной особой точки

N

у^х) — (х — х*)-11 С„(х — хТ, (7)

п=0

Теорема 2. Пусть выполняются условия 1-3 теоремы 1, тогда для приближенного решения (7) задачи (1) и (2) в области

|х X* | <Р2 справедлива оценка погрешности

4(М + 1)^4+1'25|х — х*Г/4-0'75

АууМ < —

где

М — тах

М +

г(п)(х*)

1 — (М + 1)|х —х*|

Р2 — ШШ {р,, —-—-} ,

И2 Г м + 1;

{|У0|,|У1|,|У21,

Доказательство. На основе классического подхода △ УуМ — 1уО) — УуМ1 —

11 Сп(х х ) ^' Сп(х х )

ж

ж

т

=0

=0

=0

3

п

т+1

}

N

ж

п=0

п=0

11 Сп(х х )

п=М+1

В связи со структурой оценок для коэффициентов Сп рассмотрим случай N + 1 = 4т.

△Ум(х) =

11 СП Х )

С4т(х х )т 1 + С4т+1(х х 1 +

т=1

ж

+

I

(х - х*)г

+

I

(х - х*)г

т=1 т=1

С учетом оценок для коэффициентов (6) получаем:

△ Ум(х) < \(М + 1)т+1(х — х*)т-1 + + (М + 1)т+1(х — х*)т + ---\ +

+ \(М + 1)т+1(х — х*)т-1 + + (М + 1)т+1(х — х*)т + ---\ +

+ \(М + 1)т+1(х — х*)т-1 + + (М + 1)т+1(х — х*)т + ---\ +

+ \(М + 1)т+1(х — х*)т-1 + + (М + 1)т+1(х — х*)т + ---\ = = 4(М + 1)т+1\х — х*\т-1(1 + (М + 1)\х — х*\ + 4(М + 1)т+1\х — х*\г

+ ■■■)<

<

1- (М + 1)\х-х*\

4(М + 1)N/4+1'25\x - x*\N/4-075

<

1 — (М + 1)\х — х*\ Аналогичным образом получаем выражение оценок в случаях N + 1 = 4т + 1,Ы + 1 = 4т + 2,И + 1 = 4т + 3. При этом N >3. На основании достаточного признака сходимости степенных рядов получаем, что оценки погрешности приближенного решения будут справедливы в области

1

\х — х*\ < .

М + 1

Так как подвижная особая точка может быть получена приближенно, то это приводит к задаче исследования влияния возмущения подвижной особой точки на приближенное решение (7), которое принимает вид

yN(x) = Icn(x

х*У

Эта задача решается с помощью теоремы 3. Теорема 3. Пусть выполняются условия 1-3 теоремы 1, тогда для аналитического приближенного решения (7) задачи (1) и (2) в области \х X* \ <Р2 справедлива оценка погрешности Д %(х) < До + Д1 +Д2 +Аз.

где

До<

6

Д5с*

7,Д1<

4(М + 1)N+2 • \х - 5c*\N В00 (х-х*)2'д1< 1 - (М + 1) • \х - 5с*\ ' 4 Дх*(М + 1)3

Д<

(1 - (М + 1) • (х - х*))2

Д<

4 ДМ(М + ДМ + 1)2 1 - 2 (М + ДМ + 1) • \х - х*\'

где

М = тах

р2 = min {р1' ——-}'

И2 Г1М + 1У {\У 0

Ап)(х*)

У1\,\У2\,Бир п

Доказательство. Применим классический подход:

Д%(х) = \у(х)—%(х)\ <

< \у(х) — у(хУ — \^/(х) — у^х)! <

<

+

^ 1 Сп (х Х ) ^ 1 Сп (х Х )

п=0

ж

п=0 N

+

<

+

11 Сп Х ) 11 ^п Х )

п=0 п=0

Оценим \у(х) - у(х)\:

ж

11 Сп (х X ) \у(х)-у(х)\< п=0ж

^ 1 ^п х )

П = 0

жж

11 Сп % ) ^ ^ Сп (Х X )

п=0 п=0

жж

11 ^п х ) ^ 1 Сп (х х )

п=0

ж

<1дСп\х-х*\п-1 +

п=0

<

+

<

ж

+ ^СпУ \(х — х*)п-1 — (х — х*)п-1\,

п=0

где Д Сп = 1сп — Сп1

Рассмотрим ряд 1Щ=0|Сп| Л(х — х*)п-1 — (х —

х*)п-1\. Так как х < х* < х* и С0 = С0 = —31—, то

при п = 0:

\^о\^\(х-х*)-1-(х-П-1\ <

Получаем:

\у(х)-у(х)\ <

N

6 Дх

6 Дх*

BZ' (х-х'У

Во,о (х - Х*У

+

+ 1д Сп(\х-х*\+Д х*У

\х-х*\ +Д х*)п-1 +

ж

+ I\Cn\• \(п-1) •Д 5с* • (х-5с*)п-2\.

п=1

Оценим \у(х)- yN(x)\:

ж

ж

n=N + 1

m=1

ж

ж

с

с

3

п=0

к

3

ж

п=1

3

IK*) -ywMI <

Сп (* * )

п=0

N

Сп (* * )

п=0

< ^ |Сп|Чх-хТ-1.

<

_ п I*-*

n=N+1

Для оценки приближенного решения Д yN (х) имеем:

Д (х) = |У(х) -)'n(x)| < < |У(х) - уУ(х)| - |уУ(х) - yyN(x)| <

<

6 Д**

^0Чх-Х*)2 + 2 |Сп

п= N+1

2 |(Гп| •|х-х*|п-1 +

= N+1

+ ^|<?п| • |(п - 1) • Д хх* • (х - хс*)п-2| +

+ £дсп(|*-**| + д*Т-1 =

п=1

= До + Д1 + Д2 + Дз. Таким образом,

Д**

До =

N

Во,о (х-;?*)2

Перейдем к оценке Д1.

^1= ^^ |сп •|х * |п 1 =

п= N+1

= 2

m=N+1

то

+

+

2

m=N+1

то

И

m=N+1

то

2

+

• |х - * |т 1 +

С4ш+11 • |х - * | + С4ш+2 1 • |х - * |ш 1 + 1 i-4m+3 1 • |х - * |ш 1.

m=N+1

С учетом оценок для коэффициентов (6) полу-

чаем:

Д=

+

+

+

+

+

2(М + 1)ш+1(х-х*)

N+1

х)

2(М + 1)ш+1(х-х*)ш

N+1

то

2(М + 1)ш+1(х-х*)ш

N+1

то

+ | 2(м + 1)ш+1(* - **)ш-11

= 4(М + 1)N+2|* - x*|n(1 + (М + 1)|х

4(М + 1)N+2|* - x*|n -х*| + ...) < -i.-!-L_

| ) " 1 - (М + 1)|х - х*| ■ Находим оценку для Д2.

-И

<?п | • |(п -1) • д • (* - хг*)п-21 =

<1

Сп •Д * •(* * ) )х

п=1|^'п| • |Д * • (х

Рассмотрим сумму £Ж= х*)п-1|. С учетом закономерности оценок коэффициентов для данной суммы получаем

2

п=1 <

с I •

п

|Д** • (х - х?*)п— 11 < 4Д**(М + 1)2

1 - (М + 1) • (х - **)' Следовательно, Д2 будет иметь оценку

4Д**(М + 1)3 Д<-----

2< (1 - (М + 1) • |х - **|)2 Аналогичным образом находим выражение Д3:

4 ДМ(М + ДМ + 1)2 Д<-----

1 - 2 (М + ДМ + 1) • |х - **| Выводы

Для численного эксперимента необходимо знание подвижной особой точки, для которой необходим новый теоретический материал, необходимый для разработки программного обеспечения, что предстоит выполнить в следующихработах. Результаты, полученные в работе, хорошо согласовываются с результатами, полученными ранее для нормальной формы рассматриваемого нелинейного дифференциального уравнения [22].

ЛИТЕРАТУРА

1. Bacy R. Optimal Filtering for correlated Noise // J. of Mat. Analysis and Applications. 1967. V. 820. P. 1-8.

2. Kalman R., Bacy R. Nev results in linear filtering and predication theory // Basic Engr. (ASME Trans.) 1961. V. 83D. P. 95108.

3. Hill J. M. Abel's Differential Equation //J. Math. Scientist. 1982. V. 7. P. 115-125.

4. Ockendon J. R. Numerical and analytical solutions of moving boundary problems // Proc. Symp. Moving Boundary Problems / ed. D. G. Wilson, A. D. Solomon and P. T. Boggs. New York, 1978. P. 129-145.

5. Самодуров А. А., Чудновский В. М. Простой способ определения времени задержки сверхизлучательной бозонной лавины // Докл. АН БССР. 1985. Т. 29, №1. С. 9-10.

6. Ablowitz M. A., Romani A., Segur H. connection between nonlinear evolution equations and ordinary differential equations of P-type. I, II // J. Mat. Phys. 1980. V. 21. P. 715-721, 10061015.

7. Ablowitz M. A., Romani A., Segur H. Nonlinear evolutions and differential equations of Painleve type // Lett. al Nuowo Cim. 1978. V.23. P. 333-338.

8. Airault H. Rational solutions of Painleve equations //Studies in Applied Mathematics. 1979. V. 61. P. 31-53.

9. Davson S. P., Fortan C. E. Analytical properties and numerical solutions of the derivative nonlinear Schrodinger equations // J. Plasma Phys. 1998. N 3. P. 585-602.

10. Clarzon P. Special polynomials associated with rational solutions of the Painleve equations and applications to solution equations // Comput. Math. and Funet. Theory. 2006. V. 6. P. 585- 602.

11. Hill J. Radial deflections of thin recompressed cylindrical rubber bunch mountings // Internat. J. Solids Structures. 1977. V. 13. P. 93- 104.

Д

п=1

п=1

то

п=1

то

то

то

12. Бунякин А. В. Вывод уравнения движения упругой пла- 19. стины, находящейся в воздушном потоке // Вестник МГСУ. 2010. №3. С.208-212.

13. Axford R. A. Differential equations invariant urber two-parameter Lie groups with applications to non-linear diffusion // Los 20. Alamos Report. 1970 (LA-4517, UC-34).

14. Ockendon J. Numerical and analytical solutions of moving boundary problems // Pros. Symp. Moving Boundary Problems. 21.

15. Kovalchuk O. A. Simulation of the State of the Rod Elements of the Building Construction // Procedia Engineering. 2016. V. 153. №2. P. 304-309.

16. Ковальчук О. А. Устойчивость стержневых элементов строительных конструкций // Журнал ПГС. 2014. №11. С. 53- 54. 22.

17. Ковальчук О. А. О расчете зданий с ядрами жесткости // Естественные и технические науки. 2015. №3 (81). С.238-240.

18. Орлов В. Н. Метод приближенного решения первого, второго дифференциальных уравнений Пенлеве и Абеля. М.: МПГУ, 2013. 174 с.

Мататов В. И., Филлипович С. Н. Об условиях однозначности подвижных особых точек автономных систем Гамильтона // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, №11. С. 20162019.

Лукашевич Н. А. Простейшие дифференциальные уравнения третьего порядка Р-типа // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, №>6. С. 955-961.

Орлов В. Н., Хмара П. В. Аналитическое приближенное решение нелинейного дифференциального уравнения в окрестности подвижной особой точки / В. Н. Орлов, // Проблемы современного педагогического образования. Сер.: Педагогика и психология. Сб. статей. Ялта: РИО ГПА, 2016. Вып. 51. Ч. 1. С. 152-158.

Орлов В. Н. Исследование одного класса нелинейного дифференциального уравнения в области аналитичности и в окрестности подвижной особой точки / В. Н. Орлов, П. В. Хмара // Вестник ЧГПУ им. В. И. Яковлева: Серия: Механика предельного состояния-Чебоксары, 2016.-.№4 (30).-С. 105-113.

Поступила в редакцию 12.06.2017 г.

ON EXPANSION OF A CLASS OF NONLINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE THIRD ORDER WITH A MOVABLE SINGULAR POINT

© V. N. Orlov, P. V. Zakharova*

V. I. Vernadsky Crimean Federal University 2-A Stavropolskaya Street, 298635 Yalta, Republic of Crimea, Russia.

Phone: +7 (3654) 32 30 13.

*Email: pavaluck@gmail. com

Differential equations are one of the important branches of mathematics that have arisen since the 17th century and are associated with applications in various fields of human activity. The initial theory was based on the Cauchy theorem, which over time became a classical one, but various applications began to lead to nonlinear differential equations and brighter became its disadvantages of this classical theorem, which ignored the singularities of non-linear differential equations and mobile singular points. At present, there are works aimed at further development of the classical theory associated with an analytical approximate method for solving the above equations. This article is devoted to the development of the developed analytical method for solving a new class of nonlinear differential equations. In our case, we apply a new approach to the majorant method in proving the existence and uniqueness theorems of a solution which, in contrast to the classical version, allows us to obtain a solution of all problems associated with an analytic approximate method of solutions of the category of equations under consideration, not only in the analyticity region, but also in neighborhood of the movable singular point. The latter are an integral part of the nonlinearity of the differential equation.

Keywords: theorem of existence and uniqueness of solutions, nonlinear differential equations, movable singular point.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at bulletin_bsu@mail.ru if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Bacy R. J. of Mat. Analysis and Applications. 1967. Vol. 820. Pp. 1-8.

2. Kalman R., Bacy R. Basic Engr. (ASME Trans.) 1961. Vol. 83D. Pp. 95-108.

3. Hill J. M.J. Math. Scientist. 1982. Vol. 7. Pp. 115-125.

4. Ockendon J. R. Proc. Symp. Moving Boundary Problems / ed. D. G. Wilson, A. D. Solomon and P. T. Boggs. New York, 1978. Pp. 129145.

5. Samodurov A. A., Chudnovskii V. M. Dokl. AN BSSR. 1985. Vol. 29, No. 1. Pp. 9-10.

6. Ablowitz M. A., Romani A., Segur H. J. Mat. Phys. 1980. Vol. 21. Pp. 715-721, 1006-1015.

7. Ablowitz M. A., Romani A., Segur H. Lett. al Nuowo Cim. 1978. V.23. Pp. 333-338.

8. Airault H.Studies in Applied Mathematics. 1979. Vol. 61. Pp. 31-53.

9. Davson S. P., Fortan C. E. J. Plasma Phys. 1998. N 3. Pp. 585-602.

10. Clarzon P. Comput. Math. and Funet. Theory. 2006. Vol. 6. Pp. 585- 602.

11. Hill J. Internat. J. Solids Structures. 1977. Vol. 13. Pp. 93- 104.

12. Bunyakin A. V. Vestnik MGSU. 2010. No. 3. Pp. 208-212.

13. Axford R. A. Los Alamos Report. 1970 (LA-4517, UC-34).

14. Ockendon J. Pros. Symp. Moving Boundary Problems.

15. Kovalchuk O. A. Procedia Engineering. 2016. Vol. 153. No. 2. Pp. 304-309.

16. Koval'chuk O. A. Zhurnal PGS. 2014. No. 11. Pp. 53- 54.

17. Koval'chuk O. A. Estestvennye i tekhnicheskie nauki. 2015. No. 3 (81). Pp. 238-240.

18. Orlov V. N. Metod priblizhennogo resheniya pervogo, vtorogo differentsial'nykh uravnenii Penleve i Abelya [The method of approximate solution of the first, second differential equations of Painleve and Abel]. Moscow: MPGU, 2013.

19. Matatov V. I., Fillipovich S. N. Differents. uravneniya. 1988. Vol. 24, No. 11. Pp. 2016-2019.

20. Lukashevich N. A. Differents. uravneniya. 1995. Vol. 31, No. 6. Pp. 955-961.

21. Orlov V. N., Khmara P. V. Problemy sovremennogo pedagogicheskogo obrazovaniya. Ser.: Pedagogika i psikhologiya. Sb. statei. Yalta: RIO GPA, 2016. No. 51. Pt. 1. Pp. 152-158.

22. Orlov V. N. Vestnik ChGPU im. V. I. Yakovleva: Seriya: Mekhanika predel'nogo sostoyaniya.-Cheboksary, 2016.-No. 4 (30).-S. 105113.

Received 12.06.2017.