Об абелевых группах, все подгруппы которых являются идеалами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2009 Математика и механика № 3(7)

УДК 512.541

А.Р. Чехлов ОБ АБЕЛЕВЫХ ГРУППАХ, ВСЕ ПОДГРУППЫ КОТОРЫХ ЯВЛЯЮТСЯ ИДЕАЛАМИ

Описаны абелевы группы, все подгруппы которых являются идеалами в каждом кольце, заданном на группе. Найдены условия на типы прямых слагаемых ранга 1 сепарабельных и векторных групп без кручения, при которых эти группы являются нильгруппами.

Ключевые слова: аддитивные группы колец, нильгруппы.

Описанию подгрупп абелевой группы A, являющихся идеалами в каждом кольце, заданном на A, посвящена статья [1]. Под кольцом подразумевается не обязательно ассоциативное кольцо с 1, но умножение всегда считается дистрибутивным с двух сторон. Положим /(A) = (фА | ф е Hom(A, E(A)+)), т.е. /(A) - подгруппа, порожденная всеми гомоморфными образами группы A в аддитивную группу E(A)+ кольца эндоморфизмов E(A) группы А. Несложно проверить, что 1(A) - идеал кольца E(A) [1, лемма 1].

Теорема 1 [1, теорема 1]. Подгруппа C группы A служит идеалом в каждом кольце на группе A тогда и только тогда, когда C является /^-допустимой подгруппой, т.е. /(A)C с C.

Результаты статьи [1] отражены в [2, § 117]. Отметим также, что аддитивным группам колец посвящена книга [3].

В данной заметке рассматриваются абелевы группы A, все подгруппы которых являются идеалами в каждом кольце, заданном на A. Обозначим класс таких групп через M. Терминология и обозначения соответствуют [2]. Напомним, что подгруппа H группы A называется вполне инвариантном (или вполне характеристическом), если fH с н для каждого f £ E(A). Через Z обозначается аддитивная группа (а также кольцо) целых чисел, N - множество всех натуральных чисел.

Напомним, что функция р: A*A ^ A называется умножением на группе A, если

p(a,b+c) = p(a,b)+p(a,c) и p(b+c,a) = p(b,a)+p(c,a) для всех a,b,c е A.

Всякое кольцо на группе A задает некоторое умножение р, а именно p(a,b) = ab, и это соответствие между кольцевыми структурами и умножениями на группе A биективно. Если р и v - умножения на группе A, то их сумма p+v определяется по правилу

(p+v)(a,b) = p(a,b)+v(a,b) для всех a,b е A.

Относительно введенной операции сложения умножения на группе A образуют абелеву группу, группу умножений на A, Mult A. Всякая группа A может быть тривиальным образом снабжена кольцевой структурой, если все произведения ее элементов положить равными 0. Такое кольцо называется нуль-кольцом. Нуль группы Mult A - это умножение, соответствующее нуль-кольцу на A. Группа A называется нильгруппой [2, § 120], если на A не существует никаких колец, отлич-

ных от нуль-кольца, т.е. Mult A = 0. Всякая периодическая делимая группа является нильгруппой [2, теорема 120.3]. Всякая нильгруппа не содержит ненулевых делимых подгрупп без кручения.

Непосредственно из теоремы 1 следует, что A е M в точности тогда, когда каждая ее подгруппа /^-допустима. Ясно, что нильгруппы лежат в M. Поскольку группа без кручения ранга 1 не является нильгруппой тогда и только тогда, когда ее тип идемпотентен [2, теорема 121.1], то все группы без кручения ранга 1 не-идемпотентного типа принадлежат M Если _pA = A для некоторого простого числа p и группа A е M имеет подгруппы H со свойством _p“H = П n Е N_pnH = 0, то H содержатся в аннуляторе всякого кольца на A. В частности, группа без кручения ранга 1 идемпотентного типа принадлежит M тогда и только тогда, когда A = Z. Ясно, что прямые слагаемые группы из M также принадлежат классу M. Из вышесказанного следует, что группа из класса M не содержит ненулевых делимых подгрупп без кручения; в частности, делимая группа принадлежит M тогда и только тогда, когда она периодическая, а всякая группа без кручения из M является редуцированной. Отметим еще, что для каждой группы A имеют место изоморфизмы:

Mult A = Hom(A®A, A) = Hom(A,E(A)+) [2, теорема 118.1].

Теорема 2. 1) Периодическая группа A е M тогда и только тогда, когда каждая ее _р-компонента Ap является либо циклической группой, либо делимой группой.

2) Группа без кручения A е M тогда и только тогда, когда она является либо нильгруппой, либо изоморфна группе Z.

3) Всякая смешанная группа не принадлежит классу M.

Доказательство. Достаточность 1) и 2) очевидна.

1) Ясно, что можно ограничится случаем _р-группы A. Если A неделима, то в ней найдется циклическое прямое слагаемое (a), являющееся аддитивной группой кольца Zpk для некоторого натурального k. Имеем A = (a)®B. Определим кольцо

на A как сумму колец на (a) и нуль-кольца на B. Тогда для каждого 0 Ф b е B имеем a(a+b) = a2+ab = a г (a+b), это доказывает необходимость 1).

2) Допустим, что ab Ф 0 для некоторых a,b е A. Так как A е M, то ab е (a)n(b). Следовательно, a и b - зависимые элементы в группе A. Если же (a)n(c) = 0 для некоторого 0 Ф с е A, то a(a+c) = a2+ac = a2 г (a+c). Это доказывает, что A - группа ранга 1. Согласно абзацу перед теоремой, A = Z.

3) Так же, как в 1), доказывается, что всякая _р-компонента группы A не содержит циклических прямых слагаемых. Поэтому допустим, что периодическая часть T группы A является делимой группой, A = T®B. Как прямое слагаемое группы из класса M группа B также принадлежит M. Поэтому по 2) либо B = Z, либо B является нильгруппой. Если B = Z, то b2 = b для некоторого 0 Ф b е B. Определяя кольцо на A как сумму нуль-кольца на T и кольца на B, изоморфного Z, для каждого 0 Ф a е T получим b(a+b) = b г (a+b). Допустим теперь, что B - нильгруппа. Поскольку для смешанной группы G всегда Hom(G®G, G) Ф 0, то Mult G Ф 0, т.е. всякая смешенная группа G не является нильгруппой [2, теорема 120.3]. Следовательно, для некоторых элементов tj,t2 е T и bi,b2 е B имеем (ti+bi)(t2+b2) = t1t2+t1b2+b1t2+b1b2 Ф 0. Здесь t1t2 = 0 (так как группа T делима), t1b2, b1t2 е TnB = 0, а b1b2 е (b1)n(b2) с B. Поэтому b1b2 = 0. Полученное противоречие заканчивает доказательство.

66

А.Р. Чехлов

Напомним, что если t1,t2 - типы, содержащие характеристики х1 = №,..., kn,...) и Х2 = (A,..., /n,...) соответственно, то под произведением t1t2 понимается тип, содержащий характеристику х1Х2 = (k1+/1,., kn+/n,...) (здесь да плюс нечто есть да). Частное х1 : Хг двух характеристик ХъХг, где х1 > Хг, определяют как наибольшую характеристику х со свойством хХг < Х1. Если теперь х1 е t1, х2 е t2 и х1 > Хг, то частное типов t1 : t2 определяется как тип, содержащий характеристику х1 : Хг. Если A - сепарабельная группа без кручения, то через Q(A) обозначим множество типов всех прямых слагаемых ранга 1 группы A. Если A = П / е/A, - векторная группа, где A, - группы без кручения ранга 1, то положим Q(A) = (t(A;) | г е /}. Приведем следующий результат.

Теорема 3. 1) Сепарабельная группа без кручения A является нильгруппой тогда и только тогда, когда t1t2 ^ т для любых t1,t2,T е O(A).

2) Пусть A = П ; е /A; - такая векторная группа, где A,- - группы без кручения ранга 1, что для каждого i е / множество J = {j е / | t(Ay) < t(A,)} неизмеримо.

Группа A является нильгруппой тогда и только тогда, когда t1t2 ^ т для любых t1,t2,T е Q(A).

Доказательство. Воспользуемся изоморфизмом Mult A = Hom(A®A, A) = = Hom(A,E(A)+) (см. абзац перед теоремой 2). Если A - группа из 1) или 2) с указанным свойством на O(A), то t2 Ф t для любого t е Q(A). Поэтому соответствующие подгруппы A, ранга 1 являются нильгруппами, в частности всякая группа A в 1) и 2) редуцированная.

Пусть a е A0A, элемент a представим в виде конечной суммы a = Z(a/®b/), где a;,b; е A. Если A - сепарабельная группа, то элементы a, и b можно вложить в прямую сумму A1®...®An групп ранга 1, являющуюся прямым слагаемым в A, A = (A1®...®An)®B. Имеем

A0A = (®”j=1 (Ai ® Aj)) ® (®ni=1 (Ai 0 B) ® (B 0 B)).

Переходя к изоморфной группе, считаем, что a е ©” j=1 (A; 0 Aj). Здесь каждая

A;®Ay является группой без кручения ранга 1 типа t(A;)t(Ay). Из проведенных рассуждений следует, что Hom(A®A, A) = 0 (и, значит, Mult A = 0) тогда и только тогда, когда t(A,)t(Ay) ^ t(As) для любых (в том числе и одинаковых) прямых слагаемых A,, Ay, As ранга 1 группы A. Это доказывает 1).

Пусть теперь A = П ; е /A, - векторная группа. Имеем E(A)+ = Hom(A,A) = = П ; е / Hom(A,A;) [2, теорема 43.2]. Запишем A в виде

A = ( П jJ Aj ) ® ( П^Е/\J AS ) , где J { е 1 1 t(Aj) < t(A)} .

По лемме 96.1 из [2] Hom (Пse/\J As ,Ai) = 0. Поэтому Hom(A,A,) = = Hom (ПjeJ. Aj ,Ai). А так как A - редуцированная группа, то все A, - узкие группы, следовательно, Hom (ПjeJ; Aj Д-) = ® Hom(Ay,A;) [2, следствие 94.5]. Здесь

все Hom(Ay,A;) - группы ранга 1 типа t(A,-) : t(Ay). Из вышесказанного следует, что E(A)+ можно рассматривать как подгруппу такой векторной группы G, что Q(G) = {t(A,) : t(Ay) | t(A,) < t(Ay) и /j' е /}. Поэтому вновь по лемме 96.1 из [2] Hom(A, E(A)+) Ф 0 тогда и только тогда, когда t(As) < t(A,) : t(Ay) или, эквивалентно, t(As)t(Ay) < t(A,) для некоторых z,/,s е /. Это доказывает 2).

ЛИТЕРАТУРА

1. Fried E. On the subgroups of an abelian group that are ideals in every ring // Proc. Colloq. Abelian Groups. Budapest, 1964. P. 51 - 55.

2. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т. 1; 1977. Т. 2.

3. Feigelstock S. Additive Groups of Rings. Boston-London: Pitman, 1983.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:

ЧЕХЛОВ Андрей Ростиславович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры Томского государственного университета. E-mail: [email protected]

Статья принята в печать 09.04.2009 г.