Об асимптотике обобщенных собственных значений оператора Шредингера Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2014, Том 16, Выпуск 4, С. 9-15

УДК 517.928

ОБ АСИМПТОТИКЕ ОБОБЩЕННЫХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА1

М. Ш. Бадахов, О. Ю. Веремеенко, А. Б. Шабат

Рассматривается оператор Шредингера на прямой с финитным потенциалом. Для ряда примеров S-образных потенциалов установлена асимптотика комплексных полюсов коэффициента прохождения 1/a(k). Планируется использовать эти полюса для построения эффективных приближенных методов решения одномерной обратной задачи рассеяния.

Ключевые слова: обратная задача рассеяния, нули целых функций.

1. Матрица рассеяния

Рассматривается теория рассеяния для уравнения Шредингера с финитным потенциалом. Мы заменяем потенциал n(x) конечной суммой ¿-функций:

N

ф" = (k2 + п(х))ф, u(x) = £ yjö(x — Xj), k £ C. (1)

j=1

Для произвольного непрерывного решения ф = ф(х, k) уравнения (1),

ф(х, k) = a(j, k)ekx + b(j, k)e-kx, x £ Ij = [xj,xj+1], (2)

xj

lim ф' (x,k) — lim ф' (x,k) = Yj ф(xj ,k), (3)

x^xj +0 x^xj —0

позволяют выразить коэффициенты a(j,k), b(j, k) через a(j — l,k), b(j — l,k) и найти матрицу перехода в узле xj с отрез ка Ij—1 = [xj—1,xj ] на следующий от резок Ij с концами xj xj+1

(a,b)(j,k) = (a,b)(j-l,k)xSJ(k), S,(k) = ± ^^ ) ■ (4)

\|/ (х,к) = djWe* +bj(k)e~hc

Xj Xj+1

© 2014 Вадахов М. Ш., Веремеенко О. Ю., Шабат А. В.

1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проекты

№ 13-01-00070 и № 13-01-12460-0ФИ-М-2013, а также Программы поддержки научных школ, проект № НШ-3139.2014.2.

Пример 1. Пусть к = 0. Тогда при и(х) = 7з-^(х — хз-)

= | С1 + С2х, х ^ хз; ^ |с1 + С2Хз = сз + С4Хз;

|сз + С4Х, Х ^ Хз, |с4 — С2 = ^з (С1 + С2Х^).

Разрешив эти уравнения относительно (сз,с4), находим, что

|С3 = С1(1 + 7зХ; ^Т2; « (С3.С4) = (С1.С2) Г1 1+1 Х

[С4 = С17з + С2 (1 + Тз'Хз), V — ЪХз 1 + Ъхз

Аналогичные вычисления при к = 0 приводят к формуле (4) и матрице £з(к), которую мы называем элементарной матрицей рассеяния.

Легко видеть, что двойному переходу с отрезка /з-1 на отрезок /¿+1, соответствует произведение соответствующих матриц ^ с I = ] + 1:

М)С/ + 1) = М)(,? = (а,&)(^ — 1)ад-+ь

а в случае конечной суммы (1) с узлами Х1 < Х2 < ... < хп, «суммарная» матрица рассеяния имеет следующий вид:

5 (п; к) = 51 (к) ...5„(к) = к) ^—к^ , а(к)а(—к) = 1 + &(к)6(—к). (5)

Так как элементарные матрицы рассеяния имеют в нуле к = 0 полюс первого порядка возникает вопрос о порядке полюса в нуле у их произведения (5). Ниже (см. лемму 1) будет доказано, что порядок полюса этого произведения не может превосходить единицы.

В «прямой» задаче рассеяния требуется построить фундаментальную систему решений уравнения Шредингера с убывающим на бесконечности потенциалом и(х):

ф" = (к2 + и(х))ф, и(х) ^ 0, х ^ ±то. (6)

Решения уравнения Шредингера (1), которые имеют чисто экспоненциальное поведение при х ^ +то или при х ^ —то называются в теории рассеяния фунщгшмлл Иоста. В рассматриваемом нами финитном случае пара функций Иоста, связанная с правой полуплоскостью спектрального параметра

М+ = {к е С, Яе к > 0}, (7)

определяется следующим образом:

, + , , ч I х га —то;

ф+ (х, к) = \ , (8)

1а(к)е + Ь(к)е , х га то,

ФГ(*,к)=(—ь(—к)е" хга—то; (9)

I е , х га то.

Оба эти решения стремятся к нулю на «своей» бесконечности, когда спектральный параметр к находится в правой полуплоскости (7), а их вронскиан (/,5) = /#' — /

(ф +(х, к), ф - (х, к)) = (а(к)е^х + 6(к)е-^, е-^) = —2ка(к). (10)

Поэтому нули а(к) в правой полуплоскости определяют собствеиные значения А = —к2 спектральной задачи (1) с пулевыми краевыми условиями при х ^ ±то. Двойственное к (8) решение (9) соответствует замене х ^ —х и обращению матрицы рассеяния (5). Дополнительная пара функций Поста ф±(х, к), связанная с левой полуплоскостью спектрального параметра, определяется в случае финитного потенциала формулами:

ф+ (х, к) = ф- (х, —к), ф- (х, к) = ф+ (х, —к). Можно проверить, что

ф+(х, к) = а(к)ф+(х, к) + Ь(к)ф-(х, к) (11)

и, что (ф-, ф+) = 2к.

В обратной, задаче рассеяния требуется восстановить функции Поста по матрице рассеяния. Роль данных обратной задачи в рассматриваемом финитном случае играют элементы а(к) = а(Ж, к) и Ь(к) = к) матрицы рассеяния. Единственность финитного потенциала с заданными а(к) и Ь(к) была установлена двумя существенно различными способами в работах [4] и [6].

Лемма 1. Пусть матрица Б = П 5?, является произведением конечного числа элементарных матриц рассеяния (4), соответствующих 5-образным потенциалам. Тогда матричная функция 2 к Б (к) является целой и ее структур а в точке к = 0 имеет следующий вид:

11

lim 2kS(n, k) = ao(n) . fc^o \1 -1

где коэффициент ao(n) = 0 в случае общего положения. < Введем сокращенные обозначения

ej = exp(2kxj), ej = exp(-2kxj), 7j = Yj/2k.

n

S = А Л + 7j -ejj = ( a(n> k) b(n> k) j=i V ej7 1 - ЪУ Vе(n> -k) a(n> -k)

из которой следуют рекуррентные формулы

f a(n, k) = (1 + 7n)a(n - 1, k) + 7„e„b(n - 1, k); |b(n, k) = -7„e„a(n - 1, k) + (1 - 7„)6(n - 1, k).

Непосредственным вычислением получаем, что

2k ja(n - 1, k) = ao + 2kai + ...; 2k k) = (1 + Yn Xn) + Yn(ai + А) + ...;

|b(n - 1, k) = -ao + 2k^i + ..., \b(n, k) = -ao(1 + YnXn) - Yn(ai + А) + ...

Поэтому сумма a(n',k) + b(n',k) регулярна в точке k = 0 при n' = n, если она была регулярна при n' = n - 1. При n = 1 утверждение леммы следует из формулы (4). >

В недавно опубликованной работе [10] рассматривается упрощенный вариант обратной задачи рассеяния, основанный на рациональной аппроксимации типа [2], отношения

двух функций Иоста (8) и (9), подобных вкх и в кх, соответственно, в правой полуплоскости (7):

Д(ж, (13)

Ф1 (х,к)

В качестве узлов к = ^-интерполяционной задачи для К(х,к) = р^ (х), к = к^, выбираются пули элемента а(к) матрицы рассеяния. При этом, в силу приведенного выше соотношения (11)

й

а(к) = 0 => щ(х,к) = Ь(к)'ф1(х,к) => —р^{х) = —2к^р^{х). (14)

Замечание. Сформулированная интерполяционная задача (13), (14) является обобщением Баргмановского случая Ж-солитонных потенциалов (ср. [9, 10]), когда вещественные узлы интерполяции к] = 1,... располагаются в правой полуплоскости (7) и к ним добавляются N +1 узлов с к — к^ — —к и ко =0. В силу [10] при любом расположении узлов, интерполяционная задача (13), (14) позволяет строить точные решения уравнений типа Кс1У и 1ЧЬ8. Вопрос о более общих достаточных условиях регулярности таких решений, в терминах условий на расположение узлов интерполяции к^, представляет поэтому несомненный интерес, выходящий за рамки обратной задачи рассеяния для операторов Шредингера.

2. Нули а(к) при N = 2 и N = 3

При N = 1, и(х) = ^\5(х — х\) единственный пуль кг функции 2ка(к) = 2к + 71 находится в правой полуплоскости при отрицательном 71. Ему соответствует собственная функция

ф) = в-к11х-х11 ^ 0, х

При N = 2 и потенциале и(х) = 715(х — хг) + ^2д(х — х2) рекуррентные формулы (12) дают2

а(к) = 1 + ^[71 +7г] + ¿27172^12, Е12 = 1-е2кХ12, хг,-А=хг-х,, (15) а(к) = 0

71 ± 72 = 0, соответствующих нечетным (четным) вещественным потенциалам и(х). В частности, при 71 = 2, 72 = —2, х12 = —1 в результате численных экспериментов находим, что соответствующее уравнение сводится к уточнению численных значений подгоночных коэффициентов в формуле

(1 — к2)в2к = 1 ^ к = хп = С1(п) + C2(n)logп + г(пп + еп).

При С\(п) » 1.145 С2(п) = —1, £п = £о эта формула оказывается асимптотически правильной и, в дополнение к ¿о = 0.9165633, остается привести численные значения нескольких первых нулей вронскиана, расположенных во втором квадранте полуплоскости

¿1 » —1.14 + 2.781, ¿2 »—1.85 + 5.60«, ¿з » —2.25 + 9.17«, ...

2 При N > 1 можно показать, что целая функция 2ка(к) — 0 принадлежит специальному классу, рассматриваемому в монографии [1].

Этот нуль дяет единственное собственное знячение А — 22 •

Рис. 1. 71 = 2 72 = —2-

Рис. 2. 71 = —2 72 =2 73 = 2.

Рис. 3. 71 = 2,72 =2 73 = —2.

Нули второго коэффициента 6(к) находятся при этом явно:

к26(к) = 2(к — 1)аВД = 0 ^ к0 = 1, кп = гпп (п = ±1, ±2,...).

Для четного потенциала нули а(к) являются единицами для ±6(к):

и(х) = и(—х) ^ 6(—к) = —6(к) ^ а(к)а(—к) = 1 — 62(к) = (1 — 6(к))(1 + 6(к)). (16)

При N = 3 аналогичная (15) формула принимает следующий вид:

а(3, к) = 1 + ^ 7з + ^ 7г7зЕз + 717273^12£23, = 1 — е2^

¿<з

6(3, к) = — ^7зез + ^7»7з(е* — е^) + 717273(е2 — е3 — е1 + е^е3)

(17)

(18)

¿<з

Заметим, что если х\ = —1, Х2 =0 Хз = 1, то Е\2 = Е23 = 1 — е2к, и, как следствие, 71 и 7з в формулу (17) входят симметрично (т. е. при замене 71 на 73, 73 на 71 формула не меняет своего вида).

Это показывает, что для однозначного восстановления потенциала нужно знать и а(к), и Ь(к).

Рис. 4. 71 = 2, 72 = 2, 73 = 2. Рис. 5. 71 = — 2, 72 = — 2, 73 = —2.

---------8 -

^^^ т , ----

R Ц А Ц 1 ---- Г1 P.e k ....... 4-^ i i

Рис. 6. 71 =2, 72 = —2, 73 = 2 асимптотическая формула для нулей а(к) в левой полуплоскости при N = 3 а (к) ~ 1 — -дз-е~2кхз1, к = х + гу = ре,в, х < 0.

Мы благодарим В. Э. Адлера за помощь в организации вычисления корней нулей а(к) в § 2 данной работы.

Литература

1. Koosis P. The logariphmic integral, I.—Cambridge, 1997.

2. Baker G., Graves-Morrís P. Pade approximants, 2nd ed. // Enciclopedia of Math. and its Apj>l.— Cambridge: CUP, 1996,-Vol. 59.-P. 335-414.

3. Алъбеверио С., Хёэг-Крон Р., Гестези Ф. Решаемые модели в квантовой механике.—М.: Мир, 1991.-569 с.

4. Хабибуллин И., Шабат А. Задача Штурма — Лиувилля.—Уфа: Вашгосунивер, 1985.

5. Захаров В., Шабат А. Интегрирование нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния, II // Функц. анализ и его прил.—1979.—Vol. 13, № 3.—Р. 13-22.

6. Korotyaev Evg. Inverse scattering on the real line // Inverse Problems.—2005.—Vol. 21.—P. 325-341.

7. Жура H. А., Солдатов А. 17. К решению обратной ЗУ. ЩЧII Штурма — Лиувилля на всей оси // Докл. АН.—2013.—Т. 453, № 4.-С. 368-372.

8. Шабат А. В. Обратная задача рассеяния для системы дифференциальных уравнений // Функц. анализ и его прил.—1975.—Т. 9, № 3.—С. 75-78.

9. Шабат А. В. Об одной интерполяционной задаче // Исследования по диф. уравнениям, мат. моделированию и проблемам мат. образования.-Владикавказ: ЮМИ ВИЦ РАН и РСО-А, 2014,-С. 66-74.—(Итоги науки. Юг России. Мат. форум. Т. 8, ч. 2.).

10. Шабат А. В. Рациональная интерполяция и солитоны // Теор. и мат. физика.—2014.—Т. 179, № З.-С. 303-316.

11. Повзнер А. Я. О дифференциальных уравнениях типа Штурма — Лиувилля на полуоси // Мат. сб.—1948.—Т. 23.—С. 3-52.

12. Агранович 3. С., Марченко В. А. Обратная задача рассеяния.—Харьков: Изд-во Харьковского ун-та, I960.—268 с.

13. Marchenko V. A. Sturm-Liouville Operators and Applications.—Basel: Birkhaüser Verlag, 1986.

Статья поступила 5 сентября 2014 г.

Бадахов Мухтар Шамильевич

Карачаево-Черкесский государственный университет, аспирант кафедры математического анализа РОССИЯ, 357190, Карачаевск, ул. Ленина, 29 E-mail: [email protected]

Веремеенко Ольга Юрьевна Южный федеральный университет,

студенка кафедры вычислительной мат-ки и мат. физики РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а E-mail: [email protected]

Шабат Алексей Борисович

Карачаево-Черкесский государственный университет, профессор кафедры математического анализа РОССИЯ, 357190, Карачаевск, ул. Ленина, 29;

Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН, главный научный сотрудник

РОССИЯ, 142432, г. Черноголовка, пр. Ак. Семенова, д. 1-А E-mail: [email protected]

ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF GENERALIZED EIGENVALUES OF THE SCHRODINGER OPERATOR

Badakhov M. Sh., Veremeenko O. Y., Shabat A. B.

The Schrodinger operator on the real line with compactly supported potential is considered. An asymptotic analysis of complex poles of the transmission coefficient 1/a(k) for some 5-type potentials is fulfilled. We are planning to use these poles producing effective methods of approximate solutions of the inverse scattering problem in the one-dimensional case.

Key words: inverse scattering problem, zeros of entire functions.