Об одном диофантовом уравнении над о-кольцом Фибоначчи Текст научной статьи по специальности «Математика»

MS С 11D45

ОБ ОДНОМ ДИОФАНТОВОМ УРАВНЕНИИ НАД о-КОЛЬЦОМ ФИБОНАЧЧИ

Д.В. Кузнецова, А.В. Лаптев, А.В. Шутов

Владимирский государственный университет, пр. Строителей, 11, Владимир, 600024, Россия, e-mail: [email protected],

[email protected]

Аннотация. В работе рассматривается уравнение вида Fn о X — Fm о Y = C, X < N € N, где о - круговое умножение Матиясевича-Кнута. Для этого уравнения была получена асимптотическая формула для числа решений.

Ключевые слова: круговое умножение, последовательность Фибоначчи, диофантовы уравнения.

1. Введение. Рассмотрим последовательность Фибоначчи вида

К = 1, К2 = 2, Кп = Кп-1 + Кп_2, для любых п > 2 .

Хорошо известно, что любое натуральное число представимо в системе счисления Фибоначчи, то есть может быть записано в виде

N = ^ £гКг, £ = О ИЛИ 1, £;£;+1 = 0.

г

Тогда для двух чисел N,M Е N вида

N = £ £,К. М = £ £ К,

г ,

операция кругового умножения задается следующим образом

N ◦ М = £ £>£, .

г,

Относительно этой операции множество натуральных чисел образует о-кольцо Фибоначчи.

Впервые операцию кругового умножения ввели независимо друг от друга Ю.В. Ма-тиясевич |1| при решении десятой проблемы Гильберта и позднее Д. Кнут |2|, В настоящее время модификацию данного определения предложил В.Г. Журавлев |3|, Им была получена явная формула для кругового умножения |3|

N о М = NM +[^ + 1)т][(М + 1)т],

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант №11-01-00578а.

где [•] - делая часть числа, т = Л^~1 - золотое сечение.

Ранее относительно этой операции были рассмотрены аналоги ряда классических теоретико-числовых задач. В частности, В.Г.Журавлев рассматривал аналог представления натурального числа суммой двух, трех и четырех квадратов, заменяя обычное умножение круговым |4|. А.В. Лаптев рассмотрел аналог задачи о пифагоровых тройках 151, а И.К. Швагирева занималась бинарной аддитивной задачей |6|.

Во всех этих случаях были получены результаты, определяющие условия дня существования решения, а в некоторых случаях были получены оценки на число решений или же асимптотические формулы дня числа решений.

В работе рассматривается уравнение от двух переменных X, У Е N

Еп о X - ^т о У = С, X < N Е N. (1)

Доказывается

Теорема 1. Пусть Бп,т^) - число решений уравнения (1). Тогда справедлива асимптота ческая формула

Ьп,т^) = Сп>т(3(С))N + 0(1п N),

где 5(х) = х — [(# + 1)т]т, т = ^+1, а сп^т(х) - явно определенная в теореме ?? кусочно-линейная функция от х, называемая функцией плотности.

2. Вспомогательные результаты. Рассмотрим функцию 6(х), определенную в теореме 1.

Предложение 1. Функция 6(х) представима в виде 6(х) = —1 + т((х + 1)т). (•) -

дробная часть.

□ Действительно, если переписать определение 6—функции следующим образом

6(х) = х — (х + 1)тт + ((х + 1)т )т, то после несложных преобразований получим

6 = —1 + т((х + 1)т) . ■

Предложение 2. Для 6—функции справедлив о, что 6(п) Е [—1; т).

□ Доказательство предложения можно найти в работе [3]. ■

Предложение 3. Значения 6—функции представимы в виде 6(п) = а — Ьт, причем а,Ь Е N а + Ь = п.

□

а — Ьт Е [— 1; т) .

Пусть

к = [(х + 1)т]

к Е

Учитывая, что Г = 1 + т, получим ^ 6(х) = х — к(1 + т) = х — к — кт. Обозначим

х — к = а, к = Ь

Предложение 4. Для любого с Е Z[т] П [—1; т) найдется такое N,4то 6^) = с.

□ Пусть 6 Е [—1; т) П Ъ[т]. Введем число 6' = (6 + 1)/Г, причем 6' Е [0; 1) П Ъ[т].

Следовательно, 6' представимо в виде 6' = а' + Ь'т, а',Ь' Е Ъ. Тогда 6' = (Ь'т). В качестве N выберем N = Ь' — 1. Получим, что 6(^, действительно, равна исходному выражению. ■

6

равенство

□ Доказательство предложения можно посмотреть в работе [3]. ■

6—

6(х) = а — Ьт , а, Ь Е Ъ. ■

£(N0 + £(N2) = 6(^ + N2) — а(^, N2)?

где

1, если 6(^) + 6(^) > т.

0, если 6(^) + 6(^) Е [—1,т)

1, если 6(^) + 6(^) < —1.

адо = (—т )п.

□

6(1) = 1 — тг = —т ;

6(1) = 2 — г = 1 — т = т2 .

Рассмотрим переход п ^ п +1. По предположению индукции.

6(*п_1) = ( —т )п-1, 6(^п) = ( —т )п.

Так как ^п+1 = ^п-1 + ^п, то, с учетом предложения 5, имеем

6(^п+1) = 6(^п_1) + 6та,

откуда легко получить, что

6(^+1) = ( —т )п+1. ■

6

чисел справедливо равенство

6(^) • 6(^) = 6(^ о N2) + £(N1, N2)? ,

Г 1, если 6(^)6(^) > т,

£(N1, N2) = <

| 0, если 6(^)6(^) Е [—1; т). □■

Предложение 8. Если один из двух сомножителей является числом Фибоначчи, 6—

6(^п о N) = (—т)п6^).

□ По предложению 7 можем записать

6(F„ о N) = 6(F„) ■ £(N) + 0(Fra, N)r.

Функция ^(Fn, N) будет равна нулю, а значит 5(Fn о N) = 5(Fn) ■ 5(N). Тогда, воспользовавшись предложением 6, получим искомое выражение. ■

3. Доказательство основной теоремы. Перейдем к доказательству теоремы 1, сформулированной во введении.

Дня того, чтобы получить ограничение дня первого слагаемого уравнения (1), воспользуемся явной формулой дня кругового умножения

Еп о X = Fn ■ X + [(Fn + 1)t][(X + 1)т] .

Теперь с помощью несложных преобразований можно получить, что

Fn о X = (Fn + Fn-1T)X + 0(1).

Затем воспользуемся формулой Вине для n—ого числа Фибоначчи

_ тп+1 - (-т)п+1

и получим искомое ограничение

Fn о X < -^(fra+1 + г"т)ЛГ + 0(1);

V 5

Fn о X < fn ■ N + 0(1). (2)

Рассмотрим уравнение

K — L = C, где K < N(3)

и обозначим через 5^ т(^) число решений уравнения (3) с дополнительными условиями

К = ^п о X , Ь = ^т о У .

Так как X < N,10 К < Х/гп + 0(1), а значит,

N N = Fn о X

S(N) 6 In, где

□ Докажем, что S(N) 6 In. Пусть N = Fn о X. Перепишем данное равенство в виде

Из выше изложенного следует 6' Е [—1; т), 6' Е Ъ[т], откуда по предложению ??

получаем 6' = 6^).

Осталось показать, что X - искомое число. Проверим, что 6(^п о X) = 6^). По предложению 7 имеем 6(^п) • 6^) = 6^), откуда 6^) = 6^)/6(^п) = 6(N)/(—т)п, а

значит,

(4)

S(N) = 5(Fn о X).

По предложениям 6 и 7 получим, что

S(N) = S(Fn) ■ S(X) = (—т)n ■ S(X) .

Следовательно,

S(N) 6 In .

Докажем обратное утверждение. Введем S' = S(N)/(—т)n ,

S(N) = a + Ьт, a, b 6 Z.

Поскольку т — обратимый элемент кольца Z[t], можно записать

S' = a' + Ь'т , a', b' 6 Z.

6^) = 6'.

Таким образом, исходное уравнение (3) сводится к уравнению вида

К — Ь = С, 6^) Е 1п , 6(М) Е 1т .

6

6(К — Ь) = 6(К) — 6(L)(mod Г).

Тогда

6(К) — 6(Ь) = 6(С), К < N. (5)

Число решений уравнения (5) вычисляется следующим образом

5п,т(лт) = £ £ 1 = £ £ 1 =

К<М : <5(К)€/п Ь :<5(Ь)е/т, К<М : <5(К)е/п Ь :<5(К)€<5(С)+/т,

а(к)-а(ь)=а(с) й(к)-й(ь)=г(с)

£ 1= £ 1 = ОД < N : ОД) Є /„ П (/т + ОД)}.

К<М: Й(К)е/п, К<М :

<5(К)Є<5(С)+/т <5(К)=/пП(/т+<5(С))

Таким образом получаем, что

п! ( АТ\ _ 1П ^ (С) )|дт,/дт\ /д\

8п,т\Ю — Г(—: Г, ^ + о(Х) . (6)

|[—1т )|

Поскольку т — иррационально, дробная доля {Хт} равномерно распределена по модулю 1. Справедливо более сильное утверждение |7|,

Теорема Нидеррайтера. Пусть дана последовательность дробных долей {га}, где і = 1, 2,..., N и а = [?о> 9ъ ?2> •••] _ разложение в цепную дробь иррационального числа а с ограниченными неполными частными ^ < К для всех і > 1, и пусть

А([в,т);N) = Й{і: {іа} Є [в,т),г = 1> 2,•••,N},

А([в,т); N)

= вир

0<в<7<1

N

- верхняя граница отклонений по всем полуинтервалам для числа попаданий А ([в, 7); N) последовательности {га} в полупнтервал [в, 7). Тогда, для имеет место следующее неравенство

™„<з + ( ;4 + пп^-т)1„]у.

Согласно предложению 1, справедлива формула 6(х) = — 1 + т((я + 1)т). Отсюда вытекает, что значения 6^) равномерно распределены на интервале [—1; т). По теореме Нидеррайтера остаточный член имеет порядок 0(1пN). Тогда

СI < ЛА ^ + ^(С)) | ( ^

3П,т(Ю = -------\[-1-т)\---- ( ) '

Воспользовавшись формулой (2) можно записать искомое выражение дня числа решений уравнения (1)

БпАЮ = ^, + т^х + 0(1п м)) (7)

1 — 1; т)

откуда следует, что

5П,т(Х) = |/„ п (1т + £(С))|^-1Х + 0(1п N) . (8)

Таким образом, теорема ?? доказана с сга>т(ж) = |/га| П (1т + ж). ■

4. Вычисление функции плотности. Перейдем к вычислению функции плотности, введенной в теореме 1.

Теорема 2. Пусть сга>т(ж) - функция плотности. Тогда для нее справедливы следующие явные формулы:

1 + ж, ж € [—т; 0), с1Д(ж) = < 1 — ж, ж € [0; т),

С1,2(ж) =

Для п = 1, т > 2

С1,т(ж) =

Для п > 2, т > 2

ж € [—1; —т);

Дт + ж + Т2, ж €

т

т~ 1

ж

^ Т — Гт — ж ж €

— 1 — Гт — ж ж €

0

ж

тт

т— 1

т + ж, ж € [—т; 0).

т, ж € [о; т2),

1 — ж, ж € [т2; т),

—т — ж, ж € [—1; —т).

тт

т1

— Гт; т);

_1; _1 _ Г )

-Ч х ^ т/)

-1 - г ;-т2 - тт-1 - г )

х ^ т 1 1 ^ ту

0

Дт-Ь„+.Т

(ж)

1 ^

< тт-га,

Яп Ж

'Т-ТЪ 1 ?

ж € [—1 — Гт; — Гт — тт 1))

ж € [Гп — Гт — тт 1; — Гт))

ж € [Гга Гт; Гт т ) >

ж € [Дп — Гт — тт 1; — Гт))

ж € [Дп Гт; т Гт).

Здесь

Г = - т21

! + 1 1

^г+1

% — нечетно, г — четно.

□ Рассмотрим случай, когда п = 1 и т =1. Зафиксируем один из отрезков, например /га, а другой, 1т, будем смещать на величину ж. Стоит заметить, что в этом случае функция плотности никогда не примет нулевого значения, поскольку суммар-

[—1;т)

а значит их пересечение будет

ная длина двух интервалов 11 будет больше всегда непустым.

Функция плотности примет свое максимальное значение только тогда, когда оба рассматриваемых интервала наложатся друг на друга (см. рис. 1) и будет равно |11|, то есть

С1,1(0)

т

1.

1п

I-----------------------1

I-------------И-------1---------------1

-1 -г2 о Т

1т + х, х = О

Рис. 1. Полное наложение интервалов 1п и 1т друг на друга.

Для дальнейшего доказательства, необходимо убедиться в том, что Г, и Д, действительно являются соответственно левой и правой границей интервала [—1; т). Перепишем 1П, заданный в лемме 1 в виде

I (—тп+1;тп), n — нечетное.

(—тп; тпТ1), n — четное.

Легко видеть, что R является правой границей данного интервала. Теперь, если пре-

2 Г 1

образовать левую границу 1п как —г L 2 J ? т0 получим, что L— левая граница.

Теперь рассмотрим такой вариант, что Lm + x G [—1; т2Цп x G [—т; 0) (см. рис. 2), тогда функция с1?1 (x) будет принимать значения

Ci,i(x) _ Ii О 111 + x| _ Rm + т + x _ т + т + x _ 1 + x.

In

I----------------------1

I-------------------1--------------1

-l -г2 о t

Im + x

Рис. 2. Наложение интервалов In и Im друг та друга при x G [—т; 0).

В этом случае остался последний интервал (см. рис. 3), а именно, Lm + x G [—т2; т) пли x G [0; 1), но так как ^ пределы интервала [—1; т), необходимо

разбить полученный интервал на два: x G [0; т) и x G [—1; —т). Тогда в первом случае функция плотности примет вид

Ci,i(x) _ Rn — (Ln + x) _ т — (—т2 + x) _ 1 — x ,

а во втором насколько пересечение с одним концом фиксированного интервала уменьшится, настолько увеличится с другим, а, следовательно, значение C1?1 (x) станет постоянным и будет равняться

C1,1 (x) _ |111 + |111 — r _ т2 .

In

I----------------------1

—I--------------1

-1 -T2 0 r

Im + x

Рис. 3. Наложение интервалов In и Im друг та друга при x G [0,т) и x G [—1, —т).

Кроме того, это значение является минимальным для рассматриваемого случая (см. рис. 4).

Рис. 4. Функция плотности для п = 1 и т =1.

Теперь рассмотрим случай для п = 1 и т = 2. Здесь функция плотности обратится в ноль в единственном случае, когда левая граница смещаемого интервала будет равна (—1). При Гт + ж € [—1; — т2^и ж € [—т; 0),

^1,2 (ж) (Дт + ж) т + ж •

При Гт + ж € [—т2; 0^и ж € [0; т2), функция с1?2(ж) будет принимать значение, равное длине интервала 12, то есть

С1,2 (ж) = т.

При Гт + ж € [0; т^и ж € [т2; 1), снова вышли за пределы кольца Ъ[т], поэтому следует разбить его на две части ж € [т2; т) и ж € [—1; —т).

Для первого интервала получим функцию плотности

С1,2 (ж) = — (Гт + ж) = т + т2 — ж =1 — ж,

а для второго имеются две известные точки (—1; т2) и (—т;0), проведя прямую через которые, получим что

с1?2(ж) = —т — ^ рис. 5).

Рис. 5. Функция плотности для п = 1 и т = 2.

Перейдем к рассмотрению случая при п = 1 и т > 2. Теперь функция плотности будет обращаться в ооль на целом интервале, поскольку длина смещаемого интервала

<

[—1; — т"

. Тогда функция будет принимать нулевые значения при Гт + ж €

Г™"1) ИЛИ ж € [—1 — Гт; т2 — тт-1 — Гт).

Функция плотности будет принимать максимальные значения, равные |1т| в том случае, когда полностью входит в фиксированный 1п. Это будет происходить при Гт + ж € [—т2; т — тт-1 Ци ж € [—т2 — Гш; т — тт-1 — Гш).

Когда Гт + ж € [—т2 — тт-1; —т2^и ж € [—т2 — тт-1 — Гт; —т2 — Гт), с1?т(ж) примет вид

^1,т(ж) — Дт + ж + т •

Когда Гт + ж € [т — тт 1; т^и ж € [т — т

т1

Гт; т

Гт), снова выйдем за

допустимые границы, что потребует разбить полученный полуинтервал на два новых:

ж € [т — тт 1 — Гт; т) и ж € [—1; —1 — Гт). Для первого получим зависимость

С1,т(ж) = Дп — (Гт + ж) = т — Гт — ж ,

а во втором проведем прямую через точки (—1; —Гт) и (—1 — Гт; 0) и запишем соотношение

С1,т(ж) = —1 — Гт — ж (СМ. рИС. 6).

Рис. 6. Функция плотности для п = 1 и т > 2.

Осталось рассмотреть общий случай для всех п > 2 и т > 2.

С увеличением номера интервала, его границы стремятся к нулю. Следовательно, если смещаемый интервал целиком помещается между левыми или правыми границами интервалов [—1; т) и /п, то сп,т (ж) = 0. Такое возможно при Гт + ж € [Дп; т) или

ж € [Дп Гт; т Гт).

Максимальные значения функция плотности будет принимать тогда, когда меньший интервал будет целиком входить в больший, тогда, при Гт + ж € [Гп; Дп — тт 1) или ж € [Гп — Гт; Дп — Гт — тт-1), ПОЛуЧИМ

т1

тп

Осталось рассмотреть два случая. В первом Lm + x Е [Ln — тm 1; LnЦи x Е [Ln —

Rm Ln + x

Lm — Tm 1; Ln — Lm) и

^n,m (x) m1

т

n—1

а во втором Lm + x Е [Rn — тm 1; Rn) ми x Е [Rn — Lm — тm 1; Rn — Lm) и

^n,m (x)

Rn Lm x

i~n 1

(см. рис. 7).

Рис. 7. Функция плотности для n > 2 и m > 2.

Таким образом, теорема 2 доказана. ■

Литература

1. Матпясевпч Ю.В. Связь систем уравнений в словах и длинах с 10-й проблемой Гильберта / / Зап. науч. семин. ЛОМИ. - 1968. - 8.

2. Knuth D. Fibonacci multiplication // Appl. Math. Lett. - 1988. - C.57-60.

3. Журавлев В.Г. Суммы квадратов над о-кольцом Фибоначчи // Зап. научн. семин. ПО-МИ. - 2006. - 337. - С.165-190.

4. Журавлев В.Г. Четно-фибоначчевы числа: бинарная аддитивная задача, распределение по прогрессиям и спектр // Алгебра и анализ. - 2008. - 20. - №18 - С. 18-46.

5. Лаптев А.В. Пифагоровы и фибоначчевы тройки // Научные ведомости БелГУ. Математика. Физикаю. - 2012. - Вып.26. - С.240-244.

6. Швагирева И.К. Бинарная аддитивная задача Fn оN1 + Fm оN2 = ^шд о-прогрессиями Фибоначчи // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения:тез. докл. VIII Международной конференции, посвященной 190-летию П.Л. Чебышева и 120-летию И.М. Виноградова (Саратов, 12-17 сентября 2011 г.) / Саратов: СГУ, 2011. - С.79-80.

7. Кейперс Л., Нидеррайтор Г. Равномерное распределение последовательностей // М.: Наука, 1985.

о

D.V. Kuznetsova, A.V. Laptev, A.V. Shutov

Vladimir State University,

Stroiteley Av., 11, Vladimir, 600024, Russia, e-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

Abstract. The equation Fn о X — Fm о Y = C, X < N Е Nis studied. Asymptotic formula for the number of its solutions is proved.

Key words: circle multiplication, Fibonacci’s sequence, diophantine equations.