Об одном дискретном аналоге полунепрерывности по Хаусдорфу лексикографического отображения в векторной булевой задаче минимизации модулей линейных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Выводы

В заключение можно сказать, что приведенные здесь основные принципы корреляционно-спектрального анализа нисколько не означают отказа от существующих методов анализа и расчета, а лишь дополняют и уточняют их.

Метод корреляционно-спектрального анализа в исследованиях нагруженности механизмов позволяет выявить величину колебаний и их частоту с целью их снижения, что в итоге увеличивает надежность механизмов.

Литература

1. Бидерман, В. Л. Теория механических колебаний / В. Л. Бидерман. - М. : Высшая школа, 1980.

2. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В. Е. Гмурман. - М. : УРСС, 2002.

3. Гриценок, П. А. Разработка и обоснование технических средств, повышающих производительность и надежность фрезерных машин, взаимодействующих с закустаренными почвами : дис. ... канд. техн. н. : 05.20.01 / П. А. Гриценок. - Горки, БСХА, 1985.

4. Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика / Н. Ш. Кремер. - М. : ЮНИТИ, 2004. - 573 с.

Summary

Using the methods of statistical dynamics, particularly correlation spectral analysis, we can receive full structural description of any occasional stationary machine loading process.

Поступила в редакцию 14.06.07

УДК 519.8

Е. Е. Гуревский, В. А. Емеличев

ОБ ОДНОМ ДИСКРЕТНОМ АНАЛОГЕ ПОЛУНЕПРЕРЫВНОСТИ ПО ХАУСДОРФУ ЛЕКСИКОГРАФИЧЕСКОГО ОТОБРАЖЕНИЯ В ВЕКТОРНОЙ БУЛЕВОЙ ЗАДАЧЕ МИНИМИЗАЦИИ МОДУЛЕЙ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ

Введение

В работе [1] получено необходимое и достаточное условие устойчивости векторной лексикографической задачи целочисленного линейного программирования. В данной статье этот результат распространяется на лексикографическую булеву задачу минимизации абсолютных уклонений от нуля линейных функций. Выявлены все случаи устойчивости этой задачи.

Пусть m - число критериев, n - число булевых переменных, x =(x1, x2,..., xn )T e X с En =

= {0,1}n, | X |> 2, Ct - i -я строка матрицы C = [cl} ]mxn e Rmxn, m > 1, n > 2, i e Nm =

= {1,2,..., m}. Пусть на множестве решений X задана векторная функция, состоящая из модулей линейных функций:

f ( х, C ) = (|С x|,|C2x|, K,|CmX|).

В критериальном пространстве Rm введем бинарное отношение лексикографического порядка Р между различными векторами y = (y y ...,ym) и y' = (y' y' ...,y'm), полагая, что

y p y'^yk < y'k,

где k = min{i e Nm : yt ф y'.}.

Под лексикографической булевой задачей оптимизации

Zm (C) :lex min {f (x, C): x e X}, m > 1

будем понимать задачу поиска множества лексикографических оптимумов [1], которое задается формулой:

Lm (C) = {x e X : " x ' e X (f (x ', C) p f (x, C))}, где Р - отрицание лексикографического отношения Р .

Очевидно следующее:

Свойство 1. Для любък двух решений x, x' e L (C) справедливо равенство f (x, C) = f (x', C). Поэтому множество векторных лексикографических оценок

f (Lm (C)) = {у e Rm : у = f (x, C), x e Lm (C)}

всегда состоит из одного вектора.

Очевидно, что векторная функция f (x, C) характеризует меру несовместности (абсолютных уклонений) следующей системы линейных булевых уравнений:

Cx = 0T ,, x e X, (1)

(m)> ' v '

где 0( ) = (0,0,...,0) e Rm. Легко видеть, что эта система совместна тогда и только тогда,

(m)

когда f (L (C)) = {0( )}. Кроме того, нетрудно понять, что частным случаем однородной системы

( m )

(1) может быть неоднородная система вида

T

Ax + b = 0( ), x e X, (m )> '

_1 . _mx( n-1) , . t -.T nm

где X с E , A e R , b = (b1, b2, к, bm) e R .

Известно (см., например, [2], [3]), что множество L (C), являясь подмножеством множества Парето, может быть определено как результат решения последовательности m скалярных задач:

Lm (C) = Argmin {| Cx |: x e L- (C)}, i e Nm, (2)

где Lm0(C ) = X.

Таким образом, имеем последовательность множеств

X 3 Lm (C) 3 Lm2 (C) 3 к 3 Lmm (C) = Lm (C). (3)

Результаты исследования и их обсуждение

Будем исследовать устойчивость задачи Zm (C) к независимым возмущениям параметров

k

векторного критерия f (x, C), т. е. элементов матрицы C. Для этого в пространстве R

произвольной размерности k e N зададим метрику l¥, т. е. под нормой вектора

k

z = (z1, z2, к, zk) e R будем понимать число

11 z ||= max 1 zj L

jeNk

а под нормой матрицы - норму вектора, составленного из всех ее элементов.

Как обычно [1], [4-6], задачу Zm(C) назовем устойчивой (в терминологии [7] T3 -устойчивой), если

X := {e > 0 : " C e W(e) (iT (C + C) с (C))} Ф 0,

где

W(e) = {C e Rmx" :|| C ||< e}.

Тем самым, устойчивость задачи Zm(C) является дискретным аналогом свойства полунепрерывности сверху по Хаусдорфу в точке C многозначного оптимального отображения

m mxn X

L : R —> 2 ,

mm

которое каждой матрице C ставит в соответствие множество L (C). Задачу Z (C + C') будем называть возмущенной, а матрицу C' e W(e) - возмущающей.

Понятно, что при выполнении равенства Ь (С) = X задача 2 (С) устойчива. В дальнейшем этот случай будем исключать из рассмотрения, а задачу 2™(С), для которой

т т

множество Ь (С) := X \ Ь (С) непусто, называть нетривиальной.

Отметим, что в [6] были получены нижняя и верхняя оценки радиуса устойчивости векторной булевой задачи с паретовским принципом оптимальности и частными критериями

вида | Л.х + Ь. |.

Следующее свойство очевидно.

Свойство 2. При 0^) е X решение х принадлежит множеству Ь (С) тогда и только тогда, когда существует такой индекс к е Ыт, что | Скх |> 0.

Теорема 1. Если 0^) е X, то нетривиальная задача 2™ (С), т > 1 устойчива при любой

тхп

матрице С е К .

Доказательство. При выполнении условий теоремы 1, согласно свойству 2, выполняется формула

" х е Ь™ (С) 3 к е Мт (| Скх | > 0).

Тогда существует такое число е(х) > 0, что для любой возмущающей матрицы С' е е(х)) справедливо неравенство

|(Ск + Ск) х|>0,

где Ск - к -я строка матрицы С'. Поэтому, вновь учитывая свойство 2, заключаем, что

х е Ь™ (С + С') при С' е й(е(х)). Резюмируя, получаем

" С' е й(е ) (Ь™ (С) с Ь™ (С + С')),

где е = шт{е(х): х е Ь (С)}. Тем самым, имеем

3е* > 0 " С ей (е*) (Ь™ (С) з Ь™ (С + С')),

и поэтому задача 2™(С) устойчива. Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Если 0^) £ X, то нетривиальная задача 2™ (С), т > 1 устойчива в том и только в том случае, когда

т т

Ь (С) = Ь (С). (4)

т т

Доказательство. Необходимость докажем методом от противного. Пусть Ь (С) Ф Ь1 (С)

т т т т

при условии, что задача 2 (С) устойчива. Тогда множество £ (С) := Ь1 (С) п Ь (С) непусто. Покажем, что справедлива следующая формула:

"е >0 3 С * ей (е) (I™ (С) п I™ (С + С *) = 0). (5)

0 т 0 Т

Пусть х е £ (С). Тогда х Ф 0(п) и

" х е Ь™ (С) (/ (х, С) р / (хС)).

Это вместе с х0 е (С) дает формулу

" x е Ь (С) 3 k = k (x) е Nm \{1} " i е Nk_1 (| С/ | = | С/ | & |Скх|<|Скх° |), которая, согласно свойству 1, может быть записана в виде

3 k е Nm \{1} " i е N^1 " х е Ь" (С) (| Сгх | = | С/ | & | Скх | < | Скх0 |). (6)

Отсюда следует, что Ск ф 0(п), т. е.

l|Сkl|>0. (7)

*

Пусть е >0. Займемся построением необходимой возмущающей матрицы С . В связи с (6) возможны два случая.

Случай 1. Для любого решения х е Ь (С) справедливы равенства

С х0 = С х = 0. (8)

Поскольку никакая пара различных ненулевых булевых векторов не является

\ п )

п 0 коллинеарной, то в R существует гиперплоскость H, проходящая через точки 0, , и х , но не

содержащая ни одной точки множества L (C). Поэтому вектор a = (ap a2,..., an) e R , || a ||=1, ортогональный к H, обладает свойством

" х e L1 (C) (0 = ax0 Ф ax). (9)

* mxn

Далее построим строки матрицы C e R по правилу

da, если i = 1, если i Ф 1,

^ (n)

где число 5 удовлетворяет неравенствам

0 < 5 < e.

*

Отсюда, учитывая равенство || a ||=1, выводим C eW(e). Кроме того, из (8) и (9) вытекает, что при любом решении х e L (C) выполняются соотношения

| (Cj + C*)х0 | = | 5ax° |= 0 <| 5ax | = | (C1 + C*) х |. (10)

Случай 2. Для любого решения х e L (C) справедливы соотношения

Cх°| = |С,х |> 0. (11)

* mxn

В этом случае возмущающую матрицу C e R определим по правилу:

* I 5C,, если i = 1,

c* = i k

' 0( ), если i Ф 1

I (п)'

(здесь и далее индекс k из (6)), а число 5 Ф 0 зададим так, чтобы выполнялись условия

|| 5Ck ||< e, (12)

если sign(Cjx°) Ф sign(Ckx°), sign 5 = i (13)

0 0 -1, если sign(Cjx ) = sign(Ckx ),

| c/ |

| 5 |< —1—0—. (14)

|qx |

Согласно (7), число, стоящее в левой части неравенства (12), положительно. Поэтому,

* *

принимая во внимание строение возмущающей матрицы C , имеем C eW (e). Кроме того, учитывая, что оба числа Cjx0 и Ckx° отличны от нуля (см. (6) и (11)), из (13) и (14) выводим

| Cx0 + 5Ckx0 | = | Cx0 | - | 5 | • | Ckx0 |.

*

Отсюда ввиду (6), (11) и строения матрицы C следует, что для любого решения x e L (C) справедливы соотношения

| (C + С*)x° | - | (C, + С*)x | = | Cjx° + 5Ckx0 | - | (C + С*)x | <

£ | C x0 | - | 5 | • | Ckx0 |-|C x| + |C* x|= - | 5 | • | Ckx0 | + |5|-|Ckx|<0,

которые вместе с (10) дают формулу

3 C

Поэтому имеем

3 C* e W(e) " x e Lm (C) (| (C + C*)x0 | <| (C + C*)x |).

Ь (С) п ¿¡(С + С ) = 0, и, как следствие, учитывая включение

т * т *

Ь™ (С + С ) с Ьт (С + С ),

справедливое в силу (3), заключаем, что верна формула (5). Это означает, что задача 2™(С) не является устойчивой. Полученное противоречие доказывает необходимость равенства (4).

Достаточность. Пусть выполняется равенство (4). Тогда никакое решение х е Ь (С) не может принадлежать множеству (С). Поэтому, согласно (2), (при I = 1) для любого решения х е Ь (С) справедливо неравенство

|Сх0 |<|С1 х |,

0 т п

если х е Ь (С). Отсюда в силу непрерывности функции С1х на множестве параметров С1 е Я существует такое число е = е(х) > 0, что для любой возмущающей матрицы С' е е) справедливо неравенство

|(С + С')х0 |<|(С + С')х |, (15)

т. е. решение х не является лексикографическим оптимумом возмущенных задач

тт

2 (С + С'), С' е й(е). Очевидно, что неравенство (15) верно при любом решении х е Ь (С),

*

если С' ей (е ), где

е = тш{е(х): х е Ь™ (С)}. Из приведенных рассуждений следует, что

3e* > 0 " C' e W(e*) (lT (C) с lT (C + C')),

и потому задача Zm (C) устойчива. Теорема 2 доказана.

Выводы

Поскольку при переходе к однокритериальному случаю (m = 1) равенство L (C) = Lx (C)

выполняется при любой строке C e R", то из теорем 1 и 2 вытекает

1 п Следствие. Скалярная задача Z (C) устойчива при любой строке C e R .

Литература

1. Емеличев, В. А. О регуляризации лексикографической векторной задачи целочисленного программирования / В. А. Емеличев, О. А. Янушкевич // Кибернетика и системный анализ. - 1999. - № 6. -С. 125-130.

2. Еремин, И. И. О задачах последовательного программирования / И. И. Еремин // Сибирский матем. журнал. - 1973. - Т. 14. - № 1. - С. 53-63.

3. Червак, Ю. Ю. Оптим1защя. Непокращуваний виб1р / Ю. Ю. Червак. - Ужгород : Ужгородський Нацюнальний ушверситет, 2002. - 312 с.

4. Stability and regularization of vector problems of integer linear programming / V. A. Emelichev [et al.] // Optimization. - 2002. - V. 51, № 4. - P. 645-676.

5. Емеличев, В. А. Об устойчивости векторной булевой задачи минимизации пороговых функций / В. А. Емеличев, К. Г. Кузьмин // Весшк Мазырскага дзяржаунага педагапчнага ушверсггэта. - 2005. - № 1. -С. 6-10.

6. Гуревский, Е. Е. Об устойчивости векторной булевой задачи минимизации абсолютных уклонений от нуля линейных функций / Е. Е. Гуревский, В. А. Емеличев // Известия вузов. Математика. -2006. - № 12. - С. 27-32.

7. Сергиенко, И. В. Задачи дискретной оптимизации. Проблемы, методы решения, исследования / И. В. Сергиенко, В. П. Шило. - Киев : Наук. думка, 2003. - 261 с.

Summary

A criterion of stability for the vector nontrivial boolean lexicographic problem of minimizing absolute value of linear functions is obtained.

Поступила в редакцию 02.03.07

УДК 519.8

В. А. Емеличев, А. А. Платонов

О РАДИУСЕ КВАЗИУСТОЙЧИВОСТИ ВЕКТОРНОЙ ЗАДАЧИ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ ПРИНЦИПОМ ОПТИМАЛЬНОСТИ В МЕТРИКЕ ГЁЛЬДЕРА

Введение

В статье рассматривается векторная задача целочисленного линейного программирования, принцип оптимальности которой задается способом разбиения частных критериев на группы так, что внутри каждой группы действует паретовский принцип оптимальности, а между группами - лексикографический. Исследуется квазиустойчивость задачи, т. е. дискретный аналог свойства полунепрерывности снизу по Хаусдорфу многозначного отображения, задающего функцию выбора. Получена формула радиуса квазиустойчивости задачи

в случае нормы I р ,1 < р < ¥, заданной в пространстве параметров векторного критерия. Ранее

подобные формулы были выведены лишь для комбинаторных (булевых) задач с разнообразными

видами параметризации принципов оптимальности в случаях метрик 11 и 1¥ [1-4], а также для

некоторых задач теории игр [5-8].