Интерполяция Биркгофа функций ограниченной упорядоченной λ-вариации Текст научной статьи по специальности «Математика»

В. В. Новиков. Интерполяция Биркгофа функций ограниченной упорядоченной Л-вариации

а это и означает, что прямоугольные частичные суммы Б^и (/) не сходятся в пространстве ЬРа (Е) к функции /.

□

Автор благодарит И. И. Шарапудинова за постановку задачи. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 10-01-00191-а). Библиографический список

1. Шарапудинов И. И. О топологии пространства Lp(x)([0,1]) // Мат. заметки. 1979. Т. 26, № 4. С. 613-632. [Sharapudinov I. I. Topology of the space Lp(x) ([0,1]) // Math. Notes. 1979. Vol. 26, № 4. P. 796806.]

2. Шарапудинов И. И. О базисности системы Хаара в пространстве Lp(x)([0,1]) и принципе локализации в среднем // Мат. сб. 1986. Т. 130(172), № 2(6). С. 275283. [Sharapudinov I. I. On the basis property of the Haar system in the space Lp(x)([0,1]) and the principle of localization in the mean // Math. USSR Sb. 1986. Vol. 58, № 1. P. 279-287.]

3. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды.

М. : АФЦ, 1999. 560 с. [Kashin B. S., Saakyan A. A. Orthogonal series. Moscow : AFC, 1999. 560 p.]

4. Соболь И. М. Многомерные квадратные формулы и функции Хаара. М. : Наука, 1969. 288 с. [Sobol I. M. Multidimensional quadratic Haar formulas and functions. Moscow : Nauka, 1969. 288 p.]

5. Харди Г. Г., Литтльвуд Дж. Е., Полиа Г. Неравенства. М. : Гос. изд-во иностр. лит., 1948. 456 с. [Hardy G. H., Littlewood J. E., Polya G. Inequalities. Cambridge : University Press, 1934. 329 p.]

6. Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ. М. : Наука, 1967. 416 с. [Vulih B. Z. Introduction to functional analysis. Moscow : Nauka, 1967. 416 p.]

УДК 517.51

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ БИРКГОФА ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ УПОРЯДОЧЕННОЙ Л-ВАРИАЦИИ

В. В. Новиков

Саратовский государственный университет E-mail: vvnovikov@yandex.ru

В терминах обобщенной упорядоченной Л-вариации получено достаточное условие равномерной сходимости на всей числовой прямой интерполяционного процесса Лагранжа и (0,2,3)-ин-терполяционного процесса Биркгофа.

Ключевые слова: интерполяция Лагранжа, интерполяция Биркгофа, лакунарная интерполяция, упорядоченная Л-ва-риация.

On Birkhoff Interpolation of Functions of Ordered A-bounded Variation

V. V. Novikov

A sufficient condition for the uniform convergence of Lagrange and (0,2,3) Birkhoff interpolation on the whole real line is obtained. The condition is in terms of ordered A-bounded variation.

Keywords: Lagrange interpolation, Birkhoff interpolation, lacunary interpolation, ordered A-variation.

ВВЕДЕНИЕ

Определение 1. Пусть Л = (Лк— неубывающая последовательность положительных чисел

те 1

такая, что ^ — = Говорят, что / есть функция ограниченной Л-вариации (обозначение:

к=1 Лк / е ЛБУ), если

|/(*2к) - /(*2к-1)|

sup

<

где верхняя грань берется по всем системам П непересекающихся интервалов вида

1к := (*2к-1 ,Ьк) С [-п,п], к = 1, 2,... .

(1)

(2)

Определение 2. Функция / называется функцией ограниченной упорядоченной Л-вариации (обозначение: / е О ЛБУ), если выполнено (1), причем супремум берется по всевозможным системам неналегающих интервалов (2) таких, что 1к < 1к+1, к = 1, 2,..., или 1к > 1к+1, к = 1, 2,... (запись 1к < 1к+1 или 1к > 1к+1 означает, что 1к расположен левее, соответственно правее, чем 1к+1).

При Л = (к}те=1 соответствующие классы обозначаются НБУ и ОНБУ (гармоническая вариация).

п

© Новиков В. В., 2013

81

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2013. Т. 13. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1, ч. 2

Приведенные определения были предложены в 70-х гг. прошлого века Ватерманом (D. Waterman) [1-4]. Роль введенных им классов функций демонстрирует, в частности, следующий результат. Пусть С2п — пространство действительных непрерывных на всей числовой прямой 2п-периодических функций с равномерной нормой.

Теорема 1 [1]. Если f е С2п П HBV, то тригонометрический ряд Фурье функции f сходится к ней равномерно на R. Если же ABV э HBV, причем ABV = HBV, то найдется функция f е С2п П ABV, ряд Фурье которой расходится, по крайней мере, в одной точке.

Очевидно, что ABV С OABV. В статье [3] Ватерман поставил вопрос, является ли это включение строгим? Утвердительный ответ, сначала для случая гармонической вариации, был получен в работе [5]. Позднее также положительный ответ был дан в [6] для случая произвольной последовательности Л.

Вопросы сходимости ряда Фурье функций класса OЛBV рассматривались в заметке [7].

Хорошо известен факт, что между частичными суммами ряда Фурье и интерполяционными многочленами Лагранжа существует глубокая аналогия. В связи с этим результаты, полученные для рядов Фурье функций из классов обобщенной ограниченной вариации позже переносились на случай интерполирования. Приведем следующий характерный результат в этом направлении.

Теорема 2 [8]. Пусть а, в е (— 1,1/2), q = max{-1/2; а; в} и пусть ьПп,в (f, x) — интерполяционный многочлен Лагранжа с узлами в нулях ортогонального многочлена Якоби P<ka,e) (x). Если

f е C [-1,1] П ЛBV, (3)

причем

то

-1

kq-1/2)( £l/Ak) < (4)

7-1/2

кк=1 / \k=1

lim || f (•) - Ltß\f\ 0||c[-1,1] =0, (5)

n—y^o

и, обратно, из условий (3) и (5) следует (4).

В настоящей заметке рассматривается вопрос о сходимости интерполяционного процесса Лагранжа, а также одного специального интерполяционного процесса Биркгофа для функций из класса f е С2п П OЛBV.

1. ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ

Обозначим через Ln(f, x), n = 1, 2,..., тригонометрический интерполяционный полином Лагранжа функции f е С2п с узлами {xk,n = 2nk/(2n + 1)}n=_n, а через Qn(f, x), n = 1, 2,..., (0, 2, 3)-ин-

терполяционный полином Биркгофа такой, что

Qn (f,xk,n ) = f (xk,n), Qn (f,Xk,n) = Qn (f,Xk,n) = 0, k = n, n.

Отметим, что вопросы существования, единственности и явного представления для интерполяции Биркгофа, как правило, весьма непросты и в различных частных случаях решаются по-разному (см., например, [9]). Для полинома Qn(f, x) существование и единственность были доказаны среди прочего в работе [10].

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть последовательность Л такова, что Ak/k ^ 0 монотонно при k ^ го. Тогда для любой функции f е С2п П OЛBV последовательности многочленов {Ln(f, x)}^=1 и {Qn(f,x)}^=1 сходятся к f равномерно на всей числовой прямой.

2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ

Введем некоторые обозначения. Для f е С2п и n > 3 положим

[n/2]

Kp(f )= £

"г*

k = -[n/2]

f (X2k+1,n) - f (X2k,n)

+ 1, n,p)

p = -n - 1,...,n, Tn(f )= max ^ Tn*)P (f),

—n—1<p<n

82

Научный отдел

В. В. Новиков. Интерполяция Биркгофа функций ограниченной упорядоченной Л-вариации

где

p — m, если |p — m| < 3([n/2] + 1),

^(m, n,p) = 2n — (p — m), если p — m > 3([n/2] + 1),

k —2n — (p — m), если p — m < —3([n/2] + 1).

Здесь штрих у знака суммы указывает на отсутствие (не более двух) слагаемых, у которых индекс k является решением уравнения ^(2k +1,n,p) = 0; кроме того, будем считать, что xn+1,n = п, x_n-1,n = —п. Нам понадобятся следующие леммы.

Лемма 1 [11]. Условие Tn(f) ^ 0 при n ^ го влечет равномерную на R сходимость к f полиномов {Ln(f,x)}.

Лемма 2 [12]. Пусть f е С2п. Тогда существует абсолютная постоянная С и функция ßn (x) е С2п, |^n(x)| < С, не зависящая от f, такая, что

lim [f(x) — Qn(f,x) — Mx)(f(x) — Ln(f,x))] = 0

n — tt

равномерно на R.

Доказательство теоремы 3. Зафиксируем последовательность Л, удовлетворяющую условию теоремы, функцию f е С2п П OЛBV и обозначим a(k) = k/Ak. Пусть V(Л, f) — верхняя грань (1), фигурирующая в определении упорядоченной Л-вариации функции f на отрезке [—п,п]. Выберем неубывающую последовательность номеров {mn} такую, что lim mn = го и

тп 1

An := и ( f, - I £ ---► 0, - ^ го.

k=1 -k

(6)

Здесь <^(/, 5) — обычный модуль непрерывности функции /. Тогда нетрудно проверить, что равномерно по всем р выполняется оценка

T* (f) < C1 An + V(Л, f),

a(mn)

(7)

где С1,С2 — некоторые абсолютные константы. Поскольку a(mn) ^ го при n ^ го, из (6), (7) и леммы 1 следует, что

lim [f(x) — Ln(f,x)]=0 (8)

n — tt

равномерно по x е R. Равномерная сходимость последовательности {Qn(f,x)} следует теперь из (8) и леммы 2. □

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ (проект НШ-4383.2010.1).

Библиографический список

1. Waterman D. On convergence of Fourier Series of functions of generalized bounded variation // Studia Math. 1972. Vol. 44. P. 107-117.

2. Waterman D. On Л-bounded variation // Studia Math. 1976. Vol. 57. P. 33-45.

3. Waterman D. Л-bounded variation: recent results and unsolved problems // Real Anal. Exchange. 1978-1979. Vol. 4. P. 69-75.

4. Waterman D. Fourier series of functions of Л-bounded variation // Proc. Amer. Math. Soc. 1979. Vol. 74. P. 119123.

5. Belna C. L. On ordered harmonic bounded variation // Proc. Amer. Math. Soc. 1980. Vol. 80. P. 441-444.

6. Prus-Wisniowski F. On ordered Л-bounded variation // Proc. Amer. Math. Soc. 1990. Vol. 109. P. 375-383.

7. Waterman D. On the note of C. L. Belna // Proc. Amer. Math. Soc. 1980. Vol. 109. P. 375-383.

8. Kvernadze G. Uniform Convergence of Lagrange Interpolation Based on the Jacobi Nodes // J. Approx. Theory. 1996. Vol. 87. P. 179-193.

9. Lorentz G. G., Jetter K., Riemenshcneider S. D. Birkhoff interpolation. Reading, Massachusetts : Addison-Wesley, 1983. 237 p.

10. Sharma A., Varma A. K. Trigonometric interpolation (0,2,3) case // Ann. Polon. Math. 1968. Vol. 21. P. 51-58.

11. Привалов А. А. О равномерной сходимости интерполяционных процессов Лагранжа // Мат. заметки. 1986. Т. 39, № 2. С. 228-243. [Privalov A. A. Uniform convergence of Lagrange interpolation processes // Math. Notes. 1986. Vol. 39, № 2. P. 124--133 ]

12. Varma A. K, Vertesi P. Equiconvergence of Some Lacunary Trigonometric Interpolation Polynomials // J. Approx. Theory. 1987. Vol. 50. P. 185-191.

Математика

83