CC BY
29
ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ВЫЧИСЛЕНИЙ НЕСТАНДАРТНЫХ, НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ Хакимов А.1, Турсунова Э.М.2, Кодирова Ш.Т.3 Email: [email protected]
1Хакимов Абдусалом - кандидат физико-математических наук, доцент; 2Турсунова Этибор Муминовна - преподаватель; 3Кодирова Шойира Тураевна - преподаватель, кафедра методики обучения математике, Навоийский государственный педагогический институт, г. Навои, Республика Узбекистан
Аннотация: в высших учебных заведениях при изучении дисциплин, таких как теория вероятностей, математический анализ, у студентов возникают определенные трудности с вычислением некоторых нестандартных несобственных интегралов, так как в общем случае отсутствует возможность вычисления несобственных интегралов непосредственно с помощью таблицы интегралов.
В данной статье показаны вычисления нестандартных, несобственных интегралов с применением методов и замены переменных и разложений функций ряда Тейлора. А
1 ю -— 1
также доказаны равенства I e 2 dx = — и J ln (-1— =-ln2- , с
r% J ry CI \x—<2/ X 2. Q,
V2n 0 2
помощью двукратных интегралов и замененных переменных. Вычислен
n
несобственный интеграл | ln _ 2a cos x + a2)dx = J и доказано, что
J/(x)dx -
0
0, если || < 1
тт1п2, если a= 1 'f(x) =ln(1 "2lcosx + |2)• 2n\na если Ы> 1
+ e
При вычислении интеграла J использованы формулы Эйлера msx = ■
2
xi _ xi
e _ e
sin x =-.
2i
Ключевые слова: интеграл Пуассона, формулы Эйлера, нестандартные интегралы, несобственные интегралы, преобразования, трансцендентные функции.
ON ONE METHOD FOR CALCULATING NON-STANDARD, NONPROPER INTEGRALS
1 2 3
Khakimov A. , Tursunova E.M. , Kodirova Sh.T.
1Khakimov Abdusalom - PhD in Physics and Mathematics, Associate Professor;
2Tursunova Etibor Muminovna - Teacher; 3Kodirova Shoyira Turaevna - Teacher, DEPARTMENT OF MATHEMATICS TEACHING METHODS, NAVOISTATE PEDAGOGICAL INSTITUTE, NAVOI, REPUBLIC OF UZBEKISTAN
Abstract: in higher educational institutions, in the study of disciplines such as probability theory, mathematical analysis, students have certain difficulties with calculating some non-
standard improper integrals, since in the general case there is no possibility of calculating improper integrals directly using the table of integrals.
This article shows the calculation of non-standard, improper integrals using methods and
changes of variables and expansions of functions for the Taylor series. And also the
2 2 -.да x2 -x -.да x
1 I- -yd_ 1 1 Г "У d= 1
equalities were proved with the help of J e dx = 2 of J e ax 2 double
integrals and change of variables. A method for calculating non-standard, improper integrals. The improper integral is calculated and it is proved that 0, если \a\ < 1
я 1 1
J f (x)dx = < я ln 2, если a = 1
0 [2я1па если \a\>1 f(x) = ln(1 -2acosx + a2)
When calculating the integral J, Euler's formulas were used cosx
xi — xi
e — e
sin x = ■
2i
Keywords: Poisson integral, Euler's formulas, non-standard integrals, improper integrals, transformations, transcendental functions.
УДК 378.1
Данная статья посвящена частичному решению поставленных выше задач. В
i z x
частности, она посвящена вычислению интеграла Пуассона ¿ = 1 fe Т dx,
который очень часто используется в теории вероятностей и ее реализации, или вычислению несобственных интегралов, полученных из некоторых трансцендентных функций различными способами.
1. Доказать следующее равенство:
2
1 ад x 1
,- I e 2 dx = — . (П) (Интеграл Пуассона)
\2ж о 2
Для этого мы будем использовать следующие отношения:
+ад x2 0 x2 +ад x2 +ад y2
I =| e 2 dx =| e 2 dx ; II = | e 2 dx, 12 = | e 2 dy, I1 = I2 = I
0 —ад 0 0
Рассмотрим вычисление интеграла Пуассона следующими двумя способами: 1 - способ.
Г°° Г°° (х2+у2) Г°° Г°° (ж2+у2)
11-12= 1=1 I е 2 dxdy =1(1 е 2 dx)dy
'о ■'О ■'О ■'О
Теперь давайте сделаем следующую замену переменных:
x =
42z cos р, z g (0, ад) ж
y = V2z sinp, р g dxdy = 2zdzdp
0; 2
x^ . — x/
e + e
2
\2 = £222е-*2<Ь%<1<р = -е-
■<Р
, = 1*^ П'.£ = 1
\2 \ 2 2 2 - Способ. Введём новый параметр ^ (х = yt
[Лх = ydt
После замену переменных получим.
Г°° Г°° (х2+у2)
I2 = I I е 2 йхйу 'о 'о
Г°° (х2+у2)
= 1(1 е 2 йх)йу - ^о
-п
¿о -'о
ОО Г00 /„2 I ..2
г00 г00 : (1+^) Г 1 °°
е 2 с1хс1у= ( уе~У 2 ау)сИ = - ---е~У2(1+^ \<И =
О ¿О 'о ' 1 + £ п
о
О
ОО
7 1 + (
00
7Г
(б"00 - = агадЬ |=- => / =
¡71
Здесь убеждаемся, что вышеуказанное отношение уместно. 2. Доказать равенство предполагая, что интеграл сходится:
I I „ 1 ^ 1п х
ха+-
ха ) х
-Лх = 0, а > 0.
Докажем:
' = 1 / I
1 ) 1п х
Сх =
1 , Л
х = -, Сх = —-
г г
х — а>, г — 0 х -— 0, г — ч
=-1 f I 'а+¿) >'=1 4 1) т
1 ) 1п г
Л =
а
х +
ха ) х
1 /[ха + -1)—Сх = -3 ^ 23 = 0 ^ 3 = 0
0 \ х ) х
3. Вычислим несобственный интеграл: /3 = 1п (—-) Чтобы вычислить этот интеграл, давайте выполним следующую подстановку вида:
х-а х(1 -£)'
ь и (л х\ ь ь
С 0 11 _ 77 / <2х С Ах Г / х\йх
а \ а) а а
- /а& 1пх^~ /а& 1п ( 1-£)^=( п Ъ ) 1пх I +А+В=
а а
= (ЫЬ){ЫЪ - Ыа) - ('п2ь~"г2а) + А + В =
2
21п2Ъ-2ЫЫпа -Ы2Ъ + Ы2а 1п2 -
■ + А + В =—^ + А + В
где А и В будут:
Г х dx Г (x\ndx (хЛп 1 V 1 = = - J ^ w ^ = a +
a a n=1
oo
Z/ач™ 1
и *
n=l
, , oo l
Г a dx Г °° (a\n dx V fa>T 1
В = - I Infi--)— = - (У U "ZU ^ =
J v х> х J Z—i n=i а
OO oo
Z/ач™ 1 Y 1
г2
П=1 П=1
Из этого можно записать формулу /3 кубатуры, учитывая, что А= - В:
/з
Ъ — x\dx In2 ß
Г /Ь — х\ ах
= In- — =
J \х — а/ х
гГ е ~ax coS(2m -1) 4. Вычислим несобственный интеграл: Im = J1
2
oc(9m — 1) x^
dx
m . ,
0 ^ cos x j
Для вычисления Im, найдем специальные точки функции f, если существует
область определения: 10
f e ax cos(2m -1) x, x e R+ \{xm }, xm =Я + лк, k e N v {0}, a > 0, cos x 2
xm - специальные точки.
20. Определим пределы функций в особых точках xk:
lim COS(2m -1)x = (-1)m (2m - 1>
x^xk cos x
Учитывая 10 и 20, подынтегральную функцию интеграла Im можно записать как:
F (t) =
f (t), если t Ф хК,
л
■а\ —улк
(-1) т+1(2т -1)е 12 J, e^ut = х
к
Мера Лебега множества {х} равна нулю.
Следовательно, функция интегрируется на [0; х] интервале (х>0)
х t
J f (t )dt = J F (t )dt
0
Поэтому
Im = lim J f(t)dt
0
Используя формулу Эйлера [2], получаем:
cos(2m -1)x _ -at
cos x
F (t) = e -
(-1)m-1 + 2£ (-1)m-1 cos 2(m - n)t
(-1)m-1 + 2¿(-1) m-1 cos 2(m - n)t
n=1
J F (t )dt = (-1)
-1 ( 1 - e"
с Л m-1 X
+
n=1 0
c0s2(m - П)' = \ (e
2^J e-at cos 2(m - n)tdt )
2(m-n)ti -2(m-n)ti
Последний интеграл можно привести к интегралу, который вычисляется радикалах следующим образом
н
J e~at cos 2(m - n)tdt = Re(A)|
A =
exp(-a + 2(m - n)ti)
(-a + 2(m - n)i)
Выделим действительную часть, комплексной функции, выполнив некоторые подстановки, которые могут привести к следующему удобному виду:
e~at ((cos 2(m - n)t + i sin 2(m - n)t)(-a - 2(m - n)i)) x
A = ■
(a2 + 4(m - n)2)
Re A = ■
1
a + 4(m - n)
(e ax (2(m - n)sin 2(m - n)x - a cos 2(m - n)x) + a)
Итак:
j = lim ((-1)m-'(1 - exp(-ax)) +
a
m-1 / i\n-1
-2Z-
(-1)"
1 (a2 + 4(m - n)2)
( 14 m-1 m-1 Í Л^п-1
^ + 2a£ йЦ
a n=1 (a + n )
• (e ax (2(m - n)x - a cos()m - n)x + a) =
2
5. Вычислим несобственный интеграл: Jn = J cos 2nx ln cos xdx .
0
Для этого воспользуемся формулой интегрирования по частям:
x u = lncos x, du = -tgxdx,
Jn = J cos 2nx ln cos xdx =
ж ж
x = —+1, x = 0, t = — 2 2
dx = dt, x —^ t —^
cos2nxdx = dv, v = —sin2nx 2n
= — sin(2nt) ln cos tlx + 2n |0
1 x sin2nt sin t , 1
— J
9n J
2n 0 cos t 2n
1 x (cos(2n - 1)t - cos(2n + 1)t)
- J'
2n J
dt = — sin(2nx) ln cos x + dt
cos t
n=1
m
a
n
—-0
я
Если x —--0, то получаем следующее:
2
Jn = (-1) "
—— lim
я 1 ln cos x (-1)n-1 • 0,25я ■ч--lim -
(4n) 2n x—я-0 (sin 2nx) 1
2
tgx
2n (2n sin 2nx) • cos 2mx
= (-1)"
0,25
6. Вычислим несобственный интеграл: J ln(1 - 2a cos x + a2 = J
0
Здесь, a < 1 и a > 1.
Для вычисление интеграла отрезок [0, п] разделим на n частей точками xk =
як
функцию f (x) = ln (1 - 2a cos x + a2 ) выразим через формулы Эйлера,
n
а затем
применим формулу вычисления определенного интеграла.
f (x) = ln(a - z)(a - z)
. n-1
я I ln
n к=0
( як \(
як \ n-1 f я. \f
—i я I-Г "
n = _ ln
як
--i
о n
ln (a- 1)(a2" -1) a +1
= - ln
n
J ln (1 - 2a cos x + a2 jdx = lim—ln
J n—^да n
я (a- 1)(a2n +1) f0, если a< 1,
a +1
|2я1П|a, если |a > 1
Давайте рассмотрим случай a =1 отдельно.
f (x) = ln(1 - 2cos x +1) = ln ^ 4sin2 — J = 2ln 2 + 2ln sin -.
я я я x я x
J f (x)dx = 2ln2j dx + 2 J lnsin — dx =2я1п2 + 2 J lnsin — dx
4
n
n
a - e
a - e
к=0
я x J lnsin — dx ■
J ln sin tdt =
0
я 4
+ 2 J ln sin zdz + 2 J ln cos zdz
x dx
- = t, dt = —
я
x = 0, t = 0, x = я, t = — 2
я
4
J lnsin tdt
t = 2 z, t = 0, z = 0 я
dt = 2zdz, t = 0, z = — 4
= 2 J lnsin 2 zdz = 2 J ln(2sin z cos z)dz = я1п2 +
J lncos zdz =
я
z=я- y,
z = 0,
y = -
dz = -dy, z = я, y = я 4 4
= - J lncos(--y)dy =J lnsin ydy
2
2
я
2
Значит J ln sin zdz = J ln cos zdz
Учитывая вышесказанное, имеем:
я
J ln(4sin2 -)dx = я ln 2,
0 2
Теперь приведем пример:
я x = 2t, dx = 2dt
J f (x)dx-
0, если aa < 1 яln2, если a = 1 , 2я lna если \a\> 1
J lnsin xdx ■
x = 0, t = 0, x = я, t = я 2 4
2J ln(sin2i)di
(A)
2 J (ln 2 + ln(sin t cos t))dt = — ln 2 + 2 J ln sin tdt + 2 J ln cos tdt
J ln cos tdt ■
я
t =--x, dt = -dx
2
яяя t = 0, x = —, t = —, x = — 2 4 4
= -J ln cosl--x Idx = J ln sin xdx
Поставляем (B) в (A), получим:
я я
2 Ж 2
J lnsin xdx = - ln2 + 2J lnsin xdx
(С)
Из этого:
f lnsin xdx = - я ln2 J 2
(B)
При вычислении 5-го и 6-го интегралов мы использовали формулу Эйлера [1], [2].
xi , - xi
e + e
xi - xi
e - e
msx =
2
sin x = ■
2i
Вычисление несобственных интегралов перечисленными выше методами имеет важное значение для развития у учащихся динамики самостоятельной работы, экономя при этом их время.
Список литературы /References
1. HaMmov A. Va boshqalar. "Ba'zi bir trigonometrik funksiyalarni yuqori tartibli hosilalari va boshlang ich funksiyasini aniqlash asosida talabalarda mustaqil o qish dinamikasini shakllantirish". Buxoro. "Pedagogik mahorat" 3 - son, 2013 yil, 57 - 60 betlar.
2. Ляшко И.И. и др. "Справочник по математическому анализу". Киев, 1984. Издательство «Высшая школа". 360 стр.
