Исследование приближенного решения дифференциального уравнения aбеля в окрестности подвижной особой точки Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.87

В. Н. Орлов

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ В ОКРЕСТНОСТИ ПОДВИЖНОЙ ОСОБОЙ ТОЧКИ

Предложено приближенное решение дифференциального уравнения Абеля в окрестности подвижной особой точки. Исследовано влияние возмущения подвижной особой точки на приближенное решение.

E-mail: [email protected]

Ключевые слова: дифференциальное уравнение Абеля, приближенное решение, подвижная особая точка, погрешность приближенного решения, возмущение подвижной особой точки.

К уравнению Абеля приводят задачи нелинейной оптики при описании сверхизлучательной лавины [1-3], теории конечной упругости [4], нелинейной диффузии [5], задачи оптимизации стержня реактора [6], нелинейной теплопроводности установившегося режима [7-9], нелинейной волновой теории [10].

В связи с тем, что дифференциальное уравнение Абеля в общем случае не разрешимо в квадратурах, а наличие подвижных особых точек (критических полюсов) не позволяет применять к этому уравнению существующие приближенные методы, задача приближенного решения уравнения Абеля является актуальной. Она разбивается на: 1) приближенное решение дифференциального уравнения в области аналитичности; 2) нахождение подвижных особых точек решения дифференциального уравнения Абеля с заданной точностью; 3) приближенное решение дифференциального уравнения Абеля в окрестности подвижной особой точки.

В настоящей работе представлено исследование приближенного решения рассматриваемого уравнения в окрестности подвижной особой точки.

Теорема существования решения дифференциального уравнения Абеля в окрестности подвижной особой точки. Рассмотрим задачу Коши для уравнения Абеля в нормальной форме

w'(x)= w3(x) + Ф(х); (1)

w(x о) = Wo, (2)

к которому приводится с помощью определенной замены переменных дифференциальное уравнение Абеля 1-го рода

w'(x) = fo(x) + fi(x)w(x) + f2(x)w2 (x) + f3(x)w3(x).

В свою очередь к уравнению Абеля 1-го рода с помощью некоторой замены переменных приводится уравнение Абеля 2-го рода [11]

[go(x)+ gi(x)w(x)]w' (x) = fo(x) + fi(x)w(x) + f2(x)w2(x) + f3(x)w3(x).

Теорема 1. Пусть

1) функция Ф^) G Cж в области

(x* — x) < p1, (3)

где 0 < p1 = const, x* — подвижная особая точка решения задачи

(1)-(2);

фМ^)

2)

< M1, Vx из (3), где n = 0, 1, 2, ..., M1 = const.

n!

Тогда существует единственное решение уравнения (1) в виде

те

w(x) = (x* — x)PY^ Cr,(x* — x)r/2, (4)

где р = —; С0 = 0, правильная часть которого сходится в области 2

х* - х < Я1 (5)

Vх < х*, где

Д1 = ш1п{р1,р2}, р2 = —, =,

1 у 24(1 + М )2

ф(п)(х)

M = sup

r,G

n !

, n = 0,1, 2,..., G = {x : x* — pi < x < x*}.

Доказательство. Находим формальное решение уравнения (1) в окрестности подвижной особой точки х* в виде (4). Для этого представим Ф(х) в окрестности точки х* в виде

те

ф(х) = Е Ап(х* - х)п (6)

0

в силу того, что для ф(х) точка х* — регулярная. Подставляя (4) и (6) в (1), получаем

те

- Е Сп (р + 2) (х* - х) П +р-1 =

Е Cr(x* — x)n +> + ^ Ar(x* — x)r

3 те

или, после преобразования,

X X

'U

- Е СЛU + Р (X - x)n+Р-1 = Е - x)n+3р, (7)

2

о о

где Бп = С;* для п = 2к, к = 0, 1, 2, ...; Бп = С*п* для п = 1; Бп = С** + АП1 для п = 2к + 1, к = 1, 2, ..., щ = 0, 1, ... ;

п п

С** _ \ Л _ \ Л

п = СъСп-г, Сп = С^Сп-г-

оо Равенство (7) обратится в тождество при условиях

пп

п + Р - 1 = п + 3р; (8)

-Сп(П + р) = А, (9)

Из (8) получаем р = —, а соотношение (9) позволяет однозначно

2

определить все Сп. Таким образом, получаем формальное представление решения уравнения (1) в виде (4) в окрестности подвижной особой точки ж*. В силу однозначности определения коэффициентов С из (9) следует единственность полученного формального решения.

Покажем сходимость правильной части ряда в правой части равенства (4) в области (5). Из условия 2 теоремы 1 следует существование

Ф(п)(ж)

M = sup

n,G

U !

(10)

где M = const, n = 0, 1, 2, ..., G = {x: x* — pi < x < x*}. Следовательно,

|An| < M, n = 0,1, 2,... . (11)

Из (9) имеем C0 = ±-1=, Ci =0, C2 = 0, C3 = — -A0, C4 = 0,

V2 5

2

C5 = — Ai, .... С учетом (11) методом математической индукции

5

доказана справедливость оценок

-2n-4

|Сзп| < ^^(1 + M)n = 0зп; (12)

22n-4

|CWi| < 3^+3(1 + M)n = ^3n+i; (13)

22n-4

|Сзп+2| < 3n+^(1 + M)n = ^3n+2. (14)

Ограничимся случаем оценки (12). Предположим для определенности, что 3n + 3 = 2k + 1, k = 0, 1, 2, ... . Тогда из (9) с учетом (12)-(14)

имеем

3n+1 3n+2

" |C3n+3| <

2

£ Ci+1C3n+2-i + £ CiC3n+3-i + Afe-1 0 1

3n+1 3n+2 3n+3-i

Ci+1C3n+2-i + ^^ Ci Cj C3n+3-j + Afc-1

<

г+1С3п+2-г + / ^ Сг / ^ С С3п+3— + 0 1 1

< (1 + М)п+1 • 22п-6 + 22п-5(1 + М)п+1 + М < 22п-3(1 + М)п+1. Окончательно

< 22п-2 (1 + М)п+1 1 3п+3 < 3п + 5 . Аналогично подтверждаются оценки (13) и (14). Рассмотрим ряд

те

£$п(%* - х)^, (15)

1

в силу условий (12)-(14) мажорирующий для ряда

те

£ Сп(х* - х) ^. (16)

1

В силу закономерности для коэффициентов Сп представим ряд (15) в виде

' n

11

£^n(x* - X) "2 = £ $3n(x* - x) П +

1

те те

+ £ -#3n+1(x* - X) + £ "$3n+2(x* - X)

Для каждого ряда в правой части последнего равенства с учетом оценок (12)-(14) имеем область сходимости

* ^ 1 х — х < —. == = р2.

У 24(1 + М )2

Положим Л1 = Ш1п{р1,р2}. Так как ряд (15) — мажорирующий для ряда (16), то получаем сходимость ряда (16) в области (5).

Построение приближенного решения в окрестности подвижной особой точки. Исследование влияния возмущения подвижной особой точки на приближенное решение. Теорема 2. Для приближенного решения

N

(х) = £ Сп(х* - х)^ (17)

0

задачи (1)-(2) в окрестности подвижной особой точки х*: х* —р2< < х < х* справедлива оценка погрешности

|й(х) — (х)| = (х) ^ А,

где

_ 22п-4(1 + М)п (х* — х) ^ / 1 (х* — х)1/2

АА ^О / . и / ... \ О /О I .-V . ^ + ^ . .-V +

1 - 22(1 + M)(x* - x)3/2 \3n + 2 3n + 3 3n + 4 б случае N + 1 = 3n,

_ 22n-4(1 + M)n(x* - x)3n—2

= 1 - 22(1 + M)(x* - x)3/2 X

x ' 1 (ж* - x)1/2 + 4(1 + M)(x* - x)

3n + 3 3n + 4 3n + 5

для N + 1 = 3n +1 и

д_22п-4(1 + M)n(x* - x)32-1 / 1 4(1 + M)(x* - x)1/2

= 1 - 22(1 + M)(x* - x)3/2 V3n + 4 + 3n + 5 +

4(1 + M)(x* - x)

3п + 6

в случае варианта N + 1 = 3п + 1, где М и Л1 взяты из теоремы 1. Доказательство теоремы основано на оценке выражения

|w(x) - wN(x)| = AwN(x) =

* < 2-1

J]Cn(x* - x)

N+1

с учетом оценок для Сп из теоремы 1.

В связи с тем, что существующие методы позволяют получить подвижные особые точки лишь приближенно, с заданной точностью, то вместо приближенного решения (17) имеем

N

(х) = (ж* — х)-2 Сп (ж* — х)п/2, (18)

0

где Сп, х* — приближенные значения. Следующая теорема позволяет исследовать влияние возмущения подвижной особой точки на приближенное решение уравнения (1) в окрестности указанной особой точки.

Теорема 3. Пусть

1) Ф(х) е С^ в области (5);

2)

фН^)

П !

Vx из (5); Ml = const, n = 0, 1, 2, ... ;

< M1 (19)

3) X* < x*;

4) известна оценка погрешности значения X*: x* - X* ^ ДХ*;

5) ДХ* < 1/у210(1 + М)2, где

М = sup

Ф(п)(Х*)

n!

ДМ = ( sup

n,G

n!

ДХ*,

п = 0,1,2,..., С = {х: X* - ДХ* < х < X*}.

Тогда для приближенного решения (18) задачи (1)-(2) для любого х из областей

(X* - R2, X* - ДХ*], (X* - Дх*,х*]

справедлива оценка погрешности

ДwN (x) < До + Д1 + Д2 + Д3,

где

До ^

(20) (21)

Дх*

2^а3/2'

2е ДХ*(1 + М )а1/2(1 + 16(1 + М)а + 64(1 + М)а2) 1 ^ 1 - 210(1 + М)2а3 +

ДХ*(1 + М)(1 + 2а + 16(1 + М)а2)

2(1 - 27(1 + М)2а3)

^ ДМа(1 + (1 + М + ДМ)а3/2) / 1 1/2 ^

Д2 <-;-, Л/Г , л 3- ^ + йа 7 +

^ 2™3 > V2 9 5

+ 8 а1/2 . ^

1 - 27(1 + М + ДМ)2а'

а

Д3 ^

2

2n-4

(1 + М )na ^

1а +

1/2

+

а

3 ^ 1 - 4(1 + М)а3/2 V3n + 2 ' 3n + 3 ' 3n + 4 в случае N + 1 = 3n,

Д3 ^

2

2n 4

(1 + М )na

1 а1/2 4(1 + М )а

1 - 4(1 + М)а3/2 \3n + 3 3n + 4 3n + 5 для N + 1 = 3n + 1 и в случае N + 1 = 3n + 2

22n-4(1 + м )na

Д3 ^

где

1 - 4(1 + M)а3/2 \3n + 4

1 4(1 + M)а1/2 + 4(1 + M)а

3n + 5

3n + 6

а=

x* - x для x из области (20),

X* для x из области (21);

R2 = min < R1,

1

(210(1 + M )2)1/3

; R1 - из теоремы 1;

n

в =

Доказательство.

1 для x из области (20),

2 для x из области (21).

|w(x) - wN(x)| ^ |w - w| + |w - wN| =

X X

= Y Cn(x* - x)^ - Y - x) 2

< |Co|

+ 1

o

oo

o

N

Y Cn(x* - x)2-1 - Y Cn(F - x)2-1

1 ' + Y |Cnl ((x*-x)^-(Ж*-x)2-1) +

+

(x* —x)1/2 (ж*-x)1/2

+ Y А(ЖП(Ж* -x + АЖ*)2-1 + Y Сп(Ж* -x)2-1 = Ao+A1+A2 + A3.

N+1

Учитывая, что C0 = ± —=, C1 = C2 = 0, а следовательно, AC0 = = AC1 = AC2 = 0, получаем

Ao < |C0|

1

(x* - x)1/2 (ж* - x)1/'

<

A£*

^v/2(x* - x)3/2'

При оценке А1 суммирование проводим отдельно по целым и дробным степеням:

2-1 2 I =

A1 < Y 1<Жп| ((ж* - x + Ax*)2-1 - (ж* - x) 1

X

= Y |Cn| ((ж* - x + AS*)22-1 - (ж* - x)22-1) + 1

X

+ Y |C2n-1| ((ж* - x + A^*)n-1 - (ж* - x)n-1) = A11 + A12.

Принимая во внимание структуру оценок Сп, для А11 в области Аж* ^ ж* — х получаем

2=

A11 = Y | Сж2п | ((ж* - x + A^*) ^ - (ж* - x) 2

X

= Y |Сбп-2| ((ж* - x + AF)62-3 - (ж* - x)62-3 ) +

n-1

1

2

те

+ £ |Сбп| ((Х* - X + ДХ*)^ - (Х* - х)+ 1

те

+ £ |Сбп-2| ((X* - X + ДХ*)^ - (X* - х)< 1

2ДХ*(1+М)(Х*-х)1/2(1+24(1+М)(Х* - х)+26(1+М)(Х*-х)2) ^ 1—210(1 + М)2(Х* - х)3

при условии Х* - х < 1 /3210(1 + м)2. В случае Х* - х < ДХ* для Д11 имеем

22 (1 + М )(ДХ*)3/2(1 + 24(1 + М )ДХ* + 26(1 + М )(ДХ*)2) _ 11 ^ 1 - 210(1 + М)2(ДХ*)3 ;

при этом ДХ* < 1/^210(1 + М)2.

Аналогичным образом получаем оценки и для Д12:

ДХ*(1 + М)(1 + 2(Х* - х) + 24(1 + М)(Х* - х)2)

Д12 ^-

2(1 - 27(1 + M)2(X* - x)3)

П]

В случае х* — x < Дх*

в области Дх* < х* — x при условии х* — x < 1/^27(1 + M)2.

ДХ*(1 + М )(1 + 2ДХ* + 24(1 + М )(ДХ*)2) _ 12 ^ 2(1 - 27(1 + М)2(ДХ*)3) ;

при этом Д Х* < 1/^27(1 + М)2.

Переходим к оценке Д 2. Принимая во внимание оценки для ДСП

22п-4ДМ

ДСХ3п < ч , 0 (1 + М + Д М)п-1; 3п + 2

22п-4ДМ

Д СХ3П+1 < ч д ч (1 + М + ДМ)п ; 3п + 3

~ 22п-4Д М

Д СХ3П+2 ^ 3п + 4 (1 + М + ДМ)п-1,

где

M = sup

ф(п)(х*)

n !

; Д M = ( sup

n,G

ф(п+1) (x)

n!

Д хм ;

G = {x: x* — Д х* < x < х*},

полученные методом математической индукции, и разделяя целые и дробные степени в выражении Д 2, получаем

те те

n-1 V-Л

Д 2 = £ Дсх„(х* — x + Д х*) ^ = £ Д С2п(х* — x + Д х*) -n-- +

0 0

n

+ YAC72n-i(F - x + Ax*)n-1 = 5>C6n-2(F - x + Ax*)+

i 1

oo oo

+ Y A<x6n(x* - x + AX*)^ + Y AC76n+2(x* - x + AX*)-^r- +

1 1

oo oo

+ YAC6n-3(X* - x + Ax*)3n-2 + Y ACX6n-1(X* - x + AX*)3n-1+

1

+ ^ ACW(X* - x + Ax*)3n < 1

АМ(X* - ж)(1 + (1 + М + ДМ)(ж* - ж)3/2) ^ 1 - 27(1 + М + АМ)2(ж* - ж)3 Х

х (^ + 8(5* - ж)1/2 + 452(Х* - ж)

Выражения оценки для Д2 получены для области

1

ж--. = ^ ж ^ ж — Аж .

У 27(1 + М + АМ )2

Для области ж* - Аж* < ж ^ ж* в выражении оценки Д2 нужно (ж* - ж) заменить величиной Аж*.

Оценка для А3 следует из теоремы 2, при этом связь между индексами N и п осуществляется исходя из выбора одного из трех соотношений: 1) N + 1 = 3п; 2) N + 1 = 3п + 1; 3) N + 1 = 3п + 2. Вводя обозначения

ж* - ж для ж из области (20), А ж* для ж из области (21);

1 для ж из области (20),

в 1 2 для x из области (21);

R2 = min ^ R1,

У210(1 + М)2 ] '

получаем возможность в одном варианте оценок для А0, А1, А2, А3 охватить две области их существования. Рассмотрим задачу Коши

у' = у3, у(1) = 1,

которая имеет точное решение у = 1/^/3 - 2ж; точное значение подвижной особой точки ж* = 1,5. Для расчетов взяты следующие параметры: ж* = 1,49; Аж* = 0,01; ж1 = 1,4; ж2 = 1,45; N = 6. Результаты

расчетов приведены в таблице.

x w(x) we (x) А Ai |A - A |

1,4 2, 236 2, 357 0,121 0, 209 0,088

1,45 3,162 3, 535 0, 37 0,45 0, 08

Здесь x — значение аргумента; w(x) — точное значение решения; w6 (x) — приближенное решение; А — абсолютная величина погреш-ности^Д — оценка величины погрешности, полученная по теореме 3; |А — Д| — абсолютная величина разности абсолютной величины погрешности и оценки, полученной по теореме 3.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Чудновский В. М., Холодкевич Е. Д. Теория сверхизлучательных лавин радиоволнового диапазона // ФТТ. - 1982. - Т. 24, № 4. -С. 1118-1123.

2. Чудновский В. М. Лавинный распад инвертированного состояния квантовой системы: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Минск, 1983. - 16 с.

3. Самодуров А. А., Чудновский В. М. Простой способ определения времени задержки сверхизлучательной бозонной лавины // Докл. АН БССР. -1985. - Т. 29, № 1. - С. 910.

4. Hill J. M. Radial deflections of thin precompressed cylindrical rubber bush mountings // Internat. J. Solids Structures. - 1977. - No. 13. - P. 93-104.

5.Ockendon J. R. Numerical and analytical solutions of moving boundary problems // Proc. Symp. Moving Boundary Problems / Ed. D.G. Wilson, A.D. Solomon and P.T. Boggs. - New York, 1978. - P. 129-145.

6. A x f o r d R. A. The exact solution of singular arc problems in vector core optimization // Proc. Nuclear Utilities Planning Methods Symp. Tennessee, 1974. - P. 1-14.

7. Axford R. A. Differential equations invariant urber two-parameter Lie groups with applications to non-linear diffusion // Los Alamos Report. 1970. (LA-4517, UC-34).

8.Axford R. A. Group invariance properties of the Poisson-Boltzmann and other non-linear field equations // Los Alamos Report. 1972. (LA-4864. UC-34).

9. A x f o r d R. A. Non-linear thermal instability phenomena in plates and rods // A.S.M.E. Nuclear Eng. Div., Winter Annual Meeting. Michigan, 1973. - P. 1-12.

10. H i 11 J. M. Abel's differential equation // J. Math/ Scientist. - 1982. - V. 7, No. 2. -P. 115-125.

11. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Наука, 1971.- 576 с.

Статья поступила в редакцию 9.02.2009

Виктор Николаевич Орлов родился в 1950 г., в 1973 г. окончил Чувашский государственный университет. Канд. физ.-мат. наук, доцент, заведующий кафедрой "Математика, информатика и моделирование" Российского государственного социального университета (филиал в г. Чебоксары). Автор 84 научных работ и 4 патентов на изобретение в области аналитической теории дифференциальных уравнений, вычислительной математики, математического моделирования .

V.N. Orlov (b. 1950) graduated from the Chuvashia State University in 1973. Ph. D. (Phys.-Math.), assoc. professor, head of "Mathematics, Information Technology and Simulation" department of the Russian State Social University (Branch in Cheboksary). Author of 84 publications and 4 patents for invention in the field of analytical theory of differential equations, computing mathematics, mathematical simulation.