CC BY
256
УДК 620.178.3
А. К. Ефремов
ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ИСПЫТАНИЙ НА ВОЗДЕЙСТВИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВИБРАЦИИ
Рассмотрена возможность замены широкополосной случайной стационарной вибрации последовательностью узкополосных воздействий. Показано, что одним из критериев эквивалентности при испытаниях на вибропрочность может быть энергия до разрушения объекта, однозначно определяемая при случайном и детерминированном воздействиях. Приведены результаты теоретического и экспериментального исследований и компьютерного моделирования.
E-mail: [email protected]
Ключевые слова: испытания, случайная вибрация, реакция объекта, критерий эквивалентности.
В практике испытаний изделий на механические воздействия весьма актуален вопрос об обосновании возможности проведения так называемых эквивалентных испытаний. Необходимость в этом возникает, если по каким-либо причинами (чаще всего обусловленным ограниченностью эксплуатационных характеристик имеющегося оборудования) не удается полностью воспроизвести параметры заданных реальных воздействий. В этом случае их заменяют доступными, но при условии одинаковости реакции объекта испытаний в том или ином смысле в обоих случаях. Задача, связанная с выбором количественного критерия эквивалентности условий испытаний, предполагает использование адекватных математических моделей воздействия и объекта испытаний, чтобы теоретически исследовать реакцию (отклик) последнего на заданные воздействия. Общая теория эквивалентных испытаний до сих пор не разработана, обычно рассматривается общая постановка задачи и приводятся частные примеры возможного ее решения [1-3].
В качестве критерия эквивалентности необходимо выбрать тот или иной конечный (интегральный) параметр реакции объекта испытаний. Например, в работе [4] показано, что, используя неоднозначность ударного спектра реакции объекта, можно обеспечить равенство максимального уровня реакции (в виде деформации или смещения) при воздействии импульса меньшей длительности, чем реальный, что дает большой эффект по энергетике испытательного оборудования. Это равенство может быть обеспечено также путем подбора стендовых параметров воздействия заданной формы. При таком подходе следует учитывать неодинаковость развития реакции объекта во времени. Классической считается задача об эквивалентности стационарной узкополосной случайной, и детерминированной вибрации, постоянной
или переменной (качающейся) в узком диапазоне частоты, однако при установлении условий эквивалентности приравниваются параметры воздействия, имеющие разную феноменологическую природу (например, амплитуда и среднеквадратическое отклонение), к тому же без учета реакции объекта.
Испытание на виброустойчивость. Рассмотрим сначала возможность решения этой задачи путем замены широкополосной вибрации последовательностью узкополосных воздействий. Количественно стационарный случайный процесс X (t) описывают известной парой интегральных преобразований Винера-Хинчина [5]:
сю сю
Kx (т) = J Sx (ш) е)штд,ш = 2 J Sx (ш) cos (шт)
-с 0
сю сю
Sx (ш) = 2П / Kx (т) dT = 1J Kx (т) cos (шт) д,т,
-с 0
где Kx (т) — корреляционная функция; Sx (ш) — спектральная плотность. С практической точки зрения удобнее пользоваться частотой f, измеряемой в герцах, тогда получим
сю
Kx (т) = 2п J Sx (ш) df =
-с
сю сю
= J Sx (f) ejXnfTdf = 2 J Sx (f) cos (2nfт) df, (1)
-с 0
где
сю сю
Sx (f) = 2nSx (ш) = J Kx (т) e-j2nfTdт = 2 j Kx (т) cos (2ж^) dт.
-с 0
При этом дисперсия, являющаяся мерой мощности процесса, согласно (1) равна
сю
Dx = a2x = Kx (0) = 2 J Sx (f) df, (2)
0
где ax — среднеквадратическое отклонение (СКО).
На практике исходную спектральную плотность чаще всего задают в положительной области частот, т.е. в виде зависимости 2Sx (f). При ограничении длительности реализации процесса и рассматриваемого частотного диапазона в приведенных формулах указываются конкрет-
ные пределы интегрирования. Так, если спектральная плотность задана в пределах диапазона, ограниченного частотой среза /с, то при разбиении этого интервала на п поддиапазонов одинаковой ширины 8/ с учетом (2) можно записать
• п п
Бх = 2 Бх (/) / = 2 ^ Бх (/) d/ = ^ Бхг,
I г=1 г=1
где
/г
fi+Sf
Dxt = a2xt = Kxl (0) = 2 J Sx (f) df = 2Sxi8f (3)
fi
— парциальная дисперсия. Отсюда формально следует, что дисперсия исходного воздействия равна сумме дисперсий составляющих, заданных в пределах поддиапазонов, и оба варианта должны быть эквивалентными с точки зрения суммарной реакции объекта испытаний. Однако это будет справедливо, лишь если все полосовые воздействия, например вырезаемые из белого шума, будут поступать на вход исследуемого объекта одновременно.
Представим входное центрированное случайное воздействие в виде канонического разложения В.С.Пугачева [5, 6]:
X (t) = X (t) - mx (t) = Y УгРг (t) ,
где уг — случайные некоррелированные коэффициенты с математическими ожиданиями, равными нулю; рг (t) — детерминированные (координатные) функции; mx (t) — математическое ожидание. Каноническое разложение корреляционной функций такого процесса имеет вид
Kx (tl,t2) = ^2 Di^i (tl) Рг (t2) ,
где Di — дисперсии коэффициентов уг, а дисперсия процесса при
tl = t2 = t
Dx (t) = Y Dip2 (t).
Как известно, в каноническом разложении стационарного случайного процесса фигурируют гармонические функции времени с частотами, кратными п/T (T — длительность реализации), и в этом случае Dx = Di = const. При подаче такого процесса на вход линейной системы с оператором W реакция
Y (t) = W^Xj = Y (t)=J2 VW {Рг (t)} = E Уг^г (t) (4)
также будет представлена в виде канонического разложения по но-
вым координатным функциям ф^ (г). Если входное воздействие — это последовательность процессов равной длительности Т, то его можно представить в виде
X (г) = Е X (г - Т) = ЕЕ «у т (* - Т),
где Ту = (] — 1) Т. Тогда на выходе получим
У (г) = Е Уу (г — т3) = ЕЕ «у Фу (г — Ту). (5)
Этот процесс будет иметь весьма сложную структуру: он состоит из переходных колебаний, возбуждаемых сдвинутыми во времени воздействиями ограниченной длительности (Ту < г < Ту + Т), и постепенно затухающих во времени (если система устойчива) и установившихся
о
колебаний. Однако У (г) в общем случае нельзя считать стационарным процессом, этот факт отмечается в работе [7], где анализируется реакция линейной системы на воздействие нескольких случайных стационарных воздействий; приведенную там формулу для дисперсии реакции (см. [7], формула (5.553)) в рассматриваемом случае можно представить в виде
t t
Dy (t) = ЕЕ/ 9i (Tl) I g3 (T2) KXiXj (T2 - Tl) dr2
drl,
где д (г) - импульсная переходная функция системы. Очевидно, что эквивалентность воздействия в данном случае может быть обеспечена при равенстве (или допустимом отличии) каких-либо характеристик реакции объекта, определяемых по формулам (4) и (5) соответственно. Для такого сравнения необходима адекватная математическая модель объекта испытаний, поскольку количественная оценка реакции возможна, если известна передаточная функция (комплексный коэффициент передачи) системы либо импульсная переходная функция, которая может быть определена только экспериментально. Поэтому задача обоснования количественного критерия эквивалентности при таком воздействии становится практически неразрешимой.
Следует отметить, что именно такая задача возникла на практике. На предприятии ОАО "Импульс" в связи с организацией испытаний одного из изделий на воздействие случайной квазистационарной вибрации с заданной (широкополосной) спектральной плотностью. Из-за отсутствия технической возможности формирования такого воздействия предлагалось заменить его последовательностью узкополосных случайных вибрационных воздействий, имеющих ограниченную длительность. Заданный заказчиком закон спектральной плотности в виде 2БХ ) представлен в табл. 1, а программа воспроизведения его при
Таблица 1
Квазистационарная высокочастотная случайная вибрация
Поддиапазоны частот, Гц Спектральная плотность виброускорения Бх, д2/Гц
20. . 50 0,08.. .0,2
50.. . 100 0,2... 0,4
100. . 200 0,4
200. . 500 0,4. ..0,16
500.. . 1000 0,16. ..0,08
1000. . . 2000 0,08... 0,04
Примечание. Общая продолжительность действия 600 с.
Таблица 2
Результаты испытаний изделий на воздействие случайной вибрации
Поддиапазоны частот, Гц Спектральная плотность ускорения Бх, д2/Гц Среднеквадратическое значение ускорения <гх, д
20. . . 30 0,08 0,9
30. . 50 0,2 2,0
50. . . 70 0,2 2,0
70.. . 100 0,4 3,46
100. . 250 0,4 4,47 (3)
250. . . 300 0,32 4,0
300. . . 350 0,3 3,9
350. . .400 0,25 3,5
400. . .450 0,2 3,16
450. . . 550 0,16 2,83 (2)
550. . .600 0,14 2,65
600. . .650 0,12 2,45
650. . . 700 0,11 2,35
700. . . 800 0,10 3,16
800.. . 1400 0,08 2,82 (6)
1400. . . 1700 0,06 2,45 (3)
1700. . 2000 0,04 2,0 (3)
Примечание. Длительность вибрации в каждом поддиапазоне около 20 с; в скобках указано число равных частотных интервалов в поддиапазоне при постоянстве уровня спектральной плотности.
испытаниях — в табл. 2. Весь частотный диапазон разбит на узкополосные поддиапазоны, и на вход объекта следовало подавать соответствующие вибрации продолжительностью Т « 20 с. Приведенные в табл. 2 среднеквадра-тические значения ускорения рассчитывались по формуле (3):
= у/Щ^.
Рис. 1. Графики спектральной плотности (1 и 2 — см. табл. 1 и 2)
Табличные данные были обработаны в среде математического компьютерного пакета МаШСАЭ, построение графиков спектральных плотностей проводилось путем усреднения значений в пределах заданных частотных диапазонов. Эти графики практически совпадают, что наглядно видно при их совмещении на рис. 1, где цифрами 1 и 2 отмечены данные, относящиеся к табл. 1 и 2 соответственно.
Согласно зависимости (1) можно записать
fc
Kx (т) = 2 J Sx (f) cos (2nfT) df, 0
(6)
где /с = 2000 Гц — частота среза. Для вычисления данного интеграла необходимо ввести некоторую аналитическую аппроксимацию зависимости 2Б Х (/). Сначала преобразуем подынтегральное выражение:
Sx (f) =
2Sx (f) i2Sx (f )]m
f= f f fo'
где /0 — частота, соответствующая максимуму заданной спектральной плотности. Как следует из данных табл. 1, /0 ~ 200 Гц и соответственно /С ~ 10. В результате формула (6) преобразуется следующим образом:
Kx (т) =
Kx (т)
[2Sx (f)] _ f0
fc
I S (f) cos {2nfof T) df
fc
IS (f) cos (af т) df ,
где а = 2п/0 • 10 3,мс 1. Данный подход упрощает вычисления, поскольку используются нормированные (безразмерные) величины, за
Рис. 2. Интерполяция кубическими Рис. 3. Нормированная корреляционная сплайнами функция
исключением т. Размерность т сохранена для определения интервала корреляции из условия Кх (т0) = 0. Известно, чтобы статистические свойства стационарного случайного процесса были близки к истинным, длительность реализации должна не менее чем в 3-4 раза превышать т0. Последующие вычисления вновь организуем в среде Ма&САБ, воспользовавшись методом интерполяции кубическими сплайнами (рис. 2). На рис. 3 представлена нормированная корреляционная функция. Видно, что интервал корреляции т0 « 1 мс, т.е. длительность реализации при испытаниях должна быть не менее 3... 4 мс; очевидно, что это требование на практике заведомо будет выполнено.
Представим для наглядности объект испытаний в виде простейшего одномерного осциллятора (колебательной системы с одной степенью свободы), описываемого известным уравнением
X
- + 2Л- + ^х = дк и,
где х — реакция (отклик) объекта (для механической системы это смещение или деформация); 2Н — коэффициент демпфирования; ^ = 2пЕ0 — круговая частота собственных колебаний; ^ — доминирующая собственная частота; к (£) — закон внешнего воздействия в виде перегрузки. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) такой системы имеет вид
А (и) = ^ (зи)| = 9
уЧ^2 - и2)2 + (2Н)2 и2
где W (зи) — комплексный коэффициент передачи системы. Из теории преобразования стационарных сигналов линейными системами известно, что спектральные плотности реакции X и входного воздействия У связаны соотношением
Бх (и ) = Бу (и) А2 (и),
т.е. дисперсия реакции
Шс
Бх = а2х = I Бу (ш) А2 (ш) дш. (7)
о
Пусть заданная спектральная плотность Бу (ш) разбита на поддиапазоны и при испытаниях воспроизводится лишь соответствующий узкополосный случайный процесс с усредненной в пределах ¿-го поддиапазона спектральной плотностью Буг, причем можно считать, особенно при относительно узкой ширине поддиапазона, что Б^ = Б (ш¿). Тогда дисперсия соответствующей реакции системы будет равна
шг+дш шг+5ш
Вхг = о-2Х1 = J Бх (ш) дш ^ Бу^ А2 (ш) дш.
Шг Шг
Отсюда видно, что полосовая спектральная плотность как бы вырезает площади определенных участков квадрата АЧХ системы.
Таким образом, поставленная задача в рассмотренном случае сводится к сравнению полной дисперсии реакции, определяемой по формуле (7), со значениями и соответствующими СКО: ах = \/Д. и ахл = \/Д„. При этом очевидно, что большое значение будет иметь собственная (резонансная) частота объекта по отношению к частоте среза /с. Для исключения размерных величин преобразуем выражение (7) следующим образом:
/с
Бх = 2п/о (Бу)тах Ж2 (0)1 Бу (/) Ж2 (/) д/~ ,
о
где Ж (0) = д/ш02 — статическая АЧХ объекта;
Ж т Ж (ш) _1_ 2Н /о
= ^т = ^= -2 , ' е =п> в = к
W (0)
^[l - (ßf)2]2 + (eßf)
Таким образом, из выражения (7) получим
Вх=*= =1Б-(/) (/) д/, (8)
о
а для ¿-го полосового воздействия
/г +/
Вхг = ^ = БуЪ I [Ж (Г)]2д/.
/г
Принимаем для конкретности значения г = 0,1 и в = 0,25 (т.е. Fo = 4fo = 800 Гц), АЧХ при таких параметрах будет иметь четко выраженный резонансный пик. На рис. 4 представлены зависимости axi (f) при трех значениях ширины частотных поддиапазонов: 50, 100 и 200 Гц, что соответствует Sf = 0,025; 0,05; 0,1. Следует отметить, что практически совпадающие результаты получаются и при усреднении АЧХ в пределах ширины поддиапазона, особенно при размытом резонансном пике, т.е. на практике вполне приемлемо следующее выражение для дисперсии реакции на узкополосное воздействие:
Dxi = = Syi (Wi )2 Sf ,
где можно принять Wi = [W (f) + W (fi + Sf] /2. Расчет по зависимости (8) дает следующий результат: Dx = 15,56; ax = 3,945. Эквивалентными заданное широкополосное воздействие и совокупность узкополосных воздействий можно, очевидно, считать только в том случае, если последние поступают на вход объекта одновременно. При подаче их на вход с временным сдвигом эквивалентность не может быть обеспечена. В связи с этим возможна следующая, несколько искусственная, постановка задачи испытания. Если характерная (доминирующая) резонансная частота объекта известна, то в качестве эквивалентного полосового воздействия можно использовать такое, средняя частота спектральной плотности которого близка к резонансной частоте объекта, а уровень должен быть выбран с таким расчетом, чтобы СКО соответствовало случаю возбуждения широкополосным воздействием. При этом энергоемкость эквивалентного воздействия может оказаться соизмеримой с энергоемкостью реального воздействия. Следует также учитывать, что законы изменения соответствующих (эквивалентных по СКО) узко- и широкополосного воздействий во времени будут в среднем различны.
Корреляционные функции реакции на широкополосное и узкополосное воздействия имеют вид
/с
KKx (т) = J Sy (f) W2 (f) cos (af т) df ; o
fi+Sf
Kxl (т) = S
yi
W2 (f) cos (а/т) df .
fi
Если во втором выражении заменить Ж2 (/) его средним значением, то полосовая корреляционная функция будет пропорциональна интегралу
fi+Sf
соэ (а/т) d/ =
fi
= ц/, + f
а
соэ
(f)
т
Э1П
а
f + f Ji + 2
т
а
т
fi + f
а (f) т sin (а/т)
2/ соэ
2
af ij
т.е. корреляционная функция представляет собой относительно высо-
кочастотную функцию типа
Э1П X
с низкочастотной огибающей.
Испытания на вибропрочность. Основные результаты исследования закономерностей усталостного разрушения достаточно полно обобщены, например в работах [8-10]. Наиболее распространен подход, основанный на использовании кривых (линий) Велера, устанавливающих зависимость напряжения разрушения от числа циклов изменения нагрузки. Усталостные свойства различных материалов определяют при использовании стандартных образцов. Согласно теории линейного накопления усталостных повреждений (гипотеза Майнера), условие появления трещин записывается в виде
п (ак)
S = £
> 1,
(9)
N (ак)
где п — число циклов при амплитуде напряжения ак; N — число циклов, соответствующих моменту возникновения трещин при той же амплитуде напряжения. Известные экспериментальные данные не опровергают правило линейного суммирования как статистическую гипотезу [8]. Рассматривая проблему установления условий эквивалентности нагружения конструкции в реальных и лабораториях условиях, авторы работы [2] связывают действующие напряжения и ускорения линейной зависимостью и ориентируются на резонансную частоту /0 конструкции, представленной в виде колебательной системы с одной степенью свободы. В этой работе исходными также являются кривые Велера и линейный закон накопления повреждений. В работе [10] при установлении эквивалентности предлагается заменять дей-
2
ствительное усталостное повреждение при случайном процессе нагру-жения (пренебрегая реализационным рассеянием) средним значением и считать его детерминированным.
Указанные подходы не позволяют решить основную инженерную задачу — прогнозировать вибропрочность конструкции в реальных условиях ее эксплуатации. Недостатки этих подходов сводятся в основном к следующему:
— результаты испытаний стандартных образцов в большинстве случаев невозможно распространить на реальные конструкции;
— кривые Велера не учитывают частоту возмущения, а имеющиеся сведения о влиянии частоты нагрузки на усталостную прочность крайне недостаточны;
— основной характеристикой усталостной прочности является напряженное состояние образца, однако взаимосвязь между амплитудами напряжения и ускорения может быть установлена не всегда, что также затрудняет пересчет на реальные условия эксплуатации конструкции. Я.Б. Фридман, отмечая повышение усталостной прочности в области малых и средних частот, связывает это явление с увеличением скорости деформирования и нагружения по мере возрастания частоты [11].
Иной подход к оценке вибропрочности конструкции можно обосновать следующим образом. Любую конструкцию с этой точки зрения можно охарактеризовать некоторым пороговым (критическим) состоянием. Разрушение (выход из строя) конструкции происходит в том случае, если при циклически изменяющемся воздействии параметры указанного порогового состояния будут превышены в результате накопления остаточных (усталостных) эффектов. Таким образом, решающим является не механизм развития этих эффектов, а сам факт выхода конструкции из строя. Такую модель усталостного разрушения называют феноменологической: мера повреждения V (0 < V < 1) вводится аксиоматически. Обычно считают, что мера подчиняется кинетическому уравнению
Ж = / Б).
где Б (I) — характеристика нагрузки. Задачи оценки усталостной прочности можно также решить с помощью теории надежности (кумулятивная модель отказов) и выбросов (минимальное время выхода вектора V за пределы заданной области П) [8].
Момент разрушения зависит от параметров воздействия и свойств системы. Следовательно, задача сводится к выбору такого критерия, который объединял бы характеристики воздействия и конструкции независимо от их специфических особенностей. Единственно возможным в этом смысле является энергетический критерий, включающий
в себя энергию воздействия до разрушения конструкции Э. Последняя же определяется однозначно при воздействии а (Ь) любого вида и известном времени до разрушения (долговечности) Тр. Действительно, при детерминированном воздействии
Тр
Э = J а2 (Ь) дЬ,
о
а при полигармоническом (периодическом)
Э = а2 (Ь)Тр,
Т
_ 1 г ^
где а2 (Ь) = — а2 (Ь) дЬ = ^ (с2к/2) — средняя (за период Т) мощ-
о 2=1
ность воздействия, а с2 — амплитуда к-й гармоники. Очевидно, что число циклов изменения воздействия до разрушения N = /1Тр, где /1 = 1/Т — частота основной гармоники. При нестационарном случайном воздействии
тР
Э = у В (Ь) дЬ.
о
Наконец, при стационарном возмущении (дисперсия как мера мощности процесса постоянна)
Э = БТр.
Следовательно, энергия до разрушения может служить обобщенной характеристикой порогового состояния конструкции, она определяется однозначно при любом характере воздействия и интегрально учитывает все специфические особенности как воздействия, так и конструкции и, следовательно, дает косвенное описание напряженного состояния. Отсюда же следует и вывод о принципиальной возможности обоснования эквивалентных условий нагружения конструкции. Критерием усталостной прочности может быть некоторый комплекс, зависящий от Э, количественные значения которого должны быть инвариантными для нагрузок различного вида при выполнении соответствующих условий. Выявление структуры такого критерия представляет собой весьма сложную задачу. Значение Э при прочих равных условиях многократных опытов будет неизбежно иметь разброс, расчетным может быть среднее или наивероятнейшее значение.
Очень важен вопрос о влиянии спектральных особенностей воздействия. Например, при стационарном воздействии время до разрушения Тр будет существенно зависеть (при одинаковой дисперсии) от структуры спектральной плотности Б (ш). Ее специфические особен-
ности могут быть охарактеризованы с помощью спектрокорреляцион-ной функции (СКФ) [12]
сю сю
фх (Дш) = У Бх (ш - Дш) Бх (ш) Лш = 2л/ (т) в-^АштЛт;
-с -с
СКФ соответствует интегральное преобразование
сю
кХ (т) = I ф (Дш) еААш)тЛ (Дш).
-с
Показано, что СКФ улавливает достаточно тонкие различия в форме Бх (ш) для процессов, имеющих одинаковую дисперсию.
Энергетический подход позволяет преобразовать некоторые из известных соотношений в теории усталостной прочности. Например, закон линейного накопления повреждений (9) можно представить в виде
tk /к Эк
s = £
k 2fkЭ(Д) ^ 2ЭД) ^ Э(Д)'
где Эк — энергия воздействия длительностью tk; Э (fk) — энергия разрушения на частоте fk.
В работе О.Ф.Трофимова [13] дана количественная оценка накопления повреждений, основанная на сопоставлении энергетической структуры случайных процессов:
гт! 3/2 I-
Jpm2 m m2 p 2 = TJ — = const, (10)
m4/2 TpV m4
сю
где тк = J шкБ (ш) Лш — моменты спектральной плотности. С учетом
0
того, что
сю сю
Ш2 = У ш2Б (ш) Лш = -к" (0), Ш4 = I ш4Б (ш) Лш = (0), 00 выражение (10) можно представить в виде
^- Щ3=соп84-
Предлагаемая оценка накладывает определенные ограничения на вид корреляционной функции, которая, в частности, должна быть четырежды дифференцируемой в начале координат. Этому условию, как известно, удовлетворяют процессы достаточно узкого класса.
Если ввести нормированную по дисперсии корреляционную функцию
р (т) = к (т) /Б, то к" (0) = Бр" (0) и к1У = Бр1У (0); тогда
[k" (0)]3 kIV (0)
= 2 DTp • 2
[р" (0)]3 PIV (0)
= 2Э -
[р" (0)]3 PIV (0)
= const.
(11)
Видно, что энергия разрушения непосредственно входит в этот комплекс, в принципе являющийся разновидностью критерия усталостной прочности при стационарном случайном воздействии. Если принять р (т) = exp (-в2т), то р" (0) = -2в2 и р" (0) = 12в4и соответственно
' Р (0)]3 = в /2 pIV (0) PV з,
а критерий (11) приобретает вид Эв = const. Адекватность соотношений подобного типа должна быть подтверждена экспериментально.
Некоторые предварительные данные получены в процессе исследования усталостной прочности специальных образцов при гармоническом воздействии. Чувствительными элементами образцов были резисторы типа МЛТ-2 в специальных сборках — они закреплялись на платах по несколько штук и включались в индикаторную электрическую схему. Признаком выхода из строя является усталостное разрушение одного из выводов резистора — при этом фиксируется время от начала нагружения до разрушения Tp. В опытах определяли зависимость между Tp и параметрами гармонического возмущения — частотой f и амплитудой ускорения на столе вибро стенда am. Число циклов нагрузки до усталостного разрушения образца N = fTp. В табл. 3 приведены результаты обработки данных, соответствующих амплитуде виброускорения am = 17,5g: mT = (Tp) — математическое ожидание Tp; — дисперсия Tp; Э = ^ (Tp)H
— наивероятнейшее значение энергии разрушения. Значения коэффициента вариации ат/mT, приведенные в табл.3, близки к значению,
Таблица 3
Результаты обработки данных испытаний на вибропрочность
f, Гц mT, с 2 aT, с2 aT, с aT /mT (Tp)j, с Э, с
100 601 8,29 • 104 289 0,480 481 7,36 • 10
150 236 1, 495 • 104 122 0,517 189 2, 89 • 10
175 320 2, 94 104 171 0,534 256 3, 92 • 10
200 1003 18,1 104 425 0,423 802 12, 2 • 10
p
4
которое характерно для закона распределения Рэлея [5]:
а 4
- = \ - - 1 = 0,522. т V п
В качестве наивероятнейшего принято значение Тр, соответствующее максимуму этого закона, т.е.
(Тр )н 12
mT
= 0,8.
Кривые (Тр)н (/) имеют четко выраженный минимум в районе резонансной частоты образца (150 Гц), что наглядно видно на рис. 5. На фиксированной частоте, но при различных виброускорениях значения Тр значительно различаются (на резонансе примерно в 2 раза). Для проверки приемлемости энергетического подхода указанные кривые были пересчитаны в зависимость Э (/). Полученные при этом точки оказались достаточно близкими, что позволило построить единую (усредненную) кривую, показанную на рис. 6. Разброс расчетных точек на частоте 150 Гц составляет ±17 %.
Таким образом, даже на основе этих ограниченных данных можно сделать вывод о том, что энергия воздействия до разрушения, по крайней мере при гармоническом законе, действительно инвариантна на данной частоте и поэтому может быть использована при формировании критерия усталостной прочности. Внешним признаком такой возможности является стягивание кривых Тр (/) в единую кривую Э (/). Этот факт позволяет оценить ожидаемую долговечность при заданном значении действующего ускорения ат или по требуемой долговечности найти допустимое значение виброускорения.
Еще большие перспективы могут быть в том случае, если для однотипных по конфигурации образцов нормированные по Эт\п и /0
Рис. 5. Время до разрушения:
1 - аш = 17,5д; 2 - аш = 10д
Рис. 6. Усредненная зависимость Э (/)
кривые будут либо совпадать, либо несущественно различаться в пределах рабочего диапазона частот. Если построить зависимость Э / ЭШщ от Л = / //0, то при совпадении нормированных кривых достаточно будет, определив резонансную частоту испытуемого образца, экспериментально оценить длительность воздействия до разрушения на этой частоте. Значение воздействия может быть произвольным (с учетом инвариантности энергии до разрушения), но не должно, очевидно, быть меньше того, которое соответствует пределу выносливости а-1. Обозначим это значение (ат)_ 1 (не исключено, что оно зависит от частоты виброускорения), найдем его, используя выражение для нормированной средней линии Велера, несколько преобразовав его:
(ат ) — 1
2 • 106\ 1/2
N
а также воспользовавшись имеющимися экспериментальными данными. В описанных опытах на резонансной частоте 150 Гц (ат)_ 1 оказывается равным 6,4д и 10,3д. Различие можно, по-видимому, объяснить нелинейностью зависимости между амплитудами напряжений на выводах испытуемого образца и действующего ускорения.
Таким образом, на основе энергетического подхода можно интегрально описать свойства воздействия и конструкции, если абстрагироваться от напряженного состояния (учитываемого косвенно). Конкретный вид критериев усталостной прочности зависит от специфических особенностей конструкции и воздействия и может быть научно обоснован лишь при накоплении достаточного объема экспериментальных данных.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Случайные колебания / Ред. С. Крендалл. - М.: Мир, 1967. - 356 с.
2. Овчинников И. Н., Степнев В. А. О достоверности эквивалентных испытаний на вибрацию // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. - 2010. - № 2. - С. 26-36.
3.Гладкий В. Ф. Прочность, вибрация и надежность летательных аппаратов. -М.: Наука, 1975.-456 с.
4. Инженерные методы исследования ударных процессов / Г.С. Батуев, Ю.В. Голубков, А.К. Ефремов и др. 2-е изд. - М.: Машиностроение, 1977. -240 с.
5. В е н т ц е л ь Е. С. Теория вероятностей: Учеб. для втузов. 3-е изд. -М.: Наука, 1964. - 576 с.
6. Пугачев В. С. Введение в теорию вероятностей. - М.: Наука, 1968. - 368 с.
7. Лившиц Н. А., Пугачев В. С. Вероятностный анализ систем автоматического управления. Т. 1. - М.: Сов. радио, 1963. - 896 с.
8. Б о л о т и н В. В. Случайные колебания упругих систем - М.: Наука, 1979. -336 с.
9. К о г а е в В. П. Расчеты при напряжениях, переменных во времени. (Б-ка расчетчика). - М.: Машиностроение, 1977. - 232 с.
10. Г у с е в А. С. Сопротивление усталости и живучесть конструкции при случайных нагрузках. (Б-ка расчетчика). - М. : Машиностроение, 1989 . - 248 с.
11. Фридман Я. Б. Механические свойства металлов. 3-е изд. Ч. 2. Механические испытания. Конструктивная прочность. - М.: Машиностроение, 1974.368 с.
12. Ефремов А. К. Оценка структуры спектральной плотности стационарного случайного сигнала // Изв. вузов. Машиностроение. - 1977. - № 11. - С. 34-40.
13. Статистические вопросы прочности и динамики машин: Тез. докладов Всесоюзного научно-технического совещания. - 7-9 апреля 1976. - Рига, РПИ.
Статья поступила в редакцию 16.11.2011
Альберт Константинович Ефремов родился в 1933г., окончил МВТУ им. Н.Э. Баумана в 1957 г. Канд. техн. наук, доцент кафедры "Автономные информационные и управляющие системы" МГТУ им. Н.Э. Баумана, Почетный работник высшего профессионального образования РФ. Автор около 250 научных работ в области теории проектирования электромеханических систем взрывателей, исследования и воспроизведения динамических воздействий и 17 авторских свидетельств на изобретения.
A.K. Yefremov (b. 1933) graduated from the Bauman Moscow Higher Technical School in 1957. Ph. D. (Eng.), assoc. professor of "Autonomous Information and Control Systems" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of 250 publications and 17 author's certificates for invention in the field of theory of design of electromechanical fuse systems, investigation and reproduction of dynamical actions in tests.
