Об одном методе исследования задачи Стеклова для 3-мерного уравнения Лапласа с нелокальными граничными условиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

2016 Математика и механика № 6(44)

УДК 517.956.223

DOI 10.17223/19988621/44/2

Е.Ю. Мустафаева, Н.А. Алиев

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАДАЧИ СТЕКЛОВА ДЛЯ 3-МЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА С НЕЛОКАЛЬНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

Рассматривается фредгольмовость спектральной задачи Стеклова для 3-мерного уравнения Лапласа с однородными нелокальными граничными условиями, где спектральный параметр появляется только в граничном условии. Данная однородная граничная задача сводится к однородному интегральному уравнению Фредгольма второго рода с несингулярным ядром, зависящим от спектрального параметра.

Ключевые слова: задача Стеклова, спектральная задача, нелокальные граничные условия, трехмерное уравнение Лапласа, основные соотношения, регуляризация, фредгольмовость.

1. Введение

Как известно, задача Стеклова в одномерном случае является однородной краевой задачей для одномерного уравнения Лапласа, т.е. вторая производная равна нулю при однородных линейных краевых условиях, содержащих спектральный параметр. Эта задача легко решается, и определяется счетное число собственных значений и собственных функций. Сведение задачи Стеклова для уравнения Коши - Римана с нелокальными однородными граничными условиями, содержащими спектральный параметр, к однородному интегральному уравнению Фредгольма второго рода с невырожденным ядром приведено в [1]. Далее, та же задача с простыми глобальными членами с параметром в граничном условии была изучена в [2]. Продолжение этой работы рассматривается в [3], где интеграл охватывает всю границу рассматриваемой области.

Задача Стеклова для двумерного уравнения Лапласа с простыми локальными граничными условиями рассмотрена в [4]. Следует отметить, что в этой работе метод исследования является новым, т.е. он основывается на необходимых условиях, полученных в этой работе. Та же задача для двумерного уравнения Лапласа с нелокальными граничными условиями со спектральным параметром, также содержащими глобальные члены (интегралы), была рассмотрена в [5]. Аналогичная проблема, где спектральный параметр появляется только в одном из граничных условий, содержащих нелокальные и глобальные члены, рассматривалась в [6]. Работы [7, 8] также посвящены изучению таких задач для двумерного уравнения Лапласа.

Излагаемая работа посвящена изучению решений задачи Стеклова для трехмерного уравнения Лапласа с нелокальными граничными условиями. Отметим, что трудности, возникающие при увеличении размерности рассматриваемого уравнения, не сопоставимы с трудностями в предыдущих работах.

Метод исследования заключается в следующем. На основе фундаментального решения уравнения Лапласа и с помощью второй формулы Грина и аналога этой

формулы получаем аналитическое представление как для решения, так и для его частных производных. Из этих формул мы также получаем необходимые условия.

Далее, первое необходимое условие, которое получается из второй формулы Грина, не содержит сингулярностей. А остальные необходимые условия, которые получаются из аналога второй формулы Грина, содержат сингулярные члены. Эти сингулярности не регуляризируются по общим правилам, приведенным в [9, 10]. Поскольку эти сингулярные уравнения находятся в спектре, регуляризация этих сингулярностей осуществляется по оригинальной схеме. Кроме того, комбинируя полученные регулярные отношения с заданными граничными условиями, получим достаточные условия для фредгольмовости поставленной задачи.

2. Постановка задачи

рное

направлению оси Ох3:

Рассмотрим трехмерное уравнение Лапласа в области Б с Я3, выпуклой по

. „ ч д2ы(х) д2ы(х) д2ы(х) ^ ^ ,ч

Ьы = Ды( х) =-у- +-у +-у = 0, (2.1)

дх1 дх2 дх3

х = (х1, х2, х3) е Б,

с нелокальными граничными условиями

ды( х) |

~дхр хз=1к(х,) ;=1

+

а(1)(х,) ЬЮ +а(,)(х,) 5ы(х)

^ дх1 дх2

= Хы(х', ук (х')), х' е £, к = 1,2, (2.2)

ы(х) = /0(х), х е Ь = Г1 пГ2. (2.3)

Задача (2.1) - (2.3), содержащая параметр в граничных условиях, - это так называемая задача Стеклова. Здесь £ - проекция области Б на плоскость

Ох1 х2 = Ох', коэффициенты а^Чх') е С(£) , I, ], к = 1,2; граница Г = дБ -

поверхность Ляпунова, Хе С - комплекснозначный параметр; Ь - экватор, соединяющий верхнюю и нижнюю полуповерхности Г1 и Г2:

Гк = {% = (%„%2,-3): %3 =Ук(%'), %' = (%1,^2)е £} , к = 1,2, где %3 = у к (%1, % 2), к = 1,2, уравнения полуповерхностей Г1 и Г2 (выпуклость области Б в направлении Ох3 обеспечивает существование таких уравнений), функции у к (%'), к = 1,2, дважды дифференцируемы по обеим переменным %1, %2; коэффициенты а((к) (х') удовлетворяют условию Гельдера в £.

Задача (2.1) - (2.3) сводится к однородному интегральному уравнению (или спектральному уравнению), из которого определяются собственные значения и собственные функции.

3. Необходимые условия

Фундаментальное решение трехмерного уравнения Лапласа имеет вид [11]

и (х-%) —-/—--г. (3.1)

4п |х -%|

Умножим уравнение (2.1) на фундаментальное решение (3.1) и проинтегрируем по области Б:

3 я2

¡Х^Цти (х =0. (3.2)

Б 1 =1 9х]

Интегрируя по частям, получим следующее:

3 -92и(х)

и (х-5)* =

1 =1 Б дХ]

= у /афО и(х-м(х) ди(х) ^,х )ёх + [(х)5(х-5)ёх . (3.3)

1=1Я дх1 дх1 ) Б

Так как и(х -5) - фундаментальное решение уравнения Лапласа, то

£ ¡и.-О =Ки (х-5) = 5( х-5)

1=1 дх1

является функцией Дирака. Учитывая это и подставляя (3.3) в (3.2), получим первое основное соотношение:

[Г^ и (х-5)-и(х) дидх -5) 1 ёх = -[ И(х)5(х-5)ох = 1 М1(5)(5)55^Г (3.4) Г1 х ^х ) Б [- 2и(5) 5еГ

Первое выражение в (3.4) дает представление общего решения уравнения (2.1), второе выражение в (3.4) является первым необходимым условием. Рассмотрим первое необходимое условие (5 е Г ):

1 М(5) =/(■

ди(х) и(х-5)-и(х)Iёх . (3.5)

ГЧ ду х

Так как

ди(х - 5) = xi - 5, = С08(х - 5, Хi)

дхг 4п| х -5|3 4п| х -5|2 ' то получаем соотношение из (3.5)

1 1 Г /- \ соб(х-5,Ух) 1 Г 1 ди(х) 5

-м(5) = -—I и(х)—:-тт^ + ^4]-— ёх, 56Г, (3.6)

2 4пГ |х-52 4п Г |х-5 х

где все подынтегральные выражения имеют слабую особенность, т.е. порядок сингулярности не превышает кратность интеграла. Таким образом, доказана следующая

Теорема 3.1. Пусть область Б с Я3 ограничена и выпукла по направлению х3, ее граница Г - поверхность Ляпунова. Тогда полученное первое необходимое условие (3.6) регулярно.

ди (х -5) _

Умножая (2.1) на-, I = 1,3, и интегрируя по области Б , получим ос-

дх,

тальные три основных соотношения:

•ды(х) ди(х -%)

Г дхг

дv х

ёх + |

ды (х)

Г дхт

ди (х-%>со5<*. х, х.)-Ц^ «.(V х, х,)

дх,

дх.

• ды( х)

Г дх1

ди(х -).с05(ух, х1)-^В^Лсо.^х, х{)

дх,

дх,

ёх =

ды(%) д%, ,

1 ды(%)

2 ~д%Г

% е Б,

% е Г,

, = 1,3,

ёх +

(3.7)

где числа ,, т, I образуют перестановку чисел 1,2,3.

Вторые соотношения в (3.7) - остальные три необходимых условия ( %еГ.

, = 1,3 ):

1 ды(%)_ гды(х) ди(х -%)

= 1

• ды( х)

Г

2 д%, г

ди (х -%)

дх,

дv х

ёх +

• ды( х)

Г дгг

c0S(vх , х. ) -дидх -) c0S(vх , х, )

дх дх„,

ди(д'' -) c0s(v х, х1) -ди д" -) х, х,)

дх, дх,

ёх +

ёх,

(3.8)

где числа /,.,/ образуют перестановку чисел 1,2,3.

Учитывая, что

ди (х -%)

х, -%,

cos( х - %, х,)

и вводя обозначение

дх, 4п| х -% |3 4п| х -%|2

Ку (х,%) = cos(х-%, х,)cos(vx,х}-) -ш.(х-%, х}-)cos(vx, х,), (3.9)

можем переписать 2-е, 3-е и 4-е необходимые условия (3.8) в виде

1 ды(%) = с ды(х) ди(х-%) ёх_ гдМх) К.(х,%) х_ гды(х) Кп(х,%)

х дх. 4п|х-%|2 х £ дх1 4п|х-%|2

дх

(у

-ёх, (3.10)

2 д— Г

где числа 1,т,1 образуют перестановку чисел 1,2,3.

Раскроем первые два поверхностных интеграла в (, +1) -м соотношении (3.10) (, = 1,2,3 ) по верхней и нижней полуповерхностям Гк, к = 1,2 :

|%3=Ук (%')" 1 1 11

2 д%,

-Ц- ды(х)\ К,т (^-)

х3 =У 1(х0

1=1

дх.

4п | х-%|2

ёх'

+Х (-')1 -1 х,=„ (х, -

1=1 £ дх1

■ ды( х) |

Ка (х, %)

£ —1 4П|х ^ ды(х) ди(х -%),

ёх'

£=;з«*«" х, х>

+1

Г дхг

дv х

|%3 =т к (%')

ёх .

Выделим только сингулярные слагаемые во втором, третьем и четвертом необходимых соотношениях (/ = 1,3) для к = 1, 2:

1 ди

2 55;

53 =т к (5') =( 1)к I

ди( х) I Кш (x, 5)

дхт |хз=Ук(х^-|~ --12

4п| х -5|2

ёх'

§=уукк (5') С05(ух, х)

+(-1)к I

ди( х) |

ки (х, 5)

дх, =Ук(х°4п|х-5|2

ёх'

§=к (5') со5(у х, х3)

- +...,

(3.11)

где многоточие обозначает сумму несингулярных слагаемых. Введем обозначения:

К*)(х', 5') == к* (х, 5)

х3=Ук(х,) 53=Ук (5')

к = 1,2.

(3.12)

Рассмотрим |х -5|2

х3=Ук(х0 53 =у к (5')

, к=1,2 :

-52

х3=Ук (хо = |х '-512 +(Ук (х')-Ук (5'))2 = |х'— 512

53 =Ук (5')

1+£ ГдКк(х >

+2 С08( х'- 5 ', х,) С08( х'- 5', х2) + 0(| х'- 5'|)

йх1 дх2

С082^'-5',хт ) + (3.13)

Введем обозначение

Рк (х', 5 ) = 1 + I С082( х '-5 ', хт) +

т=1

дхт

+2

^У^М со5( х'- 5 ', х1) С08( х '-5', х2) + 0(| х '-5 '|),

Йх

дх.

откуда можем переписать (3.13) следующим образом:

х3=Ук(х0 53 =у к (5')

= |х'- 5 '|2 Рк (х', 5').

(3.14)

Замечание. Заметим, что для 5' = х' имеем

2

Рк (х', х') = 1 +

ду

)

2

ду,

ЧЙх2 )

+ 2 ^ ^ * 0, к = 1,2.

ох1 ох2

При помощи обозначений (3.12), (3.14) перепишем необходимые условия (3.11) следующим образом ( к=1, 2):

ди( х) 1 К(т)(х', 5) ёх'

х3 =Ук(х°4п|х'-5'|2 Рк(х',5') С08(Ух,Х3) +

1 = (-1)к [

2 % 1<Ь-П№0 = ( 1) |

дхт

+(-1)к I

ди(х)|

1

К(к)(х', 5') ёх'

=Ук (х) 4л|х '-5 '2 Рк (х', 5') С08(Ух, х,)

где I = 1,2,3, а числа /,I,т образуют перестановку чисел 1,2,3.

5 9х!

+...,

(3.15)

Таким образом, нами доказана

Теорема 3.2. Пусть выполняются условия теоремы 3.1. Тогда необходимые условия (3.15) являются сингулярными.

Чтобы выделить сингулярные члены в подынтегральных выражениях необходимых условий (3.15), сначала разложим все коэффициенты при производных по формуле Тейлора в точке %' = х':

4к)(х', %') = К1)(х', х ■) + у К1)(х', х') ^ + Рк (х', х )

У-

Рк (х', %') Рк (х', х') Р=1 дхр

(хр р ) + ... .

К1)(х', %')

Подставляя полученную формулу Тейлора для р ( | % ^

в необходимые усло-

вия (3.15) и учитывая, что члены

д

дх,-

( к(т)(х', х') ^ (х, -%1)

4п| х '-%

||2

, 1 = 1,2, имеют сла-

Рк (х1, х1)

бую особенность, выделим только сингулярные члены. Тогда необходимые условия (3.15) примут окончательный вид для регуляризации:

1 = (-1)к г 1 х

2 д%, ^(= ( 1) I 4п|х'-%I2 Х

ды( х) |

дхт '

=Ук(х0

К.Чх', х') + ды(х) | Рк (х', х') дх1 I

ёх'

=Ук(х,)"

К1)(х', х')' Рк (х', х')

+..., , = 1,2,3; к = 1,2,

(3.16)

^(Ух, х3)

где многоточие обозначает члены со слабой сингулярностью, а числа ,, т, I образуют перестановку чисел 1, 2, 3.

4. Регуляризация необходимых условий

Вернемся к первому необходимому условию (3.5) и раскроем каждый поверхностный интеграл по верхней и нижней полуповерхностям

Гк = {% = (%1, %2, %3): %3 =Ук (%')} , %' = (%1, %2)е £ = Р^к, к = 1,2:

1

ы(%)

%3 =Ук (%0"

V/ 1V 1 Г ,41 c0s(х ^ ^)

■^(-1) ы(х)|х3=У,(хо

2

У

,=1 ■ - £

1 г 1 ды(х)

■У (-1)'

4п£\хдvх

-%2 ёх'

ёх'

%=Yk((xX|)) «0,,'

хз3 =^к((|.)) ^х, *,)'

%еГк.

(4.1)

Очевидно, когда к Ф, в (4.1), соответствующий интеграл не является сингулярным. Когда к =, в первой сумме в (4.1), тогда соответствующий интеграл имеет устранимую особенность при х и во второй сумме из (4.1) соответствующий интеграл имеет слабую особенность, так как порядок сингулярности меньше порядка кратности интеграла. Поэтому, обозначая несингулярные члены многоточием в (4.1) и учитывая (3.14), получаем первое необходимое условие в

2

,=1

виде (для к = 1, 2)

2и(5)|

53=У к (5')

(-1)к "¿I и( х)| х

С08( х -5, Ух )

=Ук(х0"

53 =Ук (5') , , х3 =Ук (х') ёх

Рк (х', 5 ')| х '-5 '|2 С0(х ,х3)

5и( х)

4п ^Рк (х', 5 ')| х '-5'| 5у х

ёх'

хз3=£ ((х:) С08(ух, х3)

+....

(4.2)

Теперь построим линейную комбинацию необходимых условий (3.16) (/ = 1, 2, 3; к = 1,2):

2 2 "

V в(к) ди(5)|

£в 13 ж 53=У 1 (5')'

1=1

553

1=1

о(к)(5 ') ди(5)| +в(к)(5 ') ди(5)|

вЛ(5) я? 53 =У 1 (5') +в 12(5) 5з=У 1(5')

35:

55

2

:£ (-1)1 Р((к3)(5') I т-т^т

1=1 5 2п|х-51

ди(х) |

К3(1)( х', х')

5х1 Iх3=у 1(х° Р; (х', х')

ди( х) |

К3(2)(х', х')

5х2 Iх3 =у 1 (х° Р1 (х', х')

ёх'

С0в(у х, х3)

- + ... +

+£вк)« ™' [I

1 =1

К2)(х', х')

ди( х) |

К1(3)( х', х')

5и(х)| К12

сх2 Iх3 =у 1 (х') Р} (х', х')

ёх' ^

5х3 Iх3=у 1(х°" Р;(х',х')

+^р(к)(5 )(-1)1 [I— 1=1 [5 2п|х-5|

С0в(Ух, х3) )

ди(х)|

+ ... +

I К2{)(х', х')

~дх~\х3 =у1 (х° Р1 (х', х')

ди(х)|

К23)( х', х')

5х3 Iх3=у 1 (х° Р} (х', х')

ёх'

С0в(у х, х3)

+ ....

(4.3)

Полагая, что функции р(;к) (5') удовлетворяют условию Гельдера, и вычитая и

прибавляя р((к\х') из р((к) (5'), получаем слабые сингулярности в интегралах с

э( к)

р(к }(5') -р(к}(х')

выражениями

(к),

. Отбрасывая члены со слабыми сингулярностями

2л| х '-5 '|2

и группируя подобные слагаемые, получаем из (4.3) следующее:

£р:

1=1

5и(5)|

553 ■ " 1=!

153=У 1 (5') 1

в(к)(5 + в(к) (5')_,

вЛ(5) 153 =У,(5') +в 12(5) |5з=У 1 (5')

:£(-1) 1 I- 2

1=1 52п|х'-5'2 С0Б(Ух,х3)

(к )(5') 5и(5)| +_(к ,ч ди(5)

3 =У ] (5') +в 12

р(?( х,) К1^+р(к)( х >

ди( х)

551

(

5х1

К)(х', х ^

Р, (х', х')

Р, (х', х')

ды( х) |

дх2 1

ды( х) |

дх3

х3=У 1(х0 (

Р(;к3)(х')Рт^ + Р(?(х)К12)(х' х^

х3 =у 1 (х')

-(1)( 32

Р1 (х', х')

"(1)(

Р ; (х ', х ') 1

Р (х', х')

р(^ х ■) К13)( х' х ^ +р(^2)( х')К 23)( х' х ^

ёх'+... =

£ 2п |х'-% '|2 cos(vх, х3)

у(-1у ды( х) I

У ( 1) дх х3=Ь (х') .1=1

Р(/3)(х')К31)(х' х^ +Р(?(х)К21)(х' х^

Р1(х', х')

Р 3 (х', х')

+У(-1)1ды( х)

=1

дх2 1хз=у1(х°

1х,) К32)(х' х[) +р(^х') К1(2)(х' х^

13 Р 1

+¿(-1)1ды(х)

=1

х3 =У/(х')

дх3 \Х3 Ч

Р 1 (х', х') К1(3)( х', х')

Р1 (х', х')

(к),

д 23)( х', х')

•Л

Р1 (х', х')

ёх'+... .(4.4)

Если мы будем использовать граничные условия (2.2) и приравняем коэффи-

ды(х)|

циенты при частных производных

дх,

х3 =У

(х) в подынтегральном выражении

из (4.4) соответствующим коэффициентам в (2.2), то получим 2 системы, каждая из 6 уравнений и с 6 неизвестными (р(к) (х'),, = 1,2,3; ] = 1,2), к = 1,2 :

( тЛ])(

(-1)1

р(/3)( х') К£( х'х ^+в(к)( х')К 21)( х'х

Р (х', х')

Р1 (х', х')

(-1)1

(

(-1)1

1 х') КР2^-? + Р((?( х') КР^ ^

Р} (х , х ) Р} (х , х )

р(?(х,)КР2^ + Р«(х') Р ( ,

Р;( х , х ) Р;( х , х )

КЛ

,ЧК1(2)( х', х') ^

=а?( х'), ==ак2)( х'),

= 5;к, к = 1,2.

(4.5)

Положим, что неоднородная система (4.5) имеет единственное решение

Р((1)(х■), р(2)(х'),р(3)(х'), Р2к)(х'),р(2к2)(х'),Р2к3)(х') для каждого к=1,2. Тогда, подставляя граничные условия (2.2) в (4.4), получаем ды(%)|

Ур( к) 1=1

13 д%3 1%3=у1

2

+ У

1=1

В(к)(% ') +В(к)(% ')(ы©|

д%1

Хм( х', у к (х')) ёх' 2п| х'-% '|2 cos(v х, х3)

д%2

- +... .

(4.6)

Подставляя первое необходимое условие (4.2) в (4.6) и изменяя порядок интегрирования, получаем два регулярных соотношения для к = 1,2:

£ р( к))ди(5)

1=1

д53 I53=у 1 (5°

2

+ £

1=1

р(к)(5 ') ди(5)\ +в(к)

351

+ В(к )(5 Ч

53 =У/(5') +в 12(5) 153 =т 1 (5')

.X и (П' У к (П '))ё П' I_1_

£ 2пС08(УЛ, П3) | 2л|п'- х'|2 |х'-5 '|2

С08(п- х, )

552

х3=Ук(х') П3 =Ук (П')

ёх'

5 1 =1

йи(п) , ч С05(УЛ, П1)

1

Рк (п', х')

ё п'

соб(у х, х3)

П3=У к (П')

С08(УЛ, П3)

ёх'

- + ...

(4.7)

5 2пРк (п', х') | х '-512 |п'- х '| соэ(ух, х3)

Внутренние интегралы в правой части (4.7) являются сингулярными, но они не содержат неизвестной функции и (5) = и (51,52, 53) и сходятся в смысле Коши. Поэтому регуляризируем соотношения (4.7) и таким образом устанавливаем следующую теорему.

Теорема 4.1. Если система (4.5) имеет единственное решение Р11)(х%к) (х'),р(3)(хв2к)(х%Р(2кГ)(х'),Р2к3)(х') для каждого к = 1, 2 и функции р(к}(5') удовлетворяют свойству Гельдера, то соотношения (4.7) являются регулярными.

5. Фредгольмовость задачи

Из курса математического анализа известны формулы

ди(х',ук (х)) ди(х) |

дх:

дх;

=Ук(х')'

ди(х) |

йх3 '

=Ук(хО^ 1 = :,2; к = 1,2; х' е 5,

откуда имеем

ди(х)|

дх, '

=Ук(х')

ди(х', у к (х')) йи(х)|

дх:

дх3

1 = 1,2; к = 1,2; х' е 5. Подставим соотношения из (5.1) в левые части (4.7):

=Ук(х')'

ду к (х')

дх:

(5.1)

£ Р*

1=1

(к) ди(5) 553

53=У 1 (5')

+ £

1=1

ди(5',у 1 (5 •)) 5и(5)|

ду1(5V

351

553 1 ((=) 551

ч(к)5^(ди(5' у 1(5ди(5)|

+Р(к2)(5')

153=У 1 (5')

ду 1 (5') "

552

553 I53=у 1 (5° 552

.X/

и (п', У к (п '))ё п' I_

2псо8(ул , п3) £ 2л|п'- х'|2 |х'-5

С08(п- х, )

х3=Ук (х0 , , Л3 =Ук (п') ёх

2

Рк (п', х')

С0в(Ух, х3)

ди(п) 2 (

дп

-X

3 7=1

дм(п', У к (П')) дм(п)|

ду к (П')

дп.

ё п'

дп3 |Х3=Ук (дп, 1

С05(УЛ, пз)| Пз=Ук(пО

ёх'

- + ... .

(5.2)

С05(УЛ, Пз) $ 2пРк (п', X') |х'-,12 |п'- X1 сов(ух, Х3) После группировки в (5.2), получим следующую систему интегродиффе

кз=ь(,'), ] = 1,2:

ренциальных уравнении по отношению к неизвестным

6,3

— |,3 =у 2(,') = Рк (, ^ к = 1Д

где

А, (, ) = |Р(?(,'),') ^,') ^

д,1 д,2

,,, ( " + Р(к2)(, ')-

(5.3)

(5.4)

ди(,', у,■ (,')) „(к) ^ди(,', у;(,')) ^

д,

■ 1 +

1

+(-1)к *Ги (п',ук(п ёп' Г_

$ 2пС08(УЛ,пз) $ 2л|п'- XI2 |х'-, '|2

С0Б(п- х, )

2 )

хз=Ук(х) , , Лз=Ук (п') ёх

-ч

ди(п) , ^Гдм(п',Ук(п')) ди(п)|

дп

-X

3 1=1

ё п'

дп

дп3 |х3=Ук (х° дп

Рк (п', х') ^(Л1 х, х3)

С05(Уп,п3)|Л3=Ук(п') > ёх'

ду к (п') ^

С05(УЛ, п3) $ 2пРк (п', х') |х'- , I2 |п'- х '| ^^х, х3 )

- + ... .

Рк = Рк

и г , и

ди|г1 ди|г1 ди|г2 ди|г2 ди | ди

г' ' ' дх1 ' дх2 ' дх^ ' дх2 ' дх3'г' дх3 'г2

(5.5)

т.е. правые части (5.5) системы (5.3) - функции восьми неизвестных: граничных значений неизвестной функции и(х', ук (х')) = и г , к = 1,2, их производных

ди

дх

ди

(к1=1,2) и граничных значений производной-г к = 1,2.

Итак, из регуляризированных необходимых условий (4.7) получили систему (5.3) интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода относительно

Теперь оставим систему (5.3) на время и рассмотрим граничные условия (2.2).

Подставим выражения (5.1) для

ди(х)|

дх1

=Ук(х')

ди(х) |

дх2 х3

=Ук(х')

в (2.2), к = 1, 2,

г

к

и

х

3

откуда получим систему по отношению к двум неизвестным

ди( х) |

дх3

=У1( х')

ди( х) |

Йх3 '

=у2(х') •

'-£ а^) (х') >( х)1

[ 1=1 1 дх1 1

дх3

=У1( х') '

.-£ 1 х ■) ^ 1

[ 1=1

ди( х) |

1 )

дх3

=72( х')

= Хи(х',У2(х')) -£[а® (х')ди<х^ + а®(х')^^^^

1 =1 [

(5.6)

Введем обозначения при I, к = 1,2 :

С,к (х') =

1

05[1 - (-1)к ]-£ а1>(х') ^

дх

1=1

1 )

Бг (х') = Хи(х', уг (х•))-£

1=1

а(1)( х •)

ди (х', у1 (х'))

+а(;2)( х')

Сх;

ди( х', у 2 (х'))

дх:

Тогда система (5.6) будет переписана в виде

Сп( х')

ди( х) |

ох3

=У1(хо + С-2 (х)^Iх3=Ут(хо = Б (хЪ I = I,2.

(5.7)

л-3 иЛ3

Потребуем, чтобы определитель неоднородной линейной системы (5.7) удовлетворял условию

Сп( х') Си( х') С21(х) С22(х

Если коэффициенты а(к)(х'), 1,1, к = 1,2, и граничные уравнения у1(х') и у2(х') удовлетворяют условию (5.8), то по формуле Крамера имеем

Д( х') =

Ф 0 .

(5.8)

ди(х)|

1

сх3 1х3=У1(х,) Д( х)

ди(х)|

дх3 1х3=У2(х,) Д( х')

Б1(х') Ск(х') Б2( х') С22( х') Сп( х') Б1( х') С21( х •) Б2( х')

(5.9)

Так как определитель Д(х') не зависит от неизвестной и(х) и ее производных, то решение (5.9) линейной системы (5.7) имеет вид линейного функционала

ди(х)|

дх3

|х3=Ук(х')

= Фк (и | ГГ

ди г ди | Г ди | Г ди

г

г,

2 дх1 дх, дх1 дх,

-), к = 1,2. (5.10)

Теперь подставим выражения (5.10) для

ди(х)|

йх3 '

£ Ак1ф; (и| Гl, и

-=1

= ¥к (и| Г1

ди г ди г ди г ди Г

2 дх1 ох2 дх1 ох2 ди Г ди Г ди Г ди Г

2 дх1 дх2 дх1 дх2

Ук(х'), к = 1,2, в систему (5.3): ди |Г

) =

Ф1,Ф2), к = 1,2. (5.11)

и

х

х

1

. . ди г ди г ди г ди г Учитывая, что Фк = Фк(и г ,и г ,——,——,——,——),к = 1,2, в правой

11 12 дх1 дх2 дх1 дх2

части (5.11) получим новые линейные функционалы 0.к , к = 1, 2, только граничных значений неизвестной и( х) и производных граничных значений

ди( х', у к (х'))

дх,

(к, , = 1,2):

ди г ди г ди г ди г

Ек(и|г1,и|г2 ^^Ф1,Ф2) =

11 12 дх1 дх2 дх1 дх2

= Пк(и|г ,и|г ,————

11 12 дх1 дх2 дх1 дх2

откуда и из (5.11) имеем систему:

XАшф,(и|г ,и|г =

ди г ди г ди г ди г 11 1 |1 1 |1 2 _

12' дх1 ' дх2 ' дх1 ' дх2 ди г ди г ди г ди г

= Пк(иIг ,иIг ,————к = 1,2. (5.12)

11 12 дх1 дх2 дх1 дх2

Так как функционалы Фк, Тк, к = 1,2, линейны по отношению к неизвестным

ди г ди г

и г , и г ,——,——, ,' = 1,2:

д,, д,

. . ди г ди г ди г ди г 2 (; ) 2 (;) ди г

фк(и1 г1, и1 г2 ^ ^ ^'^ = X+ + , +

+ ^|С(к)(С')и|г( ёС + X |ё'к)(С')^С + Фк(,'), к = 1,2, (5.13)

. . ди г ди г ди г ди г 2 (;) 2 (;) ди г

Т к н г1, и1 г, = X ^ * >1 г, +хч? ^ ^+

2 2 ди I

+ XIс() (С ')и |г, ёС + X I)(С с + Ф1 (,'), I = 3,4; к = 1,2, (5.14)

,=1 $ ¿,1=1 $

то, учитывая (5.13) и ((5.14) в (5.12), получаем систему линейных интегро-дифференциальных уравнений по отношению к неизвестным и(,', ук (,')), к = 1,2, в двумерной области $:

2 2 ди 1т- 2

X Ак)(, ')и| г, + X 4к)(, ^+X| Зк )(С ')и| г, ёс+

,=1 ¿,1=1 д,1 ,=1 $

2 . ди г

+ X|4 (С+ Як(,') = 0, к = 1,2, (5.15)

¿,1=1 $

¿=1

где 4k) (I') = a?) (|') - a(k +2) (|'), Bj) (|') = bj) (|') - bj+2) (| ) ,

C(k) (Z') = с?) (Z') - к+2) (Z'), Dj) (Z') = dj) (Z') - dj+2) (Z') ,

gk (|') = фк (I') - Фк+2 (I'), k = 1,2, которую при помощи граничного условия Дирихле (2.3) на границе L =Г1 пГ2 легко можно свести к системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода с регулярным ядром. В силу одномерности этой границы это условие Дирихле не ограничивает общности, так как его размерность на две единицы меньше размерности области D.

Таким образом нами установлена

Теорема 5.1. Если выполняются условия теоремы 4.1 и условие (5.8) , то граничная задача (2.1) - (2.3) сводится к двумерной системе линейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода относительно граничных значений u (|', ук (|')), k = 1,2 , решения исходной задачи.

Возвращаясь назад, вспомним, что из регуляризированных необходимых условий (4.7) получили систему (5.3) интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода

du(|)I , „

относительно -U =у (| ), j = 1,2. Учитывая также, что относительно гранич-

д|з 3 '

ных значений неизвестной функции также получена система (5.15) интегральных уравнений Фредгольма второго рода с регулярным ядром, приходим к следующему утверждению.

Теорема 5.2. Если выполняются условия теоремы 5.1, то задача (2.1) - (2.3) является фредгольмовой в классе функций С2(D) П C1(D).

ЛИТЕРАТУРА

1. Алиев Н.А., Зейналов Р.М. Фредгольмовость задачи Стеклова с условием Лаврентьева -Бицадзе для уравнения Коши - Римана // Вестник Педагогического университета, Баку. 2012. № 1. С. 16-19 (на азербайджанском).

2. Алиев Н.А., Зейналов Р.М. Исследование решения задачи Стеклова для уравнения Коши - Римана с глобальными членами в краевых условиях // Труды Азербайджанской Национальной Академии наук, сер. физ.-тех. и мат. наук. 2010. Т. XXX. № 3. С. 75-79 (на азербайджанском).

3. Алиев Н.А., Зейналов Р.М. Задача Стеклова для уравнения первого порядка эллиптического типа // Вестник Бакинского государственного университета, сер. физ.-мат. наук. 2012. № 2. С. 12-20 (на азербайджанском).

4. Алиев Н.А., Зейналов Р.М. Задача Стеклова для уравнения Лапласа в одной неограниченной области // Труды Научной конференции «Современные проблемы математики, информатики и экономики», 24 ноября 2010. С. 199-202 (на азербайджанском).

5. Алиев Н.А., Зейналов Р.М. Задача Заремба - Стеклова для уравнения Лапласа // Научная конференция «Актуальные проблемы математики и механики» для студентов, магистрантов и молодых исследователей Азербайджанской Республики, Баку, 30-31 мая 2012. С. 37-38 (на азербайджанском).

6. Алиев Н.А., Аббасова А.Х. и Зейналов Р.М. Нелокальные граничные условия задачи Стеклова для уравнения Лапласа в ограниченной области // Прикладная математика и статистика. 2013. № 1. С. 1-6. DOI: 10.11648/j.sjams.20130101.11.

7. Алиев Н.А., Сулейманов Н.С. Исследование решения краевых задач, содержащих параметр в граничном условии // Численные методы краевых задач: сб. трудов. Баку: Изд-во Азерб. гос. ун-та, 1989. С. 3-12.

8. Алиев Н.А., Сулейманов Н.С. Исследование решения задачи Стеклова в ограниченной простой области с общими линейными нелокальными граничными условиями. Баку, 1989. Депон. рук. № 1223Az, 30 с.

9. Aliyev N.A. and Hosseini S.M. A regularization of Fredholm type singular integral equations // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. 2001. V. 26. No. 2. P. 123-128.

10. Aliyev N.A. and Hosseini S.M. Multidimensional singular Fredholm integral equations in a finite domain and their regularization // Southeast Asian Bulletin Mathematics. 2003. V. 27. No. 3. P. 395-408.

11. ВладимировВ.С. Уравнения математической физики. М.: Мир, 1981. - 512 с.

Статья поступила 15.03.2016 г.

Mustafayeva Y.Y., Aliyev N.A. ON A METHOD OF INVESTIGATING THE STEKLOV PROBLEM FOR THE 3-DIMENSIONAL LAPLACE EQUATION WITH NON-LOCAL BOUNDARY-VALUE CONDITIONS Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 6(44). pp. 19-33

DOI 10.17223/19988621/44/2

The three-dimensional Laplace equation is considered in a domain D с R3, convex in the direction Ox3:

Л д 2u (x) д 2u (x) д2 u (x)

Lu = Au(x) =-^ +-^ +-^ = 0, (1)

dxt dx2 dx3

x = (x1, x2, x3) e D, with a parameter X under nonlocal homogeneous boundary conditions:

du( x)i -Дл

dx lx3 =Yk (x') +£

ux3 j=1

aj*)( x-) ^ + a jk2)( x-)du( x)

x3=Y j(x,) '

dx1 dx2 j-

= Xu(x', yk(x')), x' e S, k = 1,2, (2)

u(x) = f0(x), x e L = ri nT2 =dS . (3)

where rl and r2 are the lower and upper half surfaces of the boundary r , respectively; the equations of half surfaces ri and r2 yk (^'), k = 1,2, are twice differentiable with respect to both the variables ; S is the projection of the domain D on the plane Ox1x2 = Ox'; the coefficients a(jk)(x') e C(S) , i, j, k = 1,2 , satisfy Holder's condition in S; the boundary r = 3D is a Lyapunov surface, XeC is a complex-valued parameter; and L is the equator connecting the half-surfaces r1 and r2 : L = r1 n r2 .

The presented work is devoted to the study and proof of the Fredholm property for the solution of the Steklov boundary value problem for the three-dimensional Laplace equation in a bounded domain with non-local boundary conditions where the spectral parameter appears only in the boundary condition. The applied method is new and relies on necessary conditions derived from basic relations. These relations are obtained from the second Green's formula and from an analogue of this formula. The proposed scheme was applied to a variety of problems for partial differential equations in the two-dimensional case. However, the singularities entering the necessary conditions for three-dimensional problems are multi-dimensional; for this reason, their regularization is a difficulty which is overcome by using the proposed method.

Keywords: Steklov problem, spectral problem, three-dimensional Laplace equation, nonlocal boundary conditions, necessary conditions, singularity, regularization, Fredholm property.

MUSTAFAYEVA Yelena Y. (Candidate of Physics and Mathematics, Baku State University, Baku,

Azerbaijan)

E-mail: [email protected]

ALIEV Nehan Ali. (Doctor of Physics and Mathematics, Professor of Informational

Technologies Institute of Baku State University, Baku, Azerbaijan)

E-mail: [email protected]

REFERENCES

1. Aliyev N.A., Zeynalov R.M. (2012) Fredholm property of the Steklov problem for the Cauchy-Rienman equation with the Lavrentyev-Bitsadze condition. News of Pedagogical University, Baku. 1. pp. 16-19 (in Azeri).

2. Aliyev N.A., Zeynalov R.M. (2010) Investigation of the Solution of the Steklov Problem for the Cauchy-Riemann Equation under the Boundary Condition Containing s Global Term. Transactions of National Academy of Sciences of Azerbaijan. Series of Physical-Technical and Mathematical sciences: Informatics and Control Problems. XXX(3). pp. 75-80 (in Azeri).

3. Aliyev N.A., Zeynalov R.M. (2012) The Steklov problem for the first order elliptic type equation. News of Baku State University, ser. of phys.-math. 2. pp. 12-20 (in Azeri).

4. Aliyev N.A., Zeynalov R.M. (2010) Steklov problem for the Laplace equation in an unbounded domain. Proceedings of Scientific Conference "Contemporary problems of mathematics, informatics, and economics". pp. 199-202 (in Azeri).

5. Aliyev N.A., Zeynalov R.M. (2012) The Zaremba-Steklov problem for the Laplace equation. Proceedings of Scientific Conference on Actual Problems of Mathematics and Mechanics, Baku, Azerbaijan. pp. 37-38 (in Azeri).

6. Aliev Nehan Ali, Abbasova Aygun Khanlar, Zeynalov Ramin M. (2013) Non-local boundary condition Steklov problem for a Laplace equation in bounded domain. Science Journal of Applied Mathematics and Statistics. 1(1). pp. 1-6. DOI: 10.11648/j.sjams. 20130101.11.

7. Aliyev N.A., Suleymanov N.S. (1989) Investigation of the solution of boundary value problems containing a parameter in the boundary condition. Numerical methods for solving boundary value problems. Proceedings of Azerbaijan State University (ASU). pp. 3-12 (in Russian).

8. Aliyev N.A., Suleymanov N.S. (1989) Investigation of the solution of the Stecklov-type problem in a plane field with general linear non-local boundary conditions. Baku, Deposited manuscript N 1223Az, 30 p. (in Russian).

9. Aliyev N.A. and Hosseini S.M. (2001) A regularization of Fredholm type singular integral equations. International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. 26(2). pp. 123-128.

10. Aliyev N.A. and Hosseini S.M. (2003) Multidimensional singular Fredholm integral equations in a finite domain and their regularization. Southeast Asian Bulletin Mathematics. 27(3). pp. 395-408.

11. Vladimirov V.S. (1981) Uravneniya matematicheskoy fiziki [Equations of Mathematical Physics]. Moscow: Mir (in Russian).