CC BY
13
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ С11ИСОК
1. Левитин Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию. М.: Паука,
1970.
2. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев, 1977.
3. Винокуров В.А., Садовничий В.А. II ДАН. 1998. Т. 358, № 3. С. 298 - 301.
УДК 517.5
А. Л. Лукашов
ОБ ИНФОРМАЦИОННОЙ ЭНТРОПИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ НА НЕСКОЛЬКИХ ОТРЕЗКАХ'
Известно [1], что информационная энтропия Больцмана-Шеннона квантовомеханических систем может быть в ряде случаев выражена в терминах информационной энтропии классических ортогональных многочленов. Дадим
Определение. Информационной энтропией многочленов </„(*), ортонормальных по отношению к весу р(*), называется величина
\Чп (*) 1п Чп С*)р(*)<&-
В настоящее время появилось много работ, в которых изучаются асимптотики этих величин на конечном или бесконечном интервале [2,3], но лишь в нескольких случаях (для многочленов Чебышева первого и второго рода [1]) найдены точные значения этих величин. Приведем один такой результат.
ТЕОРЕМА 1. [1]. Если qn(x) — ортогональные многочлены Чебышева первого рода (относительно веса р(лс) = . ^ -), то при п > 1
л! 1-х2
я(1п2-1). (1)
Заметим, что вес —. = совпадает с плотностью равновесной ме-пл11-х2
ры отрезка [-1; 1] [4]. Кроме того, нам не встретилось ни одной работы,
посвященной вычислению информационных энтропий для многочленов, ортонормированных на несвязных множествах.
Цель данной статьи - сообщить о довольно любопытном обобщении теоремы 1 на случай нескольких отрезков. Ортогональным многочленам на нескольких отрезках посвящено большое количество работ (см., напр., об-
" Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ на выполнение научных исследований (проект НШ-1295.2003.1).
зор [5], а также недавние работы [6,7]). Наиболее естественные обобщения свойс тв многочленов Чебышева наблюдались в случае, когда на системе из нескольких отрезков существует многочлен, наименее уклоняющийся от нуля с максимально возможным числом точек уклонения. В терминах равновесных мер этот случай характеризуется тем, что равновесные меры каждого из отрезков, составляющих систему, - рациональные числа (см., напр., обзор [7]).
ТЕОРЕМА 2. Если с/п(х) - многочлены, ортонормальные относительно плотности равновесной меры ц Е (х) системы отрезков £ = [и1,я2]^' — и[а2/-1>а2/]> и равновесные меры каждого из отрезков
от
1а2/-1'а2у] - рациональные числа вида то при всех и=т,
где к - натуральное, для информационной энтропии 5„ многочленов цп (при р(х) = (х)) имеет место формула = 1п 2 - 1.
Доказательство. Известно (см., напр., [6]), что плотность равно-
^ I ( )1
весной меры (.^(х) имеет вид ц£(х)=--т~ (*)' где и(х) — поли-
п //(х)
ном степени I -1 со старшим коэффициентом 1, однозначно определяемый
"2'+> и(х) 21 / \
равенствами | . , .¿х-0, У =1,.../-1; Н(х)= ~ ха~
аг, т]~И\Х) 7=1
рактеристическая функция множества Е.
Далее, из результатов работы [9] следует, что при выполнении условий теоремы многочлены Тп Е{х), наименее уклоняющиеся от нуля на Е,
являются ортогональными многочленами степени не выше п + 1-2 со знакочередующимся весом
Ь(х) = (-1)' 1_н(ху ДЛЯ *61а2У-1>в2/) У = %—>1 ■
Но тогда, очевидно, они будут ортогональны многочленам степени «-1с весом Ие(х), то есть совпадут с точностью до постоянного множителя с многочленами <?„(х). Несложный подсчёт с использованием представлений многочленов Тп £(х) из [9] даёт представление
X
Чп (-*•')= >/2 со%ПК |ц£ {х)с1х. Кроме того, цп (х) удовлетворяют тождеству Абеля-Пелля
^-е„.,2(х)Я(х)=1 (2)
для некоторого полинома ()п_! степени л-/.
Тогда q'n(x)=-j2nq„_,(x}u(x\ (q„_,{x)j- h(xj) =^qn{x)ve{x)> а отсюда и из тождества (2) получаем
1 Г 2/1, 2г \ Iм Ml , 2 r|i/(^)|ln<7 2(х) 71 f^W 71 я v-^W
+
л e 71 i
=-2 ил.ы^-¿„-1ht^U*+- J^M-J^LA.
Последний интеграл, в силу нормировки, равен 2, третий интеграл равен л, поскольку представляет собой равновесную меру всей системы отрезков Е, умноженную на я, в первом интеграле можно сделать замену \iE(x)dx = dQ и воспользоваться формулой
— Jln|cos«0|2d9 = -2In2, Ко
что приводит к требуемому результату.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Yanez R.J., Van Assche W., Dehesa J.S. Position and momentum information entropies of the D-dimesional harmonic oscillator and hydrogen atom // Phys. Rev. A. 1994. Vol. 50. P. 3065 - 3079.
2. Aptekarev A.l., Dehesa J.S., Yanez R.J. Spatial entropy of ccntral potentials and strong asymptotics of orthogonal polynomials // J. Math. Phys. 1994. Vol. 35, № 9. P. 4423 -4426.
3. Buyarov V.S., Dehesa ./.S., Marlinez-Finkclshlein A., Saf) E.B. Asymptotics of the information entropy for Jacobi and Laguerre polynomials with varying weights II J. Ap-proxim. Theory. 1999. Vol. 99. P. 153 - 166.
4. Saff E.B., Totik V. Logarithmic potentials with external fields. Berlin: Springer,
1997.
5. Peherstnrfer F. Orthogonal and extremal polynomials on several intervals // J. Сотр. Appl. Math. 1993. Vol. 48. P. 187 - 205.
6. Lukashov A.I.., Peherslor/er F. Automorphic orthogonal and extremal polynomials // Canad. J. Math. 2003. Vol. 55. P. 576 - 608.
7. Суетип С.П. Об асимптотических свойствах диагональных аппроксимаций Паде для некоторых обобщений марковских функций // Мат. сб. 2002. Т. 193, № 12. С. 105- 135.
8. Содин MJI., Юдицкий 11.М. Функции, наименее уклоняющиеся от нуля на замкнутых подмножествах вещественной оси // Алгебра и анализ. 1992. Т. 4, вып. 2. С. 1-61.
9. Peherstorfer F. On Bernstein - Szego orthogonal polynomials on several intervals II : orthogonal polynomials with periodic recurrence coefficients // J. Approxim. Theory. 1999. Vol. 65. P. 123-161.
