Об одном критерии проверки гипотезы о наличии вкраплений в двоичной цепи Маркова Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теоретические основы прикладной дискретной математики

9

УДК 519.651 Б01 10.17223/2226308Х/9/2

ОБ ОДНОМ КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗЫ О НАЛИЧИИ ВКРАПЛЕНИЙ В ДВОИЧНОЙ ЦЕПИ МАРКОВА

А. В. Волгин

Рассматривается модель побитового вкрапления в простые цепи Маркова с неизвестной матрицей переходных вероятностей, основанная на ЬББ-методе. Получено условие на взаимное асимптотическое соотношение длины отрезка исходной последовательности и объёма вкраплений, позволяющее гарантировать состоятельность статистического критерия выявления факта наличия вкраплений.

Ключевые слова: цепи Маркова, вкрапления в псевдослучайные последовательности, статистические критерии различия гипотез.

В [1] рассматриваются условия, при которых возможно гарантированно обнаружить факт наличия независимых вкраплений в простой конечной неразложимой и ацикличной цепи Маркова с неизвестной матрицей переходных вероятностей в рамках следующей модели: к каждому элементу исходной последовательности применяется случайное преобразование. При этом преобразования получены по схеме серий и являются независимыми. В данной работе получено дополнительное (по сравнению с [1]) условие на взаимное асимптотическое соотношение длины отрезка исходной последовательности и объёма вкраплений, позволяющее гарантировать состоятельность статистического критерия выявления факта наличия вкраплений.

Пусть X = {X0,X1,...} —простая конечная неразложимая и ацикличная цепь Маркова с двумя состояниями 0, 1 и фиксированной положительной матрицей переходных вероятностей П = (па,Ь)2х2, а, Ь € {0,1}. Стационарное распределение цепи обозначим через п = (п0,п^, п0,п € (0,1). В процедуре внесения вкраплений используются две последовательности — Z = {^0, ...} и 8 = {80, 8^ ...}, Zi, 8i € {0,1}, г ^ 0, которые являются реализациями испытаний в схеме Бернулли. При этом P{Zi = а} = ра, Ра = па, а € {0,1}, и Р^ = 0} = т, г ^ 0, ра, т € [0,1]. В результате внесения вкраплений образуется последовательность У = {У0, У^...}:

Yi = ХД{^ = 1} + ZiI{8i = 0}, г ^ 0,

где через 1{А} обозначается индикатор события А. При этом предполагается, что последовательности X, Z и 8 являются независимыми.

Постановка задачи заключается в следующем. Наблюдается отрезок двоичной последовательности (У0,... ,Уп-1) длины п. Относительно способа образования данного отрезка выдвигаются две сложные гипотезы Н0 : т = 0 и Н1 : т> 0 об отсутствии и наличии вкраплений в цепь Маркова X соответственно. При обеих гипотезах будем предполагать, что матрица П, стационарное распределение п цепи Маркова X, а также величины ра, а € {0,1}, и т неизвестны. Рассмотрим схему серий, в которой

т = т(п) ^ 0 при п ^ го.

Задача заключается в построении состоятельного критерия различия гипотез Н0 и Н1.

В [1] для выявления факта наличия вкраплений в цепь Маркова рассматривается статистика

£ = (раЬе — ^аЬ^Ье/^ъ) (1)

а,Ь,ее{ 0,1} ^аЬ^Ье/^Ь

10

Прикладная дискретная математика. Приложение

где а, Ь, с € {0,1},

п— 3

Va.bc = (п - 2) —1 ^ 1{У = а, У+1 = Ь, У+2 = с},

¿=0

п—2 п—1

^ь =(п - 1) —1 Е 1{У = а,Ут = Ь}, V« = п—1 £ 1{У = а},

¿=0 ¿=0

при этом в [1] рассматривается не двоичный, а произвольный конечный алфавит состояний цепи Маркова.

Рассмотрим критерий проверки гипотезы Н0 против Н1, основанный на статистике (1):

Г если 5 < ¿х2,1— принимается гипотеза < тт п . . 2 (2)

[ Яь если 5 ^ 4x2,1—

где а = р|5 ^ ¿х2>1—— вероятность ошибки первого рода; — квантиль

уровня а распределения х-квадрат с двумя степенями свободы.

Теорема 1. Пусть в модели вкраплений = п„, а € {0,1}, и среди элементов матрицы переходных вероятностей П есть хотя бы один, отличный от 1/2. Тогда при выполнении условий

т ^ 0, п ^ го, (3)

^т ^ го, п ^ го, (4)

критерий (2) проверки гипотезы Н0 против альтернативы Н1 является состоятельным.

Замечание 1. При отсутствии вкраплений (т = 0) и при наличии вкраплений во всех позициях последовательности X (т = 1) гипотезы Н0 и Н1 неразличимы, поскольку в обоих случаях У является простой однородной цепью Маркова (с глубиной зависимости 1 и 0 соответственно). Критерий будет состоятельным, когда вкраплений «не слишком много», что гарантируется условием (3), но в то же время когда число вкраплений превосходит по порядку квадратный корень из длины наблюдаемого отрезка последовательности X (условие (4)).

ЛИТЕРАТУРА

1. Шойтов А. М. О выявлении факта зашумления конечной цепи Маркова с неизвестной матрицей переходных вероятностей // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2010. №3. С. 44-45.

УДК 519.7 Б01 10.17223/2226308X79/3

АЛГОРИТМ РАСПОЗНАВАНИЯ ПОЛНОТЫ МНОЖЕСТВА СЛОВ

И ДИНАМИКА ЗАПРЕТОВ1

А. А. Евдокимов

Вводятся инвариантные операции и даётся описание алгоритма распознавания полноты множества слов. Приводится теорема о результатах работы алгоритма и их отношении к свойству полноты исходного множества слов. Формулируется

1 Работа поддержана Новосибирским государственным университетом и грантом РФФИ, проект

№14-01-00507.