Математическая модель реологического деформирования и разрушения толстостенной трубы Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика деформируемого тела

УДК 539.4 - 539.376

В.П. Радченко, С.Н. Кубышкина

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РЕОЛОГИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ ТОЛСТОСТЕННОЙ ТРУБЫ

Предложен вариант реологической модели деформирования и разрушения материалов энергетического типа в условиях сложного напряженного состояния. На основании модели решена задача о деформировании и разрушении толстостенной трубы при действии внутреннего давления. Выполнено сравнение данных расчета с экспериментальными данными. Проведен сравнительный анализ результатов работы с данными работ других авторов.

Толстостенная труба является одним из основных конструктивных элементов, работающих в условиях неупругого реологического деформирования при сложном напряженном состоянии и используемых в различного рода продуктопроводах нефтехимического и энергетического оборудования. Поэтому оценка деформирования и разрушения трубы является актуальной задачей как в практическом плане, так и в теоретическом аспекте для механики деформированного твердого тела.

Целью настоящей работы является:

1) разработка метода решения краевой задачи для расчета напряженно-деформированного состояния, накопления поврежденности и разрушения в материале толстостенной трубы в условиях ползучести под действием внутреннего давления на основании реологической модели энергетического типа [1-3];

2) проверка адекватности результатов решения краевой задачи с экспериментальными данными по длительной прочности труб;

3) сравнение данных расчета по длительной прочности на основании решения краевой задачи для толстостенной трубы с существующими феноменологическими теориями длительной прочности чисто силового характера, обзор которых приведен, например, в работах [4,5]. Имеется достаточное количество работ для оценки кинетики напряженно-

деформированного состояния трубы для различных видов напряженного состояния. Так, например, в работах [6-9] приведены решения об установившейся ползучести трубы при нулевой скорости осевой деформации. В предположении существования постоянной осевой скорости без учета третьей стадии ползучести решена задача для трубы при совместном действии внутреннего давления, осевой силы и крутящего момента в [10], а в [11] разработан метод решения при действии внутреннего и внешнего давлений и осевой силы для пластичности, который может быть применен и для задач установившейся ползучести.

Решение задачи о разрушении толстостенной трубы без учета первой стадии на основании скалярного параметра поврежденности рассматривалось в [8,12]. Более уточненный вариант кинетики накопления поврежденности с введением зоны предразрушения материала ю*<ю<1 и зоны разрушения ю=1 предложен для решения длительной прочности трубы в [13]; скалярный параметр энергетического характера применялся в [14], а вектор поврежденности в [15]. Однако вопрос о разрушении толстостенной трубы при наличии трех стадий ползучести с учетом деформации пластичности и на сегодняшний день остается открытым.

Реологическая модель и критерий разрушения при сложном напряженном состоянии

В качестве основной реологической модели в настоящей работе используется модель, предложенная в [3], обобщающая одноосную модель [1,2]. Основной вариант определяющих соотношений имеет вид

ev = el} + ej + Pj ;

1 + n n _

eij - e 'sv e 'dijSss ;

ерк - 1,5 • bP - 0,5 • (b11 + b22 + P33 ) ;

PKk - 0 , при

3 1 c

-s^-----s

< °пр;

P Kk -

i ■

(s-s„p )"-1- 5 - P

В > 0 :

2 °кк 2 °

> s

s - s

v v

v s* 0 (l + ®) ;

В < 0, при

— M - 0,5 • (si1 + s 22 + s33 )] ;

s

CD

- g(E2 sjdeP + «(S0 )sijdPij

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

2

2

a

где Sjj , e1j , e1Jp , p1J - полная , упругая, пластическая деформации и деформация ползучести (соответственно); Су , Су0 - соответственно истинный и номинальный тензоры напряжений; E, v -упругие константы материала; E2, S, S0 - соответственно интенсивности тензоров пластической деформации, истинных и номинальных напряжений; 1, а, n, спр, с, m, с* - параметры материала, которые определяются по методике, изложенной в [1,2] ; ркк - активные пластические деформации, которые можно было бы наблюдать при отсутствии пуассоновского сужения материала; у(Е2) и a(S0) задаются аппроксимациями вида

g - g (E2)m1 ,a - a1(S 0)m2. где g1 ,m1 , a1 , m2 - константы материала, методика определения которых ( с заменой Е2 на ер , а S0 - на с0 ) изложена для одноосного случая в [1,2]; w - скалярный параметр поврежденности. В (1) - (4) использованы обозначения

В Г3 1 V Г 3 1 1

В-v2sкк-2s -sпрJH,rs“-2s0,

s0 - s11 + s 22 + s33 , (7)

где sign - функция сигнатуры (знака). Расчет пластической деформации е/ осуществляется в главных осях, поэтому суммирование по индексу к в формулах (3), (7) не выполняются. Очевидно, что при записи (1) - (6) использовалась гипотеза соосности тензоров напряжений и деформаций.

В модели (1) - (4) пренебрегается первой стадией ползучести, которая для ряда материалов оказывает несущественное влияние на процесс разрушения. Таким образом, уравнения (1) - (6) описывают процесс неупругого деформирования с изотропным разупрочнением относительно истинных напряжений.

Для описания разрушения материала используется критерий разрушения энергетического типа вида

f +f sip. 1 , (8)

J AP J Ac(s )

0 si*

где А*р и А*c(S0) - соответственно критические величины работы разрушения истинного напряжения на пластической деформации и на деформации ползучести. В общем случае величина А*с^0) имеет степенную аппроксимацию вида

А (5 0) = а А (5 „)- , (9)

где аА, т3 и А*р - константы материала, которые могут быть определены по результатам одноосных испытаний (с заменой 80 на с0 ) по методике, изложенной в [1,2].

Таким образом, построение модели (1) - (9) для описания неупругой деформации при ползучести при сложном напряженном состоянии не требует дополнительных экспериментальных затрат. Все параметры модели определяются по результатам одноосных испытаний.

Решение краевой задачи о неупругом реологическом деформировании и разрушении трубы

Изложим методику решения краевой задачи для толстостенной трубы аналогично работе [16], где решена задача в условиях упругопластического деформирования

Предположим, что толстостенная труба с внутренним радиусом Я1 и внешним Я2 нагружена внутренним давлением р и осевой силой Q. Индексы 0, г, ъ для всех переменных соответствуют окружной , радиальной и осевой составляющим (соответственно). При решении задачи использовалась гипотеза плоских сечений:

е2 (г> ^ *) = ео(^ *) • (10)

Второе уравнение совместности деформаций имеет вид

ёгй

г-—— + ев = ег. (11)

аг

Запишем уравнения равновесия

ёо

0

Г

+ о Г = о;, (12)

ёо Г

Я2

2р ■ | о° -г-ёг = Q . (13)

Яі

Представим полную деформацию в виде

ев = ев + ев + р

ег = ег + ер + Рг

= е + ер + рг

(14)

Найдем выражение для компонент напряжений Се, сг, с . Для этого подставим первые два соотношения (14) в (12) и после преобразований получим

г-ё°^ + Єв _ ^ = рг - рв + ерг - ерв - г ■ ^ (е;ё+ Рв) . (15)

аг аг

Используя закон Гука (2) для тензора истинных напряжений в главных осях

Є = V [(1 + У)-0г -П-і] (І = г,в,2) , (16)

Е

где 1= се + сг + с - первый инвариант тензора истинных напряжений, и связь между компонентами тензоров истинных и номинальных напряжений (5), находим

1 + п I 0 0

ев - ег = ^~ -(ов - 0г

Е

■(°в0 - Ог0 ) , (17)

где Б*=Б/(1+ю).

Дифференцируя (16) по г при і=Є и подставляя полученное в (15), получим

г

г

Е„

ё о в ёг

Г.

-п

ёо° ёо

+ -

0

ёг ёг

+ ев - ег = рг - рв + ег - ер - г-

ё (е р + р в) ёг

(18)

о

С'/ ^ 0 0

Выразим --------- через функции с0 и сг . Для этого подставим третье соотношение (14) в

аг

уравнение (16). Тогда при 1=ъ имеем

Е •[ов - п ■ (о в + ог0 )]= £о(^, і) - < - р2 .

-Е*

(19)

Дифференцируя полученное по г и выражая

о

ёг

, находим

о-- Е

- -4—/*

ёг

ё (ер + р2) ёг

+ V ■

ёо 0 ёо

в +

0

ёг ёг

(20)

Подстановка (17) и (20) в (18) дает

г

- V

где введено обозначение

2 ёо 0

■(1 - Vі)

Е* ёг

г ■ V

Е*

(1 + V)

ёо

ёг

+

1 + V

Е*

■(о 0 -ов)= g(г,0 ,

^(г,0 = рг - рв + ер - ер - ^

ё (е р + р в)

ёг

- г ■ V ■

ё (ер + рг) ёг

Выражая из уравнения (12)

ёо

аг г

и подставляя это выражение в (21), получим

ёа0 -0 ' _

ёг г (1 - V2) - г

■в , о 0 - ог Е* ■ g(г, О

Продифференцируем (23) по г:

ёог

ёг

ё 2о0 ёо° ёо

■ + г ■

+

ёг ёг

=0 .

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

Подставляя в (25) соотношение

ёо в ёг

выраженное из (24), получим неоднородное

дифференциальное уравнение второго порядка относительно переменной сг

ё ог 3 ёо

Е* ■ g(г,і)

(1 -V2)■ г2 ’

ёг2 г ёг

где время 1 входит в сг и g как параметр. Граничные условия для (26) имеют вид

ов =-р , ов = о .

Я1 г I г=Я2

Г

I г=^ I г=^2

Решение уравнения (26) с граничными условиями (27) имеет вид

(26)

(27)

0 р(і )■ Я,2

о у (г, і) = V 2

Я2 - Я2

Е*

2 ■ (1 -V2 )■ г2

Я22

1 - -г

г

+

Е*

Я12 Я22 Я

2 ■ (1 -V2)

g ( Xі)

ёх - Я22'

Ц_. Г:

2

х

Я2 - Я1 Я1 Х

х

2

1 Я2

ёх

2 0

+

Я22 - Я12 Я1 х

2

1-

Я

2

у ёх - Г g(х, і) хёх

2 0 Я1

(28)

Выразим се из (12):

Г

г

0

0

аг

0

а в = г

йа'0

йт

+ а т

(29)

Продифференцировав (28) по г и подставив полученное выражение в (29), находим величину Се!

а е(т, *) =

+ -

р(*) •Я2

Я22 - ^

Е„

л я22

1 + -Г т2

Е*

Я

21

2 • (1 -V2) Я2 - Я

1+4

т2

х

1-

,2 ^ Я]2,

йх +

2 • (1 -V2)

йх

(30)

Я1 Я1

Нетрудно видеть, что первые члены (28), (30) совпадают с упругим решением для толстостенной трубы, так как g(г,t) 11=0 =0.

Найдем распределение с2 (гД). Для этого представим третье соотношение (14) в виде

£г (т. *) = £о (*) = ег (т, *) + ер *) + Рг *) • Используя закон Гука (16), соотношению (31) можно придать вид

, *) - V • [а 0 (т, *) +

(*) = -1 • К° (т, *) - V •[а 0 ( *) + а 0 (т, *)]}+ е? (т, *) + рг (т, *) .

(31 ) (32)

2

а0 (т, 0 = Е*-к (*)-ер (т, *)-Рг (Г *)] + V-(а 0 + а0) • _ (33)

2 I Я2 Я2 1

£0 () = Я 2 _ Я 2 • 1 2 • Е + | [р (т > *) + Рг (т > * )]йт - ^ | [а0 (т > *) + а0 (т, * )]йт [ • (34)

Выразим из (32) с2° :

Таким образом, для того, чтобы иметь распределение с2 , необходимо знать величину е0 (1). Для ее нахождения подставим (33) в (13) и разрешим полученное относительно е0 (1):

Зная величину е0 (t), из (33) определим с2. Имея законы распределения для всех компонент

напряжений, из (14) находим ее и ег

0 0 0 0 где J =Сг + С + Се •

Численная реализация расчета кинетики напряженно-деформированного состояния и разрушения толстостенной трубы под действием внутреннего давления и осевой силы осуществ-

е(т,0=Е -{(1+v)• а0(т,t)-v• ^}+е?(т,*)+рг(т,*) о =г,в) , (35)

Е*

лялась по хорошо известному в теории ползучести методу “ шагами по времени” . Временной интервал разбивался на малые отрезки времени [Ъ, ^+1] с шагом А1 , внутри которого напряженное состояние считалось постоянным и соответствующим моменту 1=1. Приращения всех деформаций в конце отрезка при 1=11+1 находились по формулам (1) - (7) по методу Эйлера.

При этом соответствующие интегралы во всех расчетных формулах вычислялись по соответствующим квадратурным формулам численного интегрирования при каждом значении времени *=* , а для производных по радиусу использовались их конечно-разностные аппроксимации. Время до разрушения в соответствии с (8) определялось следующим образом : расчет продолжался до такого момента времени 1=1* , когда в какой -либо точке трубы не выполнялось условие 0(Ь)=1, где

* И ^+10$)

Следует отметить, что во всех формулах (12) - (35) (кроме (16)) используются номинальные напряжения, тогда как реологические и упругие деформации рассчитываются в соответствие с (1) - (9) по истинным напряжениям.

Экспериментальная проверка модели

Исходной информацией для определения всех параметров модели (1) - (9) являются кривая упругопластического деформирования вплоть до разрушения и серия стационарных кривых одноосной ползучести при с0 =еош1 (с0 -номинальное напряжение) также до момента разрушения.

В научной литературе имеется огромное число работ, в которых исследовалась длительная прочность толстостенных труб. К сожалению, из всех экспериментальных работ, проанализированных авторами настоящей статьи, лишь в трех их них [17-19] имеется необходимая информация для построения модели деформирования и разрушения (1) - (9). В указанных трех работах экспериментальные исследования проводились лишь в режиме внутреннего давления.

Для стали 12ХМФ ( Т = 5900 С ) [19] и стали 20 ( Т = 5000 С ) [18] имеются кривые одноосной ползучести вплоть до разрушения, которые приведены на рис. 2 и рис. 4 сплошными линиями. Как видно, эти материалы не имеют первой стадии ползучести. Диаграммы упругопластического деформирования для указанных материалов построены по справочным данным [20] и представлены на рис. 1 и рис. 3 сплошными линиями. Значения параметров модели (1) - (9) , вычисленные на основе этой информации согласно методике, изложенной в [1,2], представлены в табл. 1 и 2.

Т а б л и ц а 1

Значения параметров модели для описания деформации пластичности

Материал Т О С СТпр, МПа Е-10-5 , МПа п а-106 , Мпа-п Т-103 , МПа-1 Ш: Л*р, МДж/м3

12ХМФ 590 147.2 0.505 1.97 1.79 9.41 0 91.9

Сталь 20 500 147.2 1.08 2.61 0.52 2.92 0 75.2

ЭИ694 700 137.4 1.08 2.08 2.57 2.81 0 99.1

Т а б л и ц а 2

Значения параметров модели для описания деформации ползучести

Материал Т° , С ст* ,МПа С Ш а1; МПа-1-Ш2 Ш2 аА, МПа-1-шА Ша

12ХМФ 590 176.6 2.48-10-5 7.1 7.19-105 -2.28 1.1-10-4 2.35

Сталь 20 500 107.9 1.86-10-4 7.28 1.65-102 -2.34 3-10-2 1.52

ЭИ694 700 588.6 3-10-6 5.3 34.45 -1.5 31.9 0

В качестве примера на рис. 1 - 4 приведены экспериментальные и расчетные по модели (1) -(9) диаграммы упругопластического деформирования и кривые стационарной ползучести для одноосного случая, а в табл. 3 представлены экспериментальные и расчетные значения длительной прочности и неупругой деформации в момент разрушения для стали 12ХМФ и стали 20.

Т а б л и ц а 3

Экспериментальные ( Ь* , X* ) и расчетные ( ^ , X ) значения времени до разрушения и неупругой деформации в момент разрушения (соответственно) при одноосной ползучести стали 12ХМФ при Т = 5900 С и стали 20 при Т = 5000 С

№ п/п ст0 , МПа 1., ч X* , % 11, ч X, %

Сталь 20 Т = 500° С

1 88.3 4912 28 4490 28.9

2 98.1 2250 28.4 2280 30.7

3 107.9 1134 43.1 1232 32.4

4 117.7 573 24.7 701 34.04

5 127.5 487 30.2 416.5 35.5

6 137.34 244 43.6 257 37

7 147.15 169 26.3 163.7 3S.4

Сталь 12ХМФ Т = 5900 С

1 147.15 2175 11.6 1664 8.8

2 176.6 356 12.3 539 11.5

3 196.2 499 14.3 267 12.3

4 196.2 117 15.2 267 12.3

5 245.25 72 16.3 47.4 16.35

Р и с. 1 Экспериментальная (1), расчетные в координатах ст0 - е (2) и ст - е (3) диаграммы упругопластического деформирования стали 12ХМФ при Т=5900 С

Р и с. 2 Экспериментальные(сплошные линии) и расчетные (штриховые линии) кривые полной деформации стали 12ХМФ при Т=5900 С : 1- ст0 = 147,15; 2- ст0 = 176,6; 3- ст0 =245,25 МПа Р и с. 3 Экспериментальная (1), расчетные в координатах ст0 - е (2) и ст - е (3) диаграммы упругопластического деформирования стали 20 при Т=5000 С

Р и с. 4 Экспериментальные(сплошные линии) и расчетные (штриховые линии) кривые неупругой деформации стали 20 при Т=5000 С : 1- ст0 =147,15; 2- ст0 =137.34; 3- ст0 =127,53 ; 4- ст0 =117,72; 5- ст0 = 107,9 МПа

Р и с. 5 Расчетные значения номинального ст10 (сплошные линии) и истинного ст1 (1 = г, 9, 7) (штриховые линии) окружного (а), радиального (б) и осевого (в) напряжений в процессе ползучести трубы из сплава ЭИ694 (Т = 7000 С) при внутреннем давлении Р = 32,56МПа: 1 - 1=0; 2 -1=200; 3 - 1=1216; 4 - 1=1355 ч

Для сплава ЭИ694 (Т = 7000 С) в [17] приведены лишь зависимость скорости установившейся ползучести (первая стадия ползучести отсутствует) и значения времени до разрушения 1* для 14 уровней напряжений при одноосной ползучести ( табл. 4 ). Поскольку неупругая деформация в момент разрушения в [17] не приведена, то она была положена для всех значений напряжений равной 25%. Величина а, входящая в (6), при каждом значении напряжения определялась по модели (1) - (9) из условия прохождения расчетной кривой через точку разрушения (1*, р* ), где р* =0,25. Экспериментальная диаграмма упругопластического деформирования для этого сплава приведена в [21], а вычисленные параметры модели (1) - (9) для этого сплава - в табл. 1 и 2.

Данные расчета времени до разрушения 11 по модели (1) - (9) в одноосном случае для сплава ЭИ694 представлены в табл. 4. Здесь же через 1* обозначены экспериментальные данные времени до разрушения.

Экспериментальные и расчетные (на основании решения краевой задачи) данные длительной прочности для толстостенных труб при действии внутреннего давления для этих трех материалов представлены в табл. 5 - 7. Здесь же даны размеры внутреннего ( Я ), внешнего (Я2 ) радиусов и их отношение Р1=Я2 / Яь В качестве иллюстрации на рис. 5 представлены расчетные зависимости номинальных (с10) и истинных (с1) (1= г, 9, е) радиального, окружного и осевого напряжений для толстостенной трубы из сплава ЭИ694 (Т = 7000 С ) в процессе ползучести для варианта N 3 из табл. 7.

Т а б л и ц а 4

Экспериментальные ( Ь* ) и расчетные ( Ь ) значения длительной прочности одноосных образцов сплава ЭИ694 (Т = 700° С )

№ п/п ст0 , МПа 1*, ч 1, ч

1 83.38 2300 2608

2 87.31 2170 2086

3 98.1 1480 1183

4 94.7 1287 1407

5 95.16 1148 1372

6 98.1 1146 1183

7 105.9 1048 811

8 109.4 706 691.5

9 117.7 462 480

10 128 396 315

11 127.5 392 212

12 138.3 200 321

13 127.5 322 212

14 145.2 175 165

Т а б л и ц а 5

Значения наружного ( Я2 ), внутреннего ( Я1 ) радиусов; их отношение ( р1 ); экспериментальные (Ь* ) и расчетные ( Ь1 ) значения длительной прочности труб из стали 12ХМФ (Т = 5900 С ) при внутреннем давлении Р= 28 Мпа

№ п/п Я2 ,мм Я ,мм Р1 1*, ч 11, ч

1 14.85 13.05 1.138 247 179.3

2 15.34 13.24 1.159 452 488.9

3 16.37 13.87 1.18 1131 1098.3

4 16.51 13.91 1.187 1463 1371.1

5 16.68 13.98 1.22 1612 1168.1

Т а б л и ц а 6

Значения наружного ( Я2 ), внутреннего ( Я1 ) радиусов; их отношение ( р1 ); экспериментальные (Ь* ) и расчетные ( Ь1 ) значения длительной прочности труб из стали 20 (Т = 5000 С ) при внутреннем давлении Р

№ п/п Я2 ,мм Я ,мм Р1 Р ,МПа 1*, ч 11, ч

1 20.0 18.02 1.11 17.56 75 52.3

2 20.0 18.02 1.11 17.56 100 52.3

3 22.46 17.01 1.32 35.81 385 471

4 21.96 17.02 1.29 29.82 889 989

5 20.0 18.02 1.11 12.26 1058 850.8

6 18.87 17.00 1.11 11.05 1176 1846

7 22.51 18.01 1.25 23.41 1682 2181

8 21.97 18.01 1.22 19.42 3803 3822

9 18.88 17.01 1.11 9.42 5804 5909

10 22.52 18.015 1.25 19.96 7067 7092

11 19.06 17.02 1.12 9.32 7690 11865

12 22.47 17.02 1.32 23.20 9092 11883

Т а б л и ц а 7

Значения наружного ( Яг ), внутреннего ( ^ ) радиусов; их отношение ( Рх ); экспериментальные (1* ) и расчетные ( ^ ) значения длительной прочности труб из сплава ЭИ694 (Т = 7000 С ) при внутреннем давлении Р

№ п/п Я2 ,мм ,мм Р: Р ,МПа 1*, ч 11, ч

1 15.505 11.495 1.349 25.51 1740 3856

2 15.506 11.495 1.349 28.94 1452 2031

3 15.01 11.0 1.364 32.56 1367 1355

4 15.2 11.51 1.321 34.53 1232 551

5 15.01 10.98 1.367 29.43 1218 2347

6 15.25 10.99 1.388 31.68 933 2060

7 15.0 11.0 1.364 32.56 912 1339

8 15.0 11.0 1.364 37.67 887 629

9 15.05 11.52 1.307 28.55 826 1220

10 15.3 11.04 1.3 37.57 558 218

11 14.3 10.99 1.3 32.57 399 557

12 14.3 11.03 1.3 29.13 326 923

13 14.3 11.05 1.3 32.67 264 489

14 14.3 11.02 1.3 37.57 228 227.6

15 14.64 11.0 1.33 37.86 186 401

16 14.635 11.0 1.33 37.57 124 425

Сравнение результатов

Для сопоставимости результатов по длительной прочности толстостенных труб было выполнено сравнение данных расчета на основании решения краевой задачи по энергетическому варианту (1) -(9) и по прямым эмпирическим методам оценки длительной прочности труб через эквивалентные напряжения [4,5]. Согласно [4,5] при обработке результатов испытаний в случае действия внутреннего давления Р характеристики неоднородного напряженного состояния заменяются интегрально средними по поперечному сечению трубы значениями. При этом в [5] показано, что для показателя нелинейности установившейся ползучести п > 1 при отношении радиусов 1 < р1 < 1,3 изменение средних эквивалентных напряжений в процессе ползучести происходит всего на 1%.

В качестве эквивалентных напряжений используют [4,5] максимальное главное напряжение сэ1 , интенсивность напряжений сэ2 ,критерий Сдобырева [22] сэ3 =(сэ1 + сэ2 )/2 , разность максимального и минимального главных напряжений сэ4 и критерий Лебедева [23] сэ5 = х-сэ2 +(1-Х)'сэ1 , где с - константа материала. Для рассматриваемого напряженного состояния ( внутреннее давление) средние эквивалентные напряжения сэ1 ,сэ2 и сэ4 принимают вид [4,5]:

°Э1 = °6 , °Э2 = — °г ) + °6 , °Э4 = °6 — 0 г .

Средние значения о6 и ог вычислялись по формулам [4,5]:

1 1

о = —

где Р - внутреннее давление.

В случае, если добавляется осевая сила Q, то в рассмотрение вводится еще одно напряжение

о о = о

а- = о = РТХ—^П

Как правило [4,5], для оценки времени до разрушения и используют следующие две аппроксимации:

t* = c3 • о-эщ, (36)

t* = c4 • exp (- m4 • sЭ), (37)

при этом с , mi (i=3,4) определяют по методу наименьших квадратов обработкой всех экспериментальных данных. В [4,5] показано, что для любого эквивалентного напряжения лучшие результаты по длительной прочности дает степенная аппроксимация (36). Там же установлено, что для испытаний на длительную прочность в условиях одноосной ползучести труб под действием внутреннего давления лучшие результаты для рассматриваемых трех материалов дает эквивалентное напряжение оЭ4 = s} — sш - разность максимального и минимального главных (средних) напряжений. Поэтому в дальнейших расчетах использовалась аппроксимация (36) при Сэ = Сэ4.

В табл. 8 приведены средние интегральные напряжения , значения напряжения сэ4 , экспериментальные значения t* по длительной прочности для одноосных образцов и труб под действием внутреннего давления для стали 12ХМФ [19], стали 20 [18], сплава ЭИ694 [17], а также результаты расчета времени до разрушения (t1) на основании модели (1)-(9) и результаты расчета времени до разрушения (t2) по аппроксимации (36) со значениями параметров, приведенными в табл. 9.

Для сравнения результатов расчета по модели (1)-(9) и (36) использовалась величина средней относительной ошибки отклонения опытных данных от данных расчетов

1 N

А <■ = — Ё

г N~=1

t,J

(i = 1,2),

где Ц - экспериментальные, 1) - расчетные данные ()-номер реализации) , N - количество экспериментов . Численные значения величин ошибок отклонения А! ( 1=1,2 ) приведены в табл. 9.

Т а б л и ц а 8

Экспериментальные ( 1* ) и расчетные ( 11, 12 ) значения длительной прочности толстостенных труб из стали 12ХМФ ( Т=5900 С ); стали 20 (Т=500°С) и сплава ЭИ694 ( Т=7000 С); ^ - расчет по модели (1) - (9) толстостенной трубы,

12 - феноменологическая модель эквивалентных напряжений

№ п/п cZ, МПа с0, МПа сг, МПа сэ4, МПа t*, ч t1, ч t2, ч

Сталь 12ХМФ Т=5900 С

1 147.15 0 0 147.15 2175 1664 3944

2 176.6 0 0 176.6 356 539 741.7

3 196.2 0 0 196.2 499 267 281.2

4 196.2 0 0 196.2 117 267 281.2

5 245.25 0 0 245.25 72 47.4 36

6 0 206 -12.32 218.3 247 179.3 105

7 0 179 -12.11 191.1 452 488.9 357

8 0 157.84 -11.87 169.7 1131 1098.3 1068

9 0 152.15 -11.97 164.12 1463 1371.1 1455

10 0 147.34 -11.67 159.02 1612 1668 1945.5

Сталь 20 Т=5000 С

1 88.3 0 0 88.3 4912 4490 5730.6

2 98.1 0 0 98.1 2250 2280 2666

3 107.9 0 0 107.9 1134 1232 1334.2

4 117.7 0 0 117.7 573 701 709.2

5 127.5 0 0 127.5 487 416.5 396.5

6 137.34 0 0 137.34 244 257 231.5

7 147.15 0 0 147.15 169 163.7 140.25

8 0 159.6 -7.87 167.5 75 52.3 54.8

9 0 159.6 -7.87 167.5 100 52.3 54.8

10 0 112.16 -13.08 125.24 385 471 454

11 0 103.0 -11.18 114.2 889 989 884

№ п/п ст2, МПа сте, МПа стг, МПа стэ4, МПа 1*, ч 11, ч 12, ч

12 0 111.4 -5.5 116.9 1058 850.8 744.5

13 0 100.55 -4.94 105.4 1176 1846 1583

14 0 93.76 -9.133 102.9 1682 2181 1883

15 0 88.4 -7.798 96.19 3803 3822 3087

16 0 85.64 -4.22 89.86 5804 5909 5042

17 0 79.95 -7.79 87.74 7067 7092 5996

18 0 77.7 -2.7 80.4 7690 11865 11317

19 0 72.7 -8.0 80.7 9092 11883 10574

Сплав ЭИ694 Т=7000 С

1 83.38 0 0 83.38 2300 2608 2061

2 87.31 0 0 87.31 2170 2086 1694

3 98.1 0 0 98.1 1480 1183 1030

4 94.67 0 0 94.67 1287 1407 1199

5 95.16 0 0 95.16 1148 1372 1173

6 98.1 0 0 98.1 1146 1183 1030

7 105.9 0 0 105.9 1048 811 742

8 109.4 0 0 109.4 706 691.5 647.6

9 117.7 0 0 117.7 462 480 473

10 128.0 0 0 128.0 396 315 331

11 127.5 0 0 127.5 292 321 336

12 138.3 0 0 138.3 200 212 238

13 127.5 0 0 127.5 322 212 336

14 145.2 0 0 145.2 175 165 193.5

15 0 73.3 -9.04 82.4 1740 3856 2175

16 0 83.4 -10.27 93.65 1452 2031 1256

17 0 89.75 -11.38 101.14 1367 1355 904.6

18 0 107.8 -12.57 120.4 1232 551 429.7

19 0 80.44 -10.26 90.7 1218 2347 1440

20 0 80.69 -10.83 91.5 933 2060 1386.4

21 0 89.75 -10.27 101.14 912 1339 904.6

22 0 103.24 -13.145 116.37 887 629 497.2

23 0 93.2 -10.54 103.7 826 1220 813.4

24 0 125.5 -13.96 139.5 558 218 230

25 0 108.4 -12.1 120.5 399 557 428

26 0 94.52 -10.83 105.4 326 923 760

27 0 110.95 -12.20 123.2 264 489 390

28 0 125.5 -13.97 139.5 228 227.6 230

29 0 99.46 -13.0 112.5 186 401 575

30 0 117.7 -13.7 131.4 124 425 295.6

Т а б л и ц а 9

Значения коэффициентов аппроксимации (36) и средние величины относительной ошибки отклонения экспериментальных данных от расчетных для моделей толстостенной трубы (Д1) и модели (36) (Д2)

Материал Т, 0 С С3, МПа-т3 т3 < Д2 ,%

12ХМФ 590 3.6-1013 9.206 31.8 51.81

Сталь 20 500 1.56-1017 7.263 19.54 22.56

ЭИ694 700 3.23-1011 4.266 32.86 32.31

Из вышесказанного можно сделать следующие выводы.

Из анализа величин Д; (1=1,2) табл. 9 следует, что результаты расчета по длительной прочности по энергетическому варианту (1)- (9) для толстостенной трубы как минимум не хуже данных расчета по аппроксимации (36). Но если (36) есть просто эмпирическая аппроксимация всех опытных данных, то для решения краевой задачи для толстостенной трубы исходными данными являются лишь данные по одноосной ползучести материалов, а в область длительной прочности при действии внутреннего давления осуществляется прогноз на основании численного решения соответствующей краевой задачи.

Таким образом, в целом с учетом естественного разброса данных по длительной прочности, результаты решения краевой задачи для толстостенной трубы под действием внутреннего давления на основе определяющих соотношений (1) - (9) удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными.

Сделаем еще одно замечание чисто практического плана. При оценке надежности такого конструктивного элемента, как толстостенная труба, часто используют не только катастрофические критерии отказа ( физическое разрушение элемента объема материала ), о чем шла речь выше, но и параметрические критерии отказа. При этом в качестве такого параметра может выступать, например, радиальное перемещение, кинетика которого легко может быть установлена из решения соответствующей краевой задачи. Чисто же силовые критерии типа (36), (37) лишены такой возможности.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Радченко В.П. Энергетический вариант одноосной теории ползучести и длительной прочности // ПМТФ. 1991. N 4. С. 172-179.

2. Радченко В.П., Кичаев Е.К. Феноменологическая реологическая модель и критерий разрушения металлов при одноосном напряженном состоянии // Проблемы прочности. 1991. N 11. С. 13-19.

3. Радченко В.П. Математическая модель неупругого деформирования и разрушения металлов при ползучести энергетического типа // Вестн. СамГТУ. Вып. 4. Сер. “Физ.-мат. науки”. Самара: СамГТУ, 1996. С. 43-63.

4. Локощенко А.М., Шестериков С.А. Стандартизация критериев длительной прочности // Унифицированные методы определения ползучести и длительной прочности. Вып. 7. М.: Изд-во стандартов, 1986. С. 3-15.

5. Локощенко А.М. Длительная прочность металлов при сложном напряженном состоянии // Проблемы прочности. 1983. N 8. С. 55-59.

6. Качанов Л.М. Теория ползучести. М.: Физматгиз, 1960. 455 с.

7. МалининН.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975. 400 с.

8. РаботновЮ.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. 752 с.

9. Стасенко В.И. Установившаяся ползучесть толстостенной трубы // Изв. вузов. Машиностроение. 1974. N 2.

С. 14-17 .

10. Стасенко В.И. Установившаяся ползучесть толстостенной трубы при действии внутреннего давления и изгибающего момента //Изв. вузов. Машиностроение. 1973. N 8. С. 18-22.

11. Ильюшин А.А. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948. 376 с.

12. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. 312 с.

13. Логинов О.А. Распространение фронта разрушения в толстостенной трубе в условиях ползучести // Надежность и прочность машиностроительных конструкций: Сб. науч. тр. Куйбышев: КптИ, 1981. С. 61-67.

14. Горев Б.В., Цвелобуд И.Ю. Применение энергетических уравнений ползучести к расчету толстостенной цилиндрической трубы // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР. 1974. Вып. 17. С. 99-105.

15. Наместникова И.В., Шестериков С.А. Применение векторной характеристики поврежденности к расчету на прочность диска и толстостенной трубы в условиях ползучести //Деформирование и разрушение твердых тел. М.: Изд-во МГУ, 1985. С. 53-67.

16. Миронова С.Н. Решение задачи упругопластического деформирования и разрушения толстостенной трубы на основании эндохронной теории пластичности // Вестн. СамГТУ. Вып. 4. Сер. “Физ.-мат. науки”. Самара: СамГТУ, 1996. С. 85-92.

17. Зверьков Б.В. Длительная прочность труб при сложных нагружениях // Теплоэнергетика. 1958. N 3. С. 51-54.

18. Кац Ш.М. Исследование длительной прочности углеродистых труб // Теплоэнергетика. 1955. N 11. С. 37-40.

19. Лагунцов И.П., Святославов В.К Испытание пароперегревательных труб из стали 12ХМФ на длительную прочность // Теплоэнергетика. 1959. N 7. С 55-59.

20. Либерман Л.Я., Пейсихис М.И. Справочник по свойствам сталей, применяемых в котлотурбостроении. М.:Машгиз, 1958. 302 с.

21. Булыгин И.П. и др. Атлас диаграмм растяжения при высоких температурах, кривые ползучести и длительной прочности сталей и сплавов для двигателей. М.: Оборонгиз, 1953. 173 с.

22. Сдобырев В.П. Длительная прочность сплава ЭИ437Б при сложном напряженном состоянии // Изв. АН СССР ОТН. 1958. N 4. С. 92-97.

23. Лебедев А.А. Обобщенный критерий длительной прочности // Термодинамика материалов и конструкций. Сб. науч. тр. Киев: Наукова думка, 1965. С. 69-76.