CC BY
10
частичная сумма, ряда Фурье по собственным функциям, оператора и'(х), и(0) = и(1/2) (и — скалярная функция) для собственных значении, Х°к, для которых |Лк| < г, Шу — компоненты Г-1Лш(х).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Хромов А.П. Интегральные операторы е ядрами, разрывными на ломаных линиях // Мат. сб., 2006. Т. 197, №11. С. 115-142.
УДК 518.9
И.А. Кузнецова
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ БЕСКОАЛИЦИОННЫХ ИЕРАРХИЧЕСКИХ ИГР ТРЕХ ЛИЦ
Понятие иерархических игр было предложено Ю.Б. Гермейером [1], который вместе с учениками создал развитую теорию таких игр [2, 3]. Теория же иерархических игр трех лиц не является такой полной и завершенной. В работе [4] автором рассматривались иерархические игры трех лиц с коалициями. Настоящая статья посвящена некоторому классу бескоалиционных иерархических игр трех лиц.
Рассмотрим следующую ситуацию. Главный управляющий игрок («хозяин») управляет подчиненным через посредника («директора»). Доход «хозяина» явно зависит от действий его и подчиненного, доход «директора» — от действий «хозяина», доход подчиненного — от действий его и «хозяина». «Хозяин» выбирает свою стратегию как функцию от действий «директора», а стратегия «директора», в свою очередь, является функцией от действий подчиненного. Как и обычно в иерархических играх, первый игрок первым выбирает свою стратегию и сообщает ее второму игроку, затем второй игрок выбирает свою стратегию и сообщает ее третьему игроку, после чего делает свой выбор третий игрок, определяя тем самым исход игры. Каждый игрок действует в своих интересах, максимизируя свою функцию выигрыша. Для упрощения изложения считаем, что множества стратегий игроков конечны.
Пусть дана игра Г = (X, Y, Z,F,G,H), где X,Y,Z — множества стратегий игроков, F, G, H — их функции выигрыша. В соответствии с вышеизложенным F отображает X х Z в R G — Y в R H — Y х Z в R Мы будем рассматривать следующее информационное расширение данной игры: Г = = (Фх, Ф2, Z,F,G,H), где Фх = {фх} фх : Ф2 ^ X Ф2 = W2} ^ : Z ^ Y, при всех фх, z справедливо равенство F(фх,р2,г) = F(фх((р2), <p2(z),z), функции G и H определяются аналогично. После выбора первым игроком своей стратегии второй игрок, действуя в своих интересах, может выбирать свои стратегии только из множества
M2(^i) = {ip2 : G(^2)) = max G(^(^))).
Аналогично после выбора вторым игроком своей стратегии третий игрок выбирает свои стратегии из множества
МзЫ = {z/ : H(^),/) = maxH(^(z),z)).
l zgz j
Таким образом, наибольший гарантированный результат первого игрока в игре Г определяется равенством
Y (Г) = max min min F (^_(^2),z).
Вычисление y(Г) — это решение вариационной задачи с ограничениями. Основной результат статьи состоит в сведении данной задачи к нескольким экстремальным задачам на исходных множествах X Y, Z и указании стратегий, обеспечивающих управляющему игроку данный результат.
Теорема. Справедливо равенство
Y (Г) = y = max(Yi, Y2), где y1 = maxy(ж), D2 = {x/ : G(x/) > minG(x)}, y(x) = max(K(x),M(x)),
x£D2 x£X
K(x) = max F(x,z), D3 = {z/ : max H(y,z/) > L3} L3 = max min H(y, z),
zGd3 yeY zeZ yeY
M(x) = min F(x, z), E3 = {z/ £ Z : min H(y, z/) = L3},
ZGE3 y£Y
Y2 = max min F(x,z), E2 = {x/ : G(x/) = minG(x)}.
x£E2 z£D3UE3 x£X
Доказательство. Для доказательства утверждения теоремы построим
Y
дующие случаи.
1- Y1 > Y2- Тогда y = Y1 = max y(x) = y(x_), где y(ж?) = max(K(x_),
x£D2
M(ж?)). Имеются две возможности.
la. Выполняется неравенство K(ж?) > M(ж?). Тогда y(x?) = K(ж?) = = max F(x0,z) = F(ж?, z0), причем max H(y, z0) > L3.
zGDs y£Y
Определим стратегию первого игрока равенством
/0,ч fe если ^2 = ^ m
Ы=< _ 0 (1)
I x , если = ^2,
где точка ж" определяется из условия G(x-) = min G(x), стратегия опре-
x£X
деляется равенством
0f \ ) ), если z = z0, <p-(z), если z = z0,
^2(z) =
где при всех z £ Z H(^+(z),z) = maxH(y,z), H(^ (z),z) = min H(y, z).
y£Y y£Y
Нетрудно видеть, что в данном случае верны равенства M2(^0) = {^0}, M3(^2) = {z0} и, следовательно,
min min F(^0(^2), z) = F(^(p0),z0) = F(x0,z0) = y_,
и результат Yi гарантирован первому игроку.
16. Справедливо неравенство K(ж?) < M(x_). Тогда y(x_) = M(ж?) = = min F(x_, z). Стратегия первого игрока определяется равенством (1), но в
zeE3
данном случае имеем
^0(z) i^+(zесли z £ ^ [ <p-(z), если z £ E3.
Тогда выполняются условия M2(^0) = {^2}, M3(^0) С E3 и, следовательно,
min min F(^(^2),z) > minF(x_,z) = y(xj ,
^2£M2(^?) z£Ms(^2) Z£E3
и опять результат Yi первому игроку гарантирован.
2. Теперь предположим, что выполняется неравенство Yi < Y2? т0 есть Y = Y2 = max min F(x,z). Тогда оптимальная стратегия первого игрока
x£E2 z£D3UE3
определяется равенством
= x0,
x02
min F(x2,z) = max min F(x,z)= y2 .
z£D3UE3 x£E2 z£D3UE3
Поскольку в данном случае M2(^0) = Ф2 и при всех £ Ф2 M3(^2) С С D3 U E3, то верно неравенство
min min F(^0(^2),z) > min F(x2,z)= y2 ,
^2£M2(^°) Z£M3(^2) Z£D3UE3 2
Y2
Итак, мы доказали, что, действуя оптимальным образом, первый игрок может гарантировать себе выигрыш y = max(YbY2)- Можно показать, что большего выигрыша он себе гарантировать не может. Таким образом, выполняется равенство y(Г) = Y = max(Yi, Y2) чт° и требовалось доказать.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гермейер Ю.Б. Об играх двух лиц с фиксированной последовательностью ходов // Докл. АН СССР. 1971. Т. 198, С. 1001-1004.
2. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. М,: Наука, 1976.
3. Кукушкин Н.С., Морозов В.В. Лекции по теории неантогониетичееких игр. М,: Изд-во Моск. ун-та, 1977.
4. Кузнецова И.А. Иерархические игры трех лиц с коалициями // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. Вып. 9. С. 41-43.
