CC BY
9
где Sr(/, ж) — частичная сумма ряда Фурье функции ] по собственным функциям оператора (2), соответствующая характеристическим значениям из круга |А| < г. Так как собственные функции операторов Ь и Ь-1 совпадают, то из соотношений (1) и (3) следует утверждение теоремы.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ (проект НШ-2970.2008.1) и РФФИ (проект 06-01-00003).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Бари Н.К. Тригонометрические ряды, М,: Физматгиз, 1961, 936 е,
2, Корпев В.В., Хромов А.П. О сходимости разложений по собственным функциям интегрального оператора с инволюцией, имеющей особенность // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез, докл. 14-й Сарат, зимней шк,, посвящ, памяти акад. И,Л, Ульянова, Саратов, 28 янв, - 4 февр, 2008, Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2008, С. 94-95.
УДК 517.984
O.A. Королёва
ОБ ОДНОМ ИНТЕГРАЛЬНОМ ОПЕРАТОРЕ С ЯДРОМ, РАЗРЫВНЫМ НА ЛОМАНЫХ ЛИНИЯХ
Равносходимость разложений в тригонометрические ряды Фурье и по собственным и присоединенным функциям (с.п.ф.) интегральных операторов с ядрами, разрывными на ломаных линиях, впервые ввел в рассмотрение А.П. Хромов [1]. В статье изучается один частный случай такого оператора.
1. Резольвента оператора
Рассмотрим интегральный оператор
1
y(x) = Af = j A (x,t) f (t)dt, (1)
0
ядро которого A (x,t) имеет вид
A(x, t) =
a1, 0 < t < 1/2 - x
a5, 1/2 - x < t < 1/2 + x a2, 1/2 + x < t < 1
a3, 0 < t <-1/2 + x
a5, -1/2 + x < t < 3/2 - x a4, 3/2 - x < t < 1
0 < x < 1/2,
(2)
1/2 < x < 1.
Лемма 1. Если у(х) = Ра(А)/(х), то
у'(х) = ЛВу(х) + 5ш(х), х е [0,1/2],
Роъ (0) + Р^(1/2) = 0, где V(х) = (^ц(х),^12(х),^21(х),^22(х))т = (у(х),у(1/2 + х),у(1/2 - х),
у(1 - х))Т
(4)
( 0 а Ь 0
с 0 0 1
—Ь 0 0 —а
V 0 —1 —с 0 )
В =
а = — а2, Ь = «5 — а1, с = «3 — «5, 1 = — «5, т(х) = (/(х), /(1/2 + х), /(1/2 — х), /(1 — х))Т Ро =
Р =
1 —В
0 0
1 0
0 0
00 —А 0 00 0 —1 у
/ —А 0 0 0 \
0 0 1 —В
0 —1 0 0
\ 0 0 1 0 /
л I о^х + азу = «5
А и В являются решением, системы < , при условии, что
у а2х + а4у = а5
(«1 «3 1 т
= 0. Обратно, еслиъ (х) = (г>п(х), г>12(х), у21(х), г»22(х))1 удо-
«2 «4 )
влетворяет (3), (4) и соответствующая однородная система имеет только тривиальное решение, и матрица + невырождена, где '0 — 1 \ /10^
1В
= ( "А ^ Ь а = ( 1 о ) то Ра существует и
Ра =
у11(х), 0 < х < 1/2,
У12(х — 1/2), 1/2 < х < 1.
Лемма 2. При условии 1 = Ь, (1 + Ь)2 — 4ас = 0 матрица В подобна, диагональной В1=diag(ы1, ы2, ы3, ы4), причем, ы3 = — ы2? ы4 = —Ы = ы2.
2. Теорема равносходимости
Преобразование V = Гй, где Г—*ВГ = В1, приводит систему (3), (4) к виду
й'(х) = ЛВ1 й(х) + Г—1Вт(х), (5)
и (й) = РоГ^(0) + ДГй(1/2) = 0,
(6)
Обозначим через Д(А) = и (У (х, Л)) где У (х, А)=diag(6ЛwlX, ел^х, еЛ^зЖ, еЛ^4Ж). Зафиксируем агдА. При этом будем считать, что
ЯеАы1 > ЯеАы2 > 0.
Потребуем, чтобы
¿6* Д11 = ¿6*
( 7и - £721 712 - £722 -А713 -А714
-А731 -А732 7зз - £743 743 - £744
711 712 -723 -724
V -741 -742 733 734
= 0,
гДе — матрицы Г.
Удалим все нули ¿е*Д(А) (а они и являются собственными значениями краевой задачи (5), (6)) вместе с круговыми окрестностями одного и того же достаточно малого радиуса д, тогда в получившейся области Б имеет место оценка
¿е* Д(А) > с • |еЛ/2^1+^)|,
где с > 0 и зависит толь ко от д. Рассмотрим краевую задачу:
и'(ж) = АА и(х) + Г-1£ш(ж),
ио(и) = и(0) - и(1/2) = 0.
Теперь из Б дополнительно удалены д-окрестности нулей ¿е* До(А), До(А) = ио(У (х,А)). Справедлива следующая
Лемма 3. Если е Е (0,1 /4), то для любой функции /(х) Е Ь[0,1] имеет место соотношение
Нш || / А) - и(х, А) | ¿А || [6) 1/2_е]= 0,
г^то J |Л|=г
(окружности |А| = г целиком находятся в
Теорема. При, выполнении вышеуказанных условий для любой /(х) Е Ь[0,1] имеют место соотношения:
4 1 к-1
Иш У 5Т (/,х)^ —^ |(т1?, х--||[ к-!+е, |-£]=0, к = 1,2,
г^то ^—» 2 2 2
^ = 1 7
где е Е (0,1/4), Бг (/, х) — частичная сумма ряда Фурье по с.п.ф. оператора А для тех характеристических чисел Ак, для которых |Ак| < г; оу(/, х) —
частичная сумма, ряда Фурье по собственным функциям, оператора и'(х)7 и(0) = и(1/2) (и — скалярная функция) для собственных значений Л°к, для которых |Лк| < Г ~ компоненты Г—1Вш(х).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Хромов А.П. Интегральные операторы е ядрами, разрывными на ломаных линиях // Мат. сб., 2006. Т. 197, №11. С. 115-142.
УДК 518.9
И.А. Кузнецова
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ БЕСКОАЛИЦИОННЫХ ИЕРАРХИЧЕСКИХ ИГР ТРЕХ ЛИЦ
Понятие иерархических игр было предложено Ю.Б. Гермейером [1], который вместе с учениками создал развитую теорию таких игр [2, 3]. Теория же иерархических игр трех лиц не является такой полной и завершенной. В работе [4] автором рассматривались иерархические игры трех лиц с коалициями. Настоящая статья посвящена некоторому классу бескоалиционных иерархических игр трех лиц.
Рассмотрим следующую ситуацию. Главный управляющий игрок («хозяин») управляет подчиненным через посредника («директора»). Доход «хозяина» явно зависит от действий его и подчиненного, доход «директора» — от действий «хозяина», доход подчиненного — от действий его и «хозяина». «Хозяин» выбирает свою стратегию как функцию от действий «директора», а стратегия «директора», в свою очередь, является функцией от действий подчиненного. Как и обычно в иерархических играх, первый игрок первым выбирает свою стратегию и сообщает ее второму игроку, затем второй игрок выбирает свою стратегию и сообщает ее третьему игроку, после чего делает свой выбор третий игрок, определяя тем самым исход игры. Каждый игрок действует в своих интересах, максимизируя свою функцию выигрыша. Для упрощения изложения считаем, что множества стратегий игроков конечны.
Пусть дана игра Г = (X, Y, Z, F, G, H), где X, Y, Z — множества стратегий игроков, F, G, H — их функции выигрыша. В соответствии с вышеизложенным F отображает X х Z в R G — Y в R H — Y х Z в R Мы будем рассматривать следующее информационное расширение данной игры: Г = = (Фх, Ф2, Z,F,G,H), где Фх = Ш, : Ф2 ^ X Ф2 = {(2} (2 : Z ^ Y, при всех (2, z справедливо равенство F(^x,(2,z) = F(^х((2), (2(z),z), функции G и H определяются аналогично. После выбора первым игроком своей стратегии второй игрок, действуя в своих интересах, может выбирать свои стратегии только из множества
М2(^х) = {( : G(^2)) = max G^i^))}.
