CC BY
412. Пара (£>, £>(2)) образует полный граф й с множеством вершин Б и множеством ребер . Этот граф является гамильтоновым, а при четных п также является эйлеровым. При п > 1 граф С может представляться выпуклым (п + 1)-угольником со всевозможными диагоналями и петлями при каждой вершине так, что матрица смежности б сплошь состоит из 1.
Если на орграфе Г)'2' х£)'2') определить предпорядок р по правилу
(¿2, Ь) ^ ¿2. то пара (Н, р) порождает сеть со входов в вершине {0,0} и выходом
2п
в вершине {п,п}, которая содержит П Б{к) путей, где £(&) - количество элементов
к=о
{г,]}, для которых г + ] = к, 0 < г,7 < п.
Если на графе Н определить порядок д по правилу (¿1,71)9(12,^2) ^ т 1 $ Гг, то в результате порождается расширяющаяся иерархическая сеть со входом {0,0} и имеющая п выходов {г,п}. Эта сеть имеет п! путей и может моделировать прохождение указания от руководителя, через инстанции, к п исполнителям.
3. На определяется эквивалентность Т по правилу (¿1, л)Т,(г2,<=> £¿1 = (¿2, а фактор-множество /Т содержит 2п + 1 элемента. На легко определяется структура кольца, изоморфного кольцу классов вычетов 22п+1. Точно так же эквивалентность V по правилу (¿1,71)^(12,72) П = г2 порождает фактормножество В^/У, содержащее п + 1 элемент, на котором строится структура кольца, изоморфного 2„+1. Интересно отметить, что для классического набора домино (п = 6) : 0<2»/г = 0^(13), П^/У =* С^(7).
Таким образом, приведенные интерпретации набора домино приводят к алгебраическим конструкциям, имеющим важные приложения.
Библиографический список
1. Лидл Р., Пилъц Г. Прикладная абстрактная алгебра. Екатеринбург: Изд-во Урал ун-та, 1996.
УДК 517.5
П.А. ТЕРЕХИН
Фреймы в банаховом пространстве и их приложения к построению всплесков 1
1. Введение
Пусть Е — банахово пространство и 1 последовательность ненулевых
элементов из Е. Пусть, кроме того, задано банахово пространство X числовых последовательностей х = {х,,}^!. Всюду в дальнейшем будем считать выполненным следующее основное требование:
1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований,
грант 01-01-00123, и программы "Ведущие научные школы РФ", проект НШ-1295.2003.1.
система канонических ортов ei = » = 1,2,..., (здесь £у — символ Кроне-
кера) образует базис пространства X.
Этому основному требованию удовлетворяют пространства последовательностей
1 ^ р < оо и со, а также некоторые их весовые аналоги, пространства со смешанными нормами, пространства последовательностей Лоренца, Орлича и др. Нетрудно видеть, что при выполнении основного требования всякий непрерывный линейный функционал I на X однозначно определяется своими значениями 1(е„), п = 1,2,... на элементах канонического базиса. Это обстоятельство позволяет отождествить сопряженное пространство X" с изометрически изоморфным ему банаховым пространством У числовых последовательностей
Определение 1. Скажем, что система {'А,}^, является фреймом с пространством коэффициентов X, если для любого непрерывного линейного функционала / 6 Е* его коэффициенты Фурье
(/■¥>»>:=/(¥>»). " = 1,2,..., удовлетворяют соотношениям
41/11*. ^{(/.^»ЕЛу« ВЦ/И*. (1)
с некоторыми постоянными 0 < А ^ В < оо, не зависящими от /.
Если Е = Н — гильбертово пространство и X = /2, то соотношение (1) принимает вид
ОО
¿'И/И^ЕК/.и.ИЧв'И/НЗг. (2)
П=1
т.е. система {¥>п}^1 является фреймом в смысле классического определения Даф-фина и Шеффера [1|. Таким образом, соотношение (1) является непосредственным обобщением неравенств (2) для случая банахова пространства.
В пункте 2 данной работы изучаются представляющие свойства введенных определением 1 фреймов в банаховом пространстве. В пункте 3 показано, что произвольную систему представления можно рассматривать как фрейм с некоторым пространством коэффициентов. В 4-ом пункте решается вопрос: при каких условиях фрейм является проекцией на пространство Е некоторого базиса из объемлющего банахова пространства? Этот вопрос восходит к теореме Наймарка [2] и недавнему результату Б. С. Кашина и Т. Ю. Куликовой [3]. Различные примеры фреймов в классических функциональных банаховых пространствах приведены в пункте 5.
2. Теорема о представлении
Определение 2. Оператором, ассоциированным с фреймом (УпК^ь назовем линейный оператор Т, заданный равенствами
ТЕ„ = Ц>„, п = 1,2_____
где {е„}^=1 — канонический базис в X.
Лемма 1. Ассоциированный с фреймом оператор Т : X —> Е — ограниченный.
Доказательство
Обозначим Хо линейное многообразие в X, состоящее из числовых последовательностей {z„}iiLi> У которых лишь конечное число членов х„ отлично от нуля. Для х е Xq будем иметь
|№Ч|г£*п£„||е = ||£*пы|в= sup У>»</>^n) ^ 11/11*-
< sup ||{a„}||x||{</,v»)}||r <B\\x\\x ll/ll*-<1
— в последнем неравенстве учли оценку сверху из соотношения (1). Осталось заметить, что многообразие Х0 плотно в X.
Лемма 2. Оператор Т* ; Е" —> Y, сопряженный к ассоциированному с фреймом оператору, имеет вид
T'f = {(f,v »>}2.i.
Доказательство
По определению сопряженного оператора имеем
оо
(Т'/,х) = (/, Тх) = £ хп{!,ч>п) = (у, х),
71=1
где положили у = {{/, и учли, что (у, х) = £¡¡11 хпуп — общий вид линейного
функционала в X.
Для дальнейшего изложения нам потребуется следующий общий результат из функционального анализа.
Лемма 3[4, с.18-20]. Пу сть Е11Ег — банаховы пространства и А : Е\ —> Е^ — ограниченный линейный оператор. Тогда оператор А является сюръекцией в том и только том случае, когда сопряженный оператор А' : —► является инъекцией
\\А'х\\в.> 7||а|1ч, 7>0.
Теорема 1. Пусть {</9„}^=1 — фрейм с пространством коэффициентов X. Тогда для любого вектора д € Е найдется числовая последовательность х = {я,,}^ € X такая, что
оо П=1
Доказательство
Согласно лемме 2 и по определению фрейма, справедливы неравенства A\\f\\E. а ||Г7||у ^ вили..
Это означает, что оператор Т* является инъекцией. Следовательно, по лемме 3, оператор Т — сюръекция. Поэтому для любого g € Е найдется х G X такой, что g = Тх. Последнее равенство и дает представление (3).
Напомним, что система элементов {</>n}nLi банахова пространства Е называется системой сходимости с пространством коэффициентов X, если для любой число-
оо
вой последовательности х 6 X сходится ряд ^ xntpn. Далее, система элементов
n=t
банахова пространства Е называется системой представления с пространством коэффициентов X, если для любого вектора g £ Е найдется числовая после-
оо
дователъностпъ х е X такая, что g — xnipn.
п-1
Теорема 2. Система ненулевых элементов {ip„}^=l банахова пространства Е образует фрейм с пространством коэффициентов X в том и только том случае, когда она является и системой сходимости, и системой представления, с тем же пространством коэффициентов.
Доказательство
Необходимость теоремы составляет содержание леммы 1 и теоремы 1. Достаточность получаем непосредственным применением принципа равномерной ограниченности Банаха - Штейнгауза. В самом деле, пусть некоторая система элементов является системой сходимости и системой представления с пространством
оо
коэффициентов X. Тогда равенство Тх = Yï, xnipn корректно определяет линейный
П = 1
оператор Т : X —> Е, причем этот оператор сюръективен. Покажем, что опера-
п
тор Т ограниченный. Рассмотрим операторы Тпх = YL xk4>k, п = 1,2,.., Так как
*=1
lim Тпх = Тх, то нормы ||Т„х|| ограничены по п для каждого х. Следовательно,
п-юо
||Г„|| ^ С для всех п. Отсюда ||Тх|| = Нш ||Т„х|| < С||а;||, так что оператор Т — огра-
П-+00
ниченный. По лемме 3, сопряженный оператор 7" : Е' Y является инъекцией, значит справедливы неравенства
l\\f\\E'K\\T'f\\y^C\\f\\E..
Осталось заметить, что T'f = {{f,vn)}%L i (см- лемму 2). Таким образом, {^nl^Li — фрейм с пространством коэффициентов X.
3. Системы представления как фреймы
Пусть Ф = {<pn}£Li — система ненулевых элементов банахова пространства Е. Говорят, что {¥>n}£Li — система представления в Е, если ДЛЯ любого вектора g G Е
найдется числовая последовательность такая, что д = £ хп(рп. Следующая
П=1
теорема показывает, что произвольная система представления может рассматриваться как фрейм с некоторым пространством коэффициентов.
Теорема 3. Для любой системы представления Ф = существует ба-
нахово пространство Хф числовых последовательностей, такое, что —
фрейм с пространством коэффициентов Хф.
Доказательство
Положим
Хф = < X = {in}^! : ряд У^ХпУп сходится в Е
— пространство коэффициентов системы Ф. Очевидно, что Хф — линейное пространство. Оно становится банаховым, если в нем ввести норму
IWI*.
: SUp nil
Действительно, нетрудно проверить выполнение всех аксиом нормы. Далее, установим полноту пространства А'ф. Пусть последовательность {г'т'}т=1 С Аф — фундаментальная, т.е.
||*<
(п»+р)
■I(m)|U. =sup
Ео
,(m+p) _ ~(m)
JL. Jsl,
0
при т —> оо равномерно по р ^ 1. Докажем по индукции, что для всех п числовая последовательность {х1т'}5£=1 сходится. При п = 1 имеем ||(х1т+р' - х^'^Ие —V 0. Поскольку вектор <рх ненулевой, то существует Нт™-,«,!^' = XI- Предположим, что предельные соотношения Игпт^00 х'™' = хк, 1 < к ^ п, уже получены. Тогда
п+1
сп+1
)Vr>+l||i
М+р) 'к
м
№ -
к
Im) г. '
)<Рк
к=1
^ 2||1<т+") -х(т)П
*=1
\\х* о.
Учитывая, что ||¥>,1+i||e > 0, получаем существование предела (п+ 1)-ой координатной последовательности lim = x„+i. Итак, по индукции построили числовую
т—юс
последовательность х = {хп}"_,, являющуюся покоординатным пределом последовательности {х<т>}, Теперь возьмем е > 0 и выберем то так, чтобы для всех т ^ то и р ^ 1 выполнялось неравенство
||x(m+rt-x(m)lk = sup
х>
(т+р) _ (т)
Е
Переходя при каждом фиксированном п к пределу при р —► оо, получаем
||z-x(m)|U» =sup
- 4mV*
так что х = lim х' ' по норме пространства Е. Этим полнота пространства Хф
ТП-+00
установлена.
Докажем, что банахово пространство числовых последовательностей Хф удовлетворяет основному требованию из введения. Имеем
sup
РЯ
х
к=т+1
по критерию Коши сходимости ряда хп<рп в пространстве Е. Таким образом,
х = х>£< Аля любого х £ Хф. Единственность такого разложения следует из мини-•=1
мальности системы канонических ортов {г;}?^, для которых система функционалов ¿¿(х) = X], ] = 1,2,. ., является биортогонально сопряженной: (е"«) = Ограниченность функционала 1п легко проверить:
1
„X = х„ =
llw.IL
-||x„¥>„|U =
IKIU
У" ХкЧ>к - Y^ х^к
IK
-IN
Итак, доказано, что банахово пространство Хф удовлетворяет основному требованию введения.
Теперь осталось заметить, что система элементов Ф = является систе-
мой сходимости и системой представления с пространством коэффициентов ХФ. По теореме 2, — фрейм с пространством коэффициентов Хф.
4. Фреймы как проекции базисов
Пусть {еп}^_1 — базис банахова пространства ^ и Р — непрерывный проектор ^ на подпространство Е. Ясно, что система векторов {¡рп = Реп} является системой представления в Е, и после удаления нулевых векторов, согласно теореме 3, образует фрейм (в качестве пространства коэффициентов этого фрейма можно взять пространство коэффициентов исходного базиса). Возникает вопрос: при каких условиях фрейм в банаховом пространстве является проекцией базиса? Заметим, что согласно результату Б. С. Кашина и Т. Ю. Куликовой [3], всякий классический фрейм Даф-фина - Шеффера, т.е. фрейм в гильбертовом пространстве с пространством коэффициентов Iг в смысле определения 1, является проекцией базиса Рисса объемлющего гильбертова пространства. Ясно, что для фреймов в банаховых пространствах непосредственный аналог этого результата не имеет места (очевидно, что существуют системы представлении, не являющиеся проекциями базисов — конкретный пример
приведен в пункте 5). Для того чтобы сформулировать критерий "проекционности" фрейма, нам потребуется следующее определение.
Определение 3. Пусть {(аЛ?^ — фрейм с пространством коэффициентов X. Обозначим
— пространство коэффициентов нуль-рядов по системе
Теорема 4. Пусть {^п}^! ~ фрейм в банаховом пространстве Е с пространством коэффициентов X.
Тогда для существовать базиса {е„}^_г объемлющего банахова пространства Е Э Е, пространство коэффициентов которого совпадает с X, и такого, что 1р„ — Реп, п = 1,2,..., где Р — непрерывный проектор .Г на Е, необходимо и достаточно, чтобы пространство N коэффициентов нуль-рядов было дополняемым в
Необходимость. Пусть искомый базис существует. Тогда соответствие еп о е„, где — канонический базис в X, можно продолжить до изоморфизма 3 про-
странств X и Е. Оператор 7Г = J~1PJ, эквивалентный проектору Р, является проектором в X. Ядро Кег(тт) совпадает с N, поскольку
Осталось заметить, что X = Кег(п) ® /ш(7г), так что N = Кет{ж) — дополняемое пространство в X.
Достаточность. Пусть N — дополняемое пространство в X, т.е. последнее пред-ставимо в виде примой суммы X = М ф]У. Тогда существует непрерывный проектор 7г : X —>• X на подпространство М, причем Кег(тг) = N. Обозначим Е = Е х N декартово произведение пространств. Определим оператор 3 : X Е следующим образом. Представим вектор х 6 X в виде суммы х = хм + хц, где хм € М и Хм /V, и положим Зх = (Тхм, Хн) (здесь Т — оператор, ассоциированный с фреймом !). Покажем, что оператор 3 осуществляет изоморфизм пространств X и Е. Действительно, из определений пространства F и оператора 3 видно, что достаточно проверить, что сужение Т \м оператора Т на пространство М есть изоморфизм пространств М и Е. Последнее непосредственно следует из сюръективности оператора Т и того легко проверяемого факта, что Кег(Т) = N. Таким образом, 3 — изоморфизм. Следовательно, {е„ = — базис пространства Е и X — пространство коэффициентов этого базиса. Далее отождествим пространство Е с подпространством в Е, состоящим из векторов вида (з,0), д € Е. Тогда Е — дополняемое пространство в .Г и соответствующий непрерывный проектор имеет вид Р(я>х^ = (<?, 0) = д. Нетрудно видеть, что ж = З'^РЗ. Тогда
X.
Доказательство
оо
00
7ГХ = 0 Р Зх = 0 Хпеп) = 0 хпЧ>п = 0«1 е N.
Реп = РЛп = Ле„ = (Ттгеп, 0) = Ттгеп = Теп = <рп, п = 1,2,...,
— в предпоследнем равенстве учли, что 7Г£„ е M, откуда £„ — 7ге„ 6 N = Кет{Т), и потому Т(е„ — теп) = 0.
Замечание 1. Если пространство N коэффициентов нуль-рядов имеет конечную размерность, то, как известно, оно дополняемо, и соответствующий фрейм 1 является проекцией базиса объемлющего пространства.
Замечание 2. Если X — 12 — гильбертово пространство, то всякое его подпространство дополняемо, и, следовательно, любой фрейм с пространством коэффициентов X — 12 будет проекцией базиса объемлющего гильбертова (так как, по построению, F = X) пространства. Поскольку пространством коэффициентов этого базиса является I2, то это — базис Рисса. Тем самым мы проиходим к упомянутому результату Б. С. Кашина и Т. Ю. Куликовой.
Замечание 3. Для коэффициентов Фурье векторов f 6 F* по базису {е,,}^, построенному при доказательстве достаточности теоремы 4, будут выполняться неравенства вида
AVUf- Ç \\{(f,en)}™AW <Щ1\\г;
с постоянными А' и В', зависящими от границ А, В исходного фрейма и от выбора нормы в декартовом произведении F = Е х /V. Можно проверить, что в предположениях предыдущего замечания 2 и при следующем выборе упомянутой нормы: (||(5,x)||f = (||s||| + lljïlljv))1'', где g е Е, х 6 N, j : N -» N — некоторый изоморфизм со свойством Л||х|| ||jx|| ^ B|W| и норма || • ||в индуцирована скалярным произведением, имеем А' = А и В' = В (достаточно воспользоваться определением изоморфизма J в доказательстве достаточности теоремы 4)-
Замечание 4. Биортогонально сопряженная система
к базису
сама является базисом в замыкании своей линейной оболочки и поэтому система векторов {(/з* = P*eJ}{JLj, где Р" — сопряженный к Р проектор на Е', является фреймом в Е'. При этом для любого g е Е имеет место представление
оо
9 = £(</Cs)¥V
П=1
Если, кроме того, пространство X рефлексивно, то {е* — базис в F* и пространство коэффициентов фрейма совпадает с Y. Следовательно, выполняются неравенства
и для любого f 6 Е* справедливо представление
оо
П=1
Таким образом, для фреймов в банаховом пространстве, являющихся проекцией базиса объемлющего пространства, сохраняются многие свойства классических фреймом Даффина - Шеффера.
5. Примеры фреймов: всплески
Пример 1. Пусть функция <р имеет носитель supp ip С [0,1]. Для натурального числа л = 2h + j, к ^ 0, 0 ^ j ^ 2* - 1, положим
*.(*) = WwW = 2V(2fcí-i).
Лемма 4[5]. Пусть ip 6 L[0,1] и /„ <p(t)dt ф 0.
Тогда для любой функции / е £«>[0,1] справедливы неравенства
Л||/||оо ^ sup|(/,v?„>| < ВЦ/lloo (4)
п>1
с постоянными
[ ip(t)dt , В= [ |ip(t)\dt. Jo Jo
Неравенства (4) показывают, что {«¿ViliïLi —фрейм в L[0,1] с пространством коэффициентов li. Покажем, что этот фрейм не является проекцией базиса объемлющего пространства. Предположим противное. Тогда по теореме 4 пространство N коэффициентов нуль-рядов дополняемо в 1\. Пусть lx — M(BN. Из определения изоморфизма J, построенного при доказательстве теоремы 4, видно, что M = Е = L[0,1]. Значит, M — бесконечномерное дополняемое подпространство в Поскольку пространство ¡i примарное [6, с. 288], то M = ly. Приходим к изоморфизму L[0,1] й ¿ь что не верно.
Пример 2. По аналогии с примером 1 можно построить фреймы в пространствах LT\0,1] и Lp(-oo, +оо), 1 < р < оо.
Лемма 5[5]. Пусть функция <р удовлетворяет следующим условиям:
supp ip С [0,1], £ Lp[0,1], 1 < р < оо, [ ip(t)dt^í 0.
Jo
Тогда для любой функции / 6 Lq[0,1], 1 /р + 1/q = 1 ее коэффициенты Фурье по системе функций
Vn(t) = <Pkj(t) = 2^V(2kí - j), n = 2k+j,k^0,0^j^2k-l удовлетворяют неравенствам
лц/ll, ^ s^^/a-i/») \{f,Vkj}\" « B\\f\\t (5)
\U /
с постоянными
Л = <p(t)dt ,
\ 1/р
IvWI'Aj •
Неравенства (5) показывают, что система функций образует фрейм в
Ьр[0,1] с пространством коэффициентов
( 2*—1
1/Р
X = < х = {xn = = Ml = £ lk{l'2-XM ( £ \xkJ\" I < оо
Лемма 6. Пусть функция (р € ¿1 П ЬТ(—оо, +оо), 1 < р < оо имеет ненулевой интеграл / 0 » удовлетворяет условию
£ - Я
+оо \ '/Р
(6)
Тогда для любой фнкции / £ Ь,(-оо,+оо), 1/р + 1/д = 1 ее коэффициенты Фурье по семейству функций
пЛ*) = г^^г - Я. к > о, ] = о, ±1, ±2,...
удовлетворяют предельному соотношению
/ +°о \ '/»
А-юо
K/.wwN'J
(7)
Доказательство
Ввиду однородности соотношения (7) относительно уэ без ограничения общности можно считать, что ip(t)dt = 1. Вначале предположим, что функция / непрерывна и имеет носитель внутри отрезка [-ст.ст]. Рассмотрим дискретные аналоги средних Соболева:
fk(x) = J /(i)2V(2*t - [2*х]), к = 0,1,...,
где [•] — целая часть числа, а интегрирование здесь и далее осуществляется по множеству (—оо,+оо). Имеем
Д(х) - f{x) = J f(t)2kip(2kt — [2*x])dt — /(х) J2k<p(2kt)dt = = J{Н2-к[2кх] 4-1) - /(x)}2Va*0*-
Применяя интегральное неравенство Минковского, находим
Ш*)-/(*)«, < / ll/(2~*[2*x] + i) — /(x)||g2*|y>(2*t)|dt = = J ||/(2-*[2-*«] + 2-*t)-/(x)||f-|v»(i)|A.
Заметим, что
|/(2-к(2"х] + 2~*i) - /(х)| ^ Ы/(2-*(1 + где = sup |/(х) - /(у)| — модуль непрерывности функции /, поскольку
|2~к[2*х] + 2"*t - z| < 2-*|[2fcx] - 2fcx| + 2"*|i| 2"*(1 + |t|). Далее, при любом фиксированном t имеет место включение
supp f(2-k[2kx] + 2kt) С [-ст - 2~kt, ст - 2~*i + 1].
Действительно, если x e supp f(2~k[2kx] + 2~kt), то -a ^ 2~*[2*х] + 2~kt ^ ст, откуда -о- - 2~kt < 2-fc[2fcx] ^ x < 2~*[2fcx] + 2~* ^ ст - 2~*t + 1. Таким образом, приходим к следующей оценке:
||/(2-*[2*х] + 2-Н) - /(х)||, < min{2||/[|00,a;/(2-t(l + |i|))}x
x(mes supp f(2'lc[2kx]2'kt) + mes supp /(x))1/'« С ^ min{2||/||«,W/(2-*(l + \t\m ■ (4ст + l)Vi.
Итак, выражение ||/(2~*[2*x] + 2~kt) — /(x)||, равномерно ограничено по к и t, а при фиксированном t стремится к нулю при к -4 оо. Поэтому для последовательности функций
||/(2-*[2*х] + 2-4) - Дх)||, ■ к = 0,1,...
выполнены условия теоремы Лебега (о мажорируемой сходимости). Следовательно, при к —> оо
J ||/(2~*[2*х] 4- 2~*<) - /(х)||? • \ip(t)\dt —> О,
а вместе с тем и
\\fh(x) - f{x) II, -> 0. (8)
Теперь заметим, что
/ 4оо \ •/?
или,=2*/»-™ £к/,^>г ■ о)
\j=-aо /
В самом деле, функция Д принимает постоянное значение на каждом полуинтервале \j2-k, (j + 1)2"*), j = 0, ±1, ±2,..., так как на таком полуинтервале [2кх] = j. При этом
Ш = J f(t)2k<p(2kt - j)dt = 2k'2(f, <pkJ,
Отсюда
«ли. = f £ y.a_t 1 h(x)\-dx) = í y, к/.
/ +00 N 1/9
С?
Из (8) и (9) получаем доказываемое соотношение (7) для непрерывных функций с компактным носителем. Для того чтобы доказать (7) с произвольной функцией /, рассмотрим оператор А : 1р Ьр, определяемый равенством
+оо
Согласно условию (6) теоремы, этот оператор ограниченный. Сопряженный оператор А' : Ьч -у имеет вид А'/ = {(/, и также ограничен
+оо \ V?
,}=-оо /
Делая замену переменного < —> 2к£, получим неравенство
/ +оо \ V?
£ 1</,^>!<) ^ мц/11
(10)
для любого А; = 0,1,... Пусть теперь / — произвольная функция из Возьмем е > 0 и выберем такую непрерывную функцию д с компактным носителем, что ||/ —<?||,, < е. Тогда, с учетом неравенства (10), будем иметь
/ +00 \ V? / +00 \ 1/в
\}——оо
< 2*(1/2"1/?) ( Е vOl' ) < W||/ - sil, ^ М£.
Отсюда находим
1/9
i/?
к->оо
Аналогично
V?
^ümj1"'2-1«^ I(5, +Mc = ||ff||t + Me<|!/||t + (M + l)e.
/ +оо \
liminf2^/2-1/9) K/.vOI« ^ 11/11, - (М + 1)е.
Осталось устремить е —> 0.
Следствие. В предположениях леммы 6 справедливы неравенства
I ,+оо I / +оо \ 1/в
/ *>(*Н И/»* < < Щ/II,- (П)
и-« I \^=-оо )
Доказательство
Оценка снизу вытекает из соотношения (7), оценка сверху — из неравенства (10). Неравенства (11) показывают, что семейство функций
= 1!Ч\{1Ч - Я, М о,; = 0, ±1, ±2,...
образует фрейм в Ьр(—оо, +оо) с пространством коэффициентов
{00 / +оо \ 1/р )
х = Ы : ||х|| = £ £ |хмГ < 00
Замечание 5. Можно показать, что построенные в примере 2 фреймы так же, как и в примере 1, не являются проекциями базиса объемлющего пространства в смысле теоремы 4-
Замечание 6. Условие отличия от нуля интеграла от функции <р, общее для лемм {-6, является принципиальным. Представляющие свойства систем функций - всплесков, порожденных функцией, имеющей нулевой интеграл на отрезке, изучены в работе [7].
Пример 3. Построим фрейм в пространстве непрерывных функций где
'¿р — кольцо целых р-адических чисел.
Пусть р — простое число и С}р — поле р-адических чисел. Напомним, что всякое р-адическое число х £ (¿р допускает разложение в ряд по возрастающим степеням числа р:
11
х = а_т—- + ... + а_!- + а0 + «1Р + • ■ ■ + апр +... (12)
рт р
с коэффициентами ак е {0,1,... ,р— 1}, к ^ -т. Для ненулевого р-адического числа х существует и единственно целое рациональное число —гп = 0, ±1, ±2,... такое, что а_т ф 0. В этом случае разложение (12) называют каноническим представлением р-адического числа х, величину |х|р = рш называют р-адической нормой числа х (101,, = 0) и, наконец, выражение {х}р — а + -. .-Ьа-,! называют дробной частью р-адического числа х. Если {х}р = 0 или, что одно и то же, \х\р ^ 1, то число х называют целым р-адическим. Множество всех целых р-адических чисел обозначают
Zp. Таким образом, любое целое р-адическое число х £ Zp однозначно представляется в виде
х = а0 + ахр + .. . + а„р" + ..., (13)
где ак € {0,1,... ,р — 1}, к ^ 0.
Примем следующие обозначения:
оо
.A = U {0,1, ...,р — 1}* — семейство всех конечных последовательностей а = *=о
= (ai,... ,Qyc)i состоящих из чисел 0, 1, ... , или р - 1 (включая при к = 0 пустую последовательность);
|а| — длина последовательности а € А, т.е. |а| = к, если а = (aj,..., а/с), длину пустой последовательности считаем равной нулю;
Д(а) = A(ai,...,at) = {16 Z„ ; ah4 = ajt 1 ^ j ^ к}, где a £ А и a0,...,ak-1
— коэффициенты в представлении (13) целого р-адического числа х (в частности,
Д = Z,).
Семейство S = {0} U{A(a) : a 6 i) образует полукольцо множеств, и функция множества |Д(а)| = является мерой на S, лебеговское продолжение которой совпадает с индуцированной на Zv нормированной мерой Хаара tlx в поле Qp. р-адическая норма | • |р определяет топологию в поле Qp, в которой множества Д(а), а & А являются открыто-замкнутыми шарами, и любое открытое множество в Zp является конечным или счетным объединением таких шаров [8, с. 24]. Отсюда следует, что сг-алгебра В всех борелевских множеств в Zp совпадает с наименьшей <т-алгеброй U(S), содержащей все множества полукольца S.
Пусть C(Zp) — пространство вещественных непрерывных функций на компакте Zp и V(ZP) — пространство регулярных борелевских мер на Zp. Напомним, что принадлежность р. £ V(ZP) означает, что ц — счетно-аддитивная вещественная функция, определенная на S, и такая, что для любого множества Е & В и произвольного е > 0, найдутся открытое множество G Э Е и замкнутое множество F С Е, такие, что \n\(G\E) < е и \fj,\(E\F) < £, где |/i|(A) — полная вариация меры ц на множестве А £ В. Из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала ¡9, с. 288] следует, что пространство, сопряженное к C(ZP), изометрически изоморфно пространству V(ZP) с нормой ||At||v = Var(n) = \p.\(Zp), причем
(n,f)= [ }{x)dn J Zp
— общий вид линейного функционала в C{Zp).
Лемма 7. Справедливо равенство
|H|v = Уаг(ц) = H(ZP) = sup £ |МД(а))|. (14)
Доказательство
По определению полной вариации меры дне учетом равенства В = 1/(5) имеем
где верхняя грань берется по произвольным конечным наборам попарно непересекающихся множеств Д (а„) из полукольца 5. Положим для такого набора к = тах„ |а„|. Тогда Д(а), |а| = к — система составляющих для набора Д(а„). Поэтому
£ 1м(ды)1 = Е i Е м(д(о))| < Е ид W)i.
" п {И=*:Д(а)СД(а„)} |а|=*
откуда
\ß\(Zp) «sup £ 1м(Д(а))|. к>° ¿Hh
Обратное неравенство очевидно, поскольку Д(а), |а| = к — частные случаи рассматриваемых конечных наборов. Равенство (14) установлено.
Пусть функция / £ C(QP) имеет носитель suppf С Zp. (Заметим, что сужение / на Zp будет произвольной непрерывной на Zp функцией, поскольку Zt — открыто-замкнутое множество в Qp.) Рассмотрим операторы
VJ(x) = f(^y » = 0,1, ...,р- 1.
Обозначим, далее, V{a) = Vat.. ,Va¡ — произведение операторов, а = (ai, ■ • •, ак) 6 А, первым действует оператор Va¡, последним — Vat, пустое произведение считаем равным тождественному оператору I. Ясно, что V{a), а 6 А — изометрические операторы в пространстве C(Z„) и носитель suppV(a)f с Доопределение 4. Пусть функция ip 6 C(QP) имеет носитель supp (р С Zp. Семейство функций \у(а)<р : а Е .4} назовем семейством функций-всплесков, порожденным функцией <р.
Рассмотрим сначала важный частный случай семейства функций-всплесков: {V(a)x : oí 6 А}, где х = Хд ' характеристическая функция множества Zp. Заметим, что V(a)x = Хд(а) — непрерывные функции. Соотношение (14) леммы 7 запишем в виде
IHIv = siip£ |(/i,V(0f)x>|. (15)
IIb
Равенство (15) показывает, что семейство {V(a)x ■ а € А) образует фрейм в C(ZP) с пространством коэффициентов
X = 11 = {i(a)} : ||i|¡ = ¿ max |х(а)| < oo 1 . (16)
Лемма 8. Пусть функция <р е С(<Зр) имеет носитель эиррр С 2р и положительна ¡р(х) > 0 для всех х 6 Zp. Тогда семейство функций-всплесков {У(а)1р : а € А} образует фрейм в С^р) с пространством коэффициентов (16).
Доказательство
Сопряженным к пространству X, заданному формулой (16), будет пространство числовых семейств
У = \ У = Ы<*)} ■ 1Ы1 = sup V* \у(а)\ < оо >
I J
Пусть с > 0, тогда имеем
\\{c(ß, V(a)x) - (ß, V{a)4>)}\\Y = sup £
|a|=fc
[ (cV(a)x-V(a)<p)dß J z„
^ sup J2 l|cV(a)x - V(aMcM(A(a)) =
= sup ||cx - Ac Y, M(AM) = ltcx - AcMW
kiO , .
— здесь в единственном неравенстве цепочки учли, что в силу включения supp(cV(a)x — V(a)tp) С А(а) интегрирование по Zp фактически сводится к интегрированию по Д(а). Таким образом, получаем
> С||{(м, V(a)x»||r - ||{с(м, V(a)X) ~ <Л V(a)V»||r > (с - ||сХ - И1с)1Мк
Выберем с > 0 так, чтобы 7 = с — \\сх — vllс > 0- По условию теоремы имеем 0 < т < ip{x) < М < оо для всех х € Zp. Положим с = мТогда |с - tp(x) | ^ 55 с — т — М — с — м~т < с, откуда Цех — Ч>\\с < с. Итак, окончательно находим
IIHIclM|v>||{0».V(e)V)}||y>7lHlv,
что и требовалось.
Замечание 7. Аналог леммы 8 для систем типа Фабера - Шаудера [10; 11] в пространстве С[0,1] лишен смысла. Мы видим, что представляющие свойства семейств функций-всплесков в C(ZP) существенно иные, чем в С[0,1].
Библиографический список
1. Duffin R , Schaeffer A. A class of nonharmonic Fourier series // Trans. Amer. Math. Soc. 1952. V. 72, N 2.
2. Наймарк M. А. Спектральные функции симметрического оператора // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1940. Т.4, N 3.
3. Кашин Б. С., Куликова Т. Ю. Замечание об описании фреймов общего вида //
Мат. заметки. 2002. Т.72, N 6.
4. Пич А. Операторные идеалы. М.: Мир, 1982.
5. Терехин П. А. Неравенства для компонентов суммируемых функций и их представления по элементам систем сжатий и сдвигов // Изв. вузов. Сер. мат. 1999. Т.8.
6. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Наука, 1980.
7. Терехин П. А. Базисы Рисса, порожденные сжатиями и сдвигами функции на отрезке // Мат. заметки. 2002. Т.72, N 4.
8. Владимиров В. С., Волович И. В., Зеленое Е. И. р-адический анализ и математическая физика. М.: Физматлит, 1994.
9. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962.
10. Чантурия 3. А. О базисах пространства непрерывных функций // Мат. сб. 1972. Т.88, N 4.
И. Сабурова Т. Н. О базисах в С(0; 1] типа Фабера-Шаудера // Тр. 3-й Сарат. зимней школы. Саратов, 1988. Ч.З.
УДК 517.51
С.С. ВОЛОСИВЕЦ, О.С. СКОРЫНСКАЯ
О приближении функций ограниченной р-вариации полиномами по системам Хаара-Виленкина 1
Пусть {рп}~=1 — последовательность натуральных чисел такая, что 2 < р„ ^ N. Положим по определению тк' = р^.. ,рк при к 6 N, то = 1. Если А — множество чисел вида 0 ^ I ^ тк, к ^ 0, то любое число t 6 [0,1] \ А однозначно представимо в виде
где 0 < jk(t) < рк, jk(t) е Ъ. Каждое целое число n ^ 2 однозначно представимо в виде n = mk + r(pk+l - 1) + s, где к € Z+, 0 < г < тпк, 1 < s < рк+1, г, s е Z. Пусть ip\(t) — 1 на [0,1], а при п > 2 положим
\ Рк+l )
'Работа первого автора выполнена при поддержке гранта Президента. РФ программы "Ведущие научные школы РФ", проект НШ-1295.2003.1.
