Новые определяющие соотношения в нелинейной теории вязкоупругости Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №5

41

3. Миндлин Р.Д. Влияние моментных напряжений на концентрацию напряжений // Механика: Период. сб. переводов иностр. статей. 1964. № 4. 115-128.

4. Пальмов В.А. Плоская задача теории несимметричной упругости // Прикл. матем. и механ. 1964. 28, вып. 6. 1117-1120.

5. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // Физ. твердого тела. 1960. 2, вып. 7. 1399-1409.

6. Кувшинский Е.В., Аэро Э.Л. Континуальная теория асимметрической упругости. Учет "внутреннего" вращения // Физ. твердого тела. 1963. 5, вып. 9. 2591-2598.

7. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975.

Поступила в редакцию 17.10.2007

УДК 593.374

НОВЫЕ ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ В НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ВЯЗКОУПРУГОСТИ Б.Е. Победря1, А. Б. Анисимов2

В данной статье рассматривается обобщение соотношений вязкоупругости Победри в предположении об изотропности материала и об упругом поведении объема. Рассматриваются модельные задачи о всестороннем сжатии и об одноосном растяжении образца. Исходя из полученных выражений для деформаций находятся необходимые условия нерелаксирующего поведения объема. Рассматривается случай произвольного малого на-гружения образца и доказывается, что полученные условия нерелаксирующего поведения объема не только необходимы, но и достаточны.

Ключевые слова: вязкоупругость, нелинейная теория вязкоупругости Победри, эффект ускорения ползучести.

In this paper a generalization of Pobedria's viscoelasticity theory is considered for an isotropic solid with non-relaxing volume. Two types of special loads are considered for samples of Pobedria's material — isotropic compression and monoaxial tension. The obtained formulas are used to deduce necessary conditions of non-relaxing behavior of volume. It is shown that the conditions obtained in such a way are not only necessary, but also sufficient for the non-relaxing behavior of volume, even in the case of an arbitrary load.

Key words: viscoelasticity, non-linear viscoelasticity theory of Pobedria, effect of "accelerated creep".

Постановка задачи. В работе [1] рассмотрены определяющие соотношения нелинейной теории вязкоупругости Победри [2] для случая одномерной задачи и с их помощью описан эффект ускорения ползучести при пульсирующем нагружении. Указанные определяющие соотношения изучены только для задачи о растяжении-сжатии стержня и имеют вид

t

*) = /

n(t - т) da(r)

1 -и р(! - О МО'

Здесь е — деформация, а — напряжение, П и р — ядра ползучести. В книге [2] рассматривается общий случай трехмерной задачи для вязкоупругого материала:

г

еИ СО = У Щкрдз^ - т) [А-1{г,Т йакр{т), (1)

о

1 Победря Борис Ефимович — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

2 Анисимов Артем Борисович — студ. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

42

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №5

w

Aij(t, w) — §ij - Jpijmn(t - 0 damn,(&■

В настоящей работе ставится задача о конкретизации вида данных соотношений для изотропной среды с нерелаксирующим объемом.

Поскольку мы ограничиваемся рассмотрением изотропной среды, тензоры П и Р изотропны. Кроме того, данные тензоры входят в определяющие соотношения только в свертках с симметричным тензором напряжений, поэтому они обладают симметриями пар индексов [3]:

nijkpqs njikpqs, nijkpqs nijpkqs, nijkpqs nijkpsq,

Pijkp — pjikp, Pijkp — Pijpk ■

Если положить p — 0, то соотношения (1) переходят в соотношения линейной теории вязкоупруго-

сти с тензором функций ползучести njkpmm, поэтому от указанной свертки П естественно потребовать

симметрии, которой обладают тензоры функций ползучести, а именно nijkpmm — nkpijmm.

Кроме того, в силу предположения о нерелаксирующем поведении объема будем искать такие тензоры П и Р, чтобы среднее напряжение и дилатация были связаны соотношением £n(t) — Kaa(t), K — const.

Окончательно цель данной работы можно сформулировать как поиск общего вида тензоров П и Р,

для которых имеют место указанные симметрии и выполняется гипотеза об упругом поведении объема.

Подготовительная часть. В дальнейшем мы будем ссылаться на следующий факт, известный из линейной алгебры. Подробное доказательство можно найти в книге [4].

Утверждение 1. Пространство изотропных тензоров шестого ранга, обладающих симметриями

nijkpqs njikpqs, nijkpqs nijpkqs, nijkpqs nijkpsq, nijkpmm nkpijmm, имеет размерностЪ 5, и в качестве базиса в нем можно взять тензоры, имеющие в декартовой системе координат компоненты

uifpkqs = SijSkpSqs, Ilffpkqs = ^ (SikSjpSgs + 5jk5ip5qs), 11tjpkqs = 2 + djqdisdkp) , П\fpkgs = - (5kq5pS5ij + SpqSksSis) ,

^tjpkqs = g {bipbjqbks + ^jp^iq^ks + ^ik^jq^ps + ^jk^iq^ps) +

~ (&ip$js$kq &jp&is&kq s&pq &jk&is&pq) ■

8

Теперь мы можем конкретизировать вид тензоров П и Р, участвующих в записи определяющих соотношений (1):

5

nijkpqs(t) ^У ^ Cm(t)nijkpqs, pijmn (t) — X(t)Sij mn + n(t)(5imSjn +

m=l

В определяющие соотношения (1) входят свертки вида nijkpqsakpbqs. Для их вычисления воспользуемся следующим утверждением.

Утверждение 2. Для симметричных тензоров a и b выполнены равенства

г^ ^

njkpqsakpbqs — AWl (b)5ij , njkpqsakpbqs — h(b)aij , nt:jkpqsakpbqs — I1 (a)bij, n((jjkpqsakpbqs — b : a ^,

^Ajlpqsakpbqs = 2 (aipbpj + djphpi) ■

Здесь Ii(a) обозначает след тензора a, а b : a — полную свертку a и b, т.е. aijbj.

Рассмотрим далее определяющие соотношения £ ~ а для случая всестороннего сжатия и одноосного растяжения. С использованием данных связей будут получены условия на компоненты тензоров П и p, при которых имеет место гипотеза об упругом поведении объема, и будут установлены рамки ее применимости.

Всестороннее сжатие. Зададим нагрузку в виде аij(t) = a(t)5j, где a(t) = -ph(t), p — давление, h(t) — единичная функция Хевисайда. Простой подсчет дает

9Ci(t) + зщ + зщ + зщ + щ х £гАЪ} Р l + 3p\(t) + 2pß(t) °гг

При анализе данного соотношения нам будет полезна следующая простая Лемма. Пусть

pФ(t)

^•<:> = ттш <i>0'p>0>-

Пусть при этом £(p, •) для любого p не зависит от времени и существуют такие аргументы p\, p2, Pi = Р2, что £(pi, •) = {(p2, •)• Тогда Ф(^) = const, f (•) = const. Доказательство. Пусть

P(n л Р1ф® г Air, л Р2ф® г Рассмотрим данные равенства как систему линейных уравнений относительно Ф и f:

ipi$(t) - C\pif (t) = Ci, \p2$(t) - C2P2f (t)= C2.

Определитель данной системы равен (C2 — Ci) pip2 = 0. Значит, она имеет единственное решение, и оно выражается через постоянные величины Ci, C2, pi, p2, т.е. Ф(-) = const, f (•) = const.

Так как в опыте на всестороннее сжатие деформации £j (t) не должны зависеть от времени при произвольном внешнем давлении p, то в силу леммы

(9Zi (t) + 3Z2(t) + 3Cs(t) + 3Z4(t) + Z5(t) = K, \ 3A(t) + 2ju(t) = C.

Учитывая этот факт, запишем связь давления и деформаций в виде (¿) = -—— . Для того

-Кр 1 + Ср

чтобы получить линейно-упругое поведение объема материала, следует положить С = 0. В дальнейшем мы будем рассматривать только этот случай, т.е. наложим на материальные функции ограничения

Г 9(1 (*) + 3С2(*) + зса(*) + 3С4(*) + ш = К, \ зл(*) + = о.

Одноосное растяжение. Рассмотрим далее задачу об одноосном растяжении образца нагрузкой аг](1) = яфбц5^1, где а(Ь) = аоЬ(Ь). После подстановки в соотношение (1) получим следующие выражения для деформаций:

, т (о 1 + /л ^ , л ^ , Щ + С^) + Щ \

£п(ь) = \3 (Г^лЩГТ+ + 1 + }

г т-г т !*. 1 + о'рХ(ь) ш ш 1

Рассмотрим теперь выражение для дилатации:

е(г) =

1 + аоА(г)

(1 - аоЩ) (1 + 2<7оА(*))

(9С1(«> + +

Ш + зщ + Ш

1-<70А(*) 1 + 2<70А(*)

Отсюда с учетом того, что е(г) = Као, получаем

(1 + аоА(г)) (9(1 (г) + 3(2(*)) + (1 - а0\(г)) {Ш + Ш + Ш) + + 2(1 + 2аоА(^)Сз№ + )1 - аоА(г)) )Ш + 3С4(*) + Ш) = = К(1 - аоА(^))1 + 2аоА(г)).

Из этого выражения немедленно следует, что упругое поведение объема для данного материала невозможно, ведь в правой части равенства стоит многочлен степени 2 от ао, а в левой — степени 1. Тем не менее для малых нагрузок, когда |аоА(г)| ^ 1, можно добиться выполнения данного равенства с точностью О ^(аоА(Ь)). Для этого приравняем коэффициенты при одинаковых степенях аоА(г):

Г 9(1 (г) + 3(2^) + зСз(^) + за(£) + ш = к, {9(1 (г) + 3(2(г) + 3(з(г) - 3а(г) - Ш = к.

Первое уравнение данной системы нам уже знакомо из (2), второе же дает дополнительное ограничение на материальные функции:

3(4 (г) + Сб(г) = о. (3)

Важно отметить, что ограничения на величину нагрузки, при которой выполняется гипотеза о нере-лаксирующем поведении объема, возникли при существенно несимметричном нагружении образца. В условиях сферически-симметричной нагрузки подобные ограничения не возникают, что согласуется с известными экспериментальными фактами о поведении образцов под действием высокого давления.

Общий случай малых нагрузок. Перейдем к рассмотрению общего случая нагружения. Пусть аг](г) = а(Ь)5г] + вг](г), где вг] — девиатор. Потребуем выполнения следующих равенств, которые пока что возникли как необходимые условия упругого поведения материала при малых нагрузках:

г 9(1 (г) + 3(2 (г) + 3(з (г) + 3а(г) + Ш = к, 13(4(г) + Ш = о, 13А(г) + 2^(г) = о.

Из (1) имеем

т т

Е - I Р(г - () : йа(С) = 5г] + 3 / А(Ь - () йвц(()

~ 7 ~ ~ J

г]

Теперь предположим, что нагрузка такова, что при обращении данного тензора можно оставить только один член в тейлоровском разложении:

1

Е - [ Р(г - () : йа(() » 5г3 - 3 [ А(г - () йвц(()

~ 7 ~ ~ J

г]

Свертки йакр(т) [Л 1(г; т)] вычисляются достаточно просто. Приведем только те, которые в

дальнейшем придется преобразовать:

п]кряз с1акр(т) ! А(г - () ) = йатп(т^ А(г - () й8тп(()5ц,

т

т

т

п£и (1аРт)/ Л(1 - () йвдз(( ) = 0

(т т

Л(Угр{т) J Щ-Ойвр^О + йа^т) J А(£ - () сЦД() о о

Отметим, что, поскольку 8 — девиатор, имеем

т т

йотп(г) У Л(Ь - () йвт„,(() = йвтп(т^ Л(Ь - () йЗтп((). 0 0

В выражении для П,^ йаир(т) Л(Ь — С) й,вдз(() разложим ст— на девиатор и шаровую часть:

\ < ^ф(т) I А(* - С) ¿МО + <Цр(т) I А(* - С) <МС) > =

0 0 J

= ^5гр1х(1-()ё8рз(0+5зр1х(1-()с18рг(()^ +

т т "I

+ йвгр(т) У Л(Ь - () («р,(С) + ) У Л(Ь - () (5рг(С)| = о 0 '

т Г т т "I

= £&7(г) У А(* - С) «МО + \ ^гр(т) У А(* - С) ¿МО + МрОО У А(« - С) <МО •

П V П П '

Теперь все готово для того, чтобы выписать выражение для деформаций:

г г

егз(Ь) = У 9(1 (Ь - т) (ст(т) • 5- + У 3(2(Ь - т) й(ст(т+ (т)) + о о

г г г

+ У 3Са(* - т) (ст(т) • + 13(4(Ь - т) йа(т) • + I (5(Ь - т) й(ст(т+ в,-(т)) -

ООО г т г т

- ! 9(э(Ь - т) У Л(Ь - () (()йа(т) - I 3(4(Ь - тЛ(Ь - () й«тп(()йвти(т) • -0 0 0 0

г т

- У 3(5(Ь - т)1 Л(Ь - () ^(()(ст(т) -о о

г т г т

~ У \ ^ - т) У " С) ^МОМ^) - ¡1 Сб(* -г) I А(* - О йз^Ойз^т).

т

т

Перепишем данное выражение в виде, более удобном для применения ограничений (2) и (3):

г

ег] (г) = I (9(1 (г - т) + 3(2(г - т) + 3(з (г - т) + 3(4 (г - т) + (5(г - т)) dа(т) • ^ + 0

г г т

+ IШг - т) + (5(г - т)) d8г](т) - 3 у )3(з(г - т) + ^(г - т)) ] А(г - () d8г](()йа(т) -

0 0 0 г т

- J 3(4(г - т) У А(г - () d8mn(Z)(1втп(т) • Ьг] -0 0

г т г т

- \\ " т) / " С) 'МО^ОО - 1\ Сб(* -г) I А(* - () йз^Ойз^т).

Используя ограничения (2) и (3) и предполагая, что процесс начинается из ненагруженного состояния (аг] (0) = 0), получим

г

ег] (г) = Ка(г)Ьг] + У )3(2(г - т) + (5(г - т)) d8гj (т) -0

г т

- 3 У )3(з(г - т)+ (5(г - т)) у А(г - () dsг]■ (()dа(т) -о о

г т

- 3 У (4(г - т) У А(г - () d8mn((s)d8mn(т) • Ьг] -

г т I I \

У С5(г - т) У А(г - () (1,8 гр(^) d8p] (т) +1 (5(г - т ^ А(г - () С,^ ^(т) | . (4)

2 ^ / — Т) I А(£ — (,) йЬгр^рл,ор]у1 ) -Г I 45 V — V I 'Ч1 ~~ ч;

1о

Теперь рассмотрим дилатацию е и покажем, что объем материала ведет себя упруго. Для начала свернем последнее слагаемое по индексам г и j:

У (5(г - т) У А(г - () с18гр(^)сврг(т(5(г - т) У А(г - () d8гp(()(8р%(т) 0 0 0 0 г т

= ^ (5(г - т) У А(г - () d8гp(Z)С8рг(т).

Значит,

егг(г) = 3Ка(г) -

- 3 N 3(4(г - т) у А(г - () d8гp(Z)С8рг(т) + у (5(г - т) У А(г - () d8гp((л)d8pг(т)

I 0 0 0 0

г т

= 3Ка(г) - 3у )3(4(г - т) + (5(г - т)) У А(г - () d8гp(()d8pг(т) = 3Ка(г).

г

г

т

г

г

т

Данное равенство показывает, что условия (2) и (3) являются не только необходимыми, но и достаточными условиями упругого поведения объема материала при малых нагрузках.

Заключение. Как видно, в предположении об изотропии материала и упругом поведении объема определяющие соотношения (1) удается существенно упростить. При этом важно, что происходит лишь незначительное усложнение данной теории по сравнению с линейной теорией вязкоупругости. А именно в линейной теории вязкоупругости для определения всех характеристик материала достаточно найти модуль объемного сжатия-расширения и тензор ядер ползучести, который для изотропного материала определяется двумя функциями. В рассмотренной теории к данным материальным функциям и константам добавляется только одна материальная функция, подлежащая определению. Несмотря на то что количество параметров, подлежащих определению, возросло незначительно, данные соотношения, как и определяющие соотношения, изученные в [1], дают возможность описывать эффект ускорения ползучести, который не поддается описанию средствами главных теорий вязкоупругости [5].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Анисимов А.Б. Об эффекте "ускорения ползучести" в теории вязкоупругости // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 1. 57-61.

2. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984.

3. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1986.

4. Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам. М.: Мир, 1966.

5. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970.

Поступила в редакцию 24.12.2007