CC BY
23УДК 511.3
В.Н. КУЗНЕЦОВ, Т.А. КУЗНЕЦОВА, В.В. КРИВОБОК
Об аналитической непродолжимости за границу сходимости степенных рядов, отвечающих ^функциям Дирихле
числовых полей
Пусть к — числовое поле, отличное от ^ х ~ характер Дирихле поля к. Рассмотрим Ь-функцию Дирихле поля к для характера х
ц*,х,к)=-ШУ=уШ-=у-, в=„+й. (1)
(,х,) 1Ц N (р)-) ¿^ N (Я)- П=1 п-, У1
Пусть д(г) — степенной ряд, отвечающий Ь-фупкции (1), то есть ряд с теми же коэффициентами, что и ряд Дирихле (1):
то
д(г ) = У апгп. (2)
п= 1
Целью данной работы является показать что степенной ряд (2) непродолжим за границу сходимости.
Отметим, что в работе [1] подобный факт был доказан для степенных рядов, отвечающих ^-функциям Дедекинда числового поля к (к = Q). При доказательстве этого факта существенно использовались граничные свойства степенных рядов с целыми коэффициентами. В нашем случае коэффициенты ап являются некоторыми комплексными числами. В связи с этим доказательство основного результата в случае Ь-функцпй требует иного подхода.
Приведем формулировки отдельных результатов, доказанных ранее, которые будут использованы при доказательстве основной теоремы.
В работе [2] был доказан следующий факт.
Теорема 1. Пусть степенной ряд д(г) отвечает ряду Дирихле /(в). Тогда условие регулярности д(г) в точке г = 1 эквивалентно тому, что /(в) определяет целую функцию с условием роста модуля
(—п) | < Сеп 1пп+Лп, где А > 0.
В работе [3] была доказана следующая
Теорема 2. Пусть степенной ряд g(z) отвечает ряду Дирихле f (s). Тогда следующие условия эквивалентны:
1.
|an| = O(eknlnn+An), an = lim g(n)(x), k ^ 1;
x——0
2.
|f(—n)| = O(eknlnn+An), k ^ 1. Причем, если существует подпоследовательность {nm} такая, что 1\
|anmeknmlnnm+Anm, anm = lim g(nm)(x), k ^ 1;
m m x—1—0
то для этой подпоследовательности выполняется условие 2'.
|(— Пт)| - eknm 1П nm+Anm , k ^ 1,
и наоборот.
В работе [4] доказано следующее утверждение
Теорема 3. Пусть Ь-функции Ь(в,х,к), где к = Q соответствует степенной ряд д(г). Тогда, для почти всех рациональных ^ функция
оо
сф) = Y, ei^na„zn
n=1
имеет в точке z = 1 радиальные производные an.
Для доказательства основного результата нам потребуется следующее утверждение
Теорема 4. Для Ь-функции Ь(в, х, к) шля к = О выполняется условие
\Ь(-п,х,к)\ = 0(екп 1пп+Ап), к = [к : О], и для подпоследовательности {пт}, где пт = 2т + 1, т = 1, 2,...
\Ь(-Пт,Х,к)\ - екПт 1П Пт+Апт . Доказательство
Ь
опальному уравнению вида
Ф(5,х) = аФ(1 - з,х), (3)
где
Ф(5, х) = Ь П Г ( ^^ Г(*Г Ь(з,х), (4)
9=0 ^ '
где а и Ь — константы, отличные от нуля, г1, г2 — соответственно число вещественных и комплексных нормирований поля к, а9 равно либо 0, либо 1.
Известно также [6], что для Г-фупкции имеет место асимптотика
Г(в) - е- 1п^^, 5 = а + й. (5)
Учитывая (3), (4), (6) и тот факт, что г1 + 2г2 = [к : О], получаем утверждение теоремы 4.
Теорема 5. Пусть степенной ряд
д(*) = Е
то
п
г) = > а„г
п= 1
отвечает, Ь-функции Ь(в, х, к) числового поля к. Тогда, почти для всех рациональных р функция
д^(г) = ^2 е^папгп (6)
п=1
имеет в точке г = 1 радиальные производные апудовлетворяющие условию
\ап,ч> \ = 0(екп 1п п+Лп),
где к = [к : О].
Более того, существует подпоследовательность {пт} такая, что
| | акпт 1п пт+Лп т
\апт,(р\ е .
Доказательство
Отметим, что в процессе доказательства теоремы 3 в работе [4] центральным местом было доказательство следующего факта: для рационального р = р1 + рак + ... + рот для функции (6) было получено представление
п 1
(г) = ^2 д3 (г), г = Т^ (7)
3=1
гДе дф) ~ степенные ряды, отвечающие рядам Дирихле
им= Е -ЩА)', (8)
AeCj
N (Я)=1М( mod p"1'
N (A)=ls4 mod )
и где матрица B = (fiij) является неособой.
Там же было показано, что для рядов Дирихле f\j (s) вида (8) имеет место разложение
П2
U,i = ^2 Lk(s,Xi,k), i = 1, ni, (9)
i=i
где Lk — L-функция поля k, и матрица A = (ai:k) является неособой.
В силу теоремы 4 из представления (9) следует, что утверждение теоремы 4 имеет место и для функций /^¿(в).
Тогда в силу (7) на основании теоремы 2, получаем утверждение теоремы 5.
Основным результатов данной работы является следующая теорема.
Теорема 6. Пусть степенной ряд д(г) отвечавт Ь-функции Ь(в, х, к) числового поля к к = О.. Тогда ряд д(г) аналитически непродолжим, за границу круга сходимости.
Доказательство
В силу теоремы 5 и теоремы 1 ни одна точка на единичной окружности не может быть регулярной для функции д(г), что и доказывает утверждение теоремы 6.
Библиографический список
1. Сецинская Е.В. Граничное поведение степенных рядов, отвечающих Ь
2005.
2. Кузнецов В.П., Сецинская Е.В., Кривобок В.В. О рядах Дирихле, определяющих целые функции первого порядка // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 3.
3. Кузнецов В.П., Кузнецова Т.А., Сецинская Е.В., Кривобок В.В. О рядах Дирихле, определяющих целые функции с определенным порядком роста модуля // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. Вып. 4.
Ь
лей: Дне.... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 2008.
5. Хейльброн X. ^-функции и Ь-функции // Алгебраическая теория чисел / Под ред. Дж. Касселса, А. Фрелиха. М.: Мир, 1969.
6. Прахар К. Распределение простых чисел. М.: Мир, 1967.
УДК 511.3
В.Н.КУЗНЕЦОВ, Т.А. КУЗНЕЦОВА, В.В. КРИВОБОК
Об аналитических свойствах функций, определяемых рядами Дирихле с периодическими коэффициентами
Рассмотри ряд Дирихле
то
/(в) = апп-, в = а + И, (1)
п=1
ап ап = 0(1).
п^х
Данная работа посвящена доказательству следующего утверждения.
Теорема. Ряд Дирихле (1) определяет целую функцию первого порядка со следующим условием роста модуля в левой полуплоскости:
\/(в)\ <се>-11п 1-1+А1-1, а < 0. (2)
Замечание. Хорошо известно [1], что теорема 1 имеет место в случае, когда ап = х(п), где х ~ неглавный характер Дирихле, то есть когда /(в) Ь
Ь
нальному уравнению типа Римана. Доказательство теоремы 1, приведенное в данной работе, получено без использования функционального уравнения (ряд вида (1) может не удовлетворять уравнению типа Римана), в его основе лежит метод редукции к степенным рядам, разработанный в
