К вопросу о порядковой непрерывности функционала Шоке Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1.Вып.5.2003

УДК 513.88

К ВОПРОСУ О ПОРЯДКОВОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИОНАЛА ШОКЕ

А. Г. Порошкин

Выясняется связь между непрерывностью по направлениям нечеткой меры и порожденного ею функционала Шоке.

В работе исследуется вопрос о связи между порядковой непрерывностью функционала Шоке на Ка-пространстве со слабой единицей и непрерывностью порождающей его нечеткой меры на базе этого пространства. Терминология, принятая в работе, в основном соответствует монографиям Б.З.Вулиха [1], Д.А.Владимирова [2], а также главе X монографии Л.В.Канторовича и Г.П.Акилова [3].

Предварительно докажем два вспомогательных предложения о предельном переходе под знаком интеграла. В них речь пойдет о положительных монотонных функциях, заданных на промежутке < а,Ь >С И, так что и предельная функция также будет монотонной в том же смысле, а поэтому интегралы от них можно понимать как в смысле Лебега, так и в смысле Римана. В особых случаях, когда интегрируемая функция / равна +оо в точках некоторого промежутка < а,/? >С< а,Ь >,

ь

можем считать, что интеграл (Я) / /(\)с1\ определен с помощью сече-

а

ний 1

г л т _ /ЛЛ) при а ^ п, [Пп[Х)-\ п при А > п

1 Учитывал принятые в теории упорядоченных пространств обозначения и наш подход к определению функционала Шоке, нам будет удобно обозначать аргумент подинтегральной функции буквой Л.

© Порошкин А. Г., 2003.

и предельного перехода (R) f fdX = lim J[f]ndX. Понятно, что в этом

а а

b Ь

случае (R) f fdX = (L) f fdX = +00.

а а

Следующая лемма обобщает (правда, с оговоркой о монотонности функций) классическую теорему Леви на случай обобщенных последовательностей (направлений).

Лемма 1. Пусть (/а)аел -возрастающее направление положительных монотонных (в одном и том же смысле) на промежутке < а,Ь >С К функций и /(А) = Нт/а(А). Тогда

а

Ь Ь

=Ит"У /в(А)«/Л. (1)

а Ь

Доказательство. Понятно, что Г f(X)dX ^ lim f fa(X)dX. Устано-

а

а а

вим противоположное неравенство. Будем считать все fa й / убывающими (в случае возрастающих fa и / рассуждения аналогичны).

А. Если I = J fdX - собственный интеграл (следовательно, а,Ъ G

а

R, / определена на [а,Ъ] и ограничена), то для произвольного е > О найдется разбиение т = {а = А0 < Aj < ... < А„ = Ь}, в котором

п-1

нижняя сумма Дарбу s(f,r) = ^ mkAXk удовлетворяет неравенству

к—О

s(f, т) > I — -. Здесь в силу убывания / гпк = /(A^+i), к = 0,1,..., п — 1.

£ п-1

Если положим ск = гпк-—г-- и д(Х) = cfeifyfc)>- )(A), то получим

¿{Ь - а) к-0

b , -

/П— 1 71— I

g(X)dX = скАХк = £ (тк - ) ДА, =

Ь—П 1—п V >

к=0 fc=0

Ь

= *(М-1> I /(\)ах-е. (2)

а

При каждом А; = 0,1,...,п —1 имеем /0(А,+г) /(^н-г) > СЬ поэтому найдется а, такой, что при а ^ ак будет

> с*- (3)

Если взять а ^ а0, а1?..., ап_1, то неравенства (3) будут выполняться при а ^ а уже одновременно для всех к. В силу убывания функции /

при а ^ а имеем,/а(А) > /а(Л^+1) > ск для Л € [\к, А^) и для всех к. Отсюда в силу (2) следует, что

Ь . Ь - 6

I /а(А)«*А > ^ д(Х)(1\ > I /(А)*А - е,

а а а

и перейдя к пределу по а, в силу произвольности е, получим

" - - ■ V • • 6 Ь

lim J fa(X)dX > j f(X)dX.

а

b

Б. Пусть теперь I = J fdX - несобственный риманов интеграл,

а

сходящийся или нет (особыми могут быть лишь точки a,b). Для произвольного £ < I найдем такие.,с > а, d < b, чтобы было

d

£ < j fdX < +оо.

с

4 d

Для собственного интеграла f fdА по доказанному в п. А имеем

с

Ь ' d d

Wm-J fa{X)dX> lim J fa(X)dX > J f(X)dX >

с

6

что в силу произвольности'£ < I означает lim J fa(X)dX ^ I.

а

,, _ . , а

В. В особом случае, если /(А) = +оо при А £<a,d] C<a,b>, мы имеем lim /а(d) = f(d) = +оо, так что для любого п 6 N найдется

а

■ Ь

ап € Л, что при а ^ ап будем иметь fa(А) ^ п и J /a(A)dA ^ n(d — а),

•• ь ' Ь

откуда в силу произвольности n lim Г fa(X)dX = +оо = Г f(X)dX.

а

а а

Замечание 1. Условие монотонности функций fa в лемме 1 является существенным: например, если < а, b >= [0,1], А = {а} - семейство конечных подмножеств [0,1], упорядоченная по включению и

' ' • - - 1 fa(А) = Ка{А) - индикатор множества а, то /а \ 1, однако J fa(X)dX =

о

= 0 У а и lim f fa(X)dX ф fldX. , ч

I аким образом, теорема Леви, справедливая для обычных последовательностей функций, на обобщенные последовательности не распространяется, если на функции fa не наложить дополнительных требований (даже если предельная функция измерима).

Лемма 2. Пусть (fa)aeA ~ убывающее направление положительных монотонных (в одном смысле) на промежутке < а, Ъ >С R

ь

функций и /(А) = lim/а(А). Тогда, если J fß(X)dX < +00 для неко-

а

а

торого ß G А, то

ь ь

J f(X)dX = lim J fa(X)dX. (1)

а а

Доказательство как и выше проведем для убывающих функций fa. Из монотонности интеграла по функциям следует ь ь

I f(X)dX < lim I fa(X)dX (< +00), (4)

а а

и нам остается получить противоположное неравенство.

ь

А. Предположим сначала, что интеграл / fao(X)dX (а, значит, и

а

Ь

f f(X)dX) - собственный, так что а, b £ Rh можем считать < а, Ъ >=

а

[а. 6]. Взяв произвольно е > 0, найдем такое разбиение т = {а = Ао < А] < ... < А„ = 6} сегмента [а, 6], в котором верхняя сумма Дарбу

п-1

5(/, г) = Mk&Xk удовлетворяла бы неравенству

4

w,r)< j J{X)dX +e~. (5)

а

Заметим, что здесь М* = /(А*), к = 0,1,..., п — 1. Положим теперь

ск = Мк + -г и введем функцию

2(0 — а)

МА) = f>A^+l)(A)-

к=О

Ясно, что h(X) > /(А) VA € [а, 6), причем в силу (5)

I I h(X)dX = Е (М* + ^ГГа)) АЛ* = т) + | < / А)<Д +

При каждом к■= 0,1,..., п — 1 имеем fa(Xk) I f(Xk) < ск, поэтому для каждого ,fc найдется a.k ^ ß такой, что при а ^ а^ будет fa(Xk) < ск.В силу убывания функции fa неравенство /а(А) < с*, будет выполняться при о; ^ а*; и при Л 6 [Afc, Afc+i). Поэтому если взять a ^ а0, ai,..., an_i, то при ос ^ а и любом А £ [а, Ь) будет выполняться неравенство /а(А) < /г(А). Значит,

ь ь ь

lim J fa(X)dX% J h(X) < J-f(X)d\ + e,

откуда, в Силу произвольности £, lim/ fa(X)dX ^ f /(А)dX,, что вместе

а а а

с противоположным неравенством дает равенство (1).

V ь

Б. Пусть теперь все интегралы J fa(X)dX несобственные. Для е > О

а

подберём [а', Ъ'} С< а,Ь > так, чтобы

, • о' . Ь ^ "

J fß(X)dX + J fß(X)dX < е.

а ' V

Тогда, тем более для функций / и /а,- а ^ ß, имеем а'. " Ь - о' Ь ■

J f(X)dX + J f(X)dX < £ и I fa(X)dX + j fa(X)dX < е.

а 6' a 6'

Последние неравенства равносильны следующим

Ь Ь' Ь Ь'

' ..... +5.

I /(А)сгл <у ■/(+ еи I /а(Х)ЗХ < I /а(Л)^Л

а а' а а1

Переходя к пределу по а в последнем неравенстве и учитывал справедливость равенства (1) для собственных интегралов, получим

ь

lim J fa(X)dX ^ lim J fa(X)dX + г = j f(X}dX + e ^ J f(X)dX + e,

а а' а' а

ь ь

или, в силу произвольности £, lim f fa(X)dX ^ f f(X)dX, что вместе с

а а а

(4) дает равенство (1).

Замечание 2. Без предположения монотонности функций на

< а,Ь > лемма 2 также неверна. Так, если А = {а} - совокупность

всех подмножеств сегмента [0,1] меры 0, упорядоченная по включению,

1

то направление функций /а = 1 — Ка 4, 0 = /, однако, J /ай\ = 1 не

о

0 = / (IX. о

В общем случае предельная функция / может оказаться и неизмеримой.

II.

Кратко напомним определение функционала Шоке (см. [4, 5, 6]). Пусть X — К„-пространство со слабой единицей 1 [3], 2 Е - база X [1], ¡л - нечеткая мера на Е (т.е. функция ¡л : Е К+ со свойствами: а) цО = 0; б) ^ це2 при е\ ^ ег). 3 След элеменгта х € X обозначаем

ех, а характеристику х — (ед)ден, ([1], с. 119), означает оператор проектирования на компоненту, порожденную элементом х.

Для каждого х € X введем два семейства единичных элементов

[4-6]:

а1:=(е1)'= 1 - е'х, Ь*х := е{Х1_х)_ = ((А1 - х)_) 1, А € К.

Ввиду того, что для любого и 6 X имеем = (—и) V О = (—гг)+, Ьх можем выразить иначе, используя характеритику элемента (—ж):

Ьхх = е(А1_х)_ = е(_Д1_(_ж))+ = е1®.

Семейства (а®), (Ьх) убывают от 1 до 0, причем для А2 < А < Ах имеем аА1 ^ ^А ^ °л ^ Ь% ([4-6]). Кроме того, они удовлетворяют следующим условиям (подробные доказательства см. в [6]):

а) если € X, £ € Е, и х = 'т£х^, то ах = ахх УА € II, отсюда, в частности, следует

б) если ха х, то аха 4- ах (непрерывность ах по убывающим направлениям;

в) если х^ £ X, £ 6 Н, и х = вирх^, то Ьх = эир6д{ УА £ Я; в

( (

частности, отсюда получаем непрерывность Ьх по возрастающим направлениям при любом А € П.:

2В [1] - А',?-пространство с единицей. Слабая единица - это элемент и 6 X, удовлетворяющий условию «А|ж|>0Уа;€Х \ {0}.

3В определении нечеткой меры из [7] мы оставили лишь два основных свойства, опустив свойства непрерывности. В необходимых случаях мы их будем особо оговаривать.

г) если ха х, то ЬХа |а Ьх.

Кроме того, из а),, и б) следует монотонность а® и Ьх по х при фиксированном Л:

д) если х < хь то ахх ^ а*1, Ъхх ^Ъхх\

Имея нечеткую меру р : Е —> Й. , определим для каждого х е х+ две положительный убывающие числовые функции на [0, +оо):

Из указанных выше свойств ох, Ьх и монотонности р. следует, что при Л2 < Л < Лх выполнены неравенства . . .

' < У.САгТ^ ¿.(Л) < /А)' ,

откуда, в свою очередь, "следует, что'в точках'непрерывности (т.е. почти всюду на [0*, +оо) относительно меры Лебега) функции дх и совпадают, а поэтому _ ■

-}-оо +оо

/ ' г ' I дх(ЩПА = У

• V и , , о

Эти два интеграла и определяют функционал Шоке на А'+, порожденный нечеткой мерой р: "

+оо +оо

= У иА)^А = ! ]х{Х)<1\. (6)

Понятно, что ^д(О) = 0 и 0 ^ ^^{х) ^ + оо \/х Е Х+. Кроме того, в случае непрерывности р по последовательностям (снизу, сверху, осг-непрерывности) аналогичным свойством обладает и ([5], с. 70; [6], с. 28)., ,

Ниже мы усилим последнее утверждение; покажем, что в случае непрерывности р по направлениям в том или ином смысле этим же свойством обладает функционал

III.

Теорема 1, Функционал (р^ непрерывен на Х.+ по возрастающим направлениям тогда и только тогда, когда непрерывна на Е по возрастающим направлениям нечеткая мера р.

Доказательство. Пусть р непрерывна по возрастающим направлениям, ха £ А'4 и ха ж. Тогда в силу предложения г) из п. II Ъха Ьх, а поэтому

9хЛх) = VA € R.

По лемме 1

+оо +оо

<Рц{ха) = J 9xa(^)dX ta J Sfc(A)cfA = w(x). 0 0

Если же <рм непрерывна по возрастающим направлениям, то такова же и ц = (см. [5], с. 70; [6], с. 25).

Теорема 2. Функционал условно непрерывен по убывающим направлениям (т.е. ха G Х+, xa j. х « <у?м(хао) < +оо для некоторого «о € Л <Рц{ха) 4- (рЛх))> тогда и только тогда, когда аналогичным свойством обладает нечеткая мера ¡л на Е.

Доказательство. Пусть [i условно непрерывна по убывающим направлениям: еа G Х0, еа | е и цеао < +оо для некоторого a0 € А

+оо

цеа J, fie. Пусть ха G Х+ и ха \. х, причем (р^(хао) = J fXag (A)dA < +оо

о

для некоторого аго. Значит, /rao(A) = < +оо при любом А > 0.

Так как по предложению б) из п. II ахха | a* при любом А > 0 и ц условно непрерывна по убывающим направлениям, то цахха 4- (А > 0), или /Хв(А) 1 fx(А), А > 0. Значит по лемме 2

+оо +оо

= J Л0(А)</А 4 J fx(X)dX = <р„(х).

о о

В свою очередь непрерывность ц из непрерывности снова следует в силу равенства ч>ц\е =

Определение 1. Элемент х G X назовем ^-суммируемым, если

Класс всех //-суммируемых элементов X обозначим Х(/л), а всех положительных ¿/-суммируемых элементов - Х+(р).

Поскольку функционал положительно однороден на Х+ ([5], с. 70; [6], с. 25), то множество Х(ц) будет однородным подмножеством (aX(fj,) = Х(/л), a G R), а Х+(/л) - положительно однородным подмножеством (aX+(//) = X+(fx), а ^ 0) пространства X. Кроме того из монотонности следует, что Х(ц) является солидным (х G X, у G Х(/л), |х| ^ |j/| =>• х G Х(ц), см. [3], с. 364). Поэтому для любой нечеткой меры Х{ц) есть солидное однородное подмножество X.

Далее из ч>»\е = M следует, что для единичного элемента е G Е условия е G Х+(р) и це < +оо равносильны.

Теорема 3. Пусть (.ха)с<ел ~ направление в Х+(р), х £ и пусть р - непрерывная снизу.и условно непрерывная сверху нечеткая мера. Тогда если ха.-—> х, то (рм(ха) —> ^^{х).

Доказательство. Пусть (ир)р<=в и (и7)7ег - направления н X4 (ц), сжимающие ха к х соответственно снизу и сверху. Для любых фиксированных ¡3 и 7 найдется индекс а0 :== а(/3,7) € Л такой, что ир ^ ха ^ v1 при а ^ а0. Тогда и х; £ [и/з,и7].. В силу предположений о нечеткой мере рь по теоремам, 1 и,,2 получаем ^р^(ир) ^ 4-

Значит и 1р^(ха) </?д(х).

IV.

Рассмотрим следующие два возможных продолжения ^ с Х+(ц) на

ВД:

Понятно, ЧТО [<^'(х)[ ^ (^'д(г)!ДЛЯ любого X £ Х(р). >-

На основе теоремы 3 можем доказать, что справёдлива следующая Теорема 4. Если р непрерывна по возрастающим и условно непрерывна по убывающим направлениям, то (р'и и ср" о-непрерывны на

ад-

Действительно, если ха ——> х в то и \ха\ —> |х|, —У

х+, х~ х~ в А'(//). По теореме 3 (¿>м(|ха|) -> (^(И)',.->

и ^Дх"), откуда.следует (¿>'Дха) (¿>Дх) и

у;;(.г). . . .. .. .

Если на р наложить дополнительно ограничение, типа субаддитивности, то можно выявить дополнительные свойства множества Х(р).

Определение 2. Нечеткую меру р. назовем Л - су баддитивной. если существует число N ^ 1 такое, что р(е1 \Ле2) ^ ¿¿е2) для

любых еье2 £ Е. .

Теорема 5. Если р N-субаддитивна на Е, то (¿>м удовлетворяет условиям:

Б) <рц{\х\ + \у\) ^ 2ЛГ[у>Д|х|) + <^Д|у|)].

Доказательство. По предложению в) в п. II имеем, ЬдХ'У,'у' = Ьд7' V 6д' V А £ Й, а поэтому

оо оо оо

А) V |у|) = /М^1 V Ь^А^/ИГ1 +

Далее из неравенств |х|, \у\ ^ |х( V |у|, |х| + |у| ^ 2(|х| V |у|), монотонности и положительной однородности ^р^ с помощью А.) получаем

Б) <^(М + МК ^(2(к|У|у|)) = 2^(|х|У|у|)^ 2ЛГ[^(|х|) + ^(|у|)].

Следствие. Если fx ЛГ-субаддитивна, то X(fi) есть векторная подрешетка X и идеал (линейное солидное множество, [3], с.364).

Действительно, пусть х,у Е X(fi). Тогда по А) в силу неравенств \х Л у\, \х V у\ ^ V |у| получаем х V у, х Л у € X(p) и X(fi) - векторная подрешетка X. Далее по Б) в силу неравенств |х+у| ^ |х| + |у| получаем х + у £ X(/i), а так как выше отмечено, что из х € Х(ц) следует \х £ X(fj.) V А £ Л, то X(fi) есть линейное подпространство X.

Литература

1. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М.: Физматгиз, 1961. 407 с.

2. Владимиров Д.А. Булевы алгебры. М.: Наука, 1969. 318 с.

3. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 744 с.

4. Порошкин А.Г. О метризуемости порядковых топологий в К-пространствах//Сыктывкарский ун-т. Сыктывкар, 1981. 16 с. / Деп. в ВИНИТИ № 734-81 Деп.

5. Порошкин А.Г. К вопросу о метризуемости секвенциальной порядковой топологии в упорядоченных группах и векторных пространствах/ /Вестник Сыктывкарск. ун-та. Сер. 1: мат., мех., инф. 1995. Вып. 1. С. 68-74.

6. Порошкин А.Г., Шергин Ю.В. О функционале Шоке и одном его применении в теории мерыj¡Вестник Сыктывкарск. ун-та. Сер. 1: мат., мех., инф. 2001. Вып. 4■ С. 21~40.

7. Ralescu D., Adams G. The fuzzy Integral//Journal of Mathematical Analysis and Applications. 75.(1980). P. 562-570.

Summary

Poroshkin A. G. On the problem of order continuity of Choquet functional

The problem of order continuity of Choquet functional is considered in connection with the corresponding continuity of fuzzy measure that generates this functional.

Сыктывкарский университет

Поступила 27.06.02