Новый подход к редукции многомерных линейных краевых задач к эквивалентным граничным интегральным уравнениям. Часть 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

НОВЫЙ ПОДХОД К РЕДУКЦИИ МНОГОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ К ЭКВИВАЛЕНТНЫМ ГРАНИЧНЫМ ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ЧАСТЬ 2

Арутюнян

Роберт Владимирович,

доцент кафедры

математического анализа

Московского технического университета

связи и информатики,

г. Москва, Россия,

[email protected]

и £

О л л С

Ключевые слова:

дифференциальные уравнения в частных производных; система; краевая задача; редукция; граничные интегральные уравнения.

Описан новый метод редукции многомерных линейных краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка к эквивалентным граничным интегральным уравнениям. Метод эффективен для систем большой размерности и позволяет эффективно автоматизировать редукцию при помощи систем аналитических вычислений на ЭВМ. Данный метод в принципе может применяться для решения уравнений Максвелла и других подобных систем и в том в случае, когда коэффициенты материальных уравнений зависят от пространственных координат и времени. Формулы метода обобщают соотношения Гюйгенса для уравнений Максвелла, Сомилиана для задач теории упругости и другие аналогичные известные интегральные представления решений систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Предложенный алгоритм состоит из следующих этапов. Нахождение на первом этапе сингулярного решения осуществляется методами стандартных интегральных преобразований, а соответствующий алгоритм легко программируется в системах компьютерной алгебры.

Некоторую проблему представляет то, что многие краевые задачи ставятся в виде систем, в которых количество неизвестных и уравнений не совпадает. По этой причине требуется осуществлять на втором этапе соответствующую процедуру перехода к системе относительно нового вектора базисных неизвестных. В зависимости от типа краевых условий исходная система редуцируется к системе граничных уравнений минимальной размерности первого или второго рода. На третьем этапе осуществляется анализ корректности получившейся системы сингулярных граничных интегральных уравнений с использованием теории символа. Анализ принципиально важной проблемы краевых условий существенно упрощается и может быть выполнен следующим образом. Определяются ранг и базисные вектора линейной оболочки строк матрицы дифференциального оператора. Для систем с кусочно-постоянными коэффициентами особенно удобен анализ краевых условий при помощи исследования миноров соответствующей матрицы, описанной в статье. Невырожденному минору этой матрицы соответствует корректная система граничных интегральных уравнений. На заключительном этапе алгоритма формулируется система линейных алгебраических уравнений для непосредственного приближенного численного решения системы граничных интегральных уравнений. В дальнейшем граничные интегральные уравнения сводятся к системе линейных алгебраических уравнений и решаются методом Гаусса или другим подходящим численным методом. Предложенная методика обладает рядом преимуществ прежде всего при решении новых недостаточно исследованных многомерных краевых задач. В случае классических систем предложенный подход наиболее полезен для случая нестандартных краевых условий. Предложенное интегральное представление применимо и в случае, когда коэффициенты дифференциального оператора системы являются произвольными кусочно-непрерывными функциями. Основной проблемой в данном случае является отыскание матрицы-функции фундаментального решения.

Введение

В области приложений существует тенденция к использованию все более сложных математических моделей, в результате чего появляется практическая потребность решать уже известные или новые виды систем дифференциальных уравнений большой размерности [1-14]. Ктаким системам, в частности, относятся уравнения электромагнетизма в случае, когда характеристики среды являются тензорными величинами и система Максвелла не распадается на независимые уравнения. Статья продолжает исследование автора в этом направлении [13,14].

Другим примером является система уравнений электроупругости, описывающая пьезоэлектрические явления [11]. В теории элекгроупругости в настоящее время являются актуальными задачи расчета собственных частот пьезоэлектрических тел сложных и разнообразных форм. Потребность в учете различного рода физических эффектов постоянно приводит к усложнению прежних и появлению новых видов систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Для решения подобных задач при помощи метода граничных интегральных уравнений могут использоваться интегральные представления общего решения системы [36]. Возможности такого подхода расширяются при помощи систем аналитических вычислений на ЭВМ [7-9]. В статье автора разработан новый универсальный метод редукции многомерных линейных краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка к эквивалентным системам граничных интегральных уравнений. В отличие от традиционных подходов [36] редукция осуществляется для системы дифференциальных уравнений первого, а не второго порядка.

Данный метод в принципе может применяться для решения уравнений Максвелла и других подобных систем и в том в случае, когда коэффициенты материальных уравнений зависят от пространственных координат и времени. Интегральные уравнения, к которым редуцируются исходные системы дифференциальных уравнений, получаются в результате применения выше упомянутых подходов, как правило, сингулярными. Данное обстоятельство представляет собой существенную проблему при численной реализации метода граничных интегральных уравнений вещественными и тем более интервальными методами. Эффективным способом решения данной проблемы является преобразование системы метода граничных интегральных уравнений посредством умножения на матричный сингулярный оператор, называемый эквивалентным регуляризатором [3-6, 10]. Другая проблема связана с тем, что некоторые интегральные уравнения могут быть зависимыми. Ее решение возможно посредством перехода к новому вектору зависимых переменных при помощи метода, описанного в литературе [3-6].

Поскольку эквивалентный регуляризатор является сингулярным, то полученные после преобразований свободные члены новой системы метода граничных интегральных уравнений, как правило, представляют собой сингулярные интегралы с известными плотностями.

Задача вычисления подобных интегралов в пространстве непрерывных функций является некорректной. Данное обстоятельство создает дополнительную проблему при вычислении интервальных оценок свободных членов граничных интегральных уравнений. Ее решение возможно в ряде случаев при помощи аналитического вычисления интеграла в окрестности особой точки.

Полученные в результате соответствующих преобразований регулярные интегральные уравнения могут быть решены описанными в [3-6] численными методами с выделением особенности.

В качестве конкретного примера рассмотрим универсальный алгоритм отыскания фундаментальных решений, редукции и анализа линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных и соответствующих краевых задач, удобный для программирования в современных системах компьютерной алгебры. Описание метода дано в части 1 статьи [14].

1. Применение метода на примере

системы Максвелла

В качестве важного примера рассмотрим применение данной методики к редукции системы Максвелла к системе метода граничных интегральных уравнений для случая кусочно-однородных сред.

Систему дифференциальных уравнений Максвелла с постоянными коэффициентами можно записать в виде:

rotH = y(£ + ^vxH) + s5£/5i + 50(x), rot E =-^дИ /dt, xeQ

а после преобразования Лапласа по времени эту систему можно записать в терминах образов:

rot И* = у (E* + И*) + spE* + 50* (x), rot E* = -p^ И, xeQ

где для рассматриваемого случая E - вектор электрической напряженности (а не единичная матрица), E - образ E при преобразовании Лапласа, у электропроводность, р, магнитная проницаемость, увектор скорости движения среды, е диэлектрическая проницаемость, р параметр преобразования Лапласа, §0*(x) - преобразование Лапласа вектора плотности сторонних токов в среде, B0(x) - начальное значение магнитной индукции в среде, rot - дифференциальный оператор ротора:

rot =

0 д д

дх3 дх2

д 0 д

дх3 дх1

д д 0

дх2 дх1

Вектор-функция зависимых переменных u(x) - равна u(x) = (И*, E")T,

вектор-функция свободных членов F(x) = (§0*(x), B0(x))T\ n =3, q = 6, m = 6.

С учетом выражения векторного произведения скорости на напряженность магнитного поля:

V х H =

= e1 (V2 H3 - V3 H2 ) +

H1 H 2 H3

+e2 (-V1H3 + V3H1 ) + <3, (vH2 - V2H1 )

выражение дифференциального оператора (1) имеет вид:

A [дх J

0 д + YHV3 дх3 д Я--YHV2 дх2 -Y -£P 0 0

д Я--YHV3 дх3 0 д + YHV дх1 0 -Y-£P 0

д + YHV2 дх2 д —-YHV1 дх1 0 0 0 -Y-£P

PH 0 0 0 д дх3 д дх2

0 PH 0 д дх3 0 д дх1

0 0 PH д дх2 д дх 0

Оператор, формально сопряженный данному, записывается в виде:

, дх J

0 д я--YHV3 дх3 д + YHV2 дх2 PH 0 0

д + YHV дх3 0 д я--YHV1 дх 0 PH 0

д —-YHV2 дх2 д + YHV1 дх 0 0 0 PH

-Y-EP 0 0 0 д дх, д дх2

0 -Y-EP 0 д дх, 0 д дх1

0 0 -Y-EP д дх2 д дх1 0

Матрица нормалей может быть записана в виде:

Q-

Q O о q

Q1 =

0 -n3 n2 n3 0 -n1 -n2 n1 0

её ранг равен четырем, координаты вектора нормали и имеют следующие выражения: и1 = соз(ф)зт(&), и2 = зт(ф) втф), и3 = соз(9),

где ф = ф(х)и9 = 9(х) функции точки границы области Г.

Переход к новому базису в интеграле Qu = Жа осуществляется при помощи матриц:

вт^ -сов^совй - сов^ - вт^сов^

W =

W O32

O32 W

W =

о

sin 9

Переход к новому базису

o(x) = C(x)u(x)

осуществляется при помощи матрицы перехода C(x):

С1 O23 с -c°s Фcos 9 - sin фcos 9 sin 9 O23 C1 ' 1 - sin ф cos ф 0

обладающей свойством

C(x)CT(x) = dmg[l,l,l,l], что упрощает запись ядра интегрального уравнения (6): K(x,y) = -C(x) GT(y - x) Q(y) CT(y).

Базисные переменные - o(x) = (H*, E')T, где H* и Et* -касательные вектора образов напряженностей электромагнитного поля на поверхности Г. Как известно, на границе раздела сред обычно предполагают в качестве условий сопряжения непрерывность значений касательных составляющих [и, E*], [и, H*] (квадратные скобки обозначают векторное произведение) [1,2]. Поскольку область трехмерная, то векторное пространство касательных векторов является двумерным, а размерность базиса равна r = 4. Пример корректной постановки краевой задачи: на поверхности области заданы касательные вектора магнитной индукции Б* (электрической напряженности E*), требуется найти значения касательного вектора электрической напряженности E* (вектора магнитной индукции Б').

Нахождение матрицы Грина G(x) возможно при помощи многомерного преобразования Фурье. С учетом соответствия д/дх и /®, i - мнимая единица, ю ей" - вектор параметров многомерного преобразования Фурье, образ уравнения (2) примет вид: ю е R" R"

A*(iro)G(ro) = (2rc)_n/2diag[l,...,l], ю е R",

откуда можно выразить Фурье-образ фундаментальной матрицы:

G(ro) = (2л)-"/2[А*(1ю)]-1, для отыскания искомого выражения матрицы Грина требуется вычислить обратное преобразование Фурье для G(o>). Оно имеет вид:

G(x)=D(5/5x)G0(x),

где G0(x) находится как обратное преобразование Фурье для выражения l/detG(ro), D(d/dx) - некоторый дифференциальный оператор.

Пример редукции для симметризоваииой формы

системы уравнений переменного ЭМП

Найдем конкретные выражения функции Грина для случая изотропной неподвижной среды. Для удобства аналитических вычислений и сокращения размерности задачи осуществим симметризацию системы Максвелла. Пусть/ -мнимая единица: / = -1. Введем в рассмотрение комплексный вектор, как линейную комбинацию напряженностей магнитного и электрического полей:

ф = H + j E, H = Re <5, Е = Im Ф, VHP

Вектор Ф. позволяет в два раза уменьшить размерность системы уравнений и удовлетворяет векторному уравнению:

e1 e2 e3

V1 V2 V3

MATHEMATICS

гог Ф = сФ + /, с = -иуур, / = 8о + ] А—Вй.

(МР

Для случая переменных полей В0 = 0 , р = /ю0, ю0 - циклическая частота ЭМП, I - также мнимая единица: /2 = -1. Благодаря симметризации размерность матрицы системы уменьшилась с 6 до 3. Обратная матрица для Фурье-образа сопряженной матрицы системы равна:

1

(A* )-'=■

( — ш2)

с -то,

то1то2 — 1сш3 то,то3 + /сто2

ШШ — ¿сто,

где то =то1 +то2 + то3, с =-уцр, с = ^уцр.

Согласно ранее сформулированным соотношениям, Фурье-образ матрицы Грина равен:

—Ч/(АТ> О(х) = Б(д/дх)О0(х), (2я)/2

1 —аг

ГДе ^((Х))=(2п)3'2 (2 + а2)' ^ (х) = 4ПГ' а = ^

чдх J с

2 д2 с +-

дх2

дх,дх2

дх3

дх1дх2

дх,дх3

дх3

дх

2 д2

с

дх2

дх,дх3

дх2дх3

дх2 с А

дх

д

дх2дх3

дх

дх2

= >/уц» ( ) = -

о

2^ exp 1 4t

eXP I 4t

Гр

о-

yfnt

фО*—IK])

(-)

Ге+

поле же другой спиральной составляющей убывает быстрее, чем 1/г. Поэтому, для любого к > 0 и любого решения уравнений Максвелла вне гладкой ограниченной поверхности, удовлетворяющего условию излучения на бесконечности, касательные составляющие решения на поверхности удовлетворяют условию:

Г-М ])

(,)

dT =

Связь с формулами Гюйгенса

Даже если среда анизотропна, и ее характеристики имеют тензорный характер, в ряде случаев удается точно вычислить значение матрицы Грина аналитически: например, если среда неподвижна, тензоры проводимостей диагональные, а две их компоненты одинаковы. При ряде упрощающих предположений (изотропность среды и т.д.) примерами соответствующих выражений являются формулы Гюйгенса [4]. Сформулируем их для системы переменного ЭМП: rot И = - iasE, rot E* = iayH, xefl, divH = 0,divE* = 0.

Матрица фундаментальных решений системы Максвелла состоит из симметричной матрицы H{zk, x) для вектора E(x)

H (z,, х ) =

H11 (Zk ,х) H12 (Zk ,х) H13 (Zk ,х) H21 (Zk ,х) H22 (Zk, х) H23 (Zk> х)

H31 (Zk , X) H32 (Zk, X) H33 (Zk , X)

где

h. =тл2 f (z, , х)

f (Zk = х) = -

дх1дх1

' J

k = ю^/ёц

Для нестационарной задачир - параметр преобразования Лапласа. Соответствие образов и прообразов данного преобразования:

r (Zk =х)

и антисимметричной матрицы H{zk, x) для вектора Щх)

дУ (Zk,х) дУ (Zk,х)

H (Zk, х ) =

Некоторые асимптотики

Векторы Ф. в дальней зоне идеально поляризованы по кругу, поэтому в спиральном базисе диаграмма направленности каждого вектора Фбудет иметь лишь одну ненулевую составляющую. Спиральный базис вводится по правилу:

С учётом этих соотношений поле в дальней зоне, выраженное через касательные составляющие поля на поверхности Г, можно вычислить по формуле:

дх

0

f (z, ,х ) 0

дх3

д (Zk, х) ^ (Zk, х)

дх

дх

дх1

^ (Zk)

дх1

0

Интегральное представление для напряженностей ЭМП имеет вид соотношений Гюйгенса. Для точек области О.:

Е()=-- Ж Е] (■ ) +

Ж • ] (•) ■

()= - Ц[ ■ ] (■) +

ж га

-rot

fl[Е ] (•)

X

2

2

д

д

д

д

2

2

д

д

д

2

2

д

д

д

д

2

к

2

Вне точек области Q:

■ Ж ■ ] (•) -

Г

if[ -](•) • - JJ[ ■ • ] (■) -

г

-- Я[ ](•) ■

x eQ, z eQ

Плотность интегральных операторов имеет вид:

g-ikr(x, y) g-M*. y)

r (x, y) r (x y)

2. Компьютерная реализация в системе аналитических вычислений на ЭВМ

Наиболее удобны для автоматизации сложных символьных преобразований системы компьютерной алгебры REDUCE, MAPLE, MATHEMATICA.

Фрагмент REDUCE-программы для нахождения фундаментального решения имеет следующий вид: MATRIX A,B,GAMMA,MU,ROT,V,ML; gmll:=gml; gm22:=gml; gm33:=gm3; mll:=ml; m22:=ml; m33:=m3;

gml2:=gml3:=gm23:=0; ml2:=ml3:=m23:=0;

A := MAT (

(0, -i*w3, i*w2, -gmll, -gml2, -gml3), (i*w3, 0, -i*wl, -gml2, -gm22, -gm23), (-i*w2, i*wl, 0, -gml3, -gm23, -gm33), (p*mll, p*ml2, p*ml3, 0, -i*w3, i*w2), (p*ml2, p*m22, p*m23, i*w3, 0, -i*wl),

(p*ml3, p*m23, p*m33, -i*w2, i*wl, 0)

);

ROT := MAT (

(0, -i*w3, i*w2), (i*w3, 0, -i*wl),

(-i*w2, i*wl, 0)

);

GAMMA := MAT (

(gmll, gml2, gml3), (gml2, gm22, gm23),

(gml3, gm23, gm33)

);

MU := MAT (

(mll,ml2,ml3), (ml2, m22, m23),

(ml3, m23, m33)

);

V := MAT (

(0, -v3, v2), (v3, 0,-vl),

(-v2,vl,0) );

ML := GAMMA*V*MU;

FOR i := 1:3 DO FORj := 1:3 DO A(i,j):=A(i,j)-ML(i,j); A;

ON GCD;

D := SUB(I = -I, Det(Tp(A))); %L := FACTORIZE(D); L:=SOLVE(D,vl); in "g:ml.in"; D;

%B:=D*AA(-1); out "g:ml.out"

11:=PART(FIRST(L),2)

12:=PART(SECOND(L),2)

B;

shut "g:ml.out";

Результаты в^гчисления:

vl:=-o3*x2+o2*x3;

v2:=o3*xl-ol*x3;

v3:=-o2*xl+ol*x2;

Матрица, обратная к транспонированной матрице дифференциального оператора, вычисление в системе MATHCAD:

Вывод

Предложен новый метод редукции линейных краевых задач к граничным интегральным уравнениям. Метод эффективен для систем большой размерности и позволяет эффективно автоматизировать редукцию при помощи систем аналитических вычислений на ЭВМ.

Литература

1. Жермен-Лакур П., Жорж П.Л., Пистр Ф., Безье П. Математика и САПР: в 2-х кн. М.: Мир, 1989. 264 с.

2. Кулон Ж.-Л., Сабоннадьер Ж.-К. САПР в электротехнике. М.: Мир, 1988. 208 с.

3.Кацикаделис Д.Т. Ераничные элементы: теория и приложения: пер. с англ. М.: АСВ, 2007. 343 с.

4. Алексидзе М.А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач. М.: Наука, 1991. 352с.

5. Иванов Д.Ю. Устойчивая разрешимость в пространствах дифференцируемых функций некоторых двумерных

интегральных уравнений теплопроводности с операторно-полугрупповым ядром // Вестн. Томск, гос. ун-та. Матем.

и мех. 2015, № 6(38). С. 33-45.

6. Баженов В., Игумнов Л. Методы граничных интегральных уравнений и граничных элементов. М.: Физмат-лит, 2008. 352 с.

7. Дэвенпорт Дж., Сирэ И., Турнье Э. Компьютерная алгебра. М.: Мир, 1991. 352 с.

8. Еднерал В.Ф., Крюков А.П., Родионов А.Я. Язык аналитических вычислений REDUCE. М.: МГУ, 1988. 176 с.

9. Климов Д.М., Руденко В.М. Методы компьютерной алгебры в задачах механики. М.: Наука, 1989. 215 с.

10. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные инте-гральныеуравнения. М.: Физматгиз, 1962. 256 с.

И.Шульга H.A., Болкисев A.M. Колебания пьезоэлек-трическихтел. Киев: Науковадумка, 1990. 228 с.

12. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. 536 с.

13. Арутюнян Р.В. Новый подход к редукции многомерных линейных краевых задач к эквивалентным граничным интегральным уравнениям ii T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2016. Т. 10. № 4. с. 63-66.

14. Арутюнян Р.В. Новый подход к редукции многомерных линейных краевых задач к эквивалентным граничным интегральным уравнениям ii Наукоемкие технологии в космических исследованиях Земли. 2016. Т.8.№4. С. 6-10.

Для цитирования:

Арутюнян Р.В. Новый подход к редукции многомерных линейных краевых задач к эквивалентным граничным интегральным уравнениям. Часть 2 // Наукоемкие технологии в космических исследованиях Земли. 2016. Т. 8. № 5. С. 6-12.

A NEW APPROACH TO THE REDUCTION OF MULTIDIMENSIONAL LINEAR BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR AN EQUIVALENT BOUNDARY INTEGRAL EQUATIONS. Part 2

Robert V. Arutyunyan,

Moscow, Russia, [email protected]

Abstrart

Describes a new method of reduction of multidimensional linear boundary value problems for systems of differential equations of the first order to the equivalent boundary integral equations. The method is effective for systems of large dimension and allows you to effectively automate the reduction by means of systems of analytical calculations on a computer. This method can in principle be used to solve Maxwell's equations and other similar systems and that in the case where the material coefficients of equations depend on the spatial coordinates and time.

Formula a method to generalize the ratio of Huygens for Maxwell's equations, Somiglian for problems of elasticity and similar well-known integral representations of solutions of systems of differential equations.

The proposed algorithm consists of the following steps. The finding in the first phase of the singular solution is of the standard methods of integral transformations and the corresponding algorithm is easily programmed in the computer algebra systems.

Some problem is that many boundary value problems are in the form of systems, in which the number of unknowns and equations. For this reason, it is required to carry out the second stage for the procedure to access the system on a new

basis vector is unknown. Depending on the type of boundary conditions, the initial system reduces to the system of boundary equations of the minimum dimensions of the first or second kind.

The third step refers to the analysis of the correctness of the resulting system of singular boundary integral equations using the theory of the symbol. Analysis of the fundamentally important problem of boundary conditions is greatly simplified and can be performed in the following way. Define and rank of the base vector of the linear shell of the rows of the matrix of the differential operator. For systems with piece-wise-constant coefficients is particularly convenient analysis of boundary conditions with the help of the study of the minors of the corresponding matrix, described in the article. Nondegenerate minor of this matrix corresponds to a correct system of boundary integral equations. At the final stage of the algorithm we formulate the system of linear algebraic equations for the approximate direct numerical solution of the system of boundary integral equations. In the future, the boundary integral equation reduced to a system of linear algebraic equations and solved by the Gauss method or another suitable numerical method. The proposed method has several advantages, especially when dealing with new and under-researched multidimensional boundary value problems. In the case of classical systems the proposed approach is most useful for non-standard boundary conditions. The proposed integral representation is applicable in the case when the coefficients of the differential operator systems are arbitrary piecewise continuous functions. The main problem in this case is the determination of the matrix-function a fundamental solution.

Keywords: differential equations partial differential sys- eskih vychislenij REDUCE [Language analytical calculations

tem; boundary value problem; reduction; boundary integral REDUCE]. Moscow, MGU, 1988. 176 p. (In Russian).

equations. 9. Klimov D.M., Rudenko V.M. Klimov D.M., Rudenko V.M.

Metody komp'juternoj algebry v zadachah mehaniki [Methods

References of computer algebra in mechanics]. Moscow, Nauka, 1989.

1. Germain-Lacour P, George P.L., Pistre F., Bezier P. 215 p. (In Russian).

Mathematiques et CAO. 2 volumes. Paris, Hermes Pub., 10. Mikhlin S.G. Mnogomernye singuljarnye integral'nye

1986. 230 p. uravnenija [Multi-dimensional singular integral equations].

2. Coulomb J.-L., Sabonnadiere J.-K., CAO en electrotech- M.: Fizmatgiz, 1962. 256 p. (In Russian).

nique. Paris, Hermes Pub., 1985. 242 p. 11. Shul'ga N.A., Bolkisev A.M. Kolebanija p'ezojelektrich-

3.Katsikadelis J. T. Boundary elements: Theory and applica- eskih tel [Fluctuations piezoelectric bodyes]. Kiev: Naukova tions. Oxford, Elsever, 2002. 336 p. dumka, 1990. 228 p. (In Russian).

4. Aleksidze M.A. Fundamental'nye funkcii v priblizhennyh 12. Daleckij Ju.L., Krejn M.G. Ustojchivost' reshenij differen-reshenijah granichnyh zadach [The fundamental function of cial'nyh uravnenij v banahovom prostranstve [Stability of approximate solutions of boundary problem]. Moscow, solutions of differential equations in a Banach space]. Nauka, 1991. 352 p. (In Russian). Moscow, Nauka, 1970. 536 p. (In Russian).

5. Ivanov D.Y. Sustainable solvability in spaces of differentia- 13.Arutyunyan R.V. A new approach to the reduction of ble functions of certain two-dimensional integral equations of multidimensional linear boundary value problems for an heat conduction with operator-semigroup kernel. Vestnik. equivalent boundary integral equations. T-Comm. 2016. Tomskogo gosudarstvennogo instituta. Matematika i mehani- Vol. 10. No. 4. Pp. 63-66.

ka. 2015. No. 6(38). Pp. 33-45. (In Russian). 14. Arutyunyan R.V. A new approach to the reduction of

6. Bazhenov V., Igumnov L. Metody granichnyh integral'nyh multidimensional linear boundary value problems for an uravnenij i granichnyh jelementov [Boundary integral equa- equivalent boundary integral equations. H&ES Research. tions and boundary elements]. Moscow, Fizmatlit, 2008. 2016. Vol. 8. No. 4. Pp. 6-10. (In Russian).

352 p. (In Russian).

7. Davenport J., Siret Y., Tournier E. Calcul formel : Systemes Information about autors:

et algorithmes de manipulations algebriques. Paris etc., Arutyunyan R.V., Ph.D., assistant professor of the Moscow

Masson, 1987. 263 p. Technical University of Communications and Informatics,

8. Edneral V.F., Kryukov A.P., Rodionov A.Y. Jazyk analitich- Department of "Mathematical Analysis".

For citation:

Arutyunyan R.V. A new approach to the reduction of multidimensional linear boundary value problems for an equivalent boundary integral equations. Part 2. H&ES Research. 2016. Vol. 8. No. 5. Pp. 6-12. (In Russian).