Об изометриях в неархимедовых полях связанных с рядами Ньютона Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука,

1969.

2. Стоун М.Н. II Trans.Amer.Math. 1926. Vol. 28. Р. 695 - 761.

3. Хромов А.П. II ДАН СССР. 1962. Т. 146, № 6. С. 1294 - 1297.

4. Тихомиров ВВ. И ДАН СССР. 1976. Т. 226, № 5. С. 1015 - 1017.

5. Тихомиров В В. И Мат. сб. 1977. Т. 102, № 1. С. 33 - 55.

УДК 511.2

Г. И. Гусев

ОБ ИЗОМЕТРИЯХ В НЕАРХИМЕДОВЫХ ПОЛЯХ, СВЯЗАННЫХ С РЯДАМИ НЬЮТОНА

Пусть (К, ф) - нормированное поле, где ф - нетривиальная неархимедова норма. Будем считать, что характеристика поля равна нулю. Обозначим V = {а | а е К\ ф(а)< 1} - кольцо нормирования поля К, Р = {а | а е К\ ф(а)< 1} - идеал нормирования, Е = {е | е б К\ ф(е)= 1} - группа единиц поля К, F= V/P — поле классов вычетов по mod Р (поле вычетов).

Известен следующий критерий локальной компактности неархимедова

поля.

ТЕОРЕМА [1, с. 43]. Неархимедово поле (К, ф) является локально компактным тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1. (К,ф) является полным полем.

2. Идеал нормирования Р является главным, т. е. существует такой простой элемент п е К, что Р = тгК.

3. Поле вычетов F поля К является конечным.

В нашем случае поле К является конечным расширением некоторого поля Qp р-адических чисел, где р - простое, причём р = жег, где е - натуральное и е е Е.

Определение 1. Отображение а: V —> V называется изометрией V, если для произвольных a, beV

ф(а(а)-ст(Ь))=ф(я-б).

Определение 2. Отображение т: Е —> Е называется изометрией Е, если для произвольных е, е е Е

Ф(Т(е)-Т(Е))=Ф(Е-Е).

С компактами V и Е связаны группы изометрий GIs(v) и GI s(e).

Примером аналитической изометрии компакта V является отображение Q-.V-+V

Vx е V cy(x) = x + it/(x), (1)

OD

где /(х)= £avxv - степенной ряд с коэффициентами aveV, причём

V = 1

lim cp(av)=0.

V->00

Отображение х :£—»•£, определяемое формулой

Vee£ -c(e) = e + 7i/1(e)+7i/2(e"1), (2)

ОС

где /¿(x) = - степенные ряды, подчинённые прежнему условию, также

V — 1

является изометрией Е.

Определение 3. Функции F(x) и G(x), заданные на компакте V, будем называть изометрически эквивалентными, если существует изометрия а такая, что

VxeF: F(cf(x))=G(x). Аналогично определяется изометрическая эквивалентность функций на компакте Е.

В связи с исследованием проблемы изометрической эквивалентности функций нам необходимо изучить метрические свойства коэффициентов аналога ряда Ньютона в поле (К, ср).

ЛЕММА. Пусть к - простой элемент неархимедова локально-компактного поля харатеристики нуль, п - натуральное, v0 = ordert. Тогда ряд Ньютона

я„»=(£ ilil-iHl-s+iVv

5 = 1 S\n\n )

ty 1

в случае, когда > 1, при произвольном натуральном V таком, что

/

\>е

ord „п +

Р р-у

представим в следующем виде:

яи>у(х)=1+яев1у(х), (*)

со

где у(х)= х' - степенной ряд с целыми я-адическими коэффициен-

/=1

тами, сходящийся на компакте V;

в случае, когда у0 = 0, ряд Ньютона также представим в виде (*) при V > 1.

Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда у0 = 0, т. е.

пеЕ. Тогда р-адическую единицу — разложим в ряд:

и

1 00 п у=0

т £

Для каждого натурального 5 выберем п5 = '£Jcvpv так, что

V = 1

ог(1 ( — -/| = огё Ап$-/) при всех целых /е[1,5-1]. Тогда

S\n\n I 1(1

ord.l 1I[I-1 I...I --5 + 111 = ordpC^ >0,

и,

следовательно,

S\n\n

ordJ----1 ...--5 + 1 л

. vS

>vS—» 00, при 5 ->+oo.

Таким образом, мы установили сходимость ряда Ньютона при всех х е V и возможность представления его в виде (*).

В случае, когда v0 > 1, имеем при v > е

ord „и + —Η . Р Р-1

1 lf 1

11...I —-5 + 1 к

ord* с. I S\n\n

: S-о As)

= 5v-e|-+ 5ord и

р-1

. Sv

= S

v - е

= 5v + eord,

1

ord„« +

. P P-1JJ

/

J_ J.

S! n

\

+

e°p(sKL

p-1

Здесь Gp{S) является суммой цифрр-ичного разложения числа 5. Более того, отсюда следует сходимость ряда Ньютона Hп v (х) при всех х е V и его представление в виде (*). Лемма доказана.

ТЕОРЕМА 1. В условиях и обозначениях леммы для произвольного

00

степенного ряда /(*)= £avxv с целыми л-адическими коэффициентами,

v = 1

сходящегося на компакте V, функции

а{х)=хН (/{*)), xeV

т(в)=е#„„(/(е')), ее£

являются изометриями соответствующих компактов, представимыми в форме (1) или (2).

Доказательство непосредственно следует из леммы о подстановке ряда в ряд [2] и нашей леммы.

ТЕОРЕМА 2. В условиях и обозначениях леммы для произвольного

00

степенного ряда /(х)= с целыми л-адическими коэффициентами,

V = 1

сходящегося на компакте V, имеют место следующие изометрические эквивалентности:

1. х" + я ух"/(х) = х " на компакте V;

2. е" + п "е "/(е"' )= в" на компакте Е.

Д о к а з'а т е л ь с т в о. В силу теоремы 1 существуют такие изометрии стих соответствующих компактов УиЕ, что

\/хе¥: х" +п"х"/(х)=о"(х)

и

УееЕ: е"+куеп/(е-,)=тп(е).

Таким образом, утверждения 1 и 2 доказаны.

Примечание. Теорема 2 находит многочисленные приложения в теории рациональных тригонометрических сумм, диофантовом анализе и в теории интегрирования по аддитивной мере Хаара в р-адических полях.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ленской Д.Н. Функции в неархимедовски нормированных полях. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1962.

2. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.: Наука, 1972.

УДК 519.853.3

С. И. Дуд о в, II. В. Златорунская

К РЕШЕНИЮ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ВЫПУКЛОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ1

Пусть I) - заданный выпуклый компакт из Ч\р, функция п{х) удовлетворяет на *Я р аксиомам нормы. Обозначим через

£2 = 9?Р\Д Д(х) = тахп(х-у),

уей

1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 98-01-00048.