Методика исследования на сходимость несобственных интегралов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2304-120X

ниепт

научно-методический электронный журнал

Кандаурова И. Е. Методика исследования на сходимость несобственных интегралов // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2017. - № 5 (май). - 0,3 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2017/170111.htm.

ART 170111 УДК 378.147:517.382

Кандаурова Ирина Евгеньевна,

старший преподаватель ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва iriskan6591 @mail.ru

Методика исследования на сходимость несобственных интегралов

Аннотация. Материал статьи рассчитан на студентов технических специальностей, однако будет полезен всем, кто интересуется теорией несобственных интегралов. Представляет собой рекомендации в виде задач и примеров для подготовки к экзаменам, практическим занятиям, контрольным и рубежным работам, выполнения домашних заданий. Предложены задачи для самостоятельного решения с целью закрепления полученных знаний. Материал работы может быть использован преподавателями, ведущими практические занятия. Автор предполагает, что читатель владеет основными понятиями теории бесконечно малых и больших величин, их сравнения, различными способами вычисления пределов.

Ключевые слова: несобственные интегралы 1-го и 2-го рода, признаки сравнения, предельный признак сравнения, абсолютная и условная сходимость интегралов, интеграл Дирихле.

Раздел: (01) педагогика; история педагогики и образования; теория и методика обучения и воспитания (по предметным областям).

В целях повышения уровня математической подготовки студентов математических и технических специальностей особое внимание уделяется тем вопросам высшей математики, без прочного знания которых невозможно стать хорошим специалистом в своей области. К таким важным темам относится тема несобственных интегралов, которые часто встречаются в задачах по механике и электростатике.

Предложенная в статье методика позволит достаточно быстро сформировать прочные навыки решения задач по этой теме. Цель работы - научить вычислять и исследовать на сходимость и расходимость несобственные интегралы.

Понятие определенного интеграла вводилось при двух условиях: 1) конечность отрезка интегрирования [a, b]; 2) непрерывность (а стало быть, ограниченность) функции на отрезке интегрирования. Рассмотрим естественное обобщение определенного интеграла в случае нарушения того или иного условия. В этом случае мы приходим к понятию несобственных интегралов 1- го рода и 2-го рода. Правда, интеграл - это площадь, а площадь неограниченно протяженной фигуры выглядит непривычно.

Несобственные интегралы 1-го рода. Это интегралы от непрерывных функций по бесконечному интервалу. Пусть функция f (x) определена на множестве x е [a; да).

Определение 1. Несобственным интегралом 1-го рода называется предел опре-

+w и

деленного интеграла f f (x)dx = lim f f (x)dx = lim F(x)

J U^+wJ U^+w

a

= lim (F(U) - F(a)), где F(x) -

U^+w

первообразная функции f (x), т. е. F'(x) = f (x).

Определение 2. Если предел в правой части последней формулы существует и

b

конечен, т. е. lim f f (x)dx = c, то несобственный интеграл называется сходящимся.

U

a

a

a

ниегп

issn 2304-120x Кандаурова И. Е. Методика исследования на сходимость несобственных интегралов // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2017. - № 5 (май). - 0,3 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2017/170111.htm.

научно-методический электронный журнал

Если этот предел не существует (в частности, равен бесконечности), то несобствен-

ад

ный интеграл |/(*называется расходящимся [1].

а

Из этих определений следует, что если для некоторого действительного числа

а +ад

а сходится каждый из несобственных интегралов |/(хи |/(х^х, то сходится и

несобственный интеграл | / (х )йх, причем справедливо равенство:

— ад

+ад а +ад

| / ( х )^х =| / ( х )^х / ( х )^х .

— ад —ад а

При исследовании несобственного интеграла на сходимость первое, что надо сделать, - это попробовать вычислить интеграл, т. е. воспользоваться определением.

+ад

Пример 1. Вычислить интеграл | e~3xdx.

f e 3Xdx = lim f e 3xdx = lim

J Ь—Ь—-+ш

' 1 _ --e

v 3

ь 1 f 1

1 v - 3b 1

= — lim e -

о 3 Ь—+ш

-11 =1. Интеграл сходится

v 3j 3

по определению.

+ад

Пример 2. Вычислить интеграл | -

dx

+ x

2 '

+ш 7 Ь /

dx ,. г dx

г dx г dx I -- = lim I-- = lim arctgx

J 1 + x2 a—^J 1 + x a —-ш

ш Ь—-+ш a Ь—-+ш

сходится по определению.

ш

Пример 3. Вычислить интеграл |

= lim arctgb - lim arctga = — + — = n. Интеграл

Ь—a —^—ш 2 2

dx x ln x

f d = lim f d = lim ln ln xf = lim (ln ln Ь - lnln2)=rc. Интеграл расходится по

J vln И Ь — ш^ v Ь—ш 12 Ь —ш

dx

2 xln n Ь—xln x Ь—ш

определению.

+ш ^^

Пример 4. Вычислить интеграл f—-—

2 x(ln x

)k

в зависимости от k.

J

dx

x

.. \ dx .. ln1 lk x

. - lim I —:-rr = lim-

(ln x)k Ь—+ш J2 x(ln x)k Ь—+ш 1 - k

, (k * 1). Видно, что этот предел зависит от k :

Если k > 1, то lim

Ь—+ш

Л !-k ^ ln x

v ^ )

( W,1-k

= lim

Ь—+ш

ln1-k Ь ln1-k 2

1-koA 1„1-k

v 1 = k 1 - k j

ln1-k 2 k -1

, т. е. интеграл сходится.

Если k < 1 , то lim

Ь—+ш

^^Ь ln1-k 2^

v 1 - k 1 - k dx

= +ш, т. е. интеграл расходится.

Если k = 1, то lim f-= lim (ln ln Ь - 1п1п2)=+ш , т. е. интеграл расходится.

Ь—+ш j x ln x Ь—+ш

ш

a

0

о

о

2

Ь

ш

Ь

2

2

Ь

2

ниепт

научно-методический электронный журнал

Пример 5. Вычислить интеграл |

issn 2304-120X Кандаурова И. Е. Методика исследования на сходимость несобственных интегралов // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2017. - № 5 (май). - 0,3 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2017/170111.htm.

dx

x ln x ln ln x

i

dx

u

lim fU—

U dx \d lnln x , , , и

-= lim I-= lim lnln ln x =+да. Интеграл расхо-

3xln xlnln x U—+^ xln xlnln x U—lnln x U—+ш 3

дится по определению [2].

Пример 6. Исследовать на сходимость интеграл от степенной функции |

dx

(а > 0,р > 0), р - действительное число (интеграл Дирихле).

Интересен только случай р > 0, так как при р < 0 подынтегральная функция стремится к бесконечности при х ^ да и интеграл расходится.

+ w * и j

г dx .. с dx .. I — = lim I — = lim

J vp U—+<»J xP U— a

-P+1

U—

- p + 1

U Ul-p ax~p = lim--+

U—+ш i - p p -1

a

i-p

p -1

да,

1 - p < 0, p > 1 1 - p > 0, p < 1

Рассмотрим отдельно случай, когда p = 1.

нию.

f — = lim f dx = lim (ln x)|U = lim ln U - ln a = +да. Интеграл расходится по определе-

J x U—+wJ x U—a U— a a

сходится при p > 1.

Следовательно, интеграл Дирихле |

[расходится при p < 1.

Сходящиеся несобственные интегралы 1 -го ряда имеют определенный геометрический смысл. График функции у=/ (х) ограничивает трапецию с бесконечным основанием.

Если несобственный интеграл |/(хсходится, то площадь фигуры, ограни-

а

ченная функцией у = /(х), прямыми х = а и у = 0, имеет площадь, равную этому интегралу.

Заметим, что на сходящиеся несобственные интегралы распространяются все свойства определенного интеграла и вся техника вычислений (линейность, формула Ньютона- Лейбница, замена переменной, интегрирование по частям, интегрирование неравенств). Расходящиеся интегралы требуют некоторой аккуратности в записях, в частности, неверны (просто не имеют смысла) записи:

1 7 1 j +W 7 +W 7 +w 7

rdx rdx rdx с dx _ rdx

=1+ |—X ■ 1

I x = 0. I

= 2

x

x

x

-1 0 1 -да 0

Вопрос о сходимости интеграла решается относительно просто, если найдена первообразная. Часто, однако, найти ее затруднительно, тогда выяснить сходимость/расходимость интеграла пытаются косвенным путем - с помощью тех или иных признаков.

3

a

x

a

a

a

ниегп

issn 2304-i20x Кандаурова И. Е. Методика исследования на сходимость несобственных интегралов // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2017. - № 5 (май). - 0,3 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2017/170111.htm.

научно-методический электронный журнал

Признак сравнения. Если для всех х е выполняется неравенство

+да

0 < f(х) < g(х), то из сходимости интеграла J g(х)dx следует сходимость интеграла

a

+да +да +да

J f (х)dx, из расходимости J f (х)dx следует расходимость Jg(x)dx.

a a a

Схематическая запись признака сравнения выглядит так:

+да +да

J f (х)dr < J g(x)dX

aa

сходится <- сходится

расходится-► расходится.

Предельный признак сравнения. Если для всех х e[a,+rc) f (х) > 0 и g(х) > 0 и

существует конечный предел lim ( = c, (c ф 0,c Фда), то интегралы J f (хd и

х g (х) a

Jg(х^х либо оба сходятся, либо оба расходятся [3].

a

Чтобы с помощью этих признаков исследовать интегралы на сходимость, надо иметь такие интегралы-эталоны, сходимость или расходимость которых была бы известна заранее. В качестве эталона обычно используют интеграл Дирихле.

Для его подбора полезно вспомнить неравенства, которыми при этом пользу-

Ж . .

емся: ln х < х, sin х < х < гцх (0< х < —), |sin х| < 1, |cos х\ < 1, и некоторые эквивалентности,

. L 1 ^ 1 .11 1 1 1 ^ 1

которые справедливы при х^да:ln 1 + — I« —, sin — « —, tg— « —,ех -1 « —,

у х у х х х х х х

.111 2 2 ж

arcsin — « —, -=-— « — , arctgx « ± —.

х х shx ех - е х ех 2

Геометрический смысл ситуации очевиден: чем ближе кривая прижимается к оси абсцисс, тем лучше для сходимости.

Отметим, что обе формы признака сравнения, непосредственная и предельная, хорошо дополняют одна другую. Предельная форма выглядит, конечно, мощнее: здесь охватывается самое важное - порядок бесконечно малой подынтегральной функции. Но ведь порядка может и не быть, тогда поможет непосредственное сравнение.

Признак абсолютной сходимости. Если f (х) - знакопеременная функция на

+да

[a,+») и J| f (х )|dr сходится, то сходится абсолютно.

a

Из абсолютной сходимости интеграла следует его сходимость, но обратное неверно. Интеграл может сходиться, но не абсолютно. Такая сходимость называется условной сходимостью [4]. Рассмотрим следующие примеры.

+да • i

п <-> I л f sin xdx Пример 8. Исследовать сходимость интеграла I-.

i х

ниегп

issn 2304-120x Кандаурова И. Е. Методика исследования на сходимость несобственных интегралов // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2017. - № 5 (май). - 0,3 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2017/170111.htm.

научно-методический электронный журнал

"sin xdx

x

fro Л

fid J v

cos x = — cos x xx

0 1 fro 1

•cos xdx „ г cos xdx

= cos i -

1 - x

(•cos xdx r

1 -I--—. Интеграл I

x

cosxdx

x

_ _ cos x\ 1 _

сходится абсолютно из сравнения с интегралом Дирихле, так как -—^ < —. Значит,

2 — 2 x x

■ sin xdx

интеграл J" сходится как сумма константы и сходящегося интеграла.

Пример 9. Исследовать сходимость интеграла J

fro . 2

sin xdx

x

Очевидно, что

sin2 x 1 cos x

x

2 x 2 x

fdx n . rcos xax . — расходится как интеграл Дирихле с p = 1, а интеграл - сходится (мы

J 2x J Ox-

. При интегрировании этого равенства от 1 до да

cos xdx

2 x

только что рассматривали такой же, только с синусом). Значит, и интеграл |

fro . 2

sin xdx

расходится - иначе бы { — сходился как сумма сходящихся интегралов. Осталось

\ 2 x

применить признак сравнения, используя очевидное неравенство Isin x\ > sin2 x, и,

С isui xdx С sin" xax стало быть, интеграл IJ-1— расходится, т. е. интеграл I- сходится, но не

xx

абсолютно, а условно.

Пример 9. Исследовать сходимость интеграла {—ry-* .

•J x (1 + ex j

1 1 dx

При x ^ f (x) = —t¡-1 < -1. Но интеграл {ax сходится как интеграл Дирихле

x2 (1 + ex j x \x

с p = 2 > 1. Следовательно, по признаку сравнения исходный интеграл сходится.

4 + in х

Пример 10. Исследовать сходимость интеграла {—1=—dx.

i Vx

4 + sin x 3

Оценим при xподынтегральную функцию f(x) = —-¡=—<—¡=. Но инте-

л/x vx

dx 1

грал I= 3 {оГ расходится как интеграл Дирихле с p = — < 1. Константа на сходи-

Wx x— 2

мость не влияет. Исходный интеграл расходится по признаку сравнения.

sin xdx

fro • 2

sin xdx

Пример 11. Исследовать сходимость интеграла [—

1 1

При х ^ подынтегральная функция знакопеременная. Оценим ее по модулю.

+ x

+ro

1

fro

1

+ro

x

fro

ниегп

issn 2304-i20x Кандаурова И. Е. Методика исследования на сходимость несобственных интегралов // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2017. - № 5 (май). - 0,3 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2017/170111.htm.

научно-методический электронный журнал

sin x

sin x

1+x! xft+

1 +cß dx

< —. Интеграл f— сходится как интеграл Дирихле с p = 2 > 1. Тогда

x J x

^Ьт x|dХ ,м ~ ^

I]-сходится по признаку сравнения. Исходный интеграл сходится абсолютно по

] 1 + х

признаку абсолютной сходимости [5].

Пример 12. Исследовать сходимость интеграла |

ln

I

1 + |dx vx j

+ 5)

ln

При x —+ш f (x) =

1 +

__v

yfx j

yx+5)

ln

1 +

1

1

v

4x

1 +

| к1. Интеграл от эквивалентной

5 ; Vx x л/x j

+ад ^

функции I — расходится как интеграл Дирихле с р = 1. Исходный интеграл расхо-

х

дится по предельному признаку сравнения.

+ш sin — dx

x_

Пример 13. Исследовать сходимость интеграла | —-Л

* ху/х + 3

При х ^+ад подынтегральная функция знакопеременная, поэтому исследуем ее 1

по модулю:

sin

x

xVx + 3

1 1 ,Л f dx п 3

< —1= = — . Интеграл I — сходится как интеграл Дирихле с p = -

Wx x 3 1 x3 2

. Следовательно, |

sin

dx

сходится по признаку сравнения. Тогда исходный инте-

xVx + 3

грал сходится абсолютно по признаку абсолютной сходимости.

Несобственные интегралы 2-го рода. Это интегралы от разрывной функции по конечному отрезку [a, Ь].

Определение. Несобственным интегралом 2-го рода от функции, имеющей разрыв f (a + е) = ш на левом конце отрезка [a, Ь], называется предел определенного инЬ Ь h

= lim (f(ь)-F(a + е)), где F(x) - первообраз-

теграла |f (x)dx = lim |f (x)dx = lim F

Е—0

ная функции / (х).

Определение. Несобственным интегралом 2-го рода от функции, имеющей разрыв / (Ь — е) = ад на правом конце отрезка [а, Ь], называется предел определенного ин-

Ь-Е

теграла |f (x)dx = lim | f (x)dx = limF

Ь-Е

= lim (f (Ь -е)- F (a)), где F (x) - первообраз-

Е—0

ная функции f (x).

1

1

a+Е

a

Ь

a

a

a

ниегп

issn 2304-120X Кандаурова И. Е. Методика исследования на сходимость несобственных интегралов // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2017. - № 5 (май). - 0,3 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2017/170111.htm.

научно-методический электронный журнал

Определение. Если существуют и конечны пределы в правых частях формул, то несобственный интеграл называется сходящимся. Если эти пределы не существуют или равны бесконечности, то несобственный интеграл называется расходящимся. Определение. Если функция /(х) имеет разрыв /(с) = да, а < с < Ь внутри от-

Ь с Ь Ь

резка [а, Ь], тогда | / (х )^х = | / (х )^х +1 / (х)^х .Тогда несобственный интеграл | / (х)Жс

а а с а

сходится, если сходятся оба интеграла в правой части формулы, и расходится, если расходится хотя бы один из этих интегралов [6].

Также исследование на сходимость начинаем с того, что пробуем интеграл вычислить.

Пример 14. Вычислить интеграл f Функция

xdx

имеет

0 (x2 - 1)3 разрыв

точке

xdx

(x2 -1)3

11

dx

2

-z- = ^lim (x2 -1)3

/9 v 2 s—0

0 (x2 -1)3 2

2-12

1-£ = Ili

0 2 0

lim ((1 -,)2 -1)3 -1 (-1)1 = 10 +1 = 1.

22

x = 1.

Предел

конечен, интеграл сходится по определению.

e

Пример 15. Вычислить интеграл f

dx

x ln x

Функция имеет разрыв в точке х = 1, т. е. на левом конце отрезка.

I-dL- = lim f

j v V £ — 0 J

d ln x f — = lim

, x ln x £—0 j ln x £—0

1 1+E

f

1

V

ln x

= - lim

1+e

E—0

1

1

ln e ln (1 + e)

= -1 + w = w. Несобствен-

ный интеграл расходится по определению.

Сходящийся несобственный интеграл 2-го рода имеет геометрический смысл. В случае / (х) > 0 он равен площади бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной кривой /(х), прямыми линиями х = а , х = Ь , х = с и у = 0 .

И в этом случае вопрос о сходимости интеграла решается относительно просто, если найдена первообразная. Если найти ее затруднительно, сходимость/расходимость интеграла исследуют с помощью признаков.

Признак сравнения. Если функции / (х) и g( х) непрерывны и знакопостоянны

0 < /(х) < g(х) на (а, Ь] и /(а + 0) = да, g(а + 0) = да для всех х е (а, Ь], тогда из сходимо-

Ь Ь

сти интеграла |g(х^х следует сходимость интеграла |/(х)Жс, а из расходимости ин-

ЬЬ

теграла |/(х)йх следует расходимость интеграла | g(х)йх.

а а

Предельный признак сравнения. Если функции / (х) и g (х) непрерывны и знакопостоянны 0 < /(х) < g(х) для всех х е (а, Ь] и /(а + 0) = да, g(а + 0) = да и существует

в

0

e

a

a

ниегп

issn 2304-i20x Кандаурова И. Е. Методика исследования на сходимость несобственных интегралов // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2017. - № 5 (май). - 0,3 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2017/170111.htm.

научно-методический электронный журнал

f(\ b b

конечный предел lim ( ) = c, то интегралы If(x)dx и Ig(x)dx сходятся или расхо-

x ^a g (x) J J

° v ' a a

дятся одновременно.

Чтобы с помощью этих признаков исследовать интегралы на сходимость, надо иметь такие интегралы-эталоны, сходимость или расходимость которых была бы известна заранее, и уметь эти эталоны подбирать. В качестве эталона обычно исполь-

_ г dx b dx 1 зуют интегралы Дирихле I --:— и I --:— , которые сходятся при p < 1 и расходятся

a (x - a )P a (b - X )P

при p > 1. Проверить это можно непосредственно по определению.

Для подбора интегралов для сравнения полезно вспомнить некоторые неравенства, которыми при этом пользуемся: |sin x| < 1, |cos x\ < 1, и некоторые эквивалентности,

которые справедливы при x ^ 0: ln (1 + xx, sin x « x, tgx « x, ex -1« x, arcsin x « x,

. o x x

arctg x « x, 1 - cosx = 2sin — « — . ^ 2 2

Признак абсолютной сходимости. Если функция /(х) знакопеременна на

Ь

+ и) = ад и сходится несобственный интеграл ||1 (х)

а

х е (а,Ь], /(а + 0) = ад и сходится несобственный интеграл ||/(x)|dХ, то несобственный

Ь

интеграл |/(х)dx сходится абсолютно [7].

а

г dx

Пример 16. Исследовать сходимость интеграла I

о

tg x - x

Для Vx е (0,1] f (x) = —1— . Вычислим по определению несобственный ин-

tg x - x tg x

1 dx rcosxdx .. г dsin x , , . , , . , , , . ,

теграл I-= I-= lim I-= lim ln sin x = ln sin x - lim ln sin s\ = .

„ tg x Jn sin x s^0 J sin x s^0 s^0

0 ° 0 s

1 dx

.. г ax

Интеграл I — расходится, следовательно, по признаку сравнения исходный ин-

ctg x

теграл расходится.

п л~7 ix г cosxdx

Пример 17. Исследовать сходимость интеграла 1-.=

п

0 4 ж - x

Подынтегральная функция знакопеременная на отрезке [0,ж]. Для Vx е [0,ж] вы-

ж dx

_ < ^__ un UQrnnrTDOUULIM Ы|_|"ГОГГ\аП I _

л/f - x л/f - x

cos x 1 „ Ж dx

полняется неравенство ' ' < , . Но несобственный интеграл I . схо-

\Ж - x л/ж-x nVf-x

дится как интеграл Дирихле с р = 1 < 1. По признаку сравнения сходится интеграл

Г Icos xldx „ } cos xdx -

I' , ' . Тогда исходный интеграл I —¡= сходится абсолютно по признаку абсо-

цл/г - x дЛ/Г - x

лютной сходимости.

ниегп

issn 2304-120x Кандаурова И. Е. Методика исследования на сходимость несобственных интегралов // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2017. - № 5 (май). - 0,3 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2017/170111.htm.

научно-методический электронный журнал

Пример 18. Исследовать сходимость интеграла Г111!1 + ^.

I ех -1

Подынтегральная функция имеет разрыв в точке х = 0. При х ^ 0 +, используя

эквивалентности, подберем эквивалентную функцию /(х) = + ^) ^ ^ «-1 = g(х).

ех -1 х 3 х2

Несобственный интеграл } * расходуя как и^еграл Дирихле с „ = 3 > 1. Исходный

-1 - 2

0 X 2

^ „ 1 ln Ii + -Jx dx

несобственный интеграл I —^—также расходится по предельному признаку.

n ex - i

1 dx

Пример 19. Исследовать сходимость интеграла J-^

о Vi

„ . г4 о м 1 — x

Функция имеет разрыв в точке х = 1. При х ^ 1 - 0 подберем эквивалентную функцию для подынтегральной функции

f (х) = , 1 = , 1 ; ч «—.} , «-1—г . Несобственный интеграл

( ' л/Т-х4 V(1 -хХ1 + х)(1 + х2) 2V(T-^ 2(1 -х)1

1 йх 1 1 dх _ 1 1 1Л

I-- = - I-- сходится как интеграл Дирихле с p = - < 1. Исходный интеграл

0 2(1 - х)2 2 0 (1 - х)2 2

сходится по предельному признаку [8].

Подводя итог, сформулируем основные положения методики исследования сходимости/расходимости интегралов:

1. Сначала оценить несобственный интеграл на предмет его вычисления, т. е. исследовать по определению. Вопрос о сходимости в этом случае решается легко, если найдена производная.

2. Если первообразную функцию найти трудно, то переходим к использованию признаков сравнения. Для этого надо подобрать интеграл-эталон (интеграл Дирихле), проверить, применим ли он, удобен ли для применения. Качество признака сходимости определяется его применимостью, практичностью и чувствительностью.

Для самостоятельной работы и повторения практического материала можно предложить следующие задачи [9-11]:

Несобственные интегралы 1-го рода: а) Вычислить несобственные интегралы:

- х 2 т Г (1 + х )йх г хйх г йх гйх г -х , г arctgx йх

х е йх ,| 4 ^ , I , I Г^—-, I — , I е йх , I -

Г —x 2 , г 11 + X )dx г xdx г dx rdx г —x , г arctgx dx

Г dx ■ -bx5" ■ ■ Jp+ST+i) ■ {7 ■ {e Л ■ J-Fxdx

г . 7 r dx r xdx x sin xdx, --— , -

{ { ^Ь4 ^ {

о ex ln x W (xz +1

б) Исследовать сходимость/расходимость с помощью признаков сравнения:

г dx с dx г sin dx г (1 + 3sin x )dx с dx r arctgx dx

j(3x3 + 2x2 +1)' iTx—1 ■ { ' { x2 ' {(x2 + x +1)' {

+ 2 x2 +1)' {^fx—l' J x3 'J x2 ' —•^(x2 + x +1)' { д/x3 + x

1 \ 1 1 / 1

г (2 x + 1)dx г dx г x2 r y¡ xdx г x . 1

-Ч-Чт—, , Г , e dx , 7-г , e sin xdx.

{ (3x + 9) { Vx—1 ^x^+2 { { (1 + x) Jo

issn 2304-120x Кандаурова И. Е. Методика исследования на сходимость несобственных интегралов // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2017. - № 5 (май). - 0,3 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2017/170111.htm.

ниеггг

научно-методический электронный журнал

Несобственные интегралы 2-го рода:

а) Вычислить несобственные интегралы:

г dx rexax г in xax r dx г I V2-x ' - x3 ' J ^ ' J0 xin2 x ' J0

exdx fin xdx

dx

xdx

1

J-

dx

VJ-7" -1a/i - x f dx ¿¡x Г dx rarccos xdx

-W x(l - x) ' J x '"" l^fx2 ' J1^/J

2

- ctg xdx,

- x

б) Исследовать сходимость/расходимость с помощью признаков сравнения:

1 i

^¡xdx

W-xf

dx

г x dx г in xax r ax r sin xax r J ' J ' 'inv' J Jl _ v ' J

in xdx

2 dx fsin xdx f dx

dx

x

r dx г 31-xdx г dx rx~ arcsin xdx г

- ex - cos x ' 'sin (V 1 - x)' 1 (x - lV x2 - 2 ' ' Vi - x2 ' '

4x

dx

Vf-

f x3 arcsin xdx

l (Vx + 5Vx + x (l - cos x)dx

)'

Ссылки на источники

1. Зорич В. А. Математический анализ. Т. 1. - М.: Наука, 1989. - 437 с.

2. Зимина О. В., Кириллов А. И., Сальникова Т. А. Задачи и упражнения по высшей математике / под ред. А. И. Кириллова. - М.: Физматлит, 2005. - 368 с.

3. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 2. - М.: Интеграл-Пресс, 2006.

- 575 с.

4. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. - М.: Физматлит, 2006. - 607 с.

5. Лунгу К. Н., Норин В. П., Письменный Д. Т., Шевченко Ю. А. Сборник задач по высшей математике.

- М.: Айрис Пресс, 2007. - 379 с.

6. Фихтенгольц Г. М. Указ. соч.

7. Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. - М.: Наука, 1992. - 734 с.

8. Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д. Чехлов В. И., Шабунин М. И. Сборник задач по математическому анализу. - М.: Наука, 1994. - 528 с.

9. Зимина О. В., Кириллов А. И., Сальникова Т. А. Указ. соч.

10. Лунгу К. Н., Норин В. П., Письменный Д. Т., Шевченко Ю. А. Указ. соч.

11. Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д. Чехлов В. И., Шабунин М. И. Указ. соч.

п

0

2

2

0

2

0

2

4

x

Irina Kandaurova,

Senior lecturer, Moscow NE Bauman State Technical University, Moscow [email protected]

Methods of improper integrals convergence study

Abstract. The material of the article is intended for students of technical specialties, but it will be useful to anyone who is interested in the theory of improper integrals. It presents recommendations in the form of tasks and examples for exam preparation, practical training, control work, homework. Here you can find the tasks proposed for independent work to consolidate the knowledge. The work material can be used by teachers conducting practical classes. The author assumes that the reader knows the basic concepts of the infinitely small and large quantities theory, their comparison, different ways of limits calculating. Key words: improper integrals of the 1st and 2nd kind, signs of comparison, the ultimate sign of comparison, absolute and conditional convergence of integrals, Dirichlet integral. References

1. Zorich, V. A. (1989). Matematicheskij analiz. T. 1, Nauka, Moscow, 437 p. (in Russian).

2. Zimina, O. V., Kirillov, A. I. & Sal'nikova, T. A. (2005). Zadachi i uprazhnenija po vysshej matematike, Fizmatlit, Moscow, 368 p. (in Russian).

3. Piskunov, N. S. (2006). Differencial'noe i integral'noe ischislenija. T. 2, Integral-Press, Moscow, 575 p. (in Russian).

4. Fihtengol'c, G. M. (2006). Kurs differencial'nogo iintegral'nogo ischislenija. T. 1, Fizmatlit, Moscow, 607 p. (in Russian).

issn 2304-120X Кандаурова И. Е. Методика исследования на сходимость несобственных I II | ^"Ч III интегралов // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -I—I I IH^I I I 2017. - № 5 (май). - 0,3 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2017/170111.htm.

научно-методический электронный журнал

5. Lungu, K. N., Norin, V. P., Pis'mennyj, D. T. & Shevchenko, Ju. A. (2007). Sbornik zadach po vysshej matematike, Ajris Press, Moscow, 379 p. (in Russian).

6. Fihtengol'c, G. M. (2006). Op. cit.

7. Kudrjavcev, L. D. (1992). Kratkij kurs matematicheskogo analiza, Nauka, Moscow, 734 p. (in Russian).

8. Kudrjavcev, L. D., Kutasov, A. D. Chehlov, V. I. & Shabunin, M. I. (1994). Sbornik zadach po matematich-eskomu analizu, Nauka, Moscow, 528 p. (in Russian).

9. Zimina, O. V., Kirillov, A. I. & Sal'nikova, T. A. (2005). Op. cit.

10. Lungu, K. N., Norin, V. P., Pis'mennyj, D. T. & Shevchenko, Ju. A. (2007). Op. cit.

11. Kudrjavcev, L. D., Kutasov, A. D. Chehlov, V. I. & Shabunin, M. I. (1994). Op. cit.

Рекомендовано к публикации:

Утёмовым В. В., кандидатом педагогических наук; Горевым П. М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»

Поступила в редакцию Received 22.03.17 Получена положительная рецензия Received a positive review 31.03.17

Принята к публикации Accepted for publication 31.03.17 Опубликована Published 30.05.17

© Концепт, научно-методический электронный журнал, 2017 © Кандаурова И. Е., 2017

www.e-koncept.ru

977230412017305