CC BY
20
192 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ ЕШ Серия: Математика. Физика. 2014. №19(190). Вып. 36
MS С 35L05
ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К РЕШЕНИЮ ВНЕШНИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ
Е.А. Канунникова
Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: [email protected]
Аннотация. В работе рассматривается аналитико-численный подход к решению внешних краевых задач для уравнения колебаний, который позволяет сводить внешнюю задачу к внутренней.
Ключевые слова: краевая задача, уравнение колебаний.
Задача Коши для неоднородного уравнения колебаний на бесконечной прямой R1 ставится следующим образом:
ии = a2uxx+f(x, t), (х, t) Е П1 = R1 х (0, Г], (1)
u(x,0) = ), ut(x,0) = ф(х), x E R1, (2)
где a - постоянный коэффициент, /, ф 3 cl Д clH НЫв функции. Следует также задать краевые условия па бесконечности
u(x, t) — N, x — (3)
Преобразовав неограниченное пространство R1 = DC U C U Dв ограниченную двусоставную область D1 = DC U C U D* согласно аналитико-численному методу инвер-сии|1|, начальная задача (1)-(3) принимает вид
Utt = a2uxx+f(x, i), (Ж, t) Е Q1 = D1 х (0, Г], (4)
u(x,0) = <^(x), ut(x,0) = ф(x), x E D1, (5)
u(x, t) = N,x E D*,t E [0,T], (6)
где область D* представляет собой отображение неограниченной области D^. Если в задаче (4)-(6) при f (x, t) = 0 начальные функции <^(х) и ф(х) нечетны, то u(0, t) = 0; если же функции <^(х) и ф(х) четны, то ux(0, t) = 0 по методу отражения [2]. Таким образом, применяя метод инверсии и метод отражения, приходим к решению начально-красных задач па полуограничешюй прямой дня однородного уравнения колебаний с неоднородными начальными и однородными граничными условиями первого и второго
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ КШ Серия: Математика. Физика. 2014. №19(190). Вып. 36 193
рода. Заметим, что функции <(х) и ф(х), помимо условий гладкости < G C^(R^), ф G C(1)(R+), должны удовлетворять условию согласования начальных и граничного условий 131.
Итак, начально-краевая задача па полупрямой с граничным условием первого рода принимает следующий вид:
utt = а2ихх, (ж, t) G Q+ = D\ х (0, Г],
u(x,0) = <(x), ut(x,0) = ф(х), x G Dl+,
u(0, t) =0, u(x, t) = N, x G D;,t G [0,T].
В соответствии с методом инверсии начально-краевая задача с граничным условием второго рода имеет вид:
utt = а2ихх, (х, t) G Q+,
u(x,0) = <(x), ut(x,0) = ф^), x G Dl+, ux(0, t) =0, u(x, t) = N,x G D;,t G [0,T].
Таким образом, па основе аналитического преобразования внешняя краевая задача сводится к внутренней, далее строится разностная задача одним из сеточных методов |4| с возможностью использования традиционных приемов и методов численного анализа.
В заключении следует отметить,что использование аналитико-численного метода инверсии позволяет аккуратно учесть граничные условия па бесконечности. Метод применим не только к уравнению колебаний па неограниченной прямой, по и к другим тинам уравнений, в том число и к уравнениям с двумя и тремя пространственными церемонными.
Литература
1. Канунникова Е.А. Аналитико-численный метод решения трехмерных внешних краевых задач для эллиптических уравнений /7 Научно-технические ведомости Санкт-Пегсрбурх'скох'о 1'осударственно1'о нолитехническохх) университета. Физико- математические науки. 2014.
№ i (189). С.35-38.
2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики /7 М.: Изд-во МГУ, 1999. 798 с.
3. Свешников А.Г., Бох'олюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции но математической физике / М.: Изд-во МГУ, 1993. 352 с.
4. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений / М. : Наука, 1978. 312 с.
AN APPROACH ТО SOLUTION OF THE EXTERNAL BOUNDARY VALUE PROBLEMS OF WAVE EQUATION
E.A. Kanunnikova
Belgorod State National Research University, Pobeda St., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: [email protected]
Abstract. Analytical-numerical approach to solution of the external boundary value problems of wave equation is presented. The approach converts each external boundary value problem to the internal one.
Key words: Analytical-numerical approach, boundary value problem, wave equation.
