Аналитико-численный метод решения трехмерных внешних краевых задач для эллиптических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

-►

Математическая физика

УДК 519.632

Е.А. Канунникова

Белгородский государственный национальный исследовательский университет

АНАЛИТИКО-ЧИСЛЕННЫИ МЕТОД РЕШЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ ВНЕШНИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИй

В статье рассматривается аналитико-численный метод решения внешних краевых задач для эллиптических уравнений с граничными условиями Дирихле и Неймана в трехмерном полупространстве. Приводится алгоритм решения.

ВНЕШНИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ, ТРЕХМЕРНОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО, ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ.

Аналитическое решение внешних краевых задач существует только для узкого круга их постановок [1], что приводит к необходимости использования численных методов. В свою очередь применение численных методов осложняется необходимостью учета граничного условия на бесконечности [2] или задания граничных условий на внешней границе расчетной области, не содержащейся в исходной постановке задачи [3]. Это приводит к необходимости разработки и развития методов численного решения внешних краевых задач в этих условиях. Перспективным является подход [4, 5], позволяющий сводить неограниченное пространство к конечной области (метод инверсии). Граничное условие на бесконечности при этом учитывается следующим образом.

Пусть О — конечная область, ограниченная замкнутой поверхностью X, Ое — неограниченная область, границей которой является поверхность X, М3 = О иЕи Ое — все пространство. В область Ое добавляется сфера Б, причем X целиком лежит внутри Б, отсюда Ое = Бб и Б и Б^, Бб — конечная область, ограниченная замкнутыми поверхностями X и Б, а Б является границей неограниченной области Б^.

Согласно аналитико-численному методу инверсии, неограниченное трехмерное пространство

М3 = О и X и О, О = Бб и Б и Б

е ' е Б «

преобразуется в конечную двусоставную область

Б3 = О и X и Б3, Б3 = Бб и Б и Б ,

где Б * — конечная область, представляющая собой отображение неограниченной области Б^.

Аналогично преобразуется трехмерное полупространство

М

1/2

= О и X и »3 и О/2,

Ое1/2 = Б^2 и Б1/2 и БУ2 в конечную область

Б31/2 = О и X и »3 и Б31/2, Б31/2 = Б1'2 и Б1/2 и Б*/2.

Граница »3 проходит через геометрический центр двусоставной области Б3, деля ее пополам.

Этот этап предполагает использование аналитических преобразований, реализация которых позволяет в дальнейшем применять стандартные приемы и методы численного анализа на основе сеточных моделей. Таким образом, предполагается применение идеологии аналитико-численных процессов. Эти процедуры будут обладать спецификой в зависимости от типа исходной задачи.

3

Целью данной работы является развитие аналитико-численного метода для решения эллиптических внешних краевых задач с граничными условиями Дирихле и Неймана в трехмерном полупространстве.

Внешняя краевая задача Дирихле для уравнения Лапласа в трехмерном пространстве состоит в следующем [1]. Требуется найти функцию и, непрерывную в замкнутой области ве и Е, удовлетворяющую уравнению Лапласа

Ди = 0 в ве, (1)

непрерывно примыкающую к граничному условию

и\Е=Ф1(Р), Р еЕ (2)

и равномерно стремящаяся к нулю на бесконечности

и(М) ^ 0 при М ^ да. (3)

Таким образом, первая внешняя краевая задача для случая трех независимых переменных (1) — (3), согласно методу инверсии, принимает вид:

Ди = 0 в Б3; и|Е =Ф1(Р), Р е Е; и(М) = 0, М е Б

(4)

Если замкнутых поверхностей несколько и их можно представить с физической точки зрения как систему тел, в которой

Схематическое изображение

есть граница „3 геометрически правильной формы, проходящая между положительно и отрицательно заряженными телами, то мы имеем задачу в полупространстве, задавая на границе „3 однородное условие первого рода.

Значит, внешняя задача Дирихле (1) — (3) с учетом выражений

и = Ф2(Р), Р е Е1;

= Ф2 (Р), Р е Е2

принимает следующий вид: Ди = 0 в ве1/2; и|Е = Ф2(Р), Р е Е1;

(5)

(6)

и| „ = 0;

1„3

и(М) ^ 0 при М ^ да.

Согласно аналитико-численному методу инверсии, получаем внешнюю задачу Дирихле в полупространстве следующего вида:

Ди = 0 в Б31/2;

и|Е = Ф2(Р), Р е Е1;

I 0. (7)

и „1 = 0;

"3

и (М )= 0, М е Б*/2.

При наличии симметрии в задаче рассматривается часть области Б3, и при этом на границе задается однородное условие Неймана. Так, опираясь на систему (7) и с учетом симметрии относительно поверхностей „3 и „2 (см. рисунок), имеем:

Ди = 0 в Б31/8 = Б]/8 и £1/8 и Б/8; и|Е =Фз(Р), Р е Е3;

Е3

и|Е =ф4(Ж),Ж е Е4; (8)

и|„1 = 0; их I 2 = 0;

'„3 '„3

иу I = 0; и(М) = 0; М е Б^,

при этом область БЦ^ и Б1*/8 является вось мой частью сферы £.

полупространства Ж

1/8

Итак, на основе аналитического преобразования внешняя краевая задача сводится к внутренней, далее строится разностная задача одним из сеточных методов [6—8].

4

Математическая физика

Рассмотренная процедура реализации аналитико-численного метода при решении внешних краевых задач в трехмерном полупространстве сводит задачу к возможности использования традиционных приемов и методов численного анализа.

Описанный аналитико-численный метод, характеризующийся простотой реализации, позволяет решать принципиально

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1999. 798 с.

2. Калиткин Н.Н., Альшин А.Б., Альшина Е.А., Рогов Б.В. Вычисления на квазиравномерных сетках. М.: Физматлит, 2005. 224 с.

3. Рябенький B.C. Метод разностных потенциалов и его приложения. М.: Физматлит, 2002. 420 с.

4. Канунникова Е.А. Математическое моделирование электрических полей методом инверсии: монография. Белгород: Изд-во БГТУ, 2010. 92 с.

5. Канунникова Е.А. Об эффективном подходе моделирования стационарных физических полей в неограниченном пространстве // Научные ведомости Белгородского государственного

новые задачи, требующие значительных вычислительных затрат и высокой точности решения.

Аналитико-численный метод приводит внешнюю задачу в трехмерном полупространстве к виду, поддающемуся более простому численному решению, чем обеспечивает усовершенствование известных методов.

университета. История, политология, экономика, информатика. 2013. № 8 (151). Вып. 26/1. С. 108-111.

6. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. 312 с.

7. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

8. Дедюлин С.К., Канунникова Е.А., Корсунов

Н.И. Анализ возможности сокращения общего времени работы алгоритма решения дифференциальных уравнений методом конечных элементов // Научные ведомости Белгородского государственного университета. История, политология, экономика, информатика. 2012. №13 (132) . Вып. 23/1. С. 160-165.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ

КАНУННИКОВА Елена Александровна — кандидат технических наук, докторант кафедры математического и программного обеспечения информационных систем Белгородского государственного национального исследовательского университета. 308015, Россия, г. Белгород, ул. Победы, 85 [email protected]

Kanunnikova E.A. ANALYTIC-NUMERICAL METHOD TO SOLVE 3D EXTERIOR BOUNDARY PROBLEMS FOR ELLIPTIC EQUATIONS

The paper considers analytic-numerical method to solve 3D exterior problems for elliptic equations under Dirichlet and Neumann boundary conditions in half-space. The solution algorithm is concerned.

EXTERIOR BOUNDARY PROBLEMS, 3-D HALF-SPACE, ELLIPTIC EQUATIONS.

REFERENCES

1. Tikhonov А.N., Samarsky А.А. Equations of mathematical physics. Moscow: MSU Publishing House, 1999. 798 p. (rus)

2. Kalitkin N.N., Alshin A.B., Alshina E.A., Rogov B.V. Calculus using semi-uniform net. Moscow : Phizmatlit, 2005. 224 p. (rus)

3. Raybenky V.S. Method of difference potentials and its sphere of application. Moscow: Phizmatlit, 2002. 420 p. (rus)

4. Kanunnikova E.A. Mathematical modelling of electric fields using by inversion method.

Monograph. Belgorod: «BSTU» Publishing House, 2010. 92 p. (rus)

5. Kanunnikova E.A. On effective approach to simulate stationary physical fields in an infinite domain // Belgorod State University Scientific Bulletin. History, Political Science, Economics, Information Technologies. 2013. No. 8 (151). Iss. 26/1. pp. 108-111. (rus)

6. Samarsky A.A., Nikolaev E.S. Methods of net equation solution. Moscow: Nauka, 1978. 312 p. (rus)

7. Kalitkin N.N. Numerical methods. Moscow: Nauka, 1978. 512 p. (rus)

8. Dedyulin S.К., Kanunnikova E.A., Korsunov N.I.

Analysis of reducing algorithm total time possibility to

solve differential equations by finite element method // Belgorod State University Scientific Bulletin. History, Political Science, Economics, Information Technologies. 2012. No.13 (132). Iss. 23/1. pp. 160-165. (rus)

THE AUTHOR

KANUNNIKOVA, E A.

Belgorod State National Research University, 308015, Pobeda Str. 85, Belgorod, Russia [email protected]

© Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 2014