Изолированные особенности решений эллиптических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2008. №2(61).

УДК 517.956.25

29

ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

© 2008 З.С.Демина1

В работе рассматриваются обобщенные решения квазилинейного уравнения, определенные в кольцевой области. Приведена теорема, содержащая оценку протяженности поверхности, являющейся графиком решения рассматриваемого уравнения.

1. Основные определения и обозначения

Пусть О — область в К". Символом Ыр0(О) обозначим множество функций класса Ыр(О) с компактными носителями. Будем говорить, что функция и(х) класса Ыр(О) является обобщенным решением уравнения

1=\

"" и=1

= о,

(1)

где а(5) — абсолютно непрерывная функция, определенная на интервале 0 ^ 5 < 5, если для любой неотрицательной функции ф(х) € Ыро(О) выполнено

/5

Фх; а(|Уи|2)б^

1=1 и=1

йх = 0.

Пусть х € К" (" ^ 2), х = (х, 0 — точка в К"+1 и Г с К"+1 — график обобщенного решения и(х) : О \ Оо с К" ^ К уравнения (1), где множество О — ограничено и Оо сс О. При этом и|ао = ?о, и|дО = Т, < Т.

'1дО

Обозначим 5г = {х € О\Оо : |х-хо| = г}, где хо — некоторая внутренняя точка Оо. Пусть го = тах |х-хо|, Я = тах |х-хо| — радиусы областей Оо и О относительно хо со-

х€дОо х€дО

ответственно. Обозначим также 2(0 = {х € О \Оо : и(х) = Г}, т(Г) — множество точек Г, для которых сечения 2(0 не пусты. В дальнейшем изложении П(0 — гиперплоскость, проходящая через точку Г ортогонально оси О?. Далее будем рассматривать также функцию т(г) = тт и(х).

5 г

х

х

1 Демина Зоя Сергеевна ([email protected]), кафедра математического анализа и тео-

рии функций Волгоградского государственного университета, 400062, Россия, г. Волгоград, пр. Университетский, 100.

30

З.С. Демина

2. Предварительные результаты

Заметим, что применяя методику, изложенную в [2], можно показать, что при выполнении условий ais) > О, a'is) ^ О, -2sa'(s) < ais) или ais) > О, a'is) ^ О для уравнения (1) в ограниченной области справедливы сильный принцип максимума и теорема единственности.

Лемма 1. Пусть функция u(x) — обобщенное решение уравнения (1) в области О \ Оо и пусть выполнены условия:

(i) ais) — абсолютно непрерывная функция переменной s;

(ii) всюду на [О, S) выполнено ais) > 0, a'is) ^ 0, -2sa'is) < ais) или ais) > 0, a'is) > 0.

Тогда существует обратная к mir), выпуклая вниз функция rit), определенная на интервале t(F).

Доказательство. Так как в области О\Оо выполнен сильный принцип максимума, то функция mir) не может достигать локального минимума во внутренней точке интервала [ro, R] и ro (m(ro) = to) — точка минимума функции m(r). Покажем, что mir) монотонно возрастает. Предположим противоположное

- либо в некоторой внутренней точке интервала [ro, R] функция m(r) достигает локального минимума, что противоречит сильному принципу максимума;

- либо в некоторой внутренней точке интервала [ro, R] функция m(r) достигает своего максимального значения, большего или равного T, что невозможно в силу справедливости сильного принципа максимума для обобщенного решения;

- либо на некотором интервале [ri, r2] с [ro, R], функция m(r) принимает постоянное значение, большее, чем to и меньшее, чем T. Тогда, рассматривая интервал [ri , R] приходим к рассмотренному ранее случаю.

Так как mir) — монотонна, то существует обратная к ней монотонная функция r(t), определенная на интервале t(F). Покажем, что r(t) выпукла вниз на t(F). Предположим обратное, тогда существуют точки a, b из промежутка t(F) такие, что a < ^ < b и

г© > I—Ш - lia)) + r(a) ее /©. b-a

Рассмотрим коническую поверхность C с R"+1, полученную вращением графика линейной функции f(t) вокруг оси Ot. Пусть X е — точка на поверхности F, расстояние от которой до оси Ot равно r©. Точка X расположена вне конуса C и существует гиперплоскость W, заданная функцией w(x), отделяющая точку X от C. Так как f(a) = r(a) и f(b) = rib), то "шапочка" А, срезанная с поверхности F гиперплоскостью W и содержащая точку X, заключена между гиперплоскостями П(а) и П(й). Ее граница дА лежит на гиперплоскости W и компактна. Положим О' = {х е О \ Оо : (х, и(х)) € А}, при этом w(x) < и(Х)|п, и и = w\an,.

Функция w(x) является линейной, следовательно удовлетворяет в области О' уравнению (1). По теореме единственности: u = w^,. Приходим к противоречию. Таким образом, r(t) выпукла вниз на t(F).

Лемма 2. Пусть функция uix) —обобщенное решение уравнения (1) в области О \ Оо и пусть выполнены условия (i)—(ii) леммы 1, тогда r(t) есть функция класса W^ioc на t(F), удовлетворяющая почти всюду на данном интервале дифференци-

альному неравенству

r'(t)r"(t)

r'2(t) + 2-

r'2(t)

r'2(t)

> (n - 1)

V (t)

(2)

Доказательство. Так как по лемме 1 график функции г(Г) является выпуклым вниз на т(_Р), то г(0 принадлежит классу ^21ос на t(F) [3].

Рассмотрим радиально симметричную функцию у(х) = т(\х - хо|) ^ и(х). Для любого радиуса г существует такая точка х* € 8г, что т(г) = у(х*) = и(х*). Следовательно [1],

Уу(х*) = Уи(х*), Ду(х*) < Ди(х*). (3) Так как |Уи(х*)|2 = ш'2 = —, то при а' <' 0. а > 0 выполнено г'2 >--, а при

Г а

а' > 0, а > 0, соответственно, г'2 > 0.

2a'

Рассмотрим случай а' ^ 0, а > 0, г' > -у--. С учетом (3), имеем:

Qm(r) = ßvl < Va(|VM|2)VM + а(|Уи|2)Ди|, = 0.

(4)

Откуда, в силу существования у функции г(Г) в точке Г непрерывных первой и второй производных, получаем неравенство (2).

Случай а' ^ 0, а > 0, г' ^ 0 аналогичен рассмотренному выше.

1

a

1

a

3. Основной результат

Теорема 1. Пусть функция u(x) — обобщенное решение уравнения (1) в области О \ Оо, выполнены условия (i)—(ii) леммы 1 и условие

(iii) lim yfsa(s) = "k > 0, где S — точная верхняя грань множества допустимых зна-

s^S

чений переменной s, при которых выполнены условия (i)-(ii). Тогда го > 0 и выполняется неравенство

I

R , i

n-1

г(х)

dr ^ T - to,

b

ro

где b(a) — функция, обратная к a(s) = -\fsa(s).

I 2а'

Доказательство. Рассмотрим случай а' ^ 0, а > 0, г' > -J--.

Так как по лемме 1 функция r(t) выпукла вниз, то ее производная r'(t) возрас-

I 2а'

тает. Кроме этого r'(t) > л/--> 0, то есть возрастает и сама функция r(t). Та-

V a

ким образом существует единственная точка to — крайняя левая точка интервала t(F) — в которой достигается наименьшее значение ro. Изучим сначала ситуацию, в которой ro > 0.

По лемме 2 функция r(t) удовлетворяет почти всюду неравенству (2), из которого получим

32

З. С. Демина

Функция ra(xj} + lnl a

r'2(x)

монотонна, следовательно, ее производная

суммируема [4] и на основании соотношения (5), получаем

г'(т)

rn-1(T )r»

r/2 \'о

( > to).

(6)

Заметим, что [ Ум^д)]^ > 0. То есть функция а(^) = монотонно возрас-

тает и непрерывна, следовательно, существует обратная к ней монотонно возрастающая функция ^а).

С учетом (Ш) из (6) получим

b

1

r (т)

(Т > to).

Интегрируя (7) при т = T получим

R t

/тЫ)

-1

dr ^ T - t0.

(7)

(8)

Покажем, что ro ф 0. Предположим обратное. Тогда to может являться только левой концевой точкой промежутка t(F). Зафиксируем произвольно точку to > to и рассмотрим поверхность F, отсекаемую от F гиперплоскостью n(to) и расположенную в R"+1, выше n(to). Наименьшее значение t достигается в точке to. Воспользуемся неравенством (8) применительно к F и переходя в полученном соотношении к пределу при to ^ to, получаем |T - to| ^ o, что невозможно.

Случай a' ^ o, a > o, r' ^ o аналогичен рассмотренному выше.

1

2

1

rn-1a

o

Литература

[1] Владимиров В.С. Уравнения математической физики / В.С.Владимиров. -М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. -512 с.

[2] Гилбарг, Д. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка / Д. Гилбарг, Н. Трудингер. - М.: Наука, 1989. -464 с.

[3] Гольдштейн, В.М. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения / В.М. Гольдштейн, Ю.Г. Решетняк. М.: Наука. 1983. 284 с.

[4] Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. - 544 с.

Поступила в редакцию 19/777/2008; в окончательном варианте — 19/777/2008.

ISOLATED SINGULARITIES OF SOLUTIONS OF QUASILINEAR EQUATIONS2

© 2008 Z.S. Demina3

A quasilinear equation with a solution defined at curvilinear ring is discussed. A theorem which contains an estimation for extension of the surface representing the solution of the equation is proved.

Paper received 19/1/7/2008. Paper accepted 19/777/2008.

2Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. NN.

3Demina Zoya Sergeevna (zsdeminaSyandex.ru), Dept. of Mathematical Analysis and Theory of Functions , Volgograd State University, Volgograd, 400062, Russia.