CC BY
13
1) если is -концепт X в решётке концептов не является атомом, то X покрывает не менее двух is -концептов этого отношения [2];
2) высота решётки is -концептов этого отношения не превосходит п~ I, а её ширина равна | л^ (р) |.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Новиков В. Е. Решётки понягий и-арных отношеннй // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. Вып. 4. С. 111 - 113.
2. Новиков В. Е. О решётке частично однозначного отношения // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Вып. 6. С. 102 - 105.
3. Wille R. Introduction to Formal Concept Analysis. Darmstadt: Springer, 1996.
4. Вапник В. Я, Червонец А. Я Теория распознавания образов. М.: Наука, 1974.
УДК 517.51
В. В. Новиков
ОБ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОМ АНАЛОГЕ ОДНОЙ ТЕОРЕМЫ Д. Е. МЕНЬШОВА*
Обозначим через частичную сумму тригонометрического
ряда Фурье функции /, а через (Т,/,х) - тригонометрический поганом Лагранжа, интерполирующий / в равноотстоящих узлах Т = \хк„ = 2пк/(2п + \),к--п,...,п,п = 1,2,....\. Далее, для /еС2к и л>3 положим
[л/2]
f(x2k+\,n)~f(x2k,n) !
k= [n/2] <p(2k + \,n,p)
П-1,.
где
ip(m,n,p) =
p-m, если p-m\ <3([и/2] +1); 2n-{p- m\ если p - m > 3( [и/2] +1); -2n-(p-m), если p - m < -3( [и/2] + i);
K(f)= max T*(f).
-и-1< pin
Здесь штрих у знака суммы указывает на отсутствие (не более двух) слагаемых, у которых индекс к является решением уравнения ф(2Аг+ 1,п,р) = 0; кроме того, будем считать, что xn+ll¡=n, x_„_¡ „=-л.
Как показано в [1], условие Ги*(/)-> 0 при п —> ос влечет равномерную сходимость к / полиномов {¿л(7,/,х) }.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 04-01-00060).
85
В 1940 году Д. Е. Меньшов доказал классическую теорему о наличии у измеримой, почти всюду конечной функции так называемого усиленного С-свойства: для любой функции f указанного вида и любого е > 0 существует функция g такая., что f = g на некотором множестве £ С [-я, тс], mes Е>2п-е и ряд Фурье <j(g) сходится равномерно на [-л,л]. Как известно, последовательность {Ln(T,f,x)} для /eC2lt может расходиться всюду, поэтому представляет интерес вопрос о наличии подобного усиленного С-свойства у произвольной функции / е С2п по отношению к указанному интерполяционному процессу.
ТЕОРЕМА. Для любой функции / е С2п и любого в > 0 существует функция geC2n такая, что f = g на некотором множестве Ест [-л, тс], mes£>27t-e и интерполяционный процесс {Ln(T,g,x)\ сходится к g равномерно на |-л, л] .
Схема доказательства. Пусть даны произвольные / е С2п и е >0. Не теряя общности, можно считать, что /> 0. Обозначим Ak .=[-Ti + 2n(k-\)2'j,~Ti + 2Tik2~J}, k = l,...,2J, и /,(*)= min /(/),
JteAjt ¡, k = 1,...,2J, je N. Последовательность {/,•(*)} не убывает по j и равномерно сходится к / на [-тс, 7t]. Положим
fj (*) = fj (х) - 7у1 (х), /с, (*) = 0.
00
Тогда ряд f j (дг) равномерно и абсолютно на [-л, л] сходится к f. Дока-
./'=1
жем, что V/ = 1,2... и для любого N j eN существует функция g • еС2л такая, что
О 0^gj(t)< fj(t\tе[-к,п]; (1)
2) mes {f e [- л; л] : fj {t)* g j(t )} < s2'J-, (2)
3) max T* (gj ) < C\gj\ -> 0 при j -> oc ; (3)
П - l2jt
4)r;(gy)=0,« = l,...,^;> = 2,3,...; (4)
5) limr;(gy)= 0. (5)
Л7—>X
После того как функции g,(x) будут построены, мы покажем, что
х
g(x) = Y^S/(x) - искомая. Функцию gi(x) определим как кусочно-
линейную и такую, что mes {f e [- л; тс] :/,(/)# g, (f)} < s/2. Пусть ./>2. Обозначим с. = Л-il , d,• , = !|/"J , и пусть а,- Toc, M, Too - по-
следовательности такие, что с, - ос. /1пЛ/у (окончательно их подберем
86
позже). Положим а, =----. а, =1-1/а„ ск 'Д = 1.2,..., так
» а■
что , = - •-— - = с , кроме того, пусть
¿=1 '" 1 - Ч]
1п М,
где ^ = 1- 1/(2а ,•), да^ = ехрЛ^, тк] =[тк]}, к = ОД,...
Обозначим через 7. множество узлов х,- 5 е Г таких, что 2б' + \<т0 7, а через М - множество точек разрыва функции / . Для каждой точки рассмотрим окрестность [г-а0,г + о0], радиус которой с0 выбирается а соответствии с описанной в [2] процедурой (в частности, суммарная длина этих окрестностей меньше, чем £2~7 '). Полагаем [О,еслих е О0; 8о,} (*) = | (*)> если * е [- я] \ (' - а о, I + сг0), / е О0; [линейная на (/ - ст0, Г)и (/, / + ст0) при / е О0, кроме того, g0; еС2я- Предположим, что g0j, glj,...,g|_] ¿, /> 1, уже построены. Обозначим через £>, множество узлов х/5, у которых номер строки 5 удовлетворяет условию т1Л^ < 2л +1 < т1 у, причем Д содержит только те узлы, которые не принадлежат окрестностям, уже построенным на предыдущих / шагах. Для каждого х15 е О, возьмем окрестность
[х. -Ст/,х, . +о,], где Ст/ >0 вновь выбрано в соответствии с требованиями из [2] (в частности, суммарная длина всех таких окрестностей меньше, чем ' ). Полагаем
Ы, . '
I —если х е Л, П А,- •;
I С1 Г=1 "
I (х) = \ линейная на (г - Ст/, и ((, I + О/), где г е И,; Дх) для остальных хе[-я,я],
I
причем ^ • еС2я. Определим функцию £•(.*)= Шп . (х), х е К, у > 2, и
проверим для нее выполнение условий (1) — (5) (для g1 эти условия, кроме (4), очевидно, выполнены). Условие (4) для gj(x) будет выполнено, если взять М .■ столь большим, что т0у > N j. Определим номер к из условия яз^ • < 2п +1 < . (■ := 1) и запишем
87
/е/j /е/3 /е/4 j \
q(2k +\,n, p)
= S, + S-,+S4,
где в 7, собраны индексы г, для которых узлы х21п, х2Мп находятся в разных отрезках Д„ ,, Д„ в /2 - те ¿й/,, для которых оба узла
Sj(x2i.n) ~ Я/(х2ш,п)' Ь содержит те г, для которых хотя бы один из узлов х21п, х2М„ совпадает с точкой из множества Д., г =0/4 содержит все оставшиеся узлы. Рассуждая как в [2], можно показать, что
.. Ур. (7)
' + 1 г=М
где / определяется условием а^, <2л/(2« + 1)<СТ/. Для 5] легко получить оценку
2У 1 с-2''/
■V. < Ссу X--. < С -. (8)
7 и ¡{2п г 1)2 ; м
Далее, при условии 2и +1 > т0 , > 2} имеем 54=0. Оценим 53. Пусть N'.= 2п + \ и т(Л0 - количество делителей числа N. Нетрудно проверить, что при любом Ь > 1
^Ш + СЫМ^, (9)
Л Ш. г-р
где р — наименьший из номеров 5 таких, что т, 7 ¿тк 1/а' . Положим
Ь = ' 1п1п М . Тогда можно показать, что при Л', больших некоторой абсо-3 ;
лютной константы ,У0, верны оценки
1п N 1п1п М
S[ < С с, ехр|--—— I, (10)
V
\Р
____(_II
Iri In Мj \ji) j
11)
С а,
к - р<-------(12)
In In Mj
Итак, с учетом (7) - (12) заключаем, что (1) — (5) для g - имеют место. Убедимся, что lim Тп {g) = 0, откуда будет следовать сходимость к g интер-
я—>х
поляционного процесса. Пусть п - достаточно большой номер. Определим
j из условия т0 j <2п + \< т0 у+). Тогда в силу абсолютной сходимости
со
ряда я(А")= С*) можно записать
Кр(8) 5 X Кр(**) + Тп.р(gj) + £ КР(gk ) = F, + v2 + V3, Vp .
k = 1 k=j*1
Учитывая (5), можно так выбрать А/;, что будет верно, например неравенство У] < 1 / j ■ В силу (3) имеем V2 < С с•. Наконец, из условия 2/7 + 1 < _ | находим К3=0. Для завершения доказательства осталось
заметить, что ряд ^g Ах) равномерно сходится к функции f на множест-
Н
х
вс Е, мера которого больше, чем 2к - е 2~j -2я - б .
,/=1
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Привалов A.A. О равномерной сходимости интерполяционных процессов Лагранжа //Мат. заметки. 1986. Т. 39, № 2. С. 228 - 243.
2. Новиков В. В. О расходимости ряда Фурье функции со сходящимся интерполяционным процессом Лагранжа // Analysis Mathematika. 2003. Vol. 29. P. 289 - 317.
УДК 519.95: 681.31
А. А. Орел
МОДЕЛИРОВАНИЕ БИЗНЕС-ПРОЦЕССОВ С ПОМОЩЬЮ СЕТЕЙ ПЕТРИ
Одной из признанных и часто используемых технологий моделирования бизнес-процессов является технология функционального моделирования IDEF0 на базе методологии SADT [1]. Однако получаемые на основе этой методологии модели не позволяют проводить имитационное моделирование построенных процессов для проверки корректности потоков работ. Существуют способы построения имитационных моделей на основе IDEFO-моделей с использованием раскрашенных сетей Петри.
В настоящей статье предлагается более простой способ имитационного моделирования, не требующий использования расширенных моделей сетей Петри. При этом возможно потребуется уточнить описание функций JDEFO-модели для выделения и уточнения потоков работ. Рассматривается задача построения сети Петри, моделирующей бизнес-процессы в некоторой предметной области. Для облегчения восприятия модели будем использовать блоки, объединяющие в рамках одной функции IDEFO-модели несколько альтернативных переходов сети Петри, которые возникают в
89
