CC BY
12
УДК 539.3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СМЕЩЕНИЙ В УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ В ЗАДАЧЕ О СЖАТИИ МАССИВА ПОРОД С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ВЫРАБОТКОЙ
Ильгизар Маратович Абдулин
Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, младший научный сотрудник, тел. (383)335-97-50, e-mail: [email protected]
Анвар Исмагилович Чанышев
Институт горного дела им. Н. А. Чинакала СО РАН, 630091, Россия, г. Новосибирск, Красный проспект, 54, доктор физико-математических наук, зам. директора по науке, тел. (383)335-97-50, e-mail: [email protected]
Решается задача о горной выработке, вокруг которой материал находится в упругопла-стическом состоянии, описываемом уравнениями идеальной пластичности с условием пластичности Треска (полная пластичность). Контур выработки свободен от напряжений, однако на поверхности производятся измерения смещений. В работе показывается, как по измеренным смещениям на границе выработки определяется деформированное состояние в самом массиве пород, кроме того, находятся его упругопластическая граница и смещения в пластической области деформирования без решения упругопластической задачи.
Ключевые слова: пластичность, осесимметричная деформация, смещения, упругопла-стическая граница.
DETERMINATION OF DISPLACEMENTS IN ELASTOPLASTIC DOMAIN IN THE PROBLEM ON COMPRESSION OF ROCK MASS WITH CYLINDRICAL CAVITY
Il'gizar M. Abdulin
Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, Junior Researcher, tel. (383)335-97-50, e-mail: [email protected]
Anvar I. Chanyshev
Chinakal Institute of Mining, Siberian Branch, Russian Academy of Sciences, 630091, Russia, Novosibirsk, 54 Krasny prospect, Doctor of Physico-Mathematical Sciences, Deputy Director for Science, tel. (383)335-97-50, e-mail: [email protected]
The authors solve the problem on an underground excavation surrounded by a rock mass in elastoplastic state described with equations of perfect plasticity with the Tresca yield condition (total plasticity). Perimeter of the excavation is free from stresses, and displacements are measured on the excavation surfaces. The paper shows how to use values of displacements measured at the excavation boundary to define deformation state of surrounding rock mass, and how to find the elastop-lastic boundary and displacement in plastic deformation domain without solving an elastoplastic problem.
Key words: plasticity, axially symmetric deformation, displacements, elastoplastic boundary.
Традиционно задачи геомеханики решаются либо в постановке Дирихле, либо в постановке Неймана, либо в постановке Робена. В первом случае на всей границе тела задаются смещения, во втором - на всей границе задается вектор
напряжений Коши, в третьем - на части границы задается вектор смещений, на другой вектор напряжений. Ниже предлагается для решения упругопластиче-ской осесимметрической задачи использовать постановку Коши, когда на одной и той же границе задаются одновременно и вектор напряжений Коши, и вектор смещений, т.е. одновременно задаются и условие Дирихле, и условие Неймана. Показывается, что решение такой задачи в пластичности существует, единственно и непрерывно зависит от начальных данных.
Для решения задачи имеем уравнения равновесия:
диг дт
дг дт„
дг
дг
ог — СУт
гг г <Р
+
<9<т,
дг = 0;
0,
(1)
соотношения Коши:
ди и дм>^ ди ^ дм>
г дг' ^ г' 2 дг ' гг дг дг '
(2)
где и,м> - смещения; /•, ср, г- цилиндрические координаты. Тензоры напряжений и деформаций в этом случае имеют вид:
аг агг
' Г2
о
0
0 0
<р )
т = £
бг БГ2
о о
0 0
'9)
(3)
Граничные условия для напряжений в данной задаче следующие:
с, Л -0, тгЛ -0.
г Г—П ' ' 4 Г—П
(4)
Для тензора Та главные напряжения
аг+(т2 , а л =-+ .
2 1
\2
2
, 2 + , °2 =
(ТГ+(Т2
2 \
2
+ г2
-Г Ь Г2 ,
(5)
Задачу рассматриваем в следующих предположениях:
гГ2=0
не только на границе выработки, но и всюду в пластической области; главные оси тензоров Та и Те совпадают так, что
г
г
2
2£ - —+ —-о
гг дг дг
Пластическое состояние - это состояние полной пластичности, когда два главных напряжения ст2 и о(р равны между собой, что означает то, что мы находимся постоянно на ребре призмы Треска. Средние напряжение и деформация связаны законом упругого изменения объема:
^г £<р &'г
1-2 у
Е
(стг +аф+ст2).
(7)
При этом параметры Лоде-Надаи /иа, ¡л£ могут не совпадать:
2сг2 -(а
г 1 г
Этот факт не противоречит теории идеальной пластичности на ребре призмы Треска, согласно которой вектор приращений пластических деформаций должен находиться внутри угла, образованного нормалями к соседним граням призмы Треска [1].
Обратимся теперь к решению задачи. Полагая
<уг-<1(р=суг-су2=
где к - предел упругости материала на сдвиг, из (1) получаем
г г
<т„ =-2Ып—, сгл = = -2к - 2к\п —
а
а
(8)
Отметим, что решение (8) почти такое, как в случае плоской деформации с одним отличием, что в случае плоской деформации ст2 = + ) ■
Далее рассматривается деформированное состояние. Для определения деформированного состояния имеем (6), (7), (2), (8). Подставляя (8), (2) в (6), (7), получаем следующие уравнения для определения смещений и, м:
ди ^ дм дг дг
ди ^и 1-2 у
дг г дг
Е
-4к- 6к 1п
а
(9)
Дифференцируя первое уравнение по г, второе - по г, исключая произ-
водную
д2уу дгдг
из обоих уравнений, получаем
г
д2и 1 ди дг2 г дг г
и д и (1 - 2у) 6к ~2 ~
&
Е г
Если первое уравнение в (9) продифференцировать по г, а второе - по г,
то, исключая здесь
д2и дгдг
находим
д2м? 1 дн> д£ч> +
>2,
дг
2
г дг дг
2
(11)
Решение основного уравнения в (10) ищем в виде произведения двух функций с разделяющими перемещениями:
Подставляя (12) в (10), получаем
Г+1/'
/
= -л2
8(2) / Из (13) следует, что
g(z) = Сх соБЛг + С2 БтЛг. Функция / при этом удовлетворяет уравнению Бесселя:
1 г
Г + -Г +
г
V ГУ
/ = 0.
Вместо г в (15) удобно ввести новую переменную р = Лг, тогда
д/ М/ д2/ Л2с12/
поэтому
дг йр^ дг:
1 г
Г + -Г +
г
йр2
г
V г ]
/ = 0.
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
Отсюда следует [2], что функция /, удовлетворяющая (16), есть функция Бесселя первого порядка. Частное решение (10) разыскиваем в виде:
2
г
г
Частное = ^ ^ ^ ЛпГ . (17)
е
Если искать решение (11) в виде (12), то получим, что функция f (r) будет удовлетворять уравнению
1 о
/" + -/' + ;i2/ = o, (18)
г
и при замене р = Яг уравнение (18) преобразится в
/" + -/' + / = 0, (19)
Р
т. е. в уравнение Бесселя с нулевым порядком.
Относительно функций и и w предполагаем, что на границе г -а функция u представляет собой полусинусоиду с уравнением вида:
Л • 71 2 ^ ^ (1_2,/)о7 1
и = Л sin--1- С , где С = ----3к ama.
L Е
Здесь [0, L] - интервал, на котором изменяются функции u, w . При этом w будет иметь на этом отрезке вид:
TCZ
w = В eos— L 5
где в точках z = 0 и z = L значения w будут иметь разные знаки.
Исходя из описанного представления поведения функций u и w , а также из общей теории решения уравнения Бесселя [2], будем искать решения u и w как произведения следующих функций
Е (20)
IV = |)1(/0(Яг) + /)270(АГ)^О8^,
ТС
где , С2, , 1)2 - константы, Я = —, Е - длина, на которой изменяются смещения и , м.
Для определения связей между константами С1, С2, Е>1, В2, используем уравнение (9). Подстановка (20) в (9) дает:
С1=Д,С2=А- (21)
Константы С1 и С2 в (20) находим из граничных условий В нашем случае при г = а имеем
и\
w
= f XJX (Ла) + С2У\ (¿a) ЗшÁz - ———^3К а 1п а,
Е
= [Vo (Лг) + С2У0 (Ла) ^osáz.
(22)
Обозначим коэффициент при sтЛг в (22) как а , коэффициент при со БЛг как Р. Тогда
с _аУ0(Ла)- (ЗУх(Ла) ^ _ рУх(Ла)~ аУ^(Ла)
где A = Jl (Ла)У0 (Ла) - ./„ (Ла)Ух (Ла).
Теперь остается найти упругопластическую границу, исходя из (20) и условия
ди и дг г
где 2ys - предел упругости. На основании (20) получаем
С,
Я/0(Яг)
2Jl (Лг)
+ Со
ЛУ0(Лг)
2У1 (Лг)
sin Яz - -—— 3к = 2уs
Е
Данное уравнение служит для определения упругопластической границы: при заданном 2 находим отсюда соответствующее г. При этом упругопластиче-ская граница может не примыкать к точкам, где г = 0, Лг = 7г.
Приводятся примеры конкретных расчетов.
Выводы.
Дано определение упругопластической границы в задаче о сжатии массива пород с цилиндрической выработкой.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Качанов Л. М. Основы теории пластичности. - М.: Наука. - 1969. - 420 с.
2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). - М.: Наука. - 1977. - 831 с.
© И. М. Абдулин, А. И. Чанышев, 2016
г=а
г=а
Г
Г
