Оценка вероятности ошибок инженерно-технического состава при проведении профилактических мероприятий Текст научной статьи по специальности «Математика»

2005 НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА №90(8)

серия Эксплуатация воздушного транспорта и ремонта авиационной техники.

Безопасность полётов

УДК 629.7.017:681.51

ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ ОШИБОК ИНЖЕНЕРНО-ТЕХНИЧЕСКОГО СОСТАВА ПРИ ПРОВЕДЕНИИ ПРОФИЛАКТИЧЕСКИХ МЕРОПРИЯТИЙ

Д.А. ЕПИФАНЦЕВА

Статья представлена доктором технических наук, профессором Емельяновым В.Е.

В статье рассматривается модель оценки вероятности редких событий на малом интервале времени, трактуемая как вероятность ошибочных действий инженерно-технического персонала при проведении ТО средств РТОП и ЭС.

Обеспечение высокого уровня исправности и готовности авиационной техники неразрывно связано с совершенствованием методов её эксплуатации, технического обслуживания и ремонта. В последнее время всё больше внимания уделяется вопросам надёжности работы человека в процессе технического обслуживания радиооборудования. Возможно, одна из причин этого состоит в том, что радиотехнические системы становятся всё более и более сложными, а привнесённые отказы могут привести к катастрофическим последствиям.

Правильность выполнения профилактических работ позволяет парировать эти явления. И хотя привнесённые отказы составляют менее 5% от общего числа отказов средств РТОП и ЭС [1], всё же необходимо анализировать причину их возникновения и вероятность их появления.

Так как профилактические работы проводятся в строго определённое ограниченное время, то вероятности возникновения привнесённых отказов следует рассматривать как вероятности редких событий в ограниченном интервале времени, в качестве которых можно рассматривать длительность профилактических мероприятий по отношению к периоду эксплуатации оборудования. Для этого рассмотрим функционирование системы, описываемое марковским процессом с конечным множеством состояний и интенсивностями перехода 1 , причём эти интенсивности зависят от малого параметра е :

1=1 (е}®4о'

е®0

Ясно, что вероятности перехода рц (;} данного процесса при е® 0 сходятся к соответствующим вероятностям для 10] вместо 1. Более точный анализ необходим,

поскольку во многих системных исследованиях основными количественными характеристиками, подлежащими оценке, являются вероятности редких событий. Эти события сами имеют вероятности порядка е , следовательно, и оценивать эти вероятности следует с точностью до величин большего порядка малости, чем ег, например, до величин порядка ег+1. Критерием точности вычислений является относительная, а не абсолютная погрешность интересующих нас вероятностей редких событий [2].

Обозначим

1 =10 +131 + е 12 +...,

считая, что в этом ряду либо всё слагаемые равны нулю, либо отлично от нуля единственное слагаемое, соответствующее порядку малости интенсивности 1. Обозначим, далее, 1 =И ■

& 3

лы = ^

и пусть для всех / . Вероятность начальных состояний обозначим

Рг (0} = Р!0](0) + еР?](0} + ..., где при данном г не больше одного ненулевого слагаемого.

Пусть г0 (г}- порядок начального состояния г , то есть то т , для которого Р[т] (0}> 0.

Аналогично, г (г, 3) - порядок перехода г ® 3, то есть то т , для которого А1т > 0 .

Рассматриваемый Марковский процесс обозначим п(;} и введём ещё вспомогательный

процесс у(;}, считая, что у(0} = г0 (п(0}} и у(;} - кусочно-постоянная функция, изменяющаяся

скачками: если в момент ; происходит переход процесса п(;} из состояния г в состояние 3,

то у(;} получает приращение г (г, 3). Таким образом, у(;} - счётчик порядков редких событий,

происшедших до момента ; .

По формуле полной вероятности

Рг (;} = Е Р( П}(;},

т=0

где Р[(п)(; } = Р (п(; } = 3,у(; } = т}.

Из данного разложения следует хороший вычислительный алгоритм нахождения Рг (;},

поскольку существуют конкретные формулы для последовательного нахождения членов ряда; существует простая оценка остатка ряда, по которой можно рассчитывать рациональное число удерживаемых членов ряда.

Пусть найдены, как функции ;, Р(} (;} при всех I < т . Тогда при т > 1

р!1 (; }=ет Е Р[т]( 0} % (;}+ Е е Е1 Рт}(х} % (; - х

г 1<1 <т г,к

при т = 0 Рг(0} (; } = Е Р(0} ( 0} % (; }’

г

где % (;} = Р(п (;} = -3, у(;} = °1п (0} =г}.

Таким образом, зная % (;}, можно по рекуррентным формулам последовательно вычислять Рг(т} (;}. Из рекуррентных формул следует, что при фиксированном ; Рг(т} (;} - величина порядка е .

Функции % (;} определяются следующим образом. Обозначим д = еЛ}'1 + е2^^ +.... Тогда при условии, что д конечны, % (;} - вероятность перехода из г в 3 за время ; Марковского процесса с интенсивностями перехода130] и той особенностью, что если этот процесс находится в состоянии г, то за время Л он может оборваться с вероятностью дЛ . Таким образом, % (;} находятся как решение системы уравнений Колмогорова

%(;}+И0]+д} %(;}=Е ^(;}

к ф 3

при начальных условиях % (0} = 5^.

Можно дать довольно хорошие оценки % (;} функциям, не зависящим от е. Если обозначить д = тах д, у (;} - вероятность перехода Марковского процесса с интенсивностями

перехода 10, то есть решение выписанной системы уравнений Колмогорова с д., заменёнными нулём, то

е~дУп (;}< % (;}<у (;}.

Таким образом, если в рекуррентных формулах, определяющих Р(т} (;}, заменить % (;}

функциями у (;}, мы допустим относительную погрешность, не большую д;, то есть

величины порядка е;. Если, в конечном счете, нас интересует оценка Р{ (;} с относительной

погрешностью порядка е , изложенный приём вполне оправдывает себя (напоминаем, что интервал изменения ; есть фиксированная величина).

Может возникнуть вопрос, зачем применять столь окольный путь вычисления Ру (;}, если

всё равно нужно решать систему уравнений Колмогорова для функций % (;} или у (;}.

Дело в том, что в практических случаях Марковский процесс с интенсивностями перехода

1[30] более стеснён в своих возможных переходах, чем процесс с интенсивностями 13 . Это

означает, что системы уравнений Колмогорова можно рассматривать на значительно меньшем множестве состояний.

Перейдем к оценке остатка ряда Е Р(т} (;}. Лучше всего иметь оценку для суммы этого

m=N

выражения по 3 : это даст возможность оценивать какие угодно суммы вероятностей Р3 (;} .

Имеем ЕЕ Р3т}(; }=Р (у(; }> я}.

т=Ы 3

Введём независимые величины Х,Х2,. ., где %т распределена по закону Пуассона с

параметром £m1mt, и обозначим h = X + Х + 3Х3 +.... Пусть qk = р (h = к),

Qk = qk+qk+i+...Если qnk = р (£ + 2£+3Х +...+nL = к), то qnk рассчитывают по рекуррентной формуле

(em1m]t)!

qnk = £ qn-i,k-n exp{-eml[m]t}—-—,n > 2

i<k/n i !

r nil (e1[1]t )k

с начальными условиями q1k = exp {-el t}———.

Тогда при n > k qk = qnk. Величины Qnk рассчитываются по той же рекуррентной

k-1

формуле, однако с другим начальным условием, а именно: Q1k = 1 - £ q1i . Укажем

i=0

асимптотическую точную при e ® 0 верхнюю оценку Qk :

Qk <Qkk + £ emXim]t+O(e2'“')

m=k+1

и несколько более громоздкую точную оценку

Qk < Qkk + £ (1 - exp {-eml[mV}).

m = k +1

Располагая теперь оценками Qk , находим:

N-1

P (г(1 )> N )< £em £ 0) Qn-m+£ em £ 0).

m=0 j m>N j

Заметим также, что Qkk можно оценить и непосредственно. Обозначим через Vk множество

векторов (n1,...,nk) с целыми неотрицательными компонентами, для каждого из которых

выполняются два следующих свойства.

1. п + 2п2 +... + кпк > к .

2. Если каждую компоненту п* уменьшить на 1, то свойство 1 уже не будет выполняться. Тогда

(А[1МП1 (А}'

Q ~ Е еп+2п2+...+кпк \ ' у '

кк (п,...,Пк ^ П1! ^ Пк !

с относительной погрешностью порядка е .

Практически приходится считать Qkk для небольших значений к, поэтому приведённые формулы вполне приемлемы.

Из предыдущего следует, что при ограниченном 1[т]

Е Е 3 (' }=о е}.

т=Ы ]

Более точная оценка имеет вид

Е Е Р(т}(1 }£ е (а+Ь Г ,0 £ 1

т=Ы 3

где а, Ь - функции от Е р\" , 1"}.

3

Именно эти простые оценки часто бывают достаточными для определения рационального значения N.

Пусть имеется множество Я состояний случайного процесса, недостижимое при е = 0 . Это означает, что для любого 3 е Я р[0] (0} = 0 и не найдётся такой цепочки состояний (/0,/1,...,‘п},

для которой было бы ^...1°11°} > 0. Отсюда следует, что либо множество Я недостижимо

1 -*• ‘0 *0*1 ‘п-1‘п ‘п./

и при е > 0, либо найдётся такое наименьшее г, при котором р(г} (1} > 0,1 > 0 . В первом случае положим г (Я} = ¥ , во втором г (Я} = г и назовём г (Я} рангом множества Я . Из предыдущего следует, что если рЯ (1 } = Е Р3 (1}, то г = г (Я}

&К

£ рі г ](і)- Рк (і)

<ег+1 (а + Ьі )г

3еЯ

и в то же время рЯ (1} ~ сег, где с > 0 . Таким образом, найдена оценка рЯ (1} с относительной погрешностью порядка е.

Можно видеть, что в частном случае, когда все = 0,

Л

Рк (1} ~ ег(Я} Е -р?(‘0}] (0М?0"1}]...д[г(гк-1,гк}]

(‘0,‘1,...,‘к }е иЯ к !

где иЯ - множество цепочек с различными звеньями, из которых последнее принадлежит множеству Я, причем г0 (‘0} + г (‘0,‘1} +... + г (/к-1,‘к } = г (Я}.

В качестве примера рассмотрим следующую ситуацию.

Пусть поток заявок на обслуживание РТОП и ЭС подчиняется закону Вейбулла с параметрами а и с. Время обслуживания одного РЭО есть экспоненциальная случайная величина с параметром /. При наличии полного состава специалистов ИТС и отсутствии

других заявок может возникнуть привнесённый отказ РТОП и ЭС с интенсивностью 10, а при наличии нескольких заявок одновременно - с интенсивностью 1. После возникновения привнесённого отказа ТО прекращается.

Требуется найти вероятность q (і) возникновения привнесённого отказа за время і.

Предполагается, что при і = 0 все работники ИТС принимают участие в ТО и имеется только одна заявка на ТО (случай а) либо имеется несколько заявок на ТО (случай б). Ставится условие, что а > 0, с > 0, Ь > 0 - постоянные величины, в то время как 10 и 1 пропорциональны малому е.

Поведение системы ИРС-РЭО описывается однородным Марковским процессом с тремя состояниями: 0 - работники ИТС принимают участие и имеется только одна заявка на ТО, 1-работники ИТС принимают участие и имеется несколько заявок на ТО, 2 - произошел привнесённый отказ.

Запишем ненулевые интенсивности перехода по стандартной форме:

Заметим, что по условию Ц е - ограниченные величины. Начальные условия

может находиться лишь в состоянии 0 или 1. Соответствующие уравнения Колмогорова для функций

101 = а-с-іа Є0, откуда 1° = а-с-іа 1; І0 = Є, откуда І? = Ь;

р0 (0} = 1,р1 (0} = р2 (0} = 0 для случая а можно записать так: р0 (0} = 1е0; р0°] (0} = 1;

г0 (1} = г0 (2} = ¥; для случая б р|0] (0} = 1; г0 (0} = г0 (2} = ¥. Таким образом, при е = 0 процесс

Далее, т0 = е - с0, т = е - с1, откуда ц = е - с, где съ = тах (с0, с1).

Следовательно, е Ес^уц ^ ) < ^ (I) < у (7). В данном случае 1 = ст , Л[т] = 0, т > 1. Следовательно, X - пуассоновская величина с параметром £-с^, X =Хз =... = 0. Отсюда при любом п > 1

(\т

=л.

т=к т!

Вследствие того, что р[т] = 0 при т > 0,

I ^ р(т) + „(т) + „М m=N

Так, приняв N = 2, получим:

I (р':]+р,‘т'+р2т))£ а.

m=N

02 = 1 - е'^ (1 + є-с^і).

По рекуррентной формуле в случае а

І

р21) (і) ~ є{[соУоо (х) + сУ о1 (х)Ух

о

в случае б

І

р21) (і) ~ е|[соУю (X) + суи (X)Ух

о

Подставив в интегралы выражения у (і) получим:

Р2 (і) ~ Р21) (і) = є-с1 •(с-іа -1)е~ь + є-со11 /3• е~сх -(с-Xа-1 -1)(-^в~сх dx- для случая а.

о V х

Р2 (і) ~ р21) (і) = е-с1 е ь + є-с1 у + є соР\[Г-------------------------------------------------------------------------------Ь 1 е ^с+Ьх дх- є °"Ь е (с+ь)і- для случая б,

2 2 1 1 о а -1

где

(а-1)! „-/»От (а -1)! і2

ра 1=0 1! /За~г

Таким образом, с помощью предлагаемой модели можно получать асимптотические решения значений вероятности ошибок обслуживающего персонала при ТО рассматриваемых средств.

Полученные данные представляется целесообразным использовать при определении необходимого уровня квалификации ИТС, исходя из численных градаций определяемых вероятностей.

ЛИТЕРАТУРА

1. ИКАО. Международное совещание по связи. Документ СОМ-81-Р/5, 12/1/81, Монреаль, 1981.

2. Коваленко И.Н. Расчет вероятностных характеристик систем. - Киев: Техника, 1982.

3. Козлов Б.А., Ушаков И.А. Справочник по расчёту надёжности. - М., 1976.

4. Емельянов В.Е., Епифанцева Д.А. Оценка вероятностных характеристик результатов деятельности инженерно-технического персонала при техническом обслуживании средств РТОП и ЭС. (В настоящем Вестнике).

ESTIMATION PROBABILITY MISTAKES OF ENGINEERING-TECHNICAL PERSONNEL AT TECHNICAL

MAINTENANCES OF THE FACILITIES RTSF & ER

Epifantseva D.A.

Personnel mistakes account, conducting operative-technical maintenance in the limited time interval, is shown in this

article.

Cведения об авторе

Епифанцева Дарья Александровна, окончила МГТУ ГА (2004), аспирантка МГТУ ГА, область научных интересов - техническая эксплуатация средств РТОП и ЭС.