CC BY
18
УДК 625.8 : 624.048
ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ НЕКОТОРЫХ МОДЕЛЕЙ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКО-УПРУГОСТИ
В.А. Богомолов, профессор, д.т.н., И.Л. Разницын, доцент, к.ф.-м.н., ХНАДУ, М.В. Сидоров, доцент, к.ф.-м.н., ХНУРЭ
Аннотация. Содержится доказательство эквивалентности некоторых реологических моделей теории линейной вязко-упругости. Приведены явные формулы перехода от одной модели к другой.
Ключевые слова: линейная вязко-упругостъ, обобщенная модель Кельвина, обобщенная модель Максвелла, эквивалентные модели.
ПРО ЕКВІВАЛЕНТНІСТЬ ДЕЯКИХ МОДЕЛЕЙ ТЕОРІЇ ЛІНІЙНОЇ В’ЯЗКО-ПРУЖНОСТІ
В.О. Богомолов, професор, д.т.н., І.Л. Разніцин, доцент, к.ф.-м.н., ХНАДУ,
М.В. Сидоров, доцент, к.ф.-м.н., ХНУРЕ
Анотація. Міститься доведення еквівалентності деяких реологічних моделей теорії лінійної в ’язко-пружності. Наведено явні формули переходу від однієї моделі до іншої.
Ключові слова: лінійна в’язко-пружність, узагальнена модель Кельвіна, узагальнена модель Максвела, еквівалентні моделі.
ON EQUIVALENCE OF SOME MODELS OF LINEAR ELASTOVISCOUSITY THEORY
V. Bogomolov, Professor, Doctor of Technical Science, I. Raznicyn, Associate Professor, Candidate in Physics and Mathematics Science, KhNAHU, M. Sidorov, Associate Professor, Candidate in Physics and Mathematics Science, KhNURE
Abstract. The given article gives proof of equivalence of some rheological models in the theory of linear elastoviscousity. The explicit formulas for transition from one model to another are presented.
Key words: linear elastoviscousity, generalized Kelvin model, generalized Maxwell model, equivalent models.
Введение
В теории линейной вязко-упругости рассматриваются реологические модели, для наглядности изображаемые схемами, состоящими из соединенных амортизаторов (элементов вязкости) и пружин (элементов упругости). В случае одномерной системы связь между напряжением (с) и деформацией (в) выражается по известным правилам [1] в виде соотношения Р(П)а = Q(П)г, где
Р, Q - дифференциальные операторы от О = с постоянными коэффициентами, зависящими от физических параметров модели (то есть от модулей пружин и коэффициентов вязкости амортизаторов).
Две модели, которым соответствуют уравнения Р(О)с = Ql(D)в и Р2(D)с = Q2(О)в, будем называть эквивалентными, если выполнены два условия
deg Р( 5) = deg Р2( 5),
Ql(■?) _ ^2(5)
Р(5) Р2(5) .
(1)
(2)
В [1] указаны типы моделей, состоящих из двух амортизаторов и двух пружин, таких, что для каждой модели одного типа существует эквивалентная ей модель другого типа.
Заметим, что вопрос эквивалентности моделей представляет не только теоретический интерес, но имеет также и практическое значение, так как используемые в известных программных средствах модели не всегда соответствуют физическим представлениям пользователей этих средств.
Цель и постановка задачи
Рассмотрим два типа моделей, схемы которых приведены соответственно на рис. 1 и 2.
Р11
Р12
к к
Л12ЛП _ и
-- Лл
к11 + к12
р11 = р21(к21 + к22 ) к11 к21к22
(6)
РІ1
Р21
к11 + к12 к22
-І- І кіі 1-й элемент Кельвина
-.—І к12 2-й элемент Кельвина
Здесь и далее > 0, р^ > 0 - коэффициенты
вязкости амортизаторов и модулей пружин соответственно.
Целью настоящей публикации является доказательство (для п = 1,2) существования у каждой модели одного типа эквивалентной ей модели другого типа.
Доказательство для п = 1
Дифференциальные уравнения моделей имеют вид
[Ріі + (кц + кі2) Я]а-= [к12^(Р11 + к11^)]в ,
(3)
[ Р22 + к22 О]с =
= [О(к21к22О + Р21 (к21 + к22))]в . (4)
Модели эквиваленты, если будет верно тождество
к125( Ріі + к115) _
Р11 + (к11 + к12) 5 _ 5(к21к225 + Р21 (к21 + к22 )) Р21 + к225
(5)
Ріп
^1 к1п п -й элемент Кельвина
-І- I к1(п+1) вязкий элемент
Рис. 1. Обобщенная модель Кельвина
Р21 к21
г^\ЛЛЛ—[н—і 1-й элемент Максвелла
Р22 к22
^ААЛЛ—Е-
Р2п к2п
-ЛАЛНР
к2(п+1)
£■
2-й элемент Максвелла
п -й элемент Максвелла
вязкии элемент
Рис. 2. Обобщенная модель Максвелла
Выполнение тождества (5) равносильно вы- Система (6) однозначно разрешима, как от-
полнению системы равенств носительно параметров первой модели
к,, - ^ + ^ > 0, к,, - к,, + к2! > 0,
к22
Р„ -Р21(к21 + 2к22)2 >0,
Р11 (к22)2
так и относительно параметров второй модели
к21 -
к к п~ ч2 к11к12 > 0 к > 0, к22
к11 + к12
11к12 >0, Кп - (к12) >0,
к11 + к1
Р21 -
Р11 (к12 ) (к11 + к12)
> 0 .
Таким образом, для п -1 доказано следующее утверждение.
Утверждение 1. Для любой модели одного типа существует, и притом единственная, эквивалентная модель другого типа.
Доказательство для п = 2
Введем такое определение: модель первого (второго) типа будем называть кратной, если
выполнено условие
Рл - Р12 к11 к12
(
\
Р21 - Р22
к к
V к21 к22 у
И
некратной - в противном случае.
Для кратной и некратной моделей первого типа дифференциальные уравнения соответственно имеют вид
[кПк12^ + (к13 (к11 + к12) + к11к12)О]с =
= [к„к12к1зО(Я + О)]в , (7)
где Я-^-^,
к к
к11 к12
[к13О(( р11 + р12) + (к11 + к12) О) +
+(Рп + к„О)( Р12 + к12 О)]с = (8)
= [к13О(р11 + к11О)(р12 + к12О)]в .
Для кратной и некратной моделей второго типа дифференциальные уравнения соответственно имеют вид
[ц + О]с =
= [((р21 + р22 + к2зМ) + к23О)О]в , (9)
Р21 Р22 где Ц = к^ =
к21 к22
[(р 21 + к21О)( р22 + к22О)]с =
= [к23О(р21 + к21О)(р22 + к22О) + (10)
+р21к21О(р22 + к22О) + р22к22О(р21 + к21О)]в .
Замечание 1. Если поменять местами какие-то элементы Кельвина, то соответствующее дифференциальное уравнение не изменится, поэтому в дальнейшем такие модели отождествляются. Аналогичное утверждение верно и для модели второго типа.
Покажем, что справедливо следующее утверждение.
Утверждение 2. Для каждой кратной модели одного типа существует эквивалентная ей кратная модель другого типа.
Действительно, кратные модели первого и второго типов эквиваленты, если верно тождество
кпк12к135(А,+ 5) _
кик12\, + (к1з(ки+ ки) + кпки) 5
_ ((Р21 + Р22 + к2зМ') + к235)5 Ц + 5
которое равносильно выполнению системы равенств
к11к12к1
— - к. к13(к11 + к12) + к11к12
Я - Р21 + Р22 + к23^ к :
(11)
к11к12Я
к1з(кп + к„) + кцку
- = ц.
Система (11) разрешима относительно параметров первой модели; более того, она имеет бесчисленное множество решений, которое можно записать так:
к = р21 + р22 + к23Ц > 0
13 Ц ,
Я - Р21 + Р22 + к23^ > 0
к
г ±
к - -т11, 12 _
(
г — 4к,
к23^
Р 21 + Р22
//
2
> 0.
где произвольное число г удовлетворяет не-
(
равенству г > 4к2
к2зЦ
Л
Р21 + Р22
Аналогично система (11) разрешима относительно параметров второй модели и множество решений можно записать так:
к -т23 _
к к к
Л11Л12Л13
к1з(кц + к12) + к11к12 к11к12А
> 0,
р22 —
к13(к11 + к12) + к11к12
Я(к1з) кцк12(к11 + к12)
(к13 (кц + к12) + к11к12 )
где произвольное число г удовлетворяет не-
А/к^) к11к17(к11 + к17) равенству 0 < г < 4 13/ 11 т 11---.
(к13(к11 + к12) + к11к12)
Утверждение доказано.
Теперь рассмотрим некратные модели. В этом случае будет справедливо следующее утверждение.
Утверждение 3. Для любой некратной модели одного типа существует, и притом единственная, эквивалентная некратная модель другого типа.
Действительно, модели первого и второго типов будут эквивалентны, если верно тождество
[кв-К Р11 + к„5)( Р12 + к^)]:
: [ к13-(( Р11 + Р12) + (ки + к12» +
+(Р11 + кп-)(Р12 + к^)]^ (12)
= [ к23-( Р21 + к21-)( Р22 + к22-) +
+Р21к21-( Р22 + к 22-) + Р22к22-(Р21 + к21-)]:
:[( Р21 + к21-)(Р22 + к22-)],
которое равносильно выполнению системы равенств
к к к
Л11Л12Л13
- — к
23
к13 (к11 + к12) + к11к12
к13 — к21 + к22 + к23,
Р11 ^ Р12 _ Р21 I Р22 I Р21 + Р22
к11 к12 к21 к22
(13)
23
к13(р11 + Р12) + Р11к12 + Р12к11 Р21 * Р22
к21 к22
к13(к11 + к12) + к11к12
__________Р11Р12___________— р21р22
к13(к11 + к12) + к11к12 к21к22
Проверим, что для модели первого типа существует эквивалентная ей модель второго типа.
Обозначим
Ь — Р21 + Р22 + Р21 + Р22
к21 к22
23
^ — ь2 — 4р21р22(к21 + к22 + к23) _
к21к22 к23
— [ Р2. — Р22) + ^ ^ ^
V к23 к21 к22 у
4 Р21Р22
(к23)2
> 0,
г —
2'
(к22) Р21 + (к21) Р22 к21к22(к21 + к22) к23 (к21 + к22 + к23 )
к21 + к22
Система (13) имеет относительно параметров первой модели два решения.
Первое решение
£ — к > к12 — ,
а1 — г 12 г 2
1к — 2к + к22 + к23 ,
а^у[ё а2
Р11 — 1 : . Р12 — 2
а1 — г 12 г 2
Второе решение
£ — к 1к — ^1
г — 2 а1 — г
21 к — 3 + к22 + к23 ,
а а
Р11 — 2 , Р12 — 1
11 г — 2 а1 — г
Остается проверить, что все компоненты решений положительны. Это будет верно, если выполняется система неравенств
[а1 - г > 0, [г -а2 > 0.
(14)
Легко видеть, что система (14) равносильна неравенству
(2г - Ъ)2 < й,
(15)
разность между левой и правой частями которого можно преобразовать к виду
к21к22(к21 + к22 + к23)
(к21 + к22) к23
2
Р 21 — Р22
к к
V к21 к22
< 0.
Также заметим, что полученные два решения соответствуют одной модели (см. замечание 1).
Аналогично проверим, что для каждой модели второго типа существует эквивалентная модель первого типа.
Обозначим
В _
к13(р11 + р12) + Р11к12 + Р12к11
к1з(кц + к12) + кцкг
В _ В2 —
4 Р11Р12
к13(к11 + к12) + к11к12 _ [(к13 (Р11 — Р12) + (Р11к12 — Р12к11)) + |_4(к13) Р11Р12 ] • [(к13(к11 + к12) + к11к12) ]> 0,
Р1 = 2(в +ТВ)> 0, Р2 = 2 (в —ТВ)> 0,
2
Р12 (к11 ) + Р11 (к12 )
(к11 + к12)(к13(кц + к12) + к11к12)
к13 (к11 + к12) + к11к12
Ж = -
(к13) (к11 + к12)
Система (13) имеет относительно параметров второй модели два решения.
Первое решение
к _ Р2 к _ Д к21 _ ж^/В’ к22 _ Гл/В
к _
к23 _
к11к12к1
13
к13(к11 + к12) + к11к12
Р Р1( д—Р2) Р Р2(Р1 — Д)
ж4В> ’ Р22 ж4в '
Второе решение
к _р1 — Д к _ ^2 к21 Ж^В ’ к22 Жл/В
к _
к23
к11к12к1
13
к13(к11 + к12) + к11к12
Р — Р^ф^Д) Р Р1( Я—Р2)
Р21— • Р22—
Остается проверить, что все компоненты решений положительны. Это будет верно, если выполняется система неравенств
ГР1 — Д > 0,
ІД—Р2 > 0.
Система (16) равносильна неравенству
(2Д — В)2 < В ,
(16)
(17)
разность между левой и правой частями которого равна
(
—4(кп)2(к12)2
2
ж — Р12
к к
к11 к12 У
х(к13(к11 + к12) + к11к12) < 0 .
Также заметим, что полученные два решения соответствуют одной модели (см. замечание 1).
Утверждение доказано.
Выводы
Таким образом, для рассмотренных типов реологических моделей в случае п — 1 и п — 2 доказано, что для модели одного типа существует эквивалентная модель другого типа. Полученный результат позволяет предположить, что это утверждение верно и при любом п.
Литература
1. Бленд Д. Теория линейной вязко-упру-гости / Д. Бленд. - М.: Мир, 1965. -200 с.
Рецензент: В.В. Филиппов, профессор, д.т.н., ХНАДУ.
Статья поступила в редакцию 23 января 2013 г.
