Об одном подходе к оценке длительной прочности толстостенных труб на основе интегрально-средних напряженных состояний Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 539.376

В.П. Радченко, Е.В. Башкинова, С.Н. Кубышкина

ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К ОЦЕНКЕ ДЛИТЕЛЬНОЙ ПРОЧНОСТИ ТОЛСТОСТЕННЫХ ТРУБ НА ОСНОВЕ ИНТЕГРАЛЬНО-СРЕДНИХ НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЙ

Показано, что интегрально - средняя величина интенсивности напряжений по сечению толстостенной трубы является инвариантной величиной в процессе ползучести вплоть до разрушения. Дан метод расчета длительной прочности толстостенных труб по интегрально-средней величине интенсивности напряжений в рамках концепции эквивалентных напряженных состояний. Выполнена обстоятельная экспериментальная проверка предложенного метода.

Оценка длительной прочности (времени до разрушения) материала в условиях чистого сложного напряженного состояния при ползучести осуществляется в основном на основе двух подходов. Первый подход подразумевает наличие соответствующей теории ползучести для сложного напряженного состояния и критерия разрушения материала. В этом направлении имеется достаточно большое число работ, и различные авторы используют разнообразные критерии разрушения, основными из которых являются деформационные [1-3], энергетические (диссипативные) [4-7], термодинамические [8-11], либо критерии, связанные с достижением параметрами поврежденности некоторой критической величины [12-15]. Однако этот подход требует большого объема экспериментальных исследований, что в условиях ползучести зачастую приводит к существенным трудностям технического и финансового характера. Второй подход основан на формулировке критерия длительной прочности с использованием эквивалентного напряженного состояния. Знание критерия длительной прочности такого типа позволяет установить эквивалентные напряженные состояния, приводящие к разрушению за одно и * * то же время ^ , а также дает возможность определить значение ^ с помощью самого простого испытания: при чистом растяжении. Подробный анализ существующих экспериментальных данных и эквивалентных напряжений приведен в работах [12, 16-19] В качестве эквивалентных напряжений рассматривались максимальное напряжение (а1), интенсивность напряжений (а2), критерий Сдобырова (аэ3), разность максимального и минимального главных напряжений (аэ4) и линейная комбинация а1 и а2 (критерий Лебедева-Писаренко).

Использование того и другого подхода возможно только в случае, когда мы имеем чистое сложное напряженное состояние в заданной точке материала. Для реальных элементов конструкций в условиях ползучести, во-первых, напряженно-деформированное состояние (НДС) является неоднородным по объему в любой момент времени, во-вторых, НДС вследствие ползучести претерпевает эволюцию во времени от упругого состояния до состояния, соответствующего разрушению. Поэтому, строго говоря, при обоих подходах необходимо решать краевую задачу для оценки НДС от времени и учета его в соответствующих критериях.

При наличии уравнений состояний и критерия разрушения использование первого (классического) подхода вызывает лишь технические сложности применения численных методов. Например, в работах [4, 5, 20] приведены решения краевых задач реологического деформирования и разрушения различных элементов конструкций. Применение концепции эквивалентных напряженных состояний для оценки длительной прочности изначально предполагает упрощенную схему расчета (при стационарных внешних воздействиях). В частности, при таком подходе отпадает необходимость в реологической модели деформирования и разрушения материала при сложном напряженном состоянии и решении соответствующей краевой задачи на основании этой модели для оценки времени до разрушения. Основными проблемами при использовании эквивалентных напряжений являются: 1) обоснованный выбор эквивалентного напряжения; 2) расчет длительной прочности при переменных внешних нагрузках. Обе эти проблемы в той или иной мере решены. В [18, 19] дан достаточный обзор эквивалентных напряженных состояний и приведены рекомендации по их использованию в зависимости от вида напряженного состояния. Вторая проблема решается с использованием эмпирических принципов линейного и нелинейного программирования повреждений.

Применение концепции эквивалентных напряженных состояний существенно усложняется применительно к оценке длительной прочности элементов конструкций. Основная проблема -это неоднородное изменяющееся во времени напряженно-деформированное состояние по объ-

ему. Поэтому формально при применении эквивалентных напряжений для оценки длительной прочности элементов конструкций необходимо решать соответствующую краевую задачу и кроме этого в каждой пространственно-временной точке использовать принцип суммирования повреждений. Ясно, что при таком подходе все преимущества этой концепции для элементов конструкций исчезают.

Шестериковым С.А. и Локощенко А.М. [18, 19] решение проблемы неоднородного напряженного состояния в элементе конструкции на примере толстостенной трубы предложено решать следующим образом: характеристики неоднородного напряженного состояния, определяемые в результате решения задачи об установившейся ползучести трубы (например [12, 14]), заменяются интегрально - средними по поперечному сечению значениями. При этом в [18] показано, что при изменении показателя установившейся ползучести п от 1 до да при 1 < Ь/а < 1,3 (а и Ь внутренний и внешний радиусы трубы) происходит изменение интегрально

средних эквивалентных напряжений всего на величину ~ 1%. Поэтому в [18, 19] предлагается вести расчет эквивалентных интегрально - средних напряжений по напряженному состоянию, соответствующему установившейся ползучести.

Таким образом, авторы [18, 19] практически вводят некоторые эффективные по объему интегрально-средние эквивалентные напряжения и по отношению к ним применяют концепцию длительной прочности на основе эквивалентных напряженных состояний. При этом было показано, что интегрально-средние эквивалентные напряжения не зависят от показателя установившейся ползучести.

Однако здесь возникает задача: а каким образом изменяется интегрально среднее напряжение при ползучести от упругого состояния до состояния разрушения? Целью настоящей работы и является решение этой задачи для широкого диапазона внешних нагрузок, вызывающих в начальный момент не только упругие, но упругопластические деформации, на примере толстостенных труб. При этом в качестве интегрально-среднего напряжения в настоящей работе используется интенсивность напряжений.

1. Рассматривается толстостенная труба под действием внутреннего давления q с внутренним радиусом г=а и внешним г=Ь. Предполагается, что в трубе осуществляется плоская деформация и в традиционной цилиндрической системе координат полагаем в г = 0 . Тогда упругое решение для напряжений имеет вид [21]

сД =

q

г

р2 -1

,2 Л

с0 =

q

р2 -1

2

С0 = 2vq

Р2 -1

(1)

где Р = Ь/а ; V - коэффициент Пуассона; сД,а°,а0, - окружное, радиальное и осевое напряжения (соответственно).

Эти же напряжения, соответствующие стадии установившейся ползучести, обозначим

да да да тт г 1 Л1

Се , Сг , С, . Для них имеем [12]

да ч

С г = —

рп -1

2 Л

1-

(

q

2

1 -I 1 -

2 У Ь

да

;С, =

q

1 -I 1 -

1У ь

2

(2)

где п - показатель нелинейности установившейся ползучести материала. В качестве эквивалентного напряжения выберем интенсивность напряжений

С э = ^ V( г -Се)2 + ( Г -С , )2 +(е-С, )2 . (3)

Тогда, обозначая интенсивность напряжений в упругой области через сЭ , а для состояния установившейся ползучести - с да, из (1)-(3) получим

сЭ =

6Ь4

■ +

2(1 - 2v)2

(4)

Ь

п

п

п

е

Г

п

Г

п

Г

—0=^Л17 Р (5)

рп -1

V /

Введем в рассмотрение интегрально среднюю интенсивность напряжений —э по радиусу трубы:

_ 1 Г 1 "

л[3д (Ь

э Ь - а{ а( - 7)

Тогда из (4)-(6) имеем

| Сэ (Г )сіг = -ГТ—Л | С э (г• (6)

С0 = а(-1)! ^ ^иф)-Т) {№+2(7 - Л)2* (х=а) ■ (7)

2 п

1 Г *( \л Р-Рп 1 ( * О\ (8)

—• = -ЩГ1У =П-О Р-1(п *4 (8)

^ /а Рп -1

Первым этапом данной работы было исследование изменения средней интегральной величины напряжения от упругого состояния до состояния установившейся ползучести. Для этого с использованием (7) и (8) была вычислена величина

— да

-=—Ь (9)

В табл. 1 приведено значение величины к в зависимости от показателя нелинейности п и величины р = Г/а .

Т а б л и ц а 1

Значения коэффициента к в зависимости от параметров п и р.

2,5 3,0 5,0 8,0 10,0 12,0 15,0 20,0 30,0 50,0

1,1 0,97949 0,97959 0,97979 0,97990 0,97994 0,97996 0,97999 0,98000 0,98004 0,98006

1,2 0,98506 0,98542 0,98615 0,98656 0,98669 0,98679 0,98688 0,98697 0,98706 0,98713

1,3 0,99102 0,99178 0,99330 0,99415 0,99444 0,99463 0,99482 0,99501 0,99520 0,99535

1,4 0,99735 0,99860 1,00110 1,00250 1,00300 1,00330 1,00360 1,00400 1,00430 1,00450

1,5 1,00400 1,00580 1,00950 1,01160 1,01230 1,01270 1,01320 1,01360 1,01410 1,01450

1,7 1,01790 1,02110 1,02750 1,03110 1,03230 1,03310 1,03390 1,03480 1,03560 1,03620

2 1,04000 1,04550 1,05670 1,06310 1,06520 1,06660 1,06800 1,06950 1,07090 1,07200

Анализ приведенных данных свидетельствует о том, что для труб, у которых 1 < Р < 1,5 ,

изменение величины к составляет не более 2% от единицы. А именно такое отношение Р характерно для промышленно используемых труб в нефтехимии, энергетике, атомной промышленности и других отраслях.

Р и с. 1. Зависимость окружной деформации ее на внешней поверхности трубы из стали 20

(Т = 500° С) от давления у при а=17мм, Ь=18,78мм

Р и с. 2. Зависимость окружной деформации ее на внешней поверхности трубы из стали 20 (Т = 500° С) от давления у при а=18,10мм, Г=27мм

Таким образом, изменение интегрально-среднего значения интенсивности напряжения от упругого состояния до состояния установившейся ползучести составляет не более 2%.

Следующим этапом работы было обобщение формулы (9) на такие значения давления д, которые вызывают в начальный момент времени ^ = 0 упруго-пластические деформации. В этом случае для получения интегрально-среднего значения интенсивности напряжений использовался численный метод решения задачи о неупругом реологическом деформировании и разрушении толстостенной трубы, приведенный в [20]. Для этой цели численно решалась упругопластическая задача, определялось распределение напряжений се(г), с г (г) и с г (г), далее по (3) и (6) рассчитывалась величина с™.

В качестве примера на рис. 1 и рис. 2 приведены обобщенные диаграммы упругопластического деформирования толстостенной трубы из стали 20 (Т = 500°С) с различными значениями Р (Р = 1,11 и р = 1,5 соответственно) в координатах ве (на внешнем радиусе при г=Ь) - давление д, полученные численным решением соответствующей краевой упругопласти- Ч> ческой задачи. В табл. 2 и 3 представлены результаты расчета коэффициента

к = -

для различных значении давле-

ния (эти состояния отмечены соответствующими точками на рис. 1 и 2) для этих же труб. Аналогичные данные для толстостенной трубы из стали 12ХМФ (Т = 590°С) приведены на рис. 3 и в табл. 4.

МПа

50

40

30

20

10

7 8

3 /45 "6

V

1

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 ее

Р и с. 3. Зависимость окружной деформации ее на внешней поверхности трубы из стали 12ХМФ (Т = 590° С ) от давления д при а=14мм, Ь=16,68мм

Т а б л и ц а 2

Значения коэффициента к в упругопластической области для толстостенной трубы из стали 20

при а=17мм, Ь=18,78мм

ц, МПа 19,13 20,11 21,09 21,97 22,96 23,94 24,92

к 1,0019 1,0011 1,0002 1,0002 1,0002 1,0002 0,9992

Т а б л и ц а 3

Значения коэффициента к в упругопластической области для толстостенной трубы из стали 20

при а=18,10мм, Ь=27мм

ц, МПа 58,86 63,77 68,67 73,58 78,97 84,07 89,13

к 1,0236 1,0209 1,0165 1,0114 1,0042 0,9982 0,9983

Т а б л и ц а 4

Значения коэффициента к в упругопластической области для толстостенной трубы из стали 12ХМФ при ( Т = 590° С ) при а=14мм, Ь=16,68мм

ц, МПа 30,41 34,61 38,82 43,03 47,19 51,40 55,62 59,84

к 1,0046 1,0021 1,0004 1,0004 1,0003 1,0002 0,9999 0,9983

Реологическая модель неупругого деформирования и разрушения материала, а также все характеристики модели для указанных сталей приведены в работе [20]. Показатели нелинейности установившейся ползучести для стали 20 и стали 12ХМФ, необходимые для расчета (см. формулу (8)), имеют значения п=7,28 и п=7,1 соответственно. Из приведенных таблиц следует, что значение коэффициента к и в упругопластической области изменяется незначительно (в пределах ~2%), т.е. средне - интегральное значение интенсивности напряжений и в упругопластической области можно считать постоянным для широкого диапазона изменения параметров в и п.

Третьим этапом работы являлся анализ изменения среднеинтегральной величины интенсивности напряжений в процессе ползучести толстостенной трубы от упругого состояния до разрушения. Для этой цели анализировалась величина

к =

(10)

где сэ - средне - интегральная величина интенсивности напряжений в момент времени (, которая вычисляется по (3), (6), а се,сг и сг являются решениями соответствующей краевой задачи о ползучести и разрушении трубы. Величина сЭ = сэ (0) определяется при (=0 на основании

(7) в упругой области и на основании (3), (6) по данным численного решения краевой задачи в упругопластической области. Типичная картина для отношения (10) приведена в табл. 5 и 6 для труб из стали 20 и стали 12 ХМФ. Здесь представлены результаты расчета величины к в разные моменты времени в процессе ползучести труб. Эти моменты времени приведены на рис. 4 и 5 точками на соответствующих обобщенных кривых ползучести толстостенных труб в координатах окружная деформация ее (на внешнем радиусе) - время, которые получены решением соответствующей краевой задачи [20] при фиксированном значении давления. Как следует из анализа табл. 4 и 5, вновь можно сделать вывод о неизменности величины средне - интегральной интенсивности напряжений для толстостенной трубы от момента (=0 вплоть до разрушения при ползучести.

Р и с. 4. Зависимость окружной деформации ее на внешней поверхности трубы из стали 12 ХМФ (Т = 590° С ) от времени при давлении д=27,96МПа (а=13,98мм, Ь=16,68мм

Т а б л и ц а 5 Значения коэффициента к в зависимости от времени при ползучести трубы из стали 20

(Т = 500° С) и давлении ^=23,38МПа (а=18,01мм, Л=22,51мм)

Р и с. 5. Зависимость окружной деформации ее на внешней поверхности трубы из стали 20 (Т = 508° С) от времени при давлении

д=23,38МПа (а=18,01мм, Ь=22,51мм)

Т а б л и ц а 6 Значения коэффициента к в зависимости от времени при ползучести

трубы из стали 12 ХМФ (Т = 590° С) и давлении ^=27,96МПа (а=13,98мм, Л=16,68мм)

Время к

0 1,0071

10 1,0002

20 1,0000

30 1,0000

50 1,0000

100 1,0000

200 0,9999

452 0,9998

674 0,9996

1094 0,9993

2022 0,9986

2805 0,9978

4261 0,9961

Время к

0 1,004426

10 1,00409

20 1,003781

50 1,002949

100 1,001885

200 1,000645

300 1,000095

400 0,999863

500 0,999768

1000 0,999612

2250 0,999126

3134 0,998501

Таким образом, выполненный детальный анализ показал, что среднеинтегральная величина интенсивности напряжений для толстостенной трубы в достаточно широком геометрическом диапазоне трубы (1 < Р < 1,5) является инвариантной величиной (с погрешностью не более 2%)

в процессе ползучести при постоянном давлении для плоскодеформированного состояния (включая нагрузки, приводящие к упругопластическим деформациям в начальный момент времени). Аналогичный результат был получен и для бесконечно длинной трубы при действии внутреннего давления (гипотеза в г = 0 не выполняется), а также для толстостенной трубы при действии внутреннего давления и растягивающей осевой нагрузке. Отсюда следует, во-первых, что среднее интегральное значение интенсивности напряжений можно рассчитывать по упругому (упругопластическому) решению, не привлекая для этого решение краевой задачи для установившейся ползучести, как это рекомендуется в [19]. Во-вторых, длительную прочность толстостенной трубы можно спрогнозировать по любой одноосной теории ползучести и длительной прочности, заменив в соответствующей модели номинальное напряжение на эквивалентное среднеинтегральное значение интенсивности напряжений, рассчитанное по упругому (упругопластическому) решению при заданном значении давления.

2. Проверка адекватности высказанной гипотезы была выполнена на основании одноосной теории ползучести и длительной прочности, предложенной в работах [22, 23], основной вариант которой (без учета первой стадии ползучести) имеет вид

где в - полная деформация; е и ер - упругая и пластическая деформации соответственно; р -деформация ползучести; с0 и с соответственно номинальное и истинное напряжение; Е - модуль Юнга; с , т , с», у1, т2, а1, т1, а , X, п1 - константы; ^ - параметр поврежденности. В качестве критерия разрушения используется следующее интегральное соотношение энергетического типа:

Для экспериментальной проверки были использованы опытные данные по разрушению толстостенных труб при действии внутреннего давления из сталей 12ХМФ (Т=590оС) [24], стали 20 (Т=500оС) [25] и сплава ЭИ694 (Т=700оС) [26]. Все значения параметров модели (11), (12) для указанных материалов приведены в [20]. Там же указано, что у этих материалов отсутствует первая стадия ползучести. Для каждого варианта была рассчитана величина среднеинтегрального значения интенсивности напряжения с° по упругому решению на основании соотношения (7) (табл. 7-9) и далее это эквивалентное напряжение использовалось вместо обычного номинального напряжения с 0 в одноосной модели (11), (12), при этом деформация

в и ее компоненты е, ер, р рассчитывались формально, и они представляют некие эффективные эквивалентные интегральные значения обычных деформаций. Время до разрушения (2 рассчитывалось на основании критерия (12) и для каждого варианта приведено в табл. 7-9. Здесь же для сравнения приведены расчетные значения времени до разрушения (1, полученные на основании решения соответствующей краевой задачи о реологическом деформировании и разрушении толстостенной трубы на основании модели для сложного напряженного состояния материала. Как следует из данных табл. 7-9 значения (1 и (2 дают практически одну и ту же ошибку отклонения от экспериментальных данных (табл. 10).

Y = Y i(eP Р, а = а1 (со Г,

(11)

(12)

где Al = а A (с0 )"!'4 (аA и mA -const); t„ - время разрушения.

Т а б л и ц а 7

Значения наружного (Ь), внутреннего (а) радиусов; их отношение (Р1); экспериментальные 4 и расчетные значения длительной прочности труб из сплава ЭИ694 (Т=700оС) при внутреннем давлении ц на основании решения краевой задачи (/1) и модели эквивалентных напряжений (/2 )

№ п/п Ь, мм а, мм Р: д, Мпа О ^ |Ь /*, ч ^, ч / 2 , ч

1 15,505 11,495 1,349 25,51 73,79510 1740 3856 3351,8

2 15,506 11,495 1,349 28,94 83,71737 1452 2031 1824,2

3 15,01 11,0 1,364 32,56 90,70638 1367 1355 1245,4

4 15,2 11,51 1,321 34,53 107,69096 1232 551 529,2

5 15,01 10,98 1,367 29,43 81,38751 1218 2347 2106,2

6 15,25 10,99 1,388 31,68 83,36892 933 2060 1891,0

7 15,0 11,0 1,364 32,56 90,70638 912 1339 1245,4

8 15,0 11,0 1,364 37,67 104,94193 887 629 612,2

9 15,05 11,52 1,307 28,55 92,70117 826 1220 1093,1

10 15,3 11,04 1,3 37,57 124,56364 558 218 253,7

11 14,3 10,99 1,3 32,57 107,98610 399 557 517,0

12 14,3 11,03 1,3 29,13 96,58075 326 923 892,7

13 14,3 11,05 1,3 32,67 108,31765 264 489 509,3

14 14,3 11,02 1,3 37,57 124,56364 228 227,6 253,7

15 14,64 11,0 1,33 37,86 115,17055 186 401 381,2

16 14,635 11,0 1,33 37,57 114,28836 124 425 396,1

Т а б л и ц а 8

Значения наружного (Ь), внутреннего (а) радиусов; их отношение (Р1); экспериментальные /„ и расчетные значения длительной прочности труб из стали 20 (Т=500оС) при внутреннем давлении ц на основании решения краевой задачи ( /1 ) и модели эквивалентных напряжений ( /2 )

№ п/п Ь, мм а, мм Р1 д, МПа О ^ |Ь /*, ч ^, ч / 2 , ч

1 20,0 18,02 1,11 17,56 148,58198 75 52,3 80

2 20,0 18,02 1,11 17,56 148,58198 100 52,3 80

3 22,46 17,01 1,32 35,81 111,99778 385 471 605

4 21,96 17,02 1,29 29,82 101,95687 889 989 1090

5 20,0 18,02 1,11 12,26 103,73662 1058 850,8 845

6 18,87 17,00 1,11 11,05 93,49834 1176 1846 1650

7 22,51 18,01 1,25 23,41 91,65437 1682 2181 2100

8 21,97 18,01 1,22 19,42 85,53318 1803 3822 3210

9 18,88 17,01 1,11 9,42 79,70628 5804 5909 4600

10 22,52 18,015 1,25 19,96 78,14699 7067 7092 5860

11 19,06 17,02 1,12 9,32 72,56972 7690 11865 8470

12 22,47 17,02 1,32 23,20 72,55930 9092 11883 9590

Т а б л и ц а 9

Значения наружного (Ь), внутреннего (а) радиусов; их отношение (р1); экспериментальные /» и расчетные значения длительной прочности труб из стали 12ХМФ (Т=590оС) при внутреннем давлении ц=28МПа на основании решения краевой задачи (/1) и модели эквивалентных

напряжений ( /2 )

№ п/п Ь, мм а, мм Р1 О ^ 1С /», ч ^, ч / 2 , ч

1 14,85 13,05 1,138 190,89018 247 179,3 167,7

2 15,34 13,24 1,159 166,98024 452 488,9 429,5

3 16,37 13,87 1,18 148,62926 1131 1098,3 915

4 16,51 13,91 1,187 143,42397 1463 1371,1 1145

5 16,68 13,98 1,22 123,32281 1612 1168,1 2895

Т а б л и ц а 10

Значения средней ошибки отклонения расчетных данных по обобщенной модели Д^ и численного

решения краевой задачи Д2 от экспериментальных данных для толстостенных труб из сталей 12ХМФ, стали 20 и сплава ЭИ694; Д3 - средняя ошибка отклонения данных расчета по

Материал труб <г г % о4 % ,% со г

Сталь 12ХМФ 29,64% 18,60% 24,04%

Сталь 20 22,87% 30,01% 19,57%

Сплав ЭИ694 37,89% 41,56% 6,67%

Таким образом, в настоящей работе показано, что среднеинтегральное значение интенсивности напряжений сэ для толстостенной трубы (1 < в < 1,5) можно считать инвариантной величиной во времени при ползучести (с погрешностью не более 2%). Отсюда следует, что величину сэ можно рассчитывать по упругому решению и использовать ее для оценки времени разрушения в теориях длительной прочности, не прибегая к решению краевых задач. Адекватность такого подхода подтверждена сравнением данных расчета с экспериментальными данными. В этом плане результаты настоящей работы явялются определенным обобщением подхода, предложенного Шестериковым С. А. и Локощенко А.М. [18, 19].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Макутов Н.А. Деформационные критерии разрушения и расчет элементов конструкций на прочность. М.: Машиностроение, 1981.272с.

2. Локощенко А.М., Шестериков С.А. Методика описания ползучести и длительной прочности при чистом растяжении//Журн. прикл. мех. и техн. физики. 1980. №3. С155-159.

3. Ленин Г.Ф. Ползучесть металлов и критерий жаропрочности. М.: Металлургия, 1976. 345с.

4. Соснин О.В., Горев Б.В., Никитенко А.Ф. Энергетический вариант теории ползучести. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1966. 95с.

5. Никитенко А.Ф. Ползучесть и длительная прочность металлических материалов. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН- НГАСУ, 1997. 278с.

6. Радченко В.П. Энергетический вариант одноосной теории ползучести и длительной прочности// ПМТФ. 1991. №4. С. 172-179.

7. Радченко В.П., Кичаев Е.К.., Симонов А.В. Энергетический вариант модели реологического деформирования и разрушения металлов при совместном действии статических и циклических нагрузок// ПМТФ. 2000. Т.41. №3. С.169-175.

8. Астафьев В.И. Энтропийный критерий разрушения при ползучести (рост вязких трещин)//Прочность и надежность конструкций: Сб. науч. тр.. Куйбышев: Изд-во КуАИ, 1981. С.103-106.

9. Гольденблат И.И., Батанов В.Л.., Коинов В.А. Длительная прочность в машиностроении. М.: Машиностроение, 1977. 248с.

10. Киялбаев Д.А. Чудновский А.И. О разрушении деформируемых тел// Журн. прикл. механ. и техн. физики. 1970. №3. С.105-110.

11. ФедоровВ.В. Кинематика поврежденности и разрушения твердых тел. Ташкент: ФАН, 1985. 167с.

12. РаботновЮ.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. 752с.

13. Закономерности ползучести и длительной прочности: Справочник // Под ред. С.А. Шестерикова. М.: Машиностроение, 1983. 101с.

14. Качанов Л.М. Теория ползучести. М.: Физматгиз, 1960. 455с.

15. Астафьев В.И. К вопросу о поврежденности и критериях разрушения при ползучести// Проблемы прочности. 1983. №3. С. 11-13.

16. Писаренко Г.С., Лебедев А.А. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии. Киев: Наукова думка, 1976. 415с.

17. Шестериков С.А., Локощенко А.М. Ползучесть и длительная прочность металлов // Механика деформируемого твердого тела. Т.13. // Итоги науки и техники. М.:ВИНИТИ, 1980. С.3-104.

18. Локощенко А.М. Длительная прочность металлов при сложном напряженном состоянии// Проблемы прочности. 1983. №8. С.55-59.

19. Локощенко А.М., Шестериков С.А. Стандартизация критериев длительной прочности//Унифицированные методы определения ползучести и длительной прочности. Вып. 7. М.: Изд-во стандартов, 1986. С.3-15.

20. Радченко В.П., Кубышкина С.Н. Математическая модель реологического деформирования и разрушения толстостенной трубы // Вестн. СамГТУ. Сер. Физ.-мат. науки. 1998. Вып.6. С.23-35.

21. БеляевН.М. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1976. 607с.

22. Радченко В.П. Энергетический вариант одноосной теории ползучести и длительной прочности// ПМТФ. 1991. №4. С. 172-179.

23. Радченко В.П., Кичаев Е.К Феноменологическая реологическая модель и критерий разрушения металлов при одноосном напряженном состоянии// Проблемы прочности. 1991. №11. С.13-19.

24. Лагунцов И.П., Святославов В.К. Испытание пароперегревательных труб из стали 12ХМФ на длительную прочность//Теплотехника. 1959. №7. С. 55-59.

25. Кац Ш.М. Исследование длительной прочности углеродистых труб//Теплотехника. 1955. №11. С. 37-40.

26. ЗверпковБ.В. Длительная прочность труб при сложных нагружениях//Теплотехника. 1958. №3. С. 51-54.