Об одном обобщении теоремы о полноте Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1.Вып.1.1995

УДК 517.982

Об одном обобщении теоремы о полноте А.А.Порошкин

Доказывается абстрактная теорема о полноте для некоторых классов измеримых функций, следствиями которой являются теоремы о полноте пространств Ьр, р > О, Ь°°, нормированных идеальных пространств (с дополнительными ограничениями на норму) и некоторых других.

В работе доказывается абстрактный вариант теоремы о полноте в некотором классе измеримых функций. Ее частными случаями являются теоремы о полноте классических метрических пространств Ьр, р > О, Ь°°, М(Ь(Т,Л, р)) из [1], с. 18 с неограниченной функцией М(и), а также некоторых других пространств, порожденных интегралами по нечеткой мере. Краткое содержание работы изложено в [2], более подробно — в депонированной работе [3].

По сравнению с названными работами, здесь даны некоторые изменения, дополнения и уточнения.

1.Основные определения

Пусть Л — сг-кольцо подмножеств множества Т ф 0, 3?о -его <х-подкольцо. Множества из называем измеримыми, из - нуль-множествами. Некоторое утверждение, связанное с точками из Т, истинно почти всюду (кратко: п.в.), если оно истинно для всех < 6 Т, за исключением, быть может, точек множества А 6 Яо- Положительная функция / : Г —+ М+ измерима, если Т(/ > а) £ Уа ^ 0; произвольная функция / : Т —► К. измерима, если измеримы /+ и /_. Ясно, что носитель Т(/ ф 0) измеримой функции / измерим и что наше определение измеримости функции совпадает с аналогичным определением в [4], с. 80-82.

Введем следующие обозначения: М - класс всех измеримых на Т функций, М+ := М П {/ : / ^ 0}; / ~ д (/ эквивалентно д) :=

Т(1 фд)е

© А.А.Порошкин, 1995.

54

Предположим, что на М+ задан положительный расширенный функционал Ф : М+ —► Ж"1", обращающийся в нуль на нулевой функции 0 : Ф(0) = 0. В различных предложениях, доказываемых ниже, лудем налагать на Ф еще некоторые из следующих ограничений.

1°. Если 0 ^ / < д и НшФ(^) = 0, то НтФ(/) = 0 [т. е. т-£>О36>О:(К/<0, Ф(д) < 8 Ф(/) < е].

2°. Если Ф(/) < оо, то / - п.в. конечна.

3°. 1ипФ(/ + 0) = О, если Нт[Ф(/) + Ф{д)] = 0 [т. е. V £ > 0 5й>0: Ф(/),Ф(д)<6=>ФУ+д)<е}.

4°. Если /,д е М и Ф(|/|) + Ф(\д\) < оо, то Ф(|/ + ^|) < оо. В точках неопределенности сумму |/ + <?| считаем равной оо.) Если / ~ д, Ф(/) < оо, то Ф(д) < оо.

5°. Если /„ Т / на Г, то Ф(/) ^ 8ирФ(/п).

Это условие, как нетрудно видеть, равносильно такому:

5а°. Если /п Г / на Г, то Ф(/) ^ 1шГФ(/„).

Замечание 1. Для монотонного функционала Ф [если 0 ^ / ^ д, тго Ф(/) ^ Ф(д)] 1° выполняется автоматически, а 5° означает непрерывность Ф снизу [ если /„ | / на Т, то Ф(/) = НтФ(/„).]

Пусть МФ = {/ € М : Ф(|/|) < оо}. Формула р{/,д) := Ф(|/ - д\) определяет на Мф симметричную праметрику ([5], с. 31), а последняя порождает в Мф топологию тр. С помощью 3° можно установить, что семейство шаров В£(/) := {д € Мф : р(д, /)<£}, £ > 0, образует сазу (не обязательно открытых множеств) топологии тр в точке /.

Замечание 2. Соглашение "оо — оо = оо", принятое в 4°, можно оыло бы заменить и таким "оо —оо — 0". Основная теорема 1 может эыть доказана и в этом случае, если несколько изменить условие 1°, а именно потребовать

1°а. Если 0 ^ / ^ д п.в. и ИтФ(^) = 0, то ИтФ(/) = 0. При этом вторую часть требований в 4° можно опустить, оставив лишь первую: Мф + Мф С Мф.

Впрочем, необходимость в каких-либо соглашениях относительно зо — оо отпадает, если функционал Ф удовлетворяет условию

Ф(Я = Цд) при / ~ д,

что обычно и встречается в конкретных случаях. Тогда Мф можем считать состоящим только из конечных функций, так что Мф будет аддитивной группой с групповой топологией тр.

Замечание 3. Если Ф(/) = Ф(д) при / ~ д, то можно перейти к фактор-множеству М := М/ ~ и на М+ корректно определить

функционал Ф(/) := Ф(/), / £ /, также обладающий свойства 1° — 5°. В этом случае (М$,Тр) будет топологической группой счетной локальной базой и по теореме 8.2 из [6] т~р псевдометризуе эквивалентной праметрике р псевдометрикой й : ¿(/п,/) —► О Ф(|/„-/|)-0.

Мы не будем специально оговаривать перехода к фактор-мно ству, однако в подходящих случаях будем его подразумевать, о ждествляя при этом, как принято, каждый элемент / бМс прог вольным его представителем д € /.

Замечание 4. В дальнейшем, говоря о сходимости, фундаме тальности, полноте (в Мф), мы имеем в виду "относительно прам трики р(/,д) = Ф{Ц-д\у\

2.Вспомогательные предложения

Докажем сначала три леммы, используемые в доказательст основной теоремы.

Лемма 1. Пусть функционал Ф удовлетворяет условию и пусть (}тп) двойная последовательность в М+, для котор ФЦтп) -*т,п 0. Тогда V (еп), еп > 0, 3 (кп) в 14, кх < к2 < такая, что

ф(Е/м,+1) (1

для любого т £ N и любого п — 1 ,ш.

Доказательство. Пусть. >0, п € N. Можно считать, ч £] > £2 >•••>£„>... В силу 3° по £\ найдем ¿1 ^ £2 такое, чтоб из неравенств Ф(/),Ф(д) < ¿1 вытекало Ф(/ + д) < £1, а затем по 8 найдем (в силу Ф(/„„,) —» 0) такой номер чтобы при п ^ к\ выпол нялось неравенство Ф(Д-1П) < 8\. Тогда справедливо утверждение:

если п ^ ки 91 € М+ и Ф(91) < 8Ъ то Ф(Д1П + щ) < е\. (2)

Теперь по 8\ найдем 82 ^ £3 такое, чтобы из Ф(/),Ф(<?) < 62 вытекало Ф(/ + д) < ¿1, а затем по 82 - номер к2 > к\ такой, чтобы при п ^ к2 было Ф(/к2п) < 82■ Тем самым получим, что справедливо утверждение:

если п ^ к2, р2 € М+ и Ф(^2) < ¿2, то Ф(Д2„ + <р2) < ¿1 < гг2. (3) Полагая в (2) п = к2 и = /¿2„ + (р2, будем иметь:

если п ^ к2, 92 € М+ и Ф(9г) <82, то верны неравенства

Г Ф(/м2 + А-2П + 92) < £1 1 Ф(Л2П +92) < < £2

предположим, что мы уже нашли числа <5,- ^ с,-+1, = 1,2,..., т — 1, и к] < к-2 < ... < 1 такие, что справедливо

гверждоние:

если п ^ А:ш_ь 9?т_1 бМ+и Ф(0т-1) < ¿т-1, то

Ф(/М2 + /Мз + ••• + Лт-Ш + 1) <

®{fk2k3 + 1к3кл + . . . + /fcm_,n + 9т-1) < ^ £2

(5)

in + 9 т—1 ) < 6 m—z ст—1

Покажем, что в каждом из этих неравенств сумму можно удлинять на одно слагаемое и одновременно увеличить на единицу число

неравенств.

В силу 3° по 6т~ 1 найдем 6т ^ em+i такое, чтобы из Ф(/), 5:д) < 8т следовало Ф(/ + д) < ¿>т-ь а затем по 6т найдем номер i™, > кт-1 такой, чтобы (в силу Ф(fmn) —>т,п 0) при п ^ кт было 5[fkmn) < Тем самым получим, что справедливо утверждение:

если п ^ кт, <рт G М+ и Ф(9ТО) < 6т, то

Ф(fkmn + 9m) < ¿m-1 ^ ет. (6)

Полагая в (5) п — кт и заменяя <pm-i на Дт„ + ¡рт получим

справедливость утверждения:

если п ^ кт, ipm € М+ и Ф(9„,) < <5т, то

' фUkxk2 + • • • + /*m_i*m + fknn + 9m) < tl Ф(/,Ыз + • • • + fkm-ikm + Дт„ 4- 9т) < ¿1 ^ £2

(7)

Ф(Л-т_,*т + /*тп + 9 т) < + 9

Таким образом, мы на каждом этапе имеем возможность сделать новый шаг, увеличивая число неравенств и число слагаемых в каждом из них. Продолжая рассуждения по индукции, получим последовательности чисел 8п ^ £п+1 и номеров к\ < к? < ... < кп < ..., для которых выполняются неравенства вида (7) при любом т, если

г :•:..■ гг ^ k^ и Ф(ipm) < 6m. Полагая, в частности, n = km+ \ и = получим, что (1) выполняется при любом т £ N и любом -j = 1,т, Лемма доказана.

Лемма 2. Если в лемме 1 Ф удовлетворяет условию 5°, то i (£„), с„ > 0, 3 (кп) в N, такая, что

Ф п = 1,2,... (8)

Доказательство. По лемме 1 имеется последовательность (&„), для которой при любых п и т ^ п выполнены неравенства

тоо

Так как £ Т.Е Д*,-+1> то по 5°

г~п г—п

\ ! :=Ц / \ г = П /

Идея доказательства следующей леммы та же, что и в случае метрических пространств.

Лемма 3. Пусть Ф удовлетворяет условиям 1°, 3° и пусть последовательность (/„) в М такова, что Ф(|/п — /т|) —>т,п 0. Тогда если существуют / £ М и подпоследовательность (Дп) такие, что Ф(|Дп - /|) -+„ 0, то и Ф(|/п - /|) -»„ 0.

Доказательство. В силу фундаментальности (/„) имеем ф(|/„ - AJ) —О и в то же время Ф(|fkn - /|) -»„ 0. Тогда по 3° и Ф(|/п - fkn\ + \hn -/|) -*п 0. Поскольку I /„| /я -/J + |ДЯ -/I на Г. то по 1° и Ф(|/„ - /|) 0.

3.Основная теорема

Теорема 1. Если функционал Ф на М+ удовлетворяет условиям 1° — 5°, то множество Мф полно.

Доказательство. Пусть (/„) - фундаментальна в Мф : Ф(|/п — /т|) —>т>п 0. В силу леммы 3 нам достаточно доказать, что имеются / 6 Мф и подпоследовательность (Дп) такие, что Ф(1Ач - /I) 0.

Для двойной последовательности (|/„ — /т|) в по лемме 2 зайдется последовательность |Д ~ Д+1| (кп < кп+\) такая, что

Ф

\ г'=п /

Пусть А=ПЛЕ |Д+1 - Д| = оо . Так как

n=l \i—n J

ф (е 1Л.+, - < ф, ТО А е Ко. Если t £ Ас, то при некотором р

оо

будет Y1 | /*n+1(i) - fkn(t)\ < оо, в частности, при п^р все |Д(г)[ <

п=р

оо

эо, а поэтому ряд fkp(t) + [ Д+1 (<) - fkn{t)] абсолютно сходится, а

п=р

его сумма равна lim Д(£). Положим

f lim/*„(*), если t e Ac f(t) — < n

I 0, если t G A.

Осталось показать, что / € Мф и Ф(|/ — Д |) —>„ 0. Для любого t Ас имеют место неравенства (при m > п)

m оо

1ДЛ*) - Л-uWI ^ £- A.WI < £ I^W) -

г'=гг г'=п

откуда в пределе при m —► оо получаем

оо

1/(0 - < £ !/*»,(*)-ЛЛ01-

г—п

Последнее неравенство выполняется и при t Е А и любом гг, ибо в этом случае правая часть при любом п равна со.

Поскольку Ф (е |Д+1 - Дj) < 1 - 0, то по 1° и Ф(|/-Д|) -

0. Кроме того, при некотором п / — Д £ Мф, а значит и / € Мф, ибо / ~ Д + (/ - Д). Теорема доказана.

4.Применения основной теоремы

I. Пусть (Г, - пространство с мерой, CRq = /¿-1(0) — а-кольцо множеств нулевой меры, М - класс всех измеримых функций / :

Т —► К, р > 0. Определим на функционал

Тогда класс Мф совпадает с пространством £Р(Т, 31, //) (или если перейти к фактор-пространству, см. замечание в п. 1), а Ф на нем можно задать равенством

ф(f) = J »-"I ' есЛИ Р^1

Ш \ d{f, 0), если 0 < р < 1,

где d - вводимая в Ьр при 0 < р < 1 метрика: d(f, g) = fT\f — g\pdft. (см. [7], с. 45).

Нетрудно проверить выполнимость 1° — 5° (5° следует из теоремы Лев и) и тем самым получить полноту IP, 0 < р < оо, как следствие из теоремы 1.

II. Пусть 31,31о,М,М+ - те же, что в п. 1. Определим на М+ функционал (называемый существенной верхней гранью):

Ф(/) - vrai sup f(t) := inf{a € I+ : f(t) < a п. в. на Г}.

На множестве L°°(T, Л, 3?о) •'= Мф он определяет монотонную полунорму H/Il«, = Ф(|/|), на М+ удовлетворяет условиям 1° — 5°. Проверим, например, 5°. Пусть 0 ^ /„ | / и пусть sup Ф(/п) = а. Если et < Ф(/), то А — Т(/ > а) %). В то же время для всех п имеем

I оо

fn(t) ^ а п.в., т.е. А0 = U T{fn > а) € Тогда на .А \ А0 £ %

п=1

будет нарушено условие fn(t) | f(t), вопреки предположению.

По теореме 1 пространство L°°(T, % 3?о) полно. В частности, если (Т,А,ц) - пространство с мерой, З^о = /¿-1(0), то L°°(T, Л, /л) - полно.

III. Более общим результатом, вытекающим из теоремы 1, является теорема 4 на с. 143 в [8]. Пусть (X, || • ]|) - нормированное идеальное пространство (НИП) на измеримом пространстве (Т, 3?). Погрузим X в M и на М+ определим функционал

ф(/) f № fex*

[J> \ +oo, / €M+\ X+.

Предположим, что норма в X удовлетворяет условиям (см. [8], с. 142-143):

(B) если (К /л / е м+ и вир ||/п|| < ОС1, то / € А'

(C) если 0 ^ /п | / € X, то ||/„|[ —► ||/|| (непрерывность снизу). Гэгда для Ф будут выполнены условия 1° —5°, а поэтому имеет место

Теорема 2. ([8], - с. 143). Если в НИП X норма удовлетворяет хловиям (В) и (С)', то X - полно.

Отметим, что наше доказательство никак не связано со сходимостью по мере (использованной в [8]).

IV. Еще одно пространство, к которому применима теорема 1,

ззято из [1]. Пусть (Г, Л, р),Ла,М - те же, что и в I. Пусть N : К.+ —►

непрерывная неограниченная возрастающая функция, причем

ДГ(2 и)

У {и) = 0 и ~ 0 и йир< оо (см. [1], с. 18). Положим

цля / е М+ Ф(г) — JTN(\f(t)\)dp. Тогда множество МФ (после факторизации) совпадает с пространством АГ{Ь(Т, 3?, /.¿)), введенным на с. 19 в [1], а Ф(|/|) - с модулярной функцией рм{}) на с. 18 там

Без труда проверяется выполнимость 1° — 5° (проверка 5° опирается на теорему Леви), следовательно по теореме 1 пространство полно.

V. Еще одно применение теоремы 1 связано с пространствами измеримых функций абсолютно интегрируемых относительно неад-штивных функций множества.

Пусть р - субаддитивная нечеткая мера на а-кольце Л С 2Т т.е. функция р : "Л со свойствами: а) ¿¿0 = 0, рА ^ рВ

при А С В; б) р(А и В) ^ рА + рВ\ в) рАп —► рА при Ап | .4: от условия непрерывности р сверху мы отказываемся, ср. [9]], — р~1(0). Интеграл Шоке (по р) на М+ определяем равенством

оо

^¡йр := J рТ(/ > \)(1\ и положим Ф(/) := р > 0.

о

Применяя свойства интеграла, приведенные в [10], можно показать, что Ф удовлетворяет условиям 1°—5°, а множество Мф является линейным пространством (соответствующее фактор-пространство, как и в случае меры, обозначают Ьр = ЬР(Т,А, р)). Из теоремы 1 следует полнота Ьр относительно "квазинормы" Ф(/). Отметим, что пространство Ьр используется, в частности, в теории интегрирования по векторной мере.

Литература

1. Rolewicz S. Metric linear spaces.Warszawa: PWN.Polish Scientific Publishers, 1972.

2. Порошкин А.А. О полноте некоторых функциональных пространств/ / Теория функций: Тезисы докладов Всероссийского семинара. Сыктывкар: СыктГУ, 1993. С. 44-45.

3. Порошкин А.А. Об одном обобщении теоремы о полноте.Сыктывкар: Коми педаг. ин-т, 1993. 19 с. Деп. в ВИНИТИ 18.05.93 №1293-В93.

4. Халмош П. Теория меры. М.: ИЛ, 1953.

5. Архангельский А.В., Федорчук В.В. Основные понятия и конструкции общей топологии//Итоги науки и техники. Серия: Современные проблемы математики / Фундаментальные направления. Том 17. М.: ВИНИТИ. С.5-110.

6. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. T.I. М.: Наука, 1975.

7. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.

8. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ.

М.: Наука, 1977.

9. Ralescu D., Adams G. The fuzzy integrals///. Math. Ann. and Appl. 1980. V.75, №2, P. 562-570.

10. Порошкин А.Г., Баженов И.И. Один способ интегрирования по монотонным функциям множества// Упорядоченные пространства и операторные уравнения: Межвуз. сб. на-учн. тр. Сыктывкарский ун-т. Сыктывкар, 1982. С. 28-41.

Summary

Poroshkin A. A. On one generalization of the theorem on completeness

An abstract theorem on completeness for some classes of measurable functions is proved. Theorems on completeness of spaces Lp, p > 0, L°°, normed ideal spaces (with some additional restrictions on the norm) and some others spaces follow from this theorem.

Коми педагогический институт Поступила 8.02.95