Об изолированных особенностях квазилинейных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

© З.С. Демина, 2007-2008

УДК 517.956.25

ОБ ИЗОЛИРОВАННЫХ ОСОБЕННОСТЯХ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

З.С. Демина

В работе рассматриваются решения квазилинейного уравнения, определенные на криволинейном кольце. Приведена теорема, содержащая оценку протяженности поверхности, являющейся графиком решения рассматриваемого уравнения, а также полезное следствие из данной теоремы.

Пусть x = (xl5x2,...,xn) — точка в Rn (n > 2), х = (x,t) — точка в Rn+1 и пусть F С Rn+1 — график решения u(x) уравнения

Qu = div(a(|Vu|2)Vu) = 0, (1)

где u : О \ О0 С Rn ^ R, множество О — ограничено и О0 С О.

Пусть u(x) принимает постоянные значения на границах областей О0 и О:

ul<9n0 = to и и\дП = T’ to < T. _

Обозначим: Sr = {x G О \ О0 : |x — x0| = r}, где x0 — некоторая внутренняя точка О0. Пусть r0 = max |x — x0| — радиус О0 относительно точки x0,

R = max|x — x0| — радиус О относительно x0 (рис. 1).

xGdQ

Рис. 1. Криволинейное кольцо ^ \ ^0

Рассмотрим функцию т(г) = тт и(х) и введем следующие обозначения:

£(£) = {х £ О \ О0 : и(х) = £},

т(^) — множество точек для которых сечения Е(£) не пусты. П(£) — гиперплоскость, проходящая через точку £ ортогонально оси 0£.

Лемма 1. Пусть функция и Є С0(О \ О0) П С2 (О \ О0) — решение уравнения (1) и пусть выполнены условия:

(i) а(в) — дважды непрерывно дифференцируемая функция переменной в;

(ii) а(в) > 0, а'(в) < 0, — 2ва'(в) < а(в) или

а(в) > 0, а'(в) > 0.

Тогда существует обратная к т(г) выпуклая вниз функция г(£), определенная на интервале т(^).

Доказательство. Покажем, что оператор ^ эллиптичен в О \ О0. Запишем уравнение (1) в виде:

^ (х) иХі , их^ )иЖіЖ3' - °>

где аЧ(ж, иХі, их.) — 2а'ихіих. + а^-.

При а > 0, а' < 0, |Уи|2 < —

0 < (2а'|Уи|2 + а)|£|2 < аЧ< а|С|2. (2)

При а > 0, а' > 0

0 < а|£|2 < аЧСгСі < (2а'|Уи|2 + а)|£|2. (3)

Таким образом, матрица коэффициентов [аЧ(ж, иХі, их.)] оператора положительно определена при всех ж Є О \ О0. Следовательно, оператор ^ — эллиптичен в О \ О0.

Покажем теперь, что оператор ^ локально равномерно эллиптичен на функции и. Рассмотрим любое компактное подмножество О множества О\О0.

При а > 0, а' < 0 из (2) следует, что оператор ^ равномерно эллиптичен на функции и, если |Уи|2 < — 2а для всех ж Є О [1, с. 240].

При а > 0, а' > 0, согласно (3), оператор ^ равномерно эллиптичен на функции и, если аа и |Уи|2 — ограничены для всех ж Є О [1, с. 240]. Так как рассматривается значение функции и на компакте О), то можно считать, что эти требования выполнены.

Таким образом, функция и удовлетворяет сильному принципу максимума в области О \ О0 [1, с. 42].

Так как в области О \ О0 выполнен сильный принцип максимума, то г0 (т(г0) — £0) — точка минимума функции т(г). Покажем, что т(г) монотонно возрастает. Предположим противное, то есть существуют точки ^ и г2 такие, что для г0 < Гі < г2 выполнено ш(гі) > т(г2) > т(г0). Тогда во внутренней точке области О \ О0 достигается локальный максимум. Таким образом, имеем противоречие с сильным принципом максимума.

Так как т(г) — монотонная, то существует обратная к ней монотонная функция г(£), определенная на интервале т(^).

Покажем, что г(£) выпукла вниз на т(^). Предположим обратное, тогда существуют точки а, С, Ь из промежутка т(^) такие, что а < С < Ь и

С — а

г(с ) > ь— (г(ь) — г(а)) +г(а) = /(С).

Ь— а

Рассмотрим коническую поверхность С С К”+1, полученную вращением графика линейной функции / (£) вокруг оси а. Пусть х € ) — точка на поверхности

^, расстояние от которой до оси О равно г(£). Точка х расположена вне конуса С, и существует гиперплоскость Ш, заданная функцией -ш(ж), отделяющая точку х от С. Так как / (а) = г(а) и / (Ь) = г(Ь), то «шапочка» А, срезанная с поверхности ^ гиперплоскостью Ш и содержащая точку х, заключена между гиперплоскостями П(а) и П(Ь). Ее граница дА лежит на гиперплоскости Ш и компактна. Положим

О' = {ж € О \ О0 : (ж, и(ж)) € А}, при этом -ш(ж) < и(ж)|п, и и = эд|ш,.

Функция -ш(ж) является линейной, следовательно, как и функция и(ж) удовлетворяет в области О' уравнению (1), то есть

Коэффициенты а^'(x,pi,pj) не зависят от и и согласно (I) являются непрерывно дифференцируемыми функциями переменных р. Таким образом, все условия теоремы единственности решения квазилинейного уравнения выполнены [1, с. 244], следовательно и = -ш|п,. Приходим к противоречию.

Лемма 2. Пусть функция и € С0(О \ О0) П С2 (О \ О0) — решение уравнения (1) и пусть выполнены условия (1)-(11) леммы 1, тогда г(£) есть функция класса Ш21ос на т(^), удовлетворяющая почти всюду на данном интервале дифференциальному неравенству

Доказательство. Так как по лемме 1 график функции г(£) является выпуклым вниз на промежутке т(^), то г(£) очевидно принадлежит классу ^2 1ос на т(^) [2,

Рассмотрим радиально симметричную функцию у(ж) = т(|ж — х0|) < и(х). Для любого радиуса г существует точка ж* € Бг : т(г) = у(х*) = и(ж*). Следовательно [2],

div(a(|Vu|2)Vu) — div(a(|Vw|2 )Уад).

(4)

(5)

с. 70].

Vv(ж*) — Vu(ж*), Ду(ж*) < Ди(ж*).

(6)

Так как ^и(ж*)|2 — ш^2 — , то при а' < 0, а > 0 выполнено г'2 > — 2^, а

при а' > 0, а > 0, соответственно, Г'2 > 0.

Рассмотрим случай а' < 0, а > 0, г' > .

C учетом (1), имеем:

Откуда, в силу существования у функции r(t) в точке t непрерывных первой и второй производных, получаем неравенство (2).

Случай а' < 0, а > 0, г' < — ^— 2^- заменой в (7) m(r) на —m(r) и u(x) на

—u(x) сводится к предыдущему.

Так как функция r(t) выпукла вниз и монотонна, то при а' > 0, а > 0, —то < г' < то возможны следующие ситуации. Либо на интервале т(F) существуют два решения: для всех t < to выполнено г' < 0 и для всех t > to выполнено

г' > 0, где t0 — внутренняя точка интервала т(F). В этом случае необходимо рассмотреть каждый интервал отдельно. Либо г' < 0 (г' > 0) на всем интервале т(F). В обоих случаях приходим к неравенству (2).

Аналогичное дифференциальное неравенство для функции обхвата

/ n \ 1/2

p(t) = max Id = max > ж2 I

(t) (t) ^ ^

в случае гиперповерхностей нулевой средней кривизны в Rn+1 было получено в работе [3]:

p''(t) уп — 1

1 + р'2(*) - р(*) ’

а для гиперповерхностей трубчатого типа заданной средней кривизны - в [4]: пусть Н(х) = Н(ж,£) — некоторая непрерывная функция и Н(х) > 0. Положим Н0(г, £) = ттН(ж,£). Пусть ^ — гиперповерхность трубчатого типа в К”+1 с про-

\х\=т

екцией (а, в) на ось О! Предположим, что в каждой точке х € ^ средняя кривизна ^ неотрицательна и равна Н(х). Тогда функция обхвата р(£) поверхности ^ выпукла вниз на (а, в) и почти всюду на (а, в) удовлетворяет дифференциальному неравенству

Р''(£) П — 1 тт / / л л

> пН0(р(^),^).

(1 + p'2(t))3/2 p(t)(1 + p'2(t))1/2

Для минимальных поверхностей произвольной коразмерности данное неравенство получено сначала в [9], затем в уточненной форме - в [5], а для седловых гиперповерхностей заданной средней кривизны — в [8]. Подобное неравенство для гиперповерхностей постоянной средней кривизны было установлено в [10]. Основным результатом данной работы является следующая теорема.

Теорема 1. Пусть функция u е C0 (О \ О0) П C2 (О \ О0) — решение уравнения (1), выполнены условия (i)-(ii) леммы 1 и

(iii) li^v/s'a(s) = A > 0, где S — точная верхняя грань множества допусти-

s^S

мых значений переменной s, при которых выполнены условия (i)-(ii). Тогда г0 > 0 и

R - N

МА(;гТу)" 1 Иг >|г —10|,

где Ь(а) = [у^а^)]

-1

Доказательство. Для любого радиуса г существует точка ж* € Бг : т(г) = и(ж*). Так как |Уи(ж*)|2 = т-2 = -ж, то при а' < 0, а > 0 выполнено г'2 > — 2-, а при

а' > 0, а > 0, соответственно, г'2 > 0.

Рассмотрим случай а' < 0, а > 0, г' > — 2^.

Так как по лемме 1 функция г(£) выпукла вниз, то ее производная г'(£) возрастает. Кроме этого, г'(£) > — 2^ > 0, то есть возрастает и сама функция г(£).

Таким образом, существует единственная точка £0 — крайняя левая точка интервала т(^) — в которой достигается наименьшее значение г0.

Изучим сначала ситуацию, в которой г0 > 0.

По лемме 2 функция г(£) удовлетворяет почти всюду неравенству (2), из которого получим

^ — ■ ('" (• (Г^)))' > - — ')Г= > «■ *

Функция

1п (г/2(т)) + 1п ( а 2 ' 1

г'2(т )

не убывает при £ > £0, поэтому при всех т > £0 имеет место неравенство [6, с. 340]

'п (Г^)+'п () > I ^ — 2(4

Отсюда, на основании соотношения (3), получаем

'п (^) +,п (а2 | > („ — 1),„№

\Г'2С*0^ ) ' \г2(*0)

откуда имеем

Г'(т) > Г"~ 1(()Г°Х (Ут > «„). (9)

—1 „ / 1

71

о

1

г/2(т ) / Г0 а

Покажем, что функция Ь(а) = [у/?а(з)] 1 существует. Действительно

г г- , м/ а(з) / ^ а/(^)\ „

[^а(*)]* = 27 ( ФУ) >0'

а(з)

То есть функция а(з) = у^а^) монотонно возрастает и непрерывна (вследствие дифференцируемости а(з)), следовательно обратная к ней монотонно возрастающая функция Ь(а) существует.

С учетом (Ш) из (9) получим

г'(т) ^ гп—1(т)

,п

0

г,2(т)

откуда

> ТРГ (Ут >г<|)-

МЛ|Л7)) )> Г71?) (Ут >^ (10)

Интегрируя (10), получим

-(т) { п—1\ -(т)

1Ь{АЩ) )<гг >/ 7(7) = т — (Ут > ^ (11)

-о -о

Соотношение (11) для т = Т можно переписать в виде:

^ { п— 1 \

/Ф^) Гг > Т — *"■ <12)

-о

В случае а' < 0, а > 0, г' < — у^— 2^ неравенство (12) примет вид:

К { )п—1'

И а ( г(Г) > 1 ^ > £0 — Т. (13)

Объединяя оценки (12) и (13), приходим к неравенству

^ { п 1 \

V >1Т — („|- (14)

-о

Покажем, что г0 не обращается в ноль. Предположим противное. Тогда £0 может являться только левой концевой точкой промежутка т (^). Зафиксируем произвольно точку £0 > £0 и рассмотрим поверхность _Р, отсекаемую от ^ гиперплоскостью П(£0) и расположенную в Ип+1 выше П(£0). Наименьшее значение г0 достигается в точке

£0. Воспользуемся неравенством (14) применительно к _Р. При любом т > £0 имеем

К { ~ )п—1'

Ч-Ч^) Иг >1Т — *с|.

Переходя здесь к пределу при £0 ^ £0, получаем |Т — £0| < 0, что невозможно.

Так как функция г(£) выпукла вниз и монотонна, то при а' > 0, а > 0, —то < г' < то возможны следующие ситуации. Либо на интервале т(^) существуют два решения: для всех £ < £0 выполнено г' < 0 и для всех £ > £0 выполнено

г' > 0. В этом случае необходимо рассмотреть два интервала: £ < £0 и £0 < £, где £0 — внутренняя точка интервала т(^), в которой достигается минимальное значение г0. Либо г' < 0 (г' > 0) на всем интервале т(^). Тогда точка минимума £0 — крайняя правая (левая) точка интервала т(^). В обоих случаях доказательство аналогично приведенному выше.

Аналогичная оценка для функции обхвата р(£) = тах |ж| была дана в [3].

(,)

В этой работе рассматривалась функция

Фга(г) = / (s2(n-1) - 1)-1/2ds

обратная к которой обозначалась (t). Было доказано, что в случае минимальной

трубчатой гиперповерхности F в R”+1 при всяком t £ т(F) выполнено

p(t) > -——

V Ро

где р0 = inf p(t) — наименьший радиус обхвата поверхности F. Как следствие

данного неравенства в [3] приведен следующий факт: если F есть вложенная минимальная трубчатая гиперповерхность в R”+1, то

т(F) < 2роФп(го)-

В более общем случае, когда F — гиперповерхность в R”+1, n > 3 трубчатого типа со средней кривизной H(х) > 0 в [4] было доказано, что для проекции (а, в) поверхности F на ось Ot выполнено

в - а < 2роФ«(^)-

Примером уравнения, для которого условия теоремы 1 не выполнены, является уравнение максимальных поверхностей. Действительно,

a(s) = г1----

VI - s

и условия (i)-(ii) теоремы 1 выполнены при 0 < S < 1, но y^G^s) —► то. При этом известно, что решение данного уравнения имеет изолированную особую точку.

Следствие 1. Пусть функция u £ C0(О \{x0}) ПC2(О \{x0}) — решение уравнения (1), выполнены условия (i)-(iii) теоремы 1 и u|dn = 0. Тогда u = 0.

Доказательство. Предположим противное, тогда в точке x0 достигается максимальное или минимальное значение функции u. Положим для определенности, что t0 = u(x0) > 0 — максимум. Проведем гиперплоскость П(Г), где 0 < t < t0 (рис. 2).

l\ t

Рис. 2. Сечение поверхности F С R3 гиперплоскостью П(£)

Тогда

где r > 0 — радиус области, ограниченной сечением (f). Устремляя теперь t к t0, получим 0 > t0, что невозможно.

Автор выражает признательность А.А. Клячину за помощь в постановке задачи и подготовке данной статьи.

Summary

ON ISOLATED SINGULARITIES OF QUASILINEAR EQUATIONS

Z.S. Demina

A quasilinear equation with a solution defined at curvilinear ring is discussed. It has been proved a theorem which contains an estimation for extension of the surface representing the solution of our equation. A useful corollary of this theorem is presented also.

Список литературы

1. Веденяпин А.Д., Миклюков В.М. Внешние размеры трубчатых минимальных гиперповерхностей // Мат. сб. 1986. Т. 131. № 2. С. 240-250.

2. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.

3. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

4. Гольдштейн В.М., Решетняк Ю.Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения. М.: Наука, 1983.

5. Клячин В.А. Оценка протяженности трубчатых минимальных поверхностей произвольной коразмерности // Сиб. мат. журн. 1992. Т. 33. № 5. С. 201-205.

6. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.

7. Лосева Н.В. Некоторые свойства трубок заданной средней кривизны // Научные школы Волгоградского государственного университета. Геометрический анализ и его приложения. Волгоград: Изд-во ВолГУ, 1999. С. 288-305.

8. Лосева Н.В. О некоторых свойствах седловых гиперповерхностей трубчатого типа // Докл. РАН. 1994. Т. 336. № 4. С. 444-445.

9. Миклюков В.М., Ткачев В.Г. Некоторые свойства трубчатых минимальных поверхностей произвольной коразмерности // Мат. сб. 1989. Т. 180. № 9. С. 12781295.

10. Привалов М.В. Некоторые свойства функции обхвата трубчатой гиперповерхности постоянной средней кривизны // Тез. докл. VI науч. конф. ВолГУ. Волгоград, 1989. С. 64.