Об одной обратной задаче для оператора Штурма Лиувилля c разрывными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.984

ОБ ОДНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ C РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Э.Н. Ахмедова, И.М. Гусейнов

Институт математики и механики НАН Азербайджана, Баку, отдел функционального анализа E-mail: [email protected]

* Бакинский государственный университет, кафедра прикладной математики E-mail: [email protected]

В работе доказана единственность восстановления оператора Штурма - Лиувилля c разрывными коэффициентами по спектральным данным и дан алгоритм построения потенциала.

Ключевые слова: обратная задача, оператор Штурма - Лиувилля, собственные значения.

On Inverse Problem for Sturm - Liouville Operator with Discontinuous Coefficients E.N. Akhmedova, H.M. Huseynov*

Institute of Mathematics and Mechanics of NAS of Azerbaijan, Baku, Department of Functional Analysis E-mail: [email protected]

* Baku State University, Chair of Applied Mathematics E-mail: [email protected]

In the paper uniqueness of reconstruction of the Sturm - Liouville operator with discontinuous coefficients by spectral data is proved and algorithm of construction of the potential is provided.

Keywords: inverse problem, Sturm - Liouville operator, eigenvalues. ВВЕДЕНИЕ

Рассмотрим граничную задачу, порожденную на отрезке [0, п] уравнением

-у'' + q (x) у = Л2р (x) y (1)

и граничными условиями

у (0) = 0, у (п) = 0,

(2)

где д(х) Е Ь2(0, п) — вещественнозначная функция, Л — комплексный параметр, а р (х) — кусочно-постоянная функция:

р(х) =

1,

0 < x < a, a < x < п,

0 < a = 1.

(3)

В настоящей работе, используя аппарат операторов преобразования, доказана единственность определения граничной задачи (1)-(3) по заданным собственным значениям и нормировочным числам, дан алгоритм построения функции д (х) по спектральным данным.

Единственности восстановления граничной задачи (1)-(3) по функции Вейля посвящена работа [1]. Обратная задача рассеяния

о

гх

для уравнения (1) на полуоси с условием y(0) = 0 изучена в работах [2, 3]. Обзор работ, посвященных прямым и обратным задачам для уравнения вида (1) с различными условиями на p(x), приведен в книге [4].

В случае p(x) = 1 полные решения прямых и обратных задач в различных постановках хорошо известны (см. [4-6]).

1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

В дальнейшем нам потребуется несколько вспомогательных утверждений (см. [7, 8]). Теорема 1. Если q (x) е L2 (0,п), то при всех А уравнение (1) имеет единственное решение s(x, А), удовлетворяющее условиям s(0, А) = 0, s'(0, А) = 1, представимое в виде

(х)

s (x, А) = s0 (x, А)+ J A (x, t) SinA ^dt, (4)

0

где

1 / 1 \ sin Ад+ (x) 1 / 1 \ sin А (2a — д+ (x))

so^^vprx^j—^M1—а u)

— решение уравнения (1) при q(x) = 0 с начальными условиями s0(0, А) = 0, s0(0, А) = 1,

^+(x) = x\jp(x) + a — л/p(x) j ,

причем ядро A(x, ■) принадлежит пространству L2(0, (x)). Функция A(x,t) непрерывна, имеет частные производные в области t = 2a — (x) и

ía (x,"+ (x)) = i7fm(1 + тры q (x)' (5)

{A (x, 2a — (x) + 0) — A (x, 2a — (x) — 0)} = —-1- ( 1--— ) q (x). (6)

dx V P (x) \ VP(x)/

Отметим, что при доказательстве теоремы 1 для определенности предполагалось, что выполняется условие a(1 + a) > na. Эта теорема справедлива и в общем случае, однако кроме линии t = 2a — (x) появляются и другие линии разрыва у функции A(x,t).

Лемма 1. Корни А°п функции Д0(А) = s0(п, А) отделены, т.е. inf |АП — A°k| > 0.

n=k

Лемма 2. Существует постоянное m > 0, такое что при всех n

АПД 0(АП) > m (л 0(А) = dAА0(А^ .

Теорема 2. a) граничная задача (1)-(3) имеет счетное множество простых собственных значений {АЩП>1. При этом

dn k

An = АП +

где АП — нули функции

А = А0 + "П + ^п

An = An + А0 + V'

, , _ 1 f 1 \ sin A (an — aa + a) 1 / 1 \ sin A (—an + aa + a)

Д0 (A) = 7T 1 +---т--+ 7Г 1 —

2 V а / А 2 V а) А

(т.е. (А°)2 — собственные значения задачи (1)-(3) в случае д(х) = 0), ¿п — ограниченная последовательность:

d = 1 dn —

4АПД0(АП)

1 +--,1 ) q (t) dt х cos АП (an — aa + a) —

vp(t) V vp(t)

П

1

1 1--,1 | q (t) dt x cos X°n (—an + aa + a)

0 л/РЩ л/Ж.

{kn} e I2;

ö) собственные функции задачи (1)-(3) представимы в виде

s (x, An) = s0 (x, АП) +

0 N . Cn (x)

ICn (x)|< C;

c) нормировочные числа an = f p (x) s2 (x, An) dx задачи (1)-(3) имеют вид

о

= о i ^n

«n an 7

n

TV

где аП = / p (x) s2 (x, АП) dx — нормировочные числа задачи (1)-(3) при q(x) = 0, {tn} e 12.

о

Теорема 3. 1) система собственных функций {s (x, An)}n>1 граничной задачи (1)-(3) полна в L2 (0, п; p);

2) если f (x) — абсолютно непрерывная функция на отрезке [0, п], f (0) = f (п) = 0, то

ж i П

f (x) = ans (x, An), an = — p (t) f (t) s (t, An) dt,

an J

n=1 0

причем ряд сходится равномерно на [0, п] ;

3) для f (x) e L2 (0, п; p) ряд из 2) сходится в L2 (0, п; p), причем имеет место равенство Парсеваля:

р (x) |f (x)|2 dx = an |an|2

n=1

Лемма 3. Система функций {з0 (х, Лп)}п>1 полна в пространстве £2 (0, п; р). 2. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА

Под обратной задачей для граничной задачи (1)-(3) будем понимать восстановление функции д(х) по спектральным данным {ЛП,а^п>1.

Сначала мы покажем, что для решения з(х, Л) существует треугольное представление:

s (x, А) = s0 (x, А) + J A (x, t) s0 (t, A) dt. o

При x < a это очевидно. Теперь пусть x > a. Тогда

1 / 1\ sin A(ax — aa + a) 1 / 1\ sin A (—ax + aa + a) s0 (x,A) = 2 \ + -- + 2 \ — ^ ---

Отсюда

sin A(ax — aa + a) 2a , ,, 1 — a , ,,

---=-s0(x, A) +--s0(—ax + aa + a, A).

A 1 + a 1 + a

Следовательно, при x > a из представления (4) имеем:

ai-aa+a a ai-aa+a

sin At sin At sin At

s (x, A) = s0 (x, A)+ A (x, t) —a—dt = s0 (x, A)+ / A (x,t) a dt + A (x,t) a dt

(7)

, ,, f . , , , . f , , sinA(at — aa + a) = s0 (x, A) + A (x, t) s0 (t, A) dt + a A (x, at — aa + a)---dt =

П

n

n

x

= 50 (х, А) + / А (х, г) 50 (г, А) <г+

+а / А (х,аг — аа + а)

2а . л, 1 аа ^ л %

-50(г, А) +--50(—аг + аа + а, А)

1 + а 0У 7 1 + а '

<И =

2а2

= 50 (х, А) + А (х, г) 50 (г, А) <г + 1+— А (х, аг — аа + а) 50(г, А)<^+

+

1 — а 1 + а

А (х, 2а — г) 50(г, А)<г.

-ах+аа+а

Таким образом, справедливо представление (7), где

А (х, г) = <

А(х,г), 0 < г < х < а, А(х, г), х > а, 0 < г < —ах + аа + а, А(х, г) + у+а А(х, 2а — г), —ах + аа + а < г < а < х, ^ "2+аА(х, аг — аа + а), а < г < х.

Используя (5)-(6), нетрудно показать, что функция А(х,г) непрерывна при г = 2а — (х) и

<хА^(х,х) = 1 ?(х)-

(8)

Теорема 4. При каждом фиксированном х е (0, п] ядро А(х,г) из представления (7) удовлетворяет линейному интегральному уравнению:

А(х, г) + ^(х, г) + / А(х, С)^(с, г)<с = 0, 0 < г < х,

(9)

где

^ (х,г) = Р(г)^

50 (г, Ап) 50 (х, А„) ^0 АП) 50 АП)

п=1

Доказательство. Из (4) имеем:

(10)

50 (х, А) = 5 (х, А) + у в (х, г) 5 (г, А) <г.

0

Используя (7) и (11), имеем:

N

N / х

^5 (х, Ап) 50 (г, Ап) ^ I 50 (х, Ап) 50 (г, Ап) , 50 (г, Ап) [ -Г, ^ / 1= д \ 7/*=

^-ап-=¿11-ап-+ -ат~ 0 А (x, с) 50 Ап)

п=1

N

^ ¿ ^ 50 & Ап) = р | 5 (x, Ап) 5 (г, Ап) + 5 (х Ап) [ в (г с) 5 (с Ап)

ап \ ап ап и

п=^ 0

п=1

Сравнивая последние равенства получаем

ф N (х, г) = /N1 (х, г) + ^ 2 (х, г) + ^ з (х, г) + /N4 (х, г),

где

(х, г) =

N /

ФN(х,г) = 5] -

п=1 \

5 (х, Ап) 5 (г, Ап) 50 (х, ап) 50 (г, Ап)

(11)

а

х

а

х

а

х

0

а

п

п

х

а

п

п

N

Ini (x, t) =

so (x, An) so (t, An) so (x, аП) so аП)

n=1

In2 (x, t) = £ / AL (x, 0 so (С, аП) d£,

n=1

Inз (x,t) = T /A(x,C) (

n=1

so (t, An) so (С, An) so АП) so АП)

dC,

N

In4 (x, t) = - T:

s (x, An)

B (t,C) s (C, An) dC.

n=1

Пусть f (x) e AC[0, п], f (0) = f (п) = 0. Согласно теореме о разложении по собственным функциям T p (t) f (t) s (x,A" ) s (t,An) dt = f (x), T /p (t) f (t) so (x,An а,so (t,An) dt = f (x). (12)

n=1 o n n=1 n

Используя (12), вычисляем:

lim max / p (t) f (t) ФN (x, t) dt

N^ж o<x<n

= lim max

N^ж o<x<n

' p (t) f (t) T ^ s (x, An ) s (t, An) _ so (x АП ) so АП) ^

n=1

< lim < max

N^ж I o<x<n

N

dt

<

p (t) f s (x,An ) s (t,An) dt _ f (x)

n=1

+

+ max

o<x<n

p (t) f (t) Tso МП а sМП) dt _ f (x)

n=1

= 0.

Кроме того, равномерно по x e [0, п]

lim / p (t) f (t) IN1 (x, t) dt =

N^ж /

n N

lim / p (t) f (t)£

N ^ж / z—'

n=1

s0 (x, An) s0 (t, An) s0 x, An s0 t, An

dt = J f (t) F (x, t) dt,

о

lim / p (t) f (t) IN2 (x, t) dt =

N^ж I

n N

lim / p (t) f (t)£

N^ж j z—'

s0 t, An

n=1 n

A(x, C)so (C,A^ dCdt = f (t) A (x,t) dt,

lim p (t) f (t) Inз (x, t) dt =

N^ж /

mJ P (t) / (t) T/so (t'An) * (с,аП ) _so (-,аП) no dCdt=

n=1 n

о

а

n

n

n

о

а:

n

n

t

а

n

n

n

n

о

о;

n

n

X'

X

п х

= У / (г) у А (х,с) ^(С,г)<С<г, 00

11ш [р (г) / (г) /N4 (х, г) <г = — Нш / р (г) / (г) р [ в(г, С)5 (С, Ап) <С<г =

V ^^ N ^^ -"Н ап ]

5(х,Ап)

п=1

г

N^^7 N у ^—/ ап

0 0 п=1 0

N - - - п / п \ п

^ .ОаМ 15(с,Ап)р(с)

N а

п=1

р-1уу р(г)/(г) в(г,с)<г V ? /

<с = — рщ! р(г)/(г) в(г,х)<г.

Доопределив А(х,г) = в(х,г) = 0 при х < г, в силу произвольности /(х) приходим к соотношению

х

А(х, г) + ^ (х, г) + [ А(х, с)^ (с, г)<с — ^ в (г, х) = 0.

р(х)

0

При г < х отсюда получаем (9). Теорема доказана.

Теорема 5. При каждом фиксированном х е (0, п] уравнение (9) имеет единственное решение А(х, ■) в £2 (0, х).

Доказательство. Так как (9) является уравнением Фредгольма второго рода, то для доказательства теоремы достаточно показать, что уравнение

х

А(г) + у А(с)^ (с, г)<с = 0 (13)

0

имеет только нулевое решение А(г) = 0.

Пусть А(г) — ненулевое решение уравнения (13). Тогда

х х х

У р(г)АТ2 (г)<г + у ^ р(г)А(г)А(£)^ (с, г)<с<г = 0,

0 0 0

или

х / х \2 /х \2

[ р(г)АТ2(г)<г + 01 \ / р(г)А(г)50 (г, Ап) <г) — 00 \ /" р(г)АТ(г)50 (г, аП) <г) =0.

0 п=1ап / п=1ап /

Учитывая равенство Парсеваля

х ж / х

У р(г)/2(г)<г = р ^ П р(г)/(г)50 (г, аП) <г

0 п=1 0п \0

для функции /(г) = А(г) е ь2(0, х), получаем

Р а1" ( / р(г)^(г)50 (г, Ап) <г I =0,

п=1 ап 0

и, следовательно,

х

У р(г)А(г)50 (г, Ап) <г = 0, п > 1.

0

Отсюда в силу леммы 3 получаем, что А(г) = 0. Теорема доказана.

Следствие. Граничная задача (1)-(3) однозначно определяется по спектральным данным

{АП, аЛп>1.

п

п

Следующий алгоритм позволяет построить функцию д(х) по спектральным данным |АП,ап}п>1 Алгоритм. 1. По заданным числам {АП,ап}п>1 строится функция ^(х,г) по формуле (10).

2. Находится функция А(х, г) из уравнения (9).

3. Вычисляется д(х) по формуле (8).

Библиографический список

1. Akhmedova E.N. The definition of one class of Sturm - Liouville operators with discontinuous coefficients by Weyl function // Proc. of IMM of NAS of Azerbaijan. 2005. V. XXII (XXX). P. 3-8.

2. Гасымов М.Г. Прямые и обратные задачи спектрального анализа для одного класса уравнений с разрывными коэффициентами // Неклассические методы в геофизике: Материалы Междунар. конф. Новосибирск, 1977. С. 37-44.

3. Гусейнов И.М., Пашаев Р.Т. Об одной обратной задаче для дифференциального уравнения второго порядка // УМН. 2002. Т. 57, № 3. С. 147-148.

4. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М., 2007. 384 с.

УДК 517.51

К ВОПРОСУ О СХОДИМОСТИ В ТОЧКЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО ПРОЦЕССА ЛАГРАНЖА

Л.В. Борисова, А.В. Шаталина

Саратовский государственный университет, кафедра теории функций и приближений E-mail: [email protected]

Получен аналог признака Р. Салема для тригонометрического интерполяционного процесса Лагранжа по матрице равноотстоящих узлов.

Ключевые слова: интерполирование, интерполяционный процесс, равноотстоящие узлы, сходимость в точке.

5. Левитан Б.М., Гасымов М.Г. Определение дифференциального оператора по двум спектрам // УМН. 1964. Т. 19, вып. 2. С. 3-63.

6. Марченко В.А. Операторы Штурма - Лиувилля и их приложения. Киев, 1977. 331 c.

7. Akhmedova E.N. On representation of solution of Sturm - Liouville equation with discontinuous coefficients // Proc. of IMM of NAS of Azerbaijan. 2002. V. XVI (XXIV). P. 5-9.

8. Akhmedova E.N., Huseynov H.M. On eigenvalues and eigenfunctions of one class of Sturm - Liouville operators with discontinuous coefficients // Transactions of NAS of Azerbaijan. 2003. V. XXIII, № 4. P. 7-18.

The Problem of Convergence in Point Trigonometric Interpolation Process of Lagrange

L.V. Borisova, A.V. Shatalina

Saratov State University,

Chair of Theory of Functions and Approximations E-mail: [email protected]

An analogue of the characteristic of R. Salem is obtained for a trigonometric Lagrange interpolation process on the matrix of equally spaced nodes.

Key words: interpolation process, equidistant nodes, convergence at point.

Один из основных вопросов теории интерполирования состоит в выяснении для данной матрицы M узлов интерполирования условий на функцию f е С, обеспечивающих равномерную или поточечную сходимость интерполяционного процесса Лагранжа {Zn(M, f, x)}. Признаком сходимости интерполяционных процессов Лагранжа, построенных для конкретных матриц, посвящено большое количество работ. Укажем работы С.Н. Бернштейна [1], Д.Л.Бермана [2], Г.Н. Неваи [3], А.А.Привалова [4].

В данной работе получен аналог признака Р. Салема [5] для тригонометрического интерполяционного процесса Лагранжа по матрице равноотстоящих узлов в точке x е [—п; п].

Пусть MT = {ik,n}, = 2nkrr, —n — k — n, n = 0, ±1, ±2, ±3,... - матрица равноотстоящих узлов интерполирования на [—п; п]. Для любых n е N и f е С2п тригонометрический интерполяционный многочлен Tn(x, f) в точке x е [—п; п] запишем в виде

T, (*,/)= £ л, sin(m-(ik-n - x))

k=-n

2mn sin

(1)

где mn = n + 1/2 и = f (tk,n).