Об общих соотношениях теории кручения анизотропных стержней Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.374

ОБ ОБЩИХ СООТНОШЕНИЯХ ТЕОРИИ КРУЧЕНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ СТЕРЖНЕЙ

ON GENERAL RATIOS OF THEORY OF TORSION OF ANISOTROPIC BARS

Б. Г. Миронов, Е. А. Деревянных B. G. Mironov, E. A. Derevyannykh

ФГБОУВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева», г. Чебоксары

Аннотация. В работе рассматриваются соотношения теории идеальной пластичности при кручении. Исследовано напряженно-деформированное состояние анизотропных цилиндрических и призматических стержней при произвольном условии пластичности. Получены уравнения для определения характеристик, соотношения вдоль характеристик. В работе показано, что характеристики уравнений, определяющих предельное состояние стержня в случае кручения, ортогональны вектору градиента поверхности текучести и вектору скорости деформации.

Abstract. The article considers the ratios of the theory of ideal plasticity under torsion. The stress and strain state of anisotropic cylindrical and prismatic bars under arbitrary condition of plasticity has been studied. The equations for determining characteristics, ratio along the characteristics have been obtained. The work demonstrates that characteristics of the equations, which determine the limiting state of a bar under torsion, are orthogonal to a gradient vector of a surface of fluidity and a velocity vector of strain.

Ключевые слова: пластичность, перемещения, деформация, напряжение.

Keywords: plasticity, displacement, strain, stress.

Актуальность исследуемой проблемы. Использование новых методов пластической деформации является одним из наиболее перспективных направлений в создании мелкокристаллических материалов с уникальными свойствами. В качестве способа деформации часто выбирают кручение.

Материал и методика исследований. В работе используются апробированные модели механического поведения тел и математические методы исследования, результаты не противоречат исследованиям других авторов. Кручение изотропных цилиндрических и призматических стержней в случае, когда боковая поверхность стержней свободна от касательных нагрузок, а также в случае, когда боковая поверхность стержня находится под действием внешнего переменного давления, рассмотрено в [2], [6]. Кручение анизотропных цилиндрических и призматических стержней исследовано в [1], [4], [5]. В [3] определено предельное состояние сектора анизотропного кругового кольца при кручении.

В настоящей статье рассматривается предельное состояние анизотропных тел при кручении.

Результаты исследований и их обсуждение. Рассмотрим цилиндрический или призматический стержень, ориентированный в прямоугольной декартовой системе координат х, у , г . Ось г направим параллельно образующей стержня. Предположим, что стержень закручивается вокруг оси г .

Напряженное состояние стержня характеризуется в общем случае условием пластичности

и условиями

f(т ,т ) = G

J у xz* yz J

а =а =а = т =G

x y z xy '

(1)

(2)

где тх2, ту2 - касательные напряжения, зависящие от х и у. Уравнения равновесия в этом случае имеют вид

дт дт.

=G.

dx dy

Продифференцируем уравнение (1) по переменной x и получим

df дт„ + df дТ

yz

дт dx дт.

дy

= G.

Из (3), (4) следует

= G.

н------•-----

дТуг дх дт хг ду

Система уравнений для определения характеристик (5) примет вид

dх

dy dтyz

дтуі дт1а

G

(3)

(4)

(5)

(6)

Решая (6), получим

y = ■

дтxz

дт,„

■ x + С .

(7)

где С - const.

Из (6) следует, что вдоль характеристики выполняется соотношение

т yz = const.

У*

Учитывая (S), из (1) имеем

тХ2 = const.

Рассмотрим вектор касательного напряжения

т=т i+т j

xz yz

где i , j — единичные орты осей x и y.

Из (S), (9) следует, что т = const вдоль характеристики (7). Рассмотрим вектор градиента к поверхности текучести (1):

grad f (fxz ,ту2 )=~д— ■ І + -д— ■ j .

дтх2 дту2

Обозначим через

tga =

дт

JL'

дт.„

С учетом условия (12) уравнения характеристик (7) примут вид:

y = -ctga ■ x + С = tg | a+ — | + С,

n

(9)

(1G)

(11)

(12)

(13)

где а — угол наклона вектора градиента к оси О г .

В силу (12), (13) характеристики (7) ортогональны вектору градиента к поверхности текучести.

На рис. 1, 2 показан способ построения поля характеристик I для цилиндрического стержня по произвольной поверхности текучести.

Соотношения ассоциированного закона пластического течения определяются из экстремума функционала

А = 2(є т + є т )— X іТ ,т )

Х^хгхг угуг) ^ \ хг^ уг}

(14)

и имеют вид:

2є = Xі, 2є = к®.

У дт

8тх*

Рассмотрим вектор скорости деформации

ё = ё/ + £у~] .

Согласно (15) вектор (16) примет вид:

Уг

_ к є =— 2

( д/ - д/ -

—-— / +^— і дт дт

V хг уг J

(15)

(16)

(17)

Из (11), (17) следует, что вектор скорости деформации ортогонален характеристике. Предположим, что компоненты скоростей перемещений имеют вид:

и = в у* , V = -вх* , ж = м>(х, у) ,

где в - крутка.

Согласно (18) компоненты скоростей деформации удовлетворяют условиям

є = є =є = є = 0

х у г ху '

1(а \ 1

є хг = ^\ОУ ^^-1 , є уг =~

дх

(

дw

— Ох н----------

ду

\

(18)

(19)

(20)

В силу (15), (20) имеем

дм д/

Оу + — = к-

дх дт хг

дм д/

—Ох + — = к- у

(21)

ду дт

уг

Из(21)следует

д/ дм д/ дм

. •------------------• — = —о

дт уг дх дт хг ду

д/ д/

У+ х

V дтуг дт хг

Соответствующие уравнения для определения характеристик примут вид:

dx _ dy

dw

(23)

(24)

где С — const.

Сопоставляя (7), (24), заключаем, что характеристики уравнений, определяющих деформированное состояние, совпадают с характеристиками уравнений, определяющих напряженное состояние.

Резюме. В работе показано, что характеристики уравнений, определяющих предельное деформированное состояние стержня в случае кручения, ортогональны вектору градиента поверхности текучести и вектору скорости деформации.

1. Ивлев, Д. Д. О соотношениях трансляционной идеальнопластической анизотропии при кручении / Д. Д. Ивлев, Б. Г. Миронов // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия : Механика предельного состояния. - 2010. - № 2 (8). - С. 576-579.

2. Ивлев, Д. Д. Теория идеальной пластичности / Д. Д. Ивлев. - М. : Наука, 1966. - 231 с.

3. Козлова, Л. С. Кручение сектора анизотропного кругового кольца при действии переменного давления / Л. С. Козлова, Б. Г. Миронов // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. - 2010. - № 4 (68). - С. 132-136.

4. Козлова, Л. С. Предельное состояние призматических стержней при кручении / Л. С. Козлова ; Чуваш. гос. пед ун-т им. И. Я. Яковлева. - М., 2010. - 7 с. - Библиогр.: 3 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 29.04.10, № 232-В2010.

5. Миронов, Б. Г. Деформированное состояние трансляционно-анизотропных тел при кручении / Б. Г. Миронов, Т. В. Митрофанова // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. - 2011. - № 4 (72). - С. 57-60.

6. Миронов, Б. Г. О кручении призматических стержней, находящихся под действием давления, линейно меняющегося вдоль образующей / Б. Г. Миронов // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. - 2006. - № 1 (48). - С. 98-101.

ЛИТЕРАТУРА