Об одном подходе к исследованию дифференциальных уравнений, подвергающихся импульсным воздействиям в нефиксированные моменты времени Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ПОДВЕРГАЮЩИХСЯ ИМПУЛЬСНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЯМ В НЕФИКСИРОВАННЫЕ МОМЕНТЫ ВРЕМЕНИ

© Е. С. Жуковский, В. Б. Пеньков, О. В. Скопинцева

Ключевые слова: дифференциальное уравнение с импульсными воздействиями в нефиксированные моменты; метрическое пространство кусочно непрерывных функций; корректная разрешимость импульсной системы.

Обсуждается проблема эффективного выбора функционального пространства для формализации дифференциального уравнения с импульсными воздействиями в нефиксированные моменты. Предложенное пространство позволяет применять классические методы функционального анализа для получения утверждений о разрешимости и непрерывной зависимости решений от параметров импульсной системы.

Пусть С = С([а, Ь], Кп) - банахово пространство непрерывных функций х : [а, Ь] ^ Кп с нормой ||х||с = тах |х(в)|; БУ = БУ([а,Ь],Еп) - банахово пространство функций

«€ [а,Ь\

Ь

х : [а, Ь] ^ Кп ограниченной вариации с нормой ||х||ву = |х(а)| + \/ х.

а

Уравнения с импульсными воздействиями описывают процессы, в которых возможны мгновенные изменения состояния. В моменты таких изменений траектория системы терпит разрывы, между которыми траектория определяется дифференциальным уравнением [1]. Классические подходы к исследованию импульсных уравнений основаны на представлении таких уравнений в виде интегральных уравнений в пространстве функций ограниченной вариации [2]. Однако, пространство функций ограниченной вариации не всегда позволяет точно описать специфику исследуемого процесса. Рассмотрим, например, решения дифференциального уравнения

х(£) =0, Ь е [0,1],

терпящие разрывы величины Ах = —1 в точках прямой х = Ь, причем, будем предполагать, что в этих точках решение х(-) непрерывно слева. Решением задачи Коши с условием

х(0) = а е (0,1) является функция ха(Ь) = а — х(Ь — а), где х(в) =

В пространстве функций ограниченной вариации для любых а1 = а2 для решений соответствующих задач Коши имеем Цха1 — ха21|= 2- В то же время, для многих практических задач естественно было бы считать траектории ха1 (■), ха2 (■) близкими для близких значений а1, а2.

Для исследования функционально-дифференциальных импульсных уравнений, возникающих, например, в задачах математической экономики, в работе [3] было предложено конечномерное расширение банахова пространства абсолютно непрерывных функций. Но

( 1, если в > 0, 1 0, если в < 0.

такое пространство можно использовать только, если траектория имеет разрывы в фиксированные моменты времени (соответственно, это пространство неприменимо в рассмотренном выше примере). В статьях [4],[5] были предложены метрические пространства для исследования корректности дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений, решения которых могут терпеть один разрыв в нефиксированный момент времени. Здесь предлагается метрическое пространство, позволяющее рассматривать подобные уравнения с конечным количеством импульсных воздействий в нефиксированные моменты.

Пусть заданы некоторое метрическое пространство D = D([a,b],Rn) непрерывных функций u : [a, b] ^ Rn с метрикой pD и натуральное число т. Определим пространство DS = DS([a, b],Rn,m) элементами которого являются пары следующих элементов. Первая компонента - это набор любого количества к < т натуральных чисел 1 < Pi < P2 < ... < Pk < т. Вторая компонента - функция x : [a, b] ^ Rn , терпящая к разрывов первого рода в любых точках полуинтервала [a, b), и непрерывная слева в этих точках. Пронумеруем в порядке возрастания числами pi точки разрыва и обозначим их tpi < tp2 < ■ ■ ■ < tpk. Пусть соответствующие величины разрывов равны

Ax(tXi) = x(tXPi + 0) - x(tXPi) = wPi ■

Тогда функцию x(-) можно представить в виде

k

x(t) = up(t)+5>p,(i), (1)

i=1

где функция ux(-) непрерывна, а «функция скачков»

vpi(t) = ■ x(t - txPi)•

Будем предполагать, что в представлении (1) непрерывная составляющая ux G D.

Итак, элементом пространства DS является X = (pi,p2,... ,Pk ,x(), где 1 < pi < P2 < ... < Pk < m, функция x(-) имеет представление (1), в котором ux G D. Теперь определим метрику в пространстве DS. Для любых двух элементов X = (pi,p2,... ,Pk,x() G DS, Y = (qi,Q2,...,qi,yt)) G DS положим

PQ = { i : Pi = qi}, P = {1, 2,...,k}\ PQ, Q = {1, 2,...,l}\ PQ.

Теперь расстояние между X, Y определим равенством

b b b

Теорема. Если пространство D полное, то пространство DS с метрикой (2) также будет полным.

Приведенное утверждение открывает возможность применения результатов [6]—[8] к исследованию непрерывной зависимости решений от параметров дифференциальных и функционально-дифференциальных импульсных систем.

ЛИТЕРАТУРА

1 . Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями. К.: Вища школа. 1987. 288 С.

2 . Schwabik S., Tvrdy M, Veivoda O. Differencial and integral equations // Boundary value problems

and adjoints. Academia. Prague, 1979. 245 P.

3 . Анохин А.В. О линейных импульсных системах для функционально-дифференциальных урав-

нений // Докл. АН СССР. 1986. Т. 28. №5. С. 1037-1040.

4 . Zhukovskiy E.S., Zhukovskaya T.V. About the correctness of impulsive functional differential

equations // Functional Differential Equations. Ariel, Israel. 2008. Vol. 15. № 3-4. P. 339-348.

5 . Скопинцева О.В. Непрерывная зависимость от параметров решений дифференциальных урав-

нений с импульсным воздействием // Вестник Тамбовского университета. Исследовательские проекты студентов. Приложение к журналу. Тамбов, 2011. С. 207-210.

6 . Жуковский Е.С. Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений Вольтера //

Математический сборник. 2006. Т.197. №10. С. 33-56.

7 . Жуковский Е.С., Жуковская Т.В., Алвеш М.Ж. Корректность уравнений с обобщенно воль-

терровыми отображениями метрических пространств // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2010. Т. 15. № 6. С. 1669-1672.

8 . Бурлаков Е.О., Жуковский Е.С. Непрерывная зависимость решений функционально-

дифференциальных уравнений от величины запаздывания // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2008. Т. 13. № 1. С. 27-33.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты № 09-01-97503, № 11-01-00645) и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы» (государственный контракт № 14.740.11.0349).

Поступила в редакцию 14 апреля 2011 г.

Zhukovskiy E.S., Penkov V.B., Skopintseva O.V. About one approach to research of differential equations that are exposed to impulse influences at wandering time moments. There is considered the problem of effective selection of a functional space for formalization of the differential equation with impulse influences that occur at wandering time moments. The space proposed allows to apply the classical methods of functional analysis to get the statements on solvability and continuous dependence of solutions on the impulse system parameters.

Key words: differential equation with impulse influences at wandering moments; metric space of piece-wise continuous functions; well-posed solvability of impulse system.

Жуковский Евгений Семенович, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, директор Института математики, физики и информатики, e-mail: [email protected], [email protected]

Пеньков Виктор Борисович, Липецкий государственный технический университет, г. Липецк, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры теоретической механики, e-mail: [email protected]

Скопинцева Олеся Викторовна, Тамбовский государственный университет, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант кафедры алгебры и геометрии, e-mail: [email protected]