CC BY
13Доказательство. Необходимость условий теоремы 3 очевидна. Докажем достаточность условий теоремы 3. Рассмотрим сколь угодно большую область H(£,<1,<2) ^ H(£,<',<2) и произвольную последовательность {zn} — £,zn Е H(£,<-!,<2). Докажем, что lim f (zn) = а. Рассмотрим сколь угодно большую
область H(£,<'/',<2 ), целиком содержащую область H(£,<'/). Через zn проведем неевклидовы перпендикуляры En к радиусу Л0 и проведем гиперциклы E'n ,E"n на неевклидовом расстоянии Q от En и гиперциклы F,n, F.n на неевклидовом расстоянии Q + 1 от En. Рассуждая так же, как в лемме 2, относительно областей H(£,<'/',<2), H(£,</,0,H(£,<'), получим три компакта K' С K" С K'". На компакте K' предельная функция F(z) = а в силу принципа максимума(или минимума), и в силу теоремы единственности гармонических функций F(z) = а на K". Отсюда следует, что lim f (zn) = а.
Замечание 2. На примере функции f (z) = arg(1 — z) легко видеть, что условие 3 в теореме 3 существенно.
Доказательство теоремы 1. Необходимость условий теоремы 1 очевидна. Для доказательства достаточности воспользуемся утверждением леммы 2, согласно которому предельное множество C(f,£, H(£, <1 ,<2)) состоит только из одного значения а. Применяя теорему 3, получим достаточность условий теоремы 1.
Доказательство теоремы 2. Учитывая (см. [5]), что нормальная гармоническая функция f(z), ограниченная сверху (или снизу) вдоль некоторой некасательной к Г в точке £ Е Г кривой Ц, будет ограничена сверху(или снизу) в любом угле H(£, , <2), и принимая во внимание утверждение теоремы 1, получим достаточность условий в теореме 2. Необходимость условий в теореме 2 очевидна.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Lehto O, Virtanen K.I. Boundary behaviour and normal meromorphic functions // Acta math. 1957. 97, N 1-2. 47-65.
2. Meek J. On Fatous points of normal subharmonic functions // Mathematica Japonica. 1977. 22, N 3. 309-314.
3. Берберян С.Л., Гаврилов В.И. Предельные множества непрерывных и гармонических функций по некасательным граничным путям // Math. Montisnigri. 1993. 1. 17-25.
4. Монтель П. Нормальные семейства функций. М.; Л.: НТЛ, 1936.
5. Берберян С.Л. О граничных свойствах субгармонических функций, порождающих нормальные семейства на подгруппах автоморфизмов единичного круга // Изв. АН АрмССР. Сер. матем. 1980. 15, № 4. 395-402.
Поступила в редакцию 28.11.2005
УДК 593.374
ОБ ЭФФЕКТЕ "УСКОРЕНИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ" В ТЕОРИИ ВЯЗКОУПРУГОСТИ
А. Б. Анисимов
В работе рассматривается частный случай определяющих соотношений нелинейной теории вязко-упругости Победри и показывается их применимость к задаче описания разупрочнения материалов при пульсирующем нагружении.
1. Самой общей формой записи физически нелинейных операторов определяющих соотношений вяз-коупругой среды является кратно-интегральный ряд Вольтерры [1].
В работе [2] описан частный случай таких определяющих соотношений. Нелинейные теории вязко-упругости, построенные на основе однократных интегралов, хотя и адекватны, но взаимообратны только в некоторых очень частных случаях. Кроме того, существуют эксперименты, в которых немонотонные периодические нагрузки приводят к ускорению ползучести [3, 4]. Эти эксперименты не удается объяснить "главными" теориями вязкоупругости, т.е. теориями, основанными на однократных интегралах. Нелинейная теория вязкоупругости Победри [2, 5, 6] адекватна (содержит материальные функции, которые могут быть найдены экспериментально), и из нее разложением по малому параметру легко получается кратно-интегральная теория Вольтерры. Для одномерного случая доказана взаимообратность теории Победри [7]. В работе рассматривается частный случай этой теории и показывается, что с его помощью описывается эффект "ускорения ползучести".
2. Для одномерного случая определяющие соотношения нелинейной теории вязкоупругости Побед-ри [5] имеют вид
Г A(t,T )а(т )
= /1—г г ! X (1т• 1
0 1 - al о q(t,( МС) d(
Здесь е — деформация; а — напряжение; A (t,T), q (t,Z) — два ядра ползучести; a — малый параметр. Полагая a = 0, получим линейную теорию вязкоупругости.
Рассмотрим частный случай теории (1). Положим p = aq; будем считать, что ядра ползучести являются ядрами разностного типа и определяющие соотношения можно записать в виде интегралов Лебега-Стилтьеса [1]:
t
n(t - t) da(T)
J 1 -, 0 p(t - ( ) da(( )
о 1 -£p(t - Z) da(()
Все входящие в соотношения величины будем считать безразмерными и отнесенными к характерным значениям величин, наблюдаемых в описанных опытах: время — отнесенным к продолжительности "ступеньки" во втором опыте, напряжение — к нагрузке, прикладываемой в опытах. Рассмотрим два процесса нагружения:
ах (t) = h (t), а2 (t) = h (t) - h (t - 1),
где h (t) — единичная функция Хевисайда. Пусть нам известны экспериментальные значения деформации £\ (t), соответствующей напряжению а\ (t), и деформации £2 (t), соответствующей напряжению 02 (t). Из определяющего соотношения (2) получим равенства
(3)
1 - р (г) у' 1 - р (г) 1 - р (г)+р (г -1):
из которых находим
'п(г) = (1 - р (г)) ег (г). п(г -1) = [1 - р (г)+р (г -1)] е (г) - е2 (г)]
Из этой системы будем иметь
(1 - р (г)) ег (г) = [1 - р (г + 1)+р (г)] е (г + 1) - е2 (г +1)].
После преобразования получим
1 + ^--+ = + --т- (4)
£1(1 + 1) -г2(* + 1)/ £г^ + 1)-£2^ + 1)
Введем обозначения:
Л^ = 777ПГ^Г77Тп' V(*) = А(*) ч-1, ^(*) = А(*) - 1.
ег (г + 1) - е2 (г + 1)
С учетом этих обозначений уравнение (4) можно переписать в виде
V (г) р (г) - р (г + 1) = ф (г). (5)
После решения этого уравнения функция П(г) находится из первого уравнения системы (3). Теорема (существование и единственность решения). Пусть существуют 5 > 0, М > 0, такие, что М > X (г) >5. Тогда решение уравнения (5) существует и единственно в классе ограниченных при г > 0 функций.
Доказательство. Рассмотрим функцию
«м = Е /('+в) • и
п=0 П V (г + т)
т=0
t
Отметим, что
ф (t + n)
П V (t + m)
<
M + 1
<
M+1
П V (t + m)
(1 + 5)
n+i ■
Значит, члены ряда (6) оцениваются сверху членами сходящегося числового ряда. Стало быть, он сходится, и притом равномерно. Проверим, что формула (6) дает нам решение уравнения (5):
П Р (I + т) "=0 П Р (I + 1 + т)
т=0 т=0
ф (t + (n + 1))
Е+°° ф (t + п) у^
П / у П
п=0 П V (t + m) n=0 р] V (t + (m + 1))
m=i m=0
n=i П V (t + m) v=i Л v (t + w)
m=0
w=0
Кроме того, (6) задает ограниченную функцию, что следует из приведенной оценки членов ряда. Как видим, мы нашли решение (5) в классе ограниченных функций.
Докажем теперь единственность данного решения. Пусть функции / (Ь) и д (Ь) являются ограниченными решениями уравнения. Тогда функция V (Ь) = / (Ь) — д (Ь) должна быть ограничена. С другой стороны, вычитая равенства
V (t) f (t) - f (t + 1)= ф (t),
V (t) g (t) - g (t + 1) = ф (t),
получим v (t + 1) = V (t) v (t). Пусть существует to, такое, что v (to) = 0. Тогда v (to+ n) > v (to) (1 + 5)n, а v (to) (1 + 5)n — при n —► ж. Значит, v (t) оказывается неограниченной, что противоречит условиям, наложенным на решения уравнения.
Замечание. Непрерывность ei (t) на [0; +ж] и e2 (t) на (1; +ж] и равномерная сходимость ряда (6) обеспечивают непрерывность решения уравнения (5).
Следует отметить, что условия, наложенные на функцию Л (t), выполнены для достаточно широкого класса процессов деформирования. Действительно, предположим, что при снятии нагрузки материал проявляет мгновенно-упругие свойства, т.е.
e2 (t) < lim e2 (t) = e1 (1) при t > 1. Кро-t^i-o
ме того, пусть ползучесть материала в первом опыте ограничена, а если не ограничена, то пусть существует C > 0, такое, что
^ < С. Обозначим Л = maxeo (t). То-dt t>i гда для Л (t) имеют место следующие оценки:
Рис. 1
Рис. 2
ei (t)
<
ei (t)
ei (t + 1)- e2 (t + 1) ei (t + 1)- Л
При ограниченной ползучести
lim A(t)< ?(+те)Л<+оо. £1 ( + Ж)) - Л
При неограниченной ползучести
Лт £1<*) 1
£1(Ь+1)
для моментов времени, когда £\ (Ь + 1) велико настолько, что £2 (Ь + 1) /£\ (Ь + 1) < 1/2.
Как видим, в каждом из этих случаев функция Л (Ь) ограничена при Ь ^ В силу своей непре-
рывности она ограничена и на всем промежутке [0;
Аналогично получим для Л (Ь) оценку снизу. В случае ограниченной ползучести
Ит Л (¿) = , £\(+00), >1.
Значит, вне некоторого отрезка [0; Т] имеем Л (Ь) > 1/2. В случае неограниченной ползучести
£1 (*) £1 (*) 1
£l (t + 1) " £2 (t + 1) " (£l (t) + С) - £2 (t + 1) 1 + C-e2(t+l)
£l(t)
В достаточно большие моменты времени С < \ и
£1 (t) 1 ^ 2
£1 (г +1) -£2(г +1) " 1 + з'
Как видим, в обоих случаях функция Л (Ь) отделена от нуля вне некоторого отрезка. Внутри же этого отрезка Л (Ь) в нуль не обращается, а поэтому в силу непрерывности она отделена от нуля некоторым положительным числом.
Из приведенных рассуждений видно, что при описанных ограничениях на характер ползучести материала применима теорема о существовании и единственности решения.
3. В качестве примера рассмотрим гипотетический материал, который при постоянной единичной нагрузке проявляет ползучесть £\ (¿) = 1 — | е-4, а при нагрузке 02 (¿) = Л. (¿) — Л. (£ — 1) возвращается к нулевой деформации немного медленнее, чем вязкоупругий материал с функцией ползучести, представленной выше. А именно пусть при Ь > 1
(*) = т
_ л\ p-(l—0,7)t
1 (e - 1) e
2 е0,7
Если для таких входных данных подсчитать функции р (Ь) и П (Ь), то при единичной пульсирующей нагрузке с периодами 1 и 1/3 получаются зависимости деформации от времени, представленные соответственно на рис. 1, 2 (для сравнения на графиках указана пунктиром деформация, получающаяся при постоянной нагрузке).
Полученные зависимости деформации при немонотонном нагружении хорошо согласуются с примером разупрочнения материала, приведенным в работе [3]. Это дает возможность говорить о применимости соотношения (2) к описанию ускорения ползучести материалов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970.
2. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984.
3. Самарин Ю.П. Уравнения состояния материалов со сложными реологическими свойствами. Куйбышев: Изд-во Куйбышев. ун-та, 1979.
4. Кеннеди А.Дж. Ползучесть и усталость в металлах. М.: Металлургия, 1965.
5. Победря Б.Е. Математическая теория нелинейной вязкоупругости // Упругость и неупругость. Вып. 3. М.: Изд-во МГУ, 1973. 95-173.
6. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1995.
7. Вакулюк В.В., Победря Б.Е. О нелинейной теории вязкоупругости // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2005. № 6. 49-55.
Поступила в редакцию 26.04.2006
УДК 531.396
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ТИХОНОВА ДЛЯ АВТОМАТИЧЕСКОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ УПРАВЛЯЕМОГО ДВИЖЕНИЯ
В. В. Александров, С. С. Лемак, В. Ф. Герреро-Санчес
Рассмотрим управляемую динамическую систему, математическая модель которой имеет следующий безразмерный вид:
dz
ц—= ip(z,y,ui), z(t0)=aeRm, Ui(-) eUl, (1)
|'; = f(z,y,U2), y(t0)=beRn, 4)6W2, (2)
0 = const ^ 1, t £ [to,tl].
Традиционный подход к выбору управлений П\, щ заключается в определении программного управляемого движения с помощью управления U2(t) при П\ = 0, а затем формирования стабилизирующего управления ui = ui(y,z,t).
В данной статье предлагается другой подход, использующий теорему А. Н. Тихонова [1] для сингулярно возмущенных систем.
1. Вначале сделаем переход к быстрому времени т = ^ и рассмотрим подсистему (1) при фиксированных yi,...,yn:
dz
— = <p{z,y,u i).
Предположим, что стабилизирующее управление выбрано в виде стратегии ui = u0(y) +Aui, где u0(y) — основное управление — определено таким образом, что уравнение
v(z,y,u° (y)) = 0 (3)
имеет единственный (изолированный) корень z0 = ^-1(y,u°(y)).
По поводу дополнительного управления Aui будем считать, что имеется полная информация о переменных zi,...,zm, и, таким образом, возможно формирование отрицательной обратной связи Aui = Aui(Az), где Az = z — z0. Выберем параметры этой обратной связи из условий асимптотической устойчивости решения z0. Предположим также, что начальные условия z(to) = a £ Rm принадлежат области притяжения аттрактора z0 и выполнены соответствующие условия аналитичности из теоремы А. Н. Тихонова.
В результате имеем корректный переход к вырожденной (упрощенной) математической модели
0 = ^(z,y,u°i (y) + Aui(Az)), dy (4)
-£ = f(z,y,u2(t)), ie[io,ii],
где Aui = 0. В рамках модели (4) выбираем программное управление v,2(t) (не нарушая условия аналитичности) с целью определения программного движения y(t) с начальными условиями y(t0) = b.
