CC BY
43
2007
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Навигация и УВД
№ 121
УДК 656.7:621.396
ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ НАДЕЖНОСТИ СРЕДСТВ НАВИГАЦИИ И УВД С ПРОДЛЕННЫМ РЕСУРСОМ
В.Е. ЕМЕЛЬЯНОВ, М.Е. СОЛОЗОБОВ
В статье приводится методика моделирования характеристики надежности средств навигации и УВД с продленным ресурсом при различных описаниях потоковых характеристик отказов.
В практических приложениях достаточно известны методы исследования показателей надежности сложных систем проектирования и функционального использования средств навигации и УВД [1...3]. Однако прогнозирование состояния рассматриваемых систем в случае продления ресурса разработано недостаточно, что значительно затрудняет организацию технической эксплуатации и обслуживания в указанной ситуации. При этом нужно иметь в виду то обстоятельство, что возможны два уровня исследования интересующих нас характеристик:
- на уровне функционального узла, блока и т.д.;
- на уровне системы в целом.
Очевидно, что в обоих случаях необходимо учитывать случайный характер исследуемых процессов.
На уровне системы для различных фаз процесса технической эксплуатации, учитывая аспекты характеристик надежности в целом, предлагается использование случайных процессов, представленных в таблице.
Отметим, что выбор соответствующего случайного процесса при моделировании процессов технического обслуживания средств с продленным ресурсом той или иной исследуемой ситуации часто затруднен. Ввиду наличия практических и (или) теоретических ограничений, наряду с недостаточностью статических данных, не исключен ошибочный выбор процесса. Для облегчения подобного выбора необходимо уточнение потоковых характеристик процессов отказов и восстановления средств.
Таблица
Основные случайные процессы
Случайный процесс Использование при моделировании Базируется на Степень сложности
Процесс восстановления Определение избыточности при произвольной частоте отказов и выраженной функцией распределения времени замены или восстановления Теория восстановления Средняя
Альтернирующий процесс восстановления Система с однотипными элементами при произвольных интенсивностях восстановления и отказов Теория восстановления Средняя
Марковский процесс Оборудование с постоянными интенсивностями отказов и восстановлений Дифференциальные уравнения Низкая
Полумарковский процесс Оборудование с постоянной интенсивностью отказов и произвольной интенсивностью восстановлений Интегральные уравнения Средняя
Регенерирующий процесс с единственным состоянием регенерации Резервируемые системы при достаточно общих потоковых характеристиках отказов и восстановлений Интегральные уравнения Высокая
Процесс с дополнительными переменными Системы с произвольными структурами при произвольных интенсивностях отказов и восстановлений Теория исследования операций и случайных процессов От высокой до очень сложной
Известно, что традиционный подход к анализу процесса восстановления заключается в следующем
о s s d '__1
[4]. Интервалы времени между точечными событиями , р 2""" отказов (восстановлений) 1, 1 _ ,n являются статистическими независимыми положительными случайными величинами. Точки Si являются
моментами регенерации. В случае, если они следуют через интервалы времени Dt, процесс восстановления удобно характеризовать функцией плотности вероятности.
h(t) _ lim p|S0 иS2 и..."¡■e [t,t + Dt]
Dt ®0 L 0 2 J (1)
В случае, если функция распределения ti есть Y(х) и Y(х) _ 1 - exp|—Л} , процесс восстановления превращается в пуассоновский процесс.
Введение случайных времен замены отказавших элементов (узлов, блоков) оборудования, распределенных согласно функции G(x), приводит к альтернирующему процессу восстановления.
Для марковского случайного процесса с конечным числом состояний используется экспоненциальное распределение оценки вероятности пребывания системы в любом из состояний, а для полумарков-ских процессов используется матрица вероятностей переходов с учетом того, что в точках переходов эти процессы обладают свойствами марковских процессов.
Однако для средств навигации и УВД с продленным ресурсом, что по ряду данных составляет более 65% эксплуатируемых в настоящее время средств РТОП и ЭС, анализ систем со сложными резервируемыми структурами затруднен и, как следствие, сложно выработать рекомендации по организации технического обслуживания конкретных типов оборудования.
Считая, что интенсивность отказов рассматриваемого оборудования является возрастающей функцией, предположим, что для моделирования времени проведения профилактических мероприятий (ПМ), предупредительных или аварийных замен (ПЗ или АЗ) можно использовать нижеследующие случайные процессы (СП).
Случайный процесс с независимыми приращениями
Пусть контролируемые параметры однотипных элементов (функциональных узлов, блоков, и т.п.) e(t) являются одномерным или многомерным СП, определенным при t > 0 . При любом n > 1 и любых
0 < t0 < t1 < ... < tm образуем приращения Y e(tl) e(tо),""", Y n e(tm ) e(tm~1) . Для данного СП верно, что всегда e(0), Y^..., Y n - независимые случайные величины. Если к тому же e(t) - процесс со стационарным приращением, то он является однородным СП с независимыми приращениями. Если в последнем случае с вероятностью 1 его траектория - неубывающая функция времени, причем вероятность
Р |e(0) _ 0} _ 1, Р |e(t + t) — e(t) _ m}_ exp(—ЛТ)(ЛТ) , n _ ° t, t > 0,t > ° то этот СП является
процессом Пуассона [5]. Его приращение в любом интервале ^ > 0 есть пуассоновская случайная величина с параметром Ле, где Л - параметр процесса Пуассона.
Процесс Г аусса-Пуассона
Класс процессов Гаусса-Пуассона, введенный [6], является обобщением пуассоновского процесса и представляет собой двухпараметрическое семейство точечных процессов, параметрами которого являются две факториальные моментные меры.
Пусть (W, B, Р) - некоторое вероятностное пространство и каждому we W соответствует четная последовательность чисел |ti} . Пусть N(A) - число точек последовательности |ti} , попавших в борелев-ское множество A e B - s -алгебра борелевских множеств из R _ (—¥ +<»), N(.) - считающая мера [7]. Рассмотрим функционал
G( z) = exp \n i [ z(t) -1] Q(dt) + 0.5n2 i i [z(t) -1][ z(u) - l]^(t, u)Q2(dtdu)\, z eV , (2)
^ —¥ —¥ —¥ J
где Q1(.) и Q2(.)- вероятностные распределения на B и ВхВ, n>0, u(.,.)- ограниченная функция на RxR, u(t,u) = u(u, t),Q2(A1 x A2) = Q2(A2 x A1), t,u e R, A1A2 e B
Функционал (2) определяет обобщение класса пуассоновских процессов [7].
У многомерного нормального распределения интересующие нас моменты первого и второго порядков определяют все распределения и производящий функционал
{Ш т |
Е + 05Е 2г2;ау \ (3)
1=1 1=1
Суперпозиция случайных потоков событий
Для анализа реальных потоковых характеристик отказов (восстановлений) средств РТОП и ЭС и моделирования соответствующих ситуационных моделей, изучаемых для разнородных элементов оборудования, воспользуемся следующим представлением.
Пусть имеется а случайных потоков событий; х1 (г) - число событий 1-го типа в полуинтервале
а
[0,1;), 1 £ 1 £ а . Обозначим х(г) = Е х1 (г) . Очевидно, что х(1) является суперпозицией исходных а по-
1=1
токов. Поток отказов отдельных средств РТОП и ЭС состоит из отказов его различных элементов. В широком классе случаев можно указать условия его близости к Пуассоновскому потоку.
Предположим, что для каждого т > 1 имеется т независимых СП событий гтк =\^тк } , где ¿тк -
момент _)-го события (отказа и (или) восстановления) к-го потока из указанных т потоков. Пусть
Ртк (/) = Р(г) = Р{¿кг < ¿} . Порядок слагаемых - потоков формулируется в виде
тах ¥Л (г) ® 0 (4)
1<£<т т®¥
т
для любого фиксированного 1>°. Так же верно и то, что Е Рпк (г) ® 0 , где 0(1)- неубывающая функ-
т®¥
г=1
т
ция, и Е Опк ® 0 . Тогда хп (г) ® х(г) , где х(1) -процесс Пуассона с ведущей функцией ( ) [7].
П®¥
1=1
Из теоремы Хинчина и Ососнова [7] следует, что если а0 < а1 < ... < ап, а Д - число событий потока х (г)
т^ ' в полуинтервале [аг_,а{),х = (х1,...,хп);Рт(х)- функция распределения случайной величины
(Д,...,Дп); Р(х,1) - функция распределения пуассоновской случайной величины с параметром 1 и, вводя обозначения
т
Лт ( г )= Е Рк ( г ) ,Д =Лт ( а1 )_Лт £ 1 £ п , (5)
1=1
то согласно теореме Григелиониса [7] будем иметь
Р (х) _П Р( х„Л,)
£ 2пЕ АШ (ai_1, а1) + 2 (Ш + 1)й. (a°, ап ) . (6)
1=1
где Ат (а1_1, а) - сумма вероятностей появления в полуинтервале (а1-1, а) одного события потока {хтк }"к,1 £ к £ ш;Вт (а0,ап) - сумма вероятностей появления в полуинтервале а) двух событий
потока {хтк1 } .
Исследование нестационарного пуассоновского потока событий
Наиболее часто применительно к рассматриваемым процессам используются два типа методов исследования: регрессионный анализ интервалов и анализ специальных математических моделей. Остановимся подробнее на последнем.
Если рассматриваемое явление тренда, представляет собой гладкое изменение интенсивности потока во времени, то справедливо равенство
1=1
1(г) = ехр(р+рг). (7)
Предположим, что на периоде наблюдения [0,Т] произошло п событий потока в моменты 0 < I < ... < г < Т .
1п
Оценка параметра ¡, получаемая по методу максимального правдоподобия, является решением уравнения
Щ) = 0,
где
(8)
L(ß) =
Пß- пТ [! - exp(-ßT)] + Ё , ßФ 0
(9)
-0.5пТ + Е Г,, ¡ = 0
1=1
При фиксированном р достаточной статистикой для определения р является п:
Наличие или отсутствие тренда (8) устанавливается с помощью критериев проверки нулевой гипотезы Н0 = (Р = 0) . В случае непринятия гипотезы Н о делается заключение о наличии тренда.
Использование вышеизложенных моделей позволяет определять поведение соответствующих средств в случае продления ресурса и, следовательно, вносит коррекцию в организацию их технической эксплуатации и обслуживания.
1=1
п
1
ЛИТЕРАТУРА
1. Шаракшанэ А. С., Железнов И.Г., Иваницкий В.А. Сложные системы. - М.: Высшая школа, 1977.
2. Birolini А. Zuverlasigkeit von Schaltungen und Systemen. Lecture at the ETH sigeittechnik, post gratuate lecture at the University of Neuchatel, 1979.
3. Anderson R.T. Relability Design Handbook. Rome Air Development Center, RDH-376, 1976
4. Севастьянов Б.А. Теория восстановления // Итоги науки и техники. Сер. Теория вероятности. Мат. Статистика. Теоретическая кибернетика. 1973/1974, №11.
5. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. - М.: Сов. Радио, 1977.
6. Newman D.S. A new family js point processes which are characterized by their second moment properties. - J. Appl. Probab., 1970,7, №2.
7. Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов. Т.2. - М.: Наука, 1972.
ABOUT USE OF CASUAL PROCESSES FOR MODELLING OF RELIABILITY OF AIR NAVIGATION AND AIR TRAFFIC MANAGEMENT SYSTEMS WITH PROLONGED RESOURCE
Emalyanov V.E., Solozobov M.E.
In this paper the technique of modelling of the characteristic of reliability of means of navigation and the Department of Internal Affairs with the prolonged resource is resulted at various descriptions потоковых characteristics of refusals
Сведения об авторах
Емельянов Владимир Евгеньевич, 1951г.р., окончил КИИГА (1974), доктор технических наук, профессор МГТУ ГА, заведующий кафедрой ОРТиЗИ, автор более 100 научных работ, область научных интересов - техническая эксплуатация авиационного радиоэлектронного оборудования, функционирующего в сложной электромагнитной обстановке.
Солозобов Максим Евгеньевич, 1982г.р., окончил МГТУ ГА (2004), аспирант кафедры основ радиотехники и защиты информации МГТУ ГА, автор 2 научных работ, область научных интересов -моделирование и оценка надежности спутниковых каналов связи.
