УДК 519.21
ОБ ОДНОЙ АДДИТИВНОЙ ЗАДАЧЕ С ДРОБНЫМИ ДОЛЯМИ
А.В. Шутов
Владимирский государственный университет пр. Строителей, 11, Владимир, 600024, Россия, e-mail: [email protected]
Аннотация. В работе получена асимптотическая формула для числа решений уравнения Ui + ... + nk = n c дополнительными условиями на слагаемые {nia} €
Ключевые слова: аддитивные задачи, дробные доли, теорема Вейля.
Введение. В работе рассматривается задача об асимптотике для числа решений линейного диофантова уравнения
П1 + ... + пк = п (1)
с дополнительными условиями на слагаемые
(пга) € 1г,1 = 1,... , к . (2)
Здесь а - иррациональное число, {•} - дробная доля и 1г С (0; 1) - множества с
интегрируемой по Риману характеристической функцией.
В.Г. Журавлев [3] рассмотрел бинарную аддитивную задачу для так называемых четно-фибоначчевых чисел. Напомним, что любое натуральное число п разлагается по жадному алгоритму в систему счисления Фибоначчи
E^i(n)Fi:
п =2^ £г(п)
г>1
где Г0 = Г1 = 1, Гг+1 = Г + Гг-1 и £г(п)ег+1(п) = 0. Число п называется четно-
фибоначчевым, если £1(п) = 0. Оказывается, что условие четно-фибоначчевости эквивалентно попаданию дробной доли {пт}, т = ^---в некоторвш интервал.
Условие попадания дробной доли пт в некоторый интервал описывает также множества Г(^1,... , 8т) = (п : £1(п) = 81,. . . , £т(п) = 8т} . Бинарная задача для чисел из Г(0,..., 0) с любым количеством нулей рассмотрена в [4].
К условию (2) сводится также описание аналогов множеств Г(^1,... , 8т), связанных с разложениями натуральных чисел по линейным рекуррентным последовательностям второго порядка, а также с разложениями натуральных чисел по знаменателям подходящих дробей к иррациональности а (разложение Островского-Цеккендорфа).
Гриценко и Мотькина рассмотрели тернарную проблему Гольдбаха и проблему Хуа-Логена с дополнительными условиями типа (2) [1], [2].
Обозначим через г к (а, 1\,..., 1к ,п) число решений уравнения (1) с дополнительными условиями (2). В случае 1\ = ... = 1к = (а, Ь) будем обозначать число решений просто Гк(а,1,п). В работах [1], [2] фактически доказан следующий результат
Теорема 1. Пусть а - квадратичная иррациональность. Тогда справедлива асимптотическая формула
гк(а, I, п) ~ ак(а, Ь, п)пк-1, где ак(а,Ь,п) - особый ряд, вычисляемый по формуле
Ok (a, b, n) = e
|m|<<^
2ттіт(ап-0МІа+Ь)) SmA 7Г)П,(Ь — a)
nk mk
При этом остались открытыми вопросы об явном вычислении особого ряда, а также об условиях, при которых данный особый ряд отличен от нуля.
В настоящей работе будет получена альтернативная асимптотическая формула для Гк (a, I1,... , Ik,n), дающая ответы на эти вопросы.
Автор выражает свою благодарность Владимиру Георгиевичу Журавлеву, благодаря которому возникла рассматриваемая задача, а также Сергею Александровичу Гриценко за стимулирующие обсуждения.
2. Бинарная задача
Вначале рассмотрим случай к = 2. Для любого е введем отображение
i£ : x ^ 1 — x + е (mod 1).
Теорема 2. Справедлива асимптотическая формула
r2(a, h,h, n) ~ |Ii П I2({nia})ln,
где 12 (е) = ^(h).
□ Действительно,
(3)
Г2(а, І1, І2, n)
E
Пі + n2 = n, {n1a] Є І1, {ща] Є І2
E
n1 = 1, [n1a] Є I1, {(n - ni)a] Є І2
1
1
E
n1 = 1 ,
{n1a] Є І1,
{n1a] Є 1{піа}(І2)
E
n1 = 1 ,
{n1a] Є І1 П ^({ща])
1 = N (a, n, І1 П 12({n1a])),
1
Согласно теореме Вейля о равномерном распределении [7], справедлива асимптотическая формула
используя которую немедленно получаем требуемый результат. I
Рассмотрим теперь вопрос об остаточном члене формулы (3). Ясно, что он выражается через остаточный член формулы (4). Однако, хорошо известно, что без дополнительных предположений об а и X остаточный член формулы (4) неулучшаем. Тем не менее, улучшение возможно при некоторых дополнительных предположениях.
в случае алгебраических а. Более подробную информацию о современных оценках А(а, п) можно найти например в работе [6]. Используя введенное определение, можно переписать теорему 2 в следующем виде.
Теорема 3. Пусть множества 1\, 12 являются интервалами. Тогда справедлива асимптотическая формула
Замечание 1. Формула (5) справедлива также в случае, когда множества 1\, 12 являются объединением не более, чем I интервалов. При этом константа в 0(А(а,п)) умножается на I.
Теорема 4. Пусть все множества 1\,... ,1^ являются интервалами. Тогда справедлива асимптотическая формула
где Ск(1\,..., Ік,є) - периодическая с периодом 1 функция, вычисляемая по формуле
где
N (а, п,Х) = §{к : 1 < к < п, {ка} Є X}.
N (а, п, X) ~ п|Х | + о(п),
(4)
Пусть
Д(а,п)= вир ^(а,п,І) — (Ь — а)п|.
!=(а;Ь)
В частности, известна оценка
Д(а, п) = 0(1п п)
в случае, если а - квадратичная иррациональность, а также оценка
Д(а, п) = 0(п£)
т2(а, І\,І2, п) ~ |Іі П 12({піа})|п + 0(Д(а, п)).
(5)
3. Случай произвольного числа слагаемых
Гк(а, Іі,...,Ік ,п) ~ Ск (Іі,...,Ік-, {па})пк 1 + 0(пк 2Д(а,п)),
(6)
114 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ [¿Д Серия: Математика. Физика. 2013. №5(148). Вып. 30 Здесь
1к (е) = 1£(1к)
и функция с1(11,е) задается на периоде [0; 1) условием:
1 е € 1\;
С1(/‘-е)- ' 0, е € Л;
□ Доказательство формулы (6) будем проводить индукцией по к. Для к = 2 формула (6) эквивалентна (5), что проверяется непосредственным вычислением интеграла (7). Рассмотрим переход к ^ к + 1.
Заметим, что
Гк+1(а,11,... ,1к+1,п) = ^2 Гк(а,11,... ,1к ,П1) .
П1+П> =п
Обозначим через х.(х) характеристические функции интервалов I.г, продолженные по периодичности с периодом 1 на всю числовую прямую. Тогда имеем
Гк+1(а, 11,..., 1к+1, п) = ^ Гк (а, 11,..., 1к, п1)хк+1({(п - П1)а}) .
п1 =1
Используя предположение индукции, получаем
п
Гк+1(а, 11,..., 1к, п) = ^ Ск (11, ...,1к, {п1а})п\-1Хк+1({(п - т)а}) + 0(пк-1А(а, п)) .
п1=1
Воспользовавшись формулой суммирования Абеля, находим
п- 1
Гк+1(а, 11,..., 1к ,п) = пк-1Вп - ^ Ш + 1)к-1 - *к-1) + 0(пк-1А(а, п)) , (8)
г=1
где
г
Вг = ^ Ск (11,...,1к, 0'а})Хк+1({(п - 3 )а}) .
3 = 1
Далее воспользуемся следующей теоремой Коксмы-Главки [5].
Теорема 5. Пусть f - функция с ограниченной вариацией и а - иррационально. Тогда
п р 1
1^ f ({га}) I f (х)^х| < у^)А(а,п), (9)
г=1 Л
где V(f) - вариация функции f на (0; 1).
Оценка (9) дает асимптотическую формулу
В. = г / Ск (11,..., 1к, х)хк+1({па} - х)йх + 0(А(а,г)).
./о
С учетом (7), асимптотика для Вг запишется в виде
В. = гкск+1(1ь ...,1к, {па}) + 0(А(а, г)) .
Подставив в (8), имеем
Гк+1(а, 11,..., 1к, п) = пк кск+1(Л, ...,1к, {па})-
п- 1
-кск+1(11,... ,1к, {па}) ^2 г ((г + 1)к-1 - гк-1) + 0(пк-1А(а, г)).
г=1
Далее,
п- 1 п- 1
]Т г((г + 1)к-1 - гк-1) = X] г((к - 1)гк-2 + 0(гк-3)) =
г=1 г=1
п- 1 к 1
= (к-1}У2{//' 1 + °{/ф2]] = I + °(»к'1) >
к
г=1
откуда и следует требуемый результат. I
Замечание 2. Аналогично можно доказать аналог теоремы 4 для произвольных множеств 11,... , 1к, характеристические функции которых интегрируемы по Риману. В этом случае остаточный член в асимптотической формуле будет иметь вид о(пк-1).
Следствие 1. Для функции Ск (11,..., 1к ,е) также справедлива формула
ck (I1 ■ ■ ■ ■ ■ Ik ■ e)
Xl(xi)X2(x2 - Xi) ■ ■ ■ Xk-l(xk-1 - Xk-2)Xk(e - Xk-l)dxi ■ ■ ■ dxk-1 ■
(k 1)! Л) J 0
□ Доказательство получается многократным применением формулы (7). I
Теорема 4 может быть также обобщена на более общий случай. Пусть ■ф1, ■ ■ ■ ,ÿk -интегрируемые по Риману функции. Рассмотрим задачу об асимптотической формуле для суммы
k
N(а,фі, ■ ■ ■ ,ÿk■n)= ^2 ({nio}) ■
ni+...+Пк =n i=1
В случае, когда фі = хі - характеристические функции множеств I1 ■ ■■■Ik, данная задача превращается в задачу (1) с дополнительными условиями (2).
Аналогично теореме 4 и следствию 1 доказывается следующий результат.
Теорема 6. Справедлива асимптотическая формула
N(a, фі,, 4’к, n) ~ l—c*({/?.Q'})'/?k_1,
(k - 1)!
где
c*(e)= ■■■ ^i(Xi)^2(X2 - Xi) ■■■^k-i(Xk-1 - Xk-2)^k (є - Xk-i)dXi ■ ■ ■ dXk-1 ■ (10)
00
Замечание 3. В предположении, что все функции ф1,...,фк имеют ограниченную вариацию, можно получить аналог теоремы 6 с остаточным членом порядка 0(пк-2А(а, п)).
4. Свойства функции Ск(11,..., 1к,е)
Теорема 7. Пусть С(е) = Ск(11,..., 1к,е). Тогда
1) С(е) непрерывна при к > 2;
2) С(е) является кусочным многочленом степени к - 1;
3) существует Я = Як(11,... ,1к ,е) такое, что с(Я - е) = С(е).
□ Доказательство теоремы получается простым вычислением, основанном на индукции по к. I
Теорема 8. Пусть 11,..., 1к - интервалы и
рк (11, ...,1к) = |{е € [0; 1) : Ск (11, ...,1к,е) > 0}| .
Тогда
рк (11, ...,1к) = шт{1; |1х| + ... + |1к |} .
□ Доказательство проведем индукцией по к. Для к =1 утверждение очевидно. Рассмотрим переход к ^ к + 1. Пусть
■1к = {е € [0; 1) : Ск (11, ...,1к,е) > 0} .
Тогда | Зк| = рк(11,... , 1к). Кроме того, из (7) вытекает, что Зк+1 = {е : ЗкП 1к+1(е) = 0}. Далее нужно рассмотреть два случая:
1) и| + |1к+11 > 1. Тогда |,1к П Iк'+1(е)| = |,1к| + |1к‘+1(е)| - |,1к и Iк'+Че)|. Поскольку |1к+1(е)| = |1к+1| и .1к и Iк+1(е) С [0; 1), имеем | Зк ПIк+1(е)| > | Зк| + | 1к+1| - 1 > 0, то есть Зк и Iк+1(е) пересекаются для всех е и .]к+1 = [0; 1).
2) | Зк| + |!к+11 ^ 1. Выберем е0 так, чтобы правый конец интервала Iк+1(е) совпал с левым концом интервала Зк. Тогда легко видеть, что Зк+1 = (е0; е0 + |Зк| + |!к+1|)
(множество Зк и операция сложения здесь рассматриваются по модулю 1). I
Теорема 8 позволяет дать необходимые и достаточные условия разрешимости уравнения (1) с дополнительным условием (2).
Теорема 9. Пусть |Д| + ... + |^| > 1. Тогда уравнение (1) с дополнительным условием (2) разрешимо для всех достаточно больших п. Если же |Д| + ... + |^| < 1, то плотность множества натуральных п, для которых уравнение (1) с дополнительным условием (2) разрешимо, равна рк(^,..., ^)■
□ Согласно теореме 4, число решений уравнения (1) с дополнительным усло-
вием (2) больше нуля для всех достаточно больших п, удовлетворяющих условию Ск (^...^к, {па}) > 0. С учетом теоремы 8 нам остается доказать, что при условии ^ + ... + | < 1 множество п для которых уравнение (1) с дополнительным условием
(2) неразрешимо имеет плотность не менее 1 - (|Д| +... + |!к|). Для доказательства этого
факта достаточно заметить, что уравнение (1) с дополнительным условием (2) неразрешимо при {па} € ^ + ... + ^, где ^ + ... + ^ - сумма по Минковскому множеств
Далее мы будем предполагать, что 1\ = ... = І к = І = (а,Ь). Соответствующую функцию Ск(І1,... ,Ік,є) обозначим через Ск(І, є). Рассмотрим оценки сверху и снизу для Ск(І,є).
Индукцией по к легко получить следующий результат.
Теорема 10. Справедливо неравенство
□ Действительно, для к =1 утверждение очевидно, а переход к ^ к +1 следует из неравенств
□ Заметим, что в силу теоремы 8 Сг(^е) > 0 для всех е, поскольку 1111 > 1. Поэтому можно выбрать постоянную <с(!) так, чтобы неравенство (11) выполнялось для к = I. Далее остается воспользоваться методом математической индукции аналогично доказательству теоремы 10. I
Рассмотрим теперь среднее число решений уравнения (1), удовлетворяющих условию (2)
Здесь І (є) = ІЄ(І). ■
Следствие 2. При фиксированных І, є ск(І, є) ^ 0 при к ^ то.
Вопрос об оценке Ск^, е) снизу является более сложным, так как для любого к можно подобрать /, е так, чтобы ск(/,е) = 0. Например, можно выбрать / = (0; д^-) и е > ^¡-. Тем не менее, можно получить следующий результат.
к
/с+1 *
Теорема
числа. Тогда существует
постоянная с(!) такая, что для всех к > I справедливо неравенство
ІІ к—1
(11)
5. Среднее число решений
І=1
Теорема 12. Пусть 11,...,4 - интервалы. Тогда справедлива асимптотическая формула
гк(а, 4, • • •, 4, п) = + 0(пк~2А(а, ??.)) . (12)
к!
С учетом теоремы 4,
1 п
гк(а, Л......4, /г) = - са.(/ь ..., 4, {//<•»} )//л 1 + 0(пк~2 А (а, /г)) .
п
'1=1
Используя преобразование Абеля, получим
п— 1
/7Лп. 4, • • •, 4, П) = Пк~2вп - - V //,:■:/• + \)к 1 - г*),
п
'1=1
где
Ві = ^ Ск(І1,..., 4, {па}) .
3 = 1
Пусть
Ск = Ск(І1,... ,Ік,х)(іх .
.70
Поскольку функция Ск (І1,..., І к ,є) представляет собой кусочный многочлен, она имеет ограниченную вариацию. Следовательно, по неравенству Коксмы-Главки,
Ві = Ск і + 0(А(а,і)).
Подставляя асимптотику для Ві и действуя аналогично доказательству теоремы 4, находим
гк(а, 4, • • •, 4, п) = ~уп'к~1 + 0(пк~2А(а, п)) .
Для доказательства теоремы 12 нам остается доказать, что
г1 Пк ІІІ
ск= ск(і1,...,ік,х)(іх= „г=1' , . (із)
ио (к — 1)!
Формулу (13) будем доказывать индукцией по к. Для к =1 формула очевидно верна.
Заметим, что для перехода к ^ к + 1 достаточно доказать, что
с*+1 = у|/*| . (14)
Имеем,
Ск+1= [ ск+і(Іі,... ,1к,х)с1х = [ (]- [ ск(Іі,... ,1к, у)с1у]с1х .
и 0 ./о 'к и 1к+1(х) '
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ К^Я Серия: Математика. Физика. 2013. №5(148). Вып. 30 119 Пусть Iк+1(0) = (а; Ь). Тогда
1 г 1 г Ь+х
Ск+1 = - ск(1ъ ..., Д., у)(1у(1х .
к ^ 0 •/ а+х
Сделаем замену переменной х' = х, у' = у — х. Якобиан соответствующего преобразования равен 1, поэтому
Ск+1 = ]: У ^ • • •, 4, у' ~ х')<1у'<1х' .
Поменяем пределы интегрирования местами:
Ск+1 = ^ ^ ^ сА.(/ь ..., Д., у' - х')с1х'с1у' .
Заметим, что в силу периодичности функции Ск (11}..., 1к ,х)
/ Ск(11,...,1к ,х)в,х = Ск (11,...,1к,х + г)^х
00
для всех г. Кроме того, в силу теоремы 7, ск(11,... ,1к,у' — х') = ск(11,... ,1к,у' + х' + Як) для некоторого Як. Отсюда
Ск+1 = 7/ [ ск{1г,... ,1к,у'+ х'+ Я^Лх'Зу'= 7 [ [ ск(/ь ..., 1к,х,)ёх'ёу' =
к з а ,/о к 3 а .70
1 С-*
= —(Ь- а)
ук
к .1, ' '' /г
откуда и следует формула (14). ■
Замечание 3. Можно было бы получить также аналог формулы (12) для среднего числа решений на промежутке (п; п + Н(п)), где к(и) ^ - произвольная функция,
монотонно стремящаяся к бесконечности.
Замечание 4. Используя формулу (10) и действуя аналогично доказательству теоремы 12, можно получить следующую асимптотическую формулу для среднего значения функции N (а, ф1,... ,фк,п)
1 п 1 к г 1
Г 5^ • • • ’ ^ ~ ¿4 П ФЛх)<1х ■ пк~1.
І=1 з=\■
В случае, когда все функции ф\,... ,фк имеют ограниченную вариацию, можно также получить аналог данной формулы с остаточным членом.
Литература
1. Гриценко С.А., Мотькина Н.Н. Об одном варианте тернарной проблемы Гольдбаха // ДАН республики Таджикистан. - -2009. - 52,Вып.6. -С.413-417.
2. Гриценко С.А., Мотькина Н.Н. Задача Хуа Ло-кена с простыми числами специального вида // ДАН республики Таджикистан. - 2009. - 52,Вып.7. - С.497-500.
3. Журавлев В.Г. Четно-фибоначчевы числа: бинарная аддитивная задача, распрделение по прогрессиям и спектр // Алгебра и анализ. - 2008. - 20,Вып.3. - С.18-46.
4. Швагирева И.К. Бинарные аддитивные задачи над о-прогессиями Фибоначчи // Материалы VII международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвященной памяти А.А. Карацубы, Тула, 11-16 мая 2010 года / Тула: ТГПУ, 2010. - С.198-200.
5. Koksma J.F. Een а^ешеепе stelling uit de theorie der gelijkmatige verdeeling modulo 1 // Mathematica B (Zutphen). - 1942/43. - 11. - P.7-11.
6. Pinner C.G. On Sums of Fractional Parts {na + y} // J.Number Theory. - 1997. - 65. -P.48-73.
7. Weyl H. Über die Gibbs’sche Erscheinung und verwandte Konvergenzphänomene // Rendicontidel Circolo Mathematico di Palermo. - 1910. - 30. - P.377-407.
ON ONE ADDITIVE PROBLEM WITH THE FRACTIONAL PART FUNCTION
A.V.Shutov
Vladimir State University,
Stroiteley Av., 11, Vladimir, 600024, Russia, e-mail: [email protected]
Abstract. The asymptotic formula of the soltion number of the equation n\ + ... + nk = n with the special conditions on summands (nia} € Ii is obtained.
Key words: additive problems, fractional part function, Weyl theorem.