О выявлении факта зашумления конечной цепи Маркова с неизвестной матрицей переходных вероятностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Утверждение 6. [г] = /та] (и [г] , и [г] ,и3 [г]) , г = 1, 2,..., к, гдеиь и,и3 —

любые попарно различные векторы из Ш.

Замечание 3. Из утверждений 5 и 6 следует, что если мощность множества пиратов больше или равна 3, то злоумышленник всегда может построить ИН, не идентифицирующий никого.

Описаный способ построения ложного ИН назовём мажорирующей атакой. Эта атака— частный случай атаки сговором, характеризующийся строго определенным выбором вектора из I (Р) \ Р. Согласно предложенному методу идентификации, построение вектора /шта] является единственным способом для группы злоумышленников избежать ответственности в полном объеме, т. е. ни один их них не будет вычислен. В связи с этим дальнейшая задача состоит в разработке узконаправленного метода идентификации, противостоящего мажорирующей атаке.

ЛИТЕРАТУРА

1. Грибунин В. Г., Оков И. Н., Туринцев И. В. Цифровая стеганография. М.: Солон-Пресс,

2002.

2. Стружков Р. С., Соловьёв Т. М., Черняк Р. И. Цифровые водяные знаки, устойчивые к

атаке сговором // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2009. №1. С. 56-59.

УДК 519.651

О ВЫЯВЛЕНИИ ФАКТА ЗАШУМЛЕНИЯ КОНЕЧНОЙ ЦЕПИ МАРКОВА С НЕИЗВЕСТНОЙ МАТРИЦЕЙ ПЕРЕХОДНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

А. М. Шойтов

Задача выявления факта наличия вкраплений в случайных последовательностях исследована в целом ряде работ (см., например, [1-4]. При этом обычно предполагаются известными тип и параметры распределения исходной последовательности. Так, в [4] рассмотрена последовательность, полученная по полиномиальной схеме с известными вероятностями исходов, и установлено, что гарантированно обнаружить факт наличия независимых вкраплений возможно только в случае, когда объем вкраплений растет по порядку быстрее корня от длины исходной последовательности. Аналогичный факт установлен в [3] для последовательности, образующей простую цепь Маркова с известной матрицей переходных вероятностей. В тезисах приводится обобщение результата [3] на случай простой цепи Маркова с неизвестной матрицей переходных вероятностей.

Пусть X = {Х1,..., Хп,...} —простая конечная неразложимая и ацикличная цепь Маркова с N исходами, которые, не ограничивая общности, будем обозначать числами 1,...,Ж, и фиксированной матрицей переходных вероятностей П = ||па,ь||«х«. Соответственно определены стационарные вероятности цепи X, которые обозначим через (П1, ..., п«).

Будем предполагать, что на множестве А = {1,...,N} задана последовательность независимых случайных преобразований Ф = {^1,..., <^п,...}, полученных по схеме серий (п — номер серии) так, что для всех г = ], г] = 1, ...,п,..., преобразования ^ и ^ независимы и каждое из них определяется одной матрицей переходных вероятностей Р = 1М N х« по правилу Р{<^(а) = Ь} = ра,ь, г = 1,...,п,... Определим случайную

последовательность Z = {Z,..., Zn,...} следующим образом: Zi = i = 1,..., n,...,

и будем писать Z = Ф(Х).

Относительно наблюдаемой последовательности Y алфавита A выдвигаются две сложные гипотезы H0: Y = X и H\: Y = Ф(Х). Причем при обеих гипотезах, в отличие от [3], будем предполагать, что матрица П = ||na,b||NxN неизвестна, а матрица P = ||Pa,b||NxN также неизвестна, но удовлетворяет ограничению lim pa,a = 1, a G A.

n—

Определим статистику

2 yvabc vabvbc

хП = E

ln ^ . VabVbc/vb

a,b,cEA

где УаЬе = Е ЧУ = а, ^¿+1 = Ь, У*+2 = с}; ^Ь = Е 1{У = а, Уг+1 = Ь}; ^а =

г=1 г=1

п

= Е Ч У = а}, а,Ь, с Е А. Статистики типа хП применяются для различения ги-

г=1

потез о порядке цепи Маркова (см., например, [5]). Известно, что при гипотезе Н0 при п ^ то распределение хП сходится к распределению хи-квадрат с N степенями свободы.

При сделанных предположениях справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Если при п ^ то матрица переходных вероятностей Р преобразований Ф меняется так, что для некоторых а, Ь, с Е А выполнено условие

^ЕРуДПь,с - Пу,с) (пуПа,Ь - ПьПа,^ ^ ТО,

уЕА

у=ь

то статистический критерий различения гипотез Н0 и Н1 на основе статистики х является состоятельным.

Следствие 1. Если при n ^ то для всех a = b, a,b Е A, справедливы оценки Pa,b = f (n)(l + 0(1)) и y/nf(n) ^ то, стационарное распределение (п1,...,п») цепи X является равномерным и в матрице П = ||па,ь||»х» есть хотя бы два различных элемента, то критерий различения гипотез Н0 и H1 на основе статистики хП является состоятельным.

Замечание. Статистика хП применима для различения гипотез Н0 и Н1 только в случае, когда известно, что последовательность X образует простую цепь Маркова.

ЛИТЕРАТУРА

1. Иванов В. А. Модели вкраплений в однородные случайные последовательности // Труды по дискретной математике. 2008. Т. 10. С. 18-34.

2. Пономарев К. И. Параметрическая модель вкрапления и ее статистический анализ // Дискретная математика. 2009. Т. 21. №4. С. 148-157.

3. Filler T., KerA.D., Fridrich J. The square root law of steganographic capacity for Markov covers // Proc. SPIE. 2009. V. 7254, 725408. P. 31-47.

4. Ker A.D. A capacity result for batch steganography // IEEE Signal Processing Letters. 2007. V. 14(8). P.525-528.

5. Ивченко Г. И., Глибоченко А. Ф., Иванов В. А., Медведев Ю. И. Статистический анализ дискретных случайных последовательностей. М.: МИЭМ, 1984. 92 с.

2