О непрерывной зависимости решений неявных дифференциальных уравнений от импульсных воздействий Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.911

О НЕПРЕРЫВНОЙ ЗАВИСИМОСТИ РЕШЕНИЙ НЕЯВНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОТ ИМПУЛЬСНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ

© Е.С. Жуковский, А.В. Козадаев

Ключевые слова: неявное дифференциальное уравнение; непрерывная зависимость решений от момента импульсного воздействия; накрывающие отображения метрических пространств.

Рассматривается неявное дифференциальное уравнение, решение которого в заданный момен т времени испытывает импульсное воздействие, зависящее от значения решения в этой точке. Для получения условий непрерывной зависимости решения от его начального значения и момента импульсного воздействия используется метрическое пространство кусочно абсолютно непрерывных функций, имеющих не более одного скачка в любой точке. Метод исследования основан на результатах о накрывающих отображениях метрических пространств.

Рассмотрим импульсную дифференциальную систему, относительно которой предполагаем. что ее решение есть функция х: |о,61 —>М". возможно имеющая один разрыв первого рода в заданной точке г Є \и, Ь), где непрерывна слова, а величина скачка. Да?(г) = х(т I 0) — х(т) зависит от значения решения в этой точке. ІІ остальных точках отрезка |а,6| эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению неявного вида.

Итак, пусть заданы удовлетворяющие условиям Каратеодорп функции

/ : |о,6| х К'1 х М" -*■ М”\ $ : |а,6| х М" х К" К*.

Исследуемую импульсную дифференциальную систему можно записать в следующем виде

/(1,2%х) 0, /€[о:6|, а?(а) ,4, ф(т, х(т), Д;г(т)) 0. (Г)

Нас интересуют условия непрерывной зависимости решения от начального его значения Л и момента г импульсного воздействия.

Пусть — банахово пространство измеримых существенно ограниченных функций у: |а,6| —*• М" с нормой ||і/||г„ \таі5ир/еі„ ы ||/(/)|; банахово ирострапстію абсолют-

но непрерывных функций х : [п.Ц —► М". имеющих существенно ограниченную производную X Є 1'х- с нормой ||.г||1(,,„ ,т(«)| I Ц.тЦ,^.

Следуя работам [і]—(3| определим метрическое пространство, в котором будем искать решения системы (1). следующим образом.

Для произвольного т Є [о, Ь) обозначим хг:|а,6| —*■{(). 1} характеристическую функцию по/II Г о, осли / Є \а. г]. .. ,,,, . ..

луинтервала (т,о|, т. е. \т (/) | ^ ес ш/. Є (~ б] Определим ирострапстію Ь фумкции-

скачков'1

Яп {.Тт.., : |<>. Ь] —> М". хт,н(і) Хт(ї)--ч І т € [(і,Ь), я Є К'*}

с метрикой

ь

Р^. (лТ| | , *^Тз.Л2 ) ^ |.ТГ|.Я,(*) '“2■■‘'2 (^) I

О

Теперь омредаїим прострапстію SAC£ функций х: |я,6| —*-К"; каждая из которых может иметь разрыв не более чем в одной любой точке г Є |а. Ь), где непрерывна слева и имеет предел справа. Любой элемент х Є SAC£. представим в виде суммы двух функций

х = х | *Т,Ж! где х є Л(7” . Хт,н Є S'\

Расстояние it SAC^, определим равенством

Р^ ^ 'т^( 1 ■ 2) Т11ах|||а.| Д'2 || : Р<" (-1 ' | і j . .>2 ) 1'

Относительно этой метрики пространство SAC^ является полным [2].

Нам потребуется понятие условно накрывающего отображения, предложенное и исследованное в работах 11J |0|.

Пусть (Х.рх). (Y.py) метрические пространства. (/ С X, W С У, а>0.

О п р о д е л е н и е 1 [ 1|. Отображение I': X —*• V' называют а -накрывающим относительно лтоо/ссств U. И’. сели для каждого тара Их (и. г) С U имеет место включение

liY(nu)^r)f]W. С фх(и,г)).

О и р с д о л е и и с 2 |5|. |б|. Отображение F:X —>Y называют условно <х-накрывающим относительно множеств V. W, если оно является а-накрывающим относительно множеств

и и w П i’V0-

Эти поня тия и результаты [4| |9| об уравнениях с накрывающими отображениями метрических пространств мы используем для исследования системы (1).

Пусть задан л*0 € SACQ, тогда а’0 ;г° + .тго где х° € АС^, xT»j> XT»s° € Xй- Пред-

положим, что эта функция удовлетворяет системе

/(M'VU’V)) 0. t Є |«.b\. ^(T0,.r0(r°)..s0) 0. (2)

llama задача заключается в определении условий, гарантирующих близость (в метрике пространства SAC^ ) рішення системы (1) функции а?0, если січ) начальное значение; /1 и момент ’’удара’1 т близки, соответственно, величинам .г°(а) и т°.

Пусть заданы положительные числа II, и, 6. Для любого г) є 1(6) ’ |т° — 6, т° + д'| П |а, Ь\ положим Xу х +x1/s». Для каждого I е \а,Ь\ опредечим множества

Q(t) IJ U(t) К:ЛА*)-К).

уіЄТ(6)

Далее, положим

V = В,,М'W = Bvk(0..,s).

Т е о р е м а. Пусть выполнены следующие условия:

1) при почти всех І є fa, 6|, любом х Є il(l) отображение f(L,x, j:M" —>R'" является условно нищываппщш относительно U(l) и все я о пространства Rm. кроме того, имеет место включение 0 Є f(L х, U(I)):

2) при почти всех (. є |а. Ь\, любом у є 17(1.) отображение /(/■.-. //) : К" —> Rr,i является, липшицевым па множестве £ 2 (/ );

3) при любых ц € Т(д'), и Є I!(х1\т°). и) отображение ^(г), и, •): R” —► Rfe является накрывающим относительно множеств V, W, кроме того, имеет место включение 0 €

є Ап- к-17);

•1) отображение. ф(-, : |я,&| х R" —►R*' непрерывно в точке, (т°, х°(г0)).

Тогда существуют такое положительное г, что для произвольных А € И¥„ (а?°(а),с), т€ G7’(t) система (1) имеет решение яг(Л, г) € SACg, такое, что при Л—».т (о). т—>т° имеет место сходимость />., .п (.т(Л,т),;Г0) —>0.

- ос ' '

ЛИТЕРАТУРА

1. Zhukovskiy U.S., Zhukovskaya T.V. About llie correctness of impulsive functional differential equations . / Functional Dillereutial Equations. Ariel University Center of Samaria. Ariel, Israel, 2008. V. 15. .\*t 3-4. P. -339-348.

2. Жуковский E.C., Скопиицеоо. О. В. О корректности дифферентпиалътюго ураттоття. испытывающего

импульсные воздействия на заданной ..тинии. // Ностник Тамбовского университета. Серия: Кстественные и технические науки. 2012. Т. 17. Л* 1. 15-18.

3. Жуковский Е.С., Пеньков П.Д., Скопинирва О.В. Об одном подходе к исследованию днфферешшаль-пътх уравнений, подвергающихся импульсным воздействиям в пефиксиропатшт.то моменты времепи // Вестник Тамбовского ушшсрситста. Сория: Еетестветптьте и технические пауки. 2011. Т. I to. Вып. 3, С. 735-737.

1. Antlyumm A.. Avakov li., (’c.Vmwn В., Dmitiv,к A., Otmkhovskii V'. Locally covering maps in metric spaces and coincidence points J. Fixed Points Theory and Applications. 2009. V. 5. .W 1. P. 105-127.

о. Аваков E.P., Арутюнов А.В.. Жуковский E.C. Накрывающие отображения и их приложения к диф-фороипиальпым ураппепиям, тто разрешенным относительно проилводпой // Дифференциальные уравнения. 2009. 'Г. 15. > 5. С. fil.Ve.4l.

6. AnUyuruw Л. V.. Zhuktmnkii U.S. Zhuktmskii S.И. <Covering mappings and we|l-posedness of nonlinear Vbllerra, gathers // Nonlinear Analysis: Theory. Methods and Applications. 2012. V'. 75. P. 1026-1044.

7. Арутюнов Л.В.. Жуковский E.C.. Жуковский C.E. О корректпости диффореттгшалышх уравиепий. по разрешенных относитольио проилводпой ,’/ Диффорсппиальньто уравнения. 2011. Т. 17, X* 11. С. 1523-1537.

8. Arntyumw /1.1-'.. Zhukovskiy S. I'!. Existence оГ 1<к:а| solutions in constrained dynamic systems / . Applicable: Analysis. 2011. V. 90. .NX 6. P. 889-898.

Q. Apymmiuni A.H., Жуковский ('.К. Локальная разрешимость управляемых систем со смешанными ограничениями / Диффоропг(иальпые уравттоиия. 2010. Т. 1(>. X" 11. С. 1501-1570.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследовании (проекты .V" 11-01-00877, № 1-1-01-97501).

Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.

Zlmkovskiv E.S., Kozadayev A.V.

OX CONTINUOUS DEPENDENCE OK SOLUTIONS TO IMPLICI T DIFFERENTIAL EQUATIONS ON IMPULSES

We study an implicit differential equation, a solution of which undergoes, at the given moment of time, an impulse depending on (he solution value at this point. To obtain (he conditions of continuous dependence оГ solution on its initial value and on the impulse moment, we use the metric space of piecewise absolutely continuous functions having no more then one jump at any point. The investigation method is based on the results on covering maps of metric spaces.

Key words: implicit differential equation; continuous dependence of solutions on impulse instant; covering map of metric spaces.

Жуковский Евгений Семенович, Тамбовский государственный университет имени Г. Р. Державина, г. Тамбов. Российская Федерации, доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры и геометрии, e-mail: zukovskysSmail.ru

Zhukovsky Evgeny Semenovich, Tambov Stale University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of Algebra and Geometry Department, e-mail: zukovskysffim ail .ru

Козадаев Алексеи Владимирович, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант, кафедра алгебры и геометрии, e-mail: zukovskysSmai 1 ru

Kozadavev Alexey Vladimirovich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Postgraduate Student, Algebra and Geometry Department, e-mail: zukovskys:ftmail.ru