CC BY
23
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2014 Математика и механика № 4(30)
УДК 512.541
Д.С. Чистяков
АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ С иА-КОЛЬЦОМ ЭНДОМОРФИЗМОВ И ИХ ОДНОРОДНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ1
Мультипликативные свойства колец играют важную роль в структурной теории колец. Под мультипликативными свойствами понимаются свойства мультипликативной полугруппы кольца. Прежде всего это касается свойств элементов, идеалов и самих колец. Следующий вопрос вызывает особый интерес: когда каждый мультипликативный изоморфизм полугрупп является изоморфизмом колец? Кольца, обладающие данным свойством, называют кольцами с однозначным сложением. В работе изучаются абелевы группы с UA-кольцами эндоморфизмов, решаются близкие вопросы.
Ключевые слова: кольцо с однозначным сложением, однородное отображение.
Идея данной работы возникла на основе статьи [1]. Заключается она в следующем: исследовать UA-свойства абелевых групп и их колец эндоморфизмов, используя данные о почтикольце однородных отображений [2-5]. Таким образом, мы обобщаем понятие «обобщенной эндопримальности» абелевой группы, введенное и исследованное У. Альбрехтом, С. Бреазом, У. Уиклессом [1]. В то же время мы по-новому определяем эндоморфные модули [2]. Это позволяет рассматривать обобщенно эндопримальные абелевы группы и эндоморфные модули с единых позиций. Вначале сформулируем необходимые для дальнейшего изложения определения.
Пусть Я - ассоциативное кольцо с единицей, А и В - левые унитарные модули над кольцом Я. Введем обозначение МЯ(А, В) = {/: А^В | /(га) = г/(а), геЯ, аеЛ}. Элементы множества МЯ(А, В) называются однородными отображениями. Множество
МЯ(Л) = {/ Л ^Л I /(га) = г/(а), г е Я, а е Л} образует почтикольцо относительно операций сложения и композиции отображений. Всегда имеет место включение ЕпёЯ(Л) с МЯ(Л).
Определение 1. Пусть п - натуральное число. Я-модуль А называется п-
эндоморфным, если
МЯ(Лп) = ЕпёЯ(Лп).
Определение 2. Я-модуль А называется эндоморфным, если он п-эндоморфен для всех пе N.
Таким образом, обобщенно эндопримальная абелева группа [1, определение 3] - это абелева группа, которая является эндоморфным модулем над своим кольцом эндоморфизмов. Исследованию абелевых групп как 1-эндоморфных модулей над своим кольцом эндоморфизмов посвящены работы [3-5].
1 Работа выполнена при поддержке совместной программы «Михаил Ломоносов III» Министерства образования и науки Российской Федерации и DAAD: научно-исследовательские стипендии и научные стажировки (Michail Lomonosov III - Forschungsstipendien und Aufenthalte).
Лемма 3. Следующие условия эквивалентны:
1) А - п-эндоморфный Я-модуль;
2) каждое отображение/е МЯ(Лп, Л) аддитивно;
3) каждое отображение/е МЯ(Лп, Л) может быть представлено в виде
/(хь... ,хп) = и1х1 +... + ипхп, где иь... ,ип е EndЯ(Л).
Доказательство. Полагаем В = ©,=1пЛ,, Л, = Л, в,: В ^ Л - соответствующие проекции. 2-модульный изоморфизм
Ф: Мя(В) ^ ©=пМя(В, Л,),/^ (в/. ,в/) дает равносильность первых двух условий леммы.
3) ^ 2) Для /(хь...,хп) = и}Х} +...+ и„хп е МЯ(Лп, Л), где щ,... ,ип е EndЯ(A) и а!,. ,ап, а\,... ,а'п е Л, имеем
/(а-[ + а\,... ,ап + а'п) = и^а! + а'1) +... + ип(ап + а'п) =
= и1а1 +... + ипап + и1а\ +... + ипа'п = /(аь... ,ап) + /(а'ь... ,а'п).
Импликация 2) ^ 3) следует из изоморфизма
МЯ(Лп, Л) = НотЯ(Лп, Л) = ©1=1п НотЯ(Л, Л) = ®,=1п EndЯ(Л).
Лемма доказана.
Заметим, что конечная прямая сумма копий эндоморфного модуля будет эндоморфным модулем.
Определение 4. Пусть Я - ассоциативное кольцо с единицей. Кольцо Я называется кольцом с однозначным сложением (иА-кольцом), если на его мультипликативной полугруппе (Я, *) можно задать единственную бинарную операцию +, превращающую ее в кольцо (Я, *, +).
Определение 5. Кольцо Я называется иА-кольцом, если любой изоморфизм мультипликативных полугрупп колец а: Я ^ £ является изоморфизмом колец.
Покажем равносильность определений 4 и 5. Если а: Я ^ £ - мультипликативный, но не аддитивный изоморфизм колец, то новое сложение на полугруппе (Я, *) можно определить по правилу
х +' у = а ~ '(а(х) + а(у)).
Выполнение аксиом кольца проверяется непосредственно. С другой стороны, предположим, что на мультипликативной полугруппе (Я, *) можно определить две различные бинарные операции + и +' так, что тройки (Я, *, +) и (Я, *, +') образуют кольца. Тогда тождественное отображение (Я, *, +) ^ (Я, *, +') не является изоморфизмом колец.
Приведем некоторые примеры. Периодическая р-группа, имеющая прямое слагаемое Z(p“) © Z(p“), эндоморфна как модуль над своим кольцом эндоморфизмов [1, следствие 19]. Также р-группа, имеющая неограниченную базисную подгруппу, эндоморфна как модуль над своим кольцом эндоморфизмов [1, лемма 22]. Указанные группы имеют иА-кольцо эндоморфизмов [9]. Абелева группа Л = Z(pю) © В, где ркВ = 0 для некоторого целого числа к, не является эндоморфным модулем над своим кольцом эндоморфизмов [1, лемма 20] , ее кольцо эндоморфизмов не обладает свойством однозначности сложения [9].
Определение 6. Я-модуль А называется модулем с однозначным сложением (иА-модулем), если на множестве А нельзя задать новое сложение, не изменяя действия кольца Я на А.
Определение 7. Я-модуль А называется иА-модулем, если каждая биекция из Мя(Л,В) является изоморфизмом для любого Я-модуля В.
Покажем равносильность определений 6 и 7. Если /: Л ^ В - Я-однородное биективное отображение из Я-модуля А в Я-модуль В, не сохраняющее сложение, то новое сложение на множестве А можно определить по правилу
х +' у = /- 1(/(х) + /(у)).
Легко видеть, что для (Л,+г) выполняются все аксиомы модуля. При этом кольцо Я действует на (Л,+) и (Л,+') одним и тем же образом. С другой стороны, если мы имеем два Я-модуля (Л,+) и (Л,+') с одинаковым действием кольца Я и различными операциями + и +', то тождественное отображение из (Л,+) в (Л,+г) не является изоморфизмом.
Кольцам с однозначным сложением посвящены работы [6 - 9]. Модули с однозначным сложением изучаются в [10 - 12]. В книгах [13] и [14] можно найти факты и понятия, используемые в данной статье.
Предложение 8. Каждый эндоморфный модуль является иА-модулем.
Доказательство. Пусть (А,+) - эндоморфный модуль над кольцом Я. Предположим, что существует другая бинарная операция +', такая, что (А,+') - Я-модуль с тем же действием кольца Я на А. Рассмотрим отображение/ Л2 ^ Л, действующее по правилу /(х,у) = х +' у. В силу предположения, /(х,у) = их + уу для некоторых эндоморфизмов и и у. Заметим, что группы (А,+) и (А,+') имеют один и тот же нейтральный элемент 0, поскольку кольцо Я действует на них одним и тем же образом. Отсюда
х = х +' 0 = /(х, 0) = их, х = 0 +' х = /(0, х) = ух для всех хе Л . Таким образом, и и у суть тождественные отображения, сложения + и +' совпадают. Предложение доказано.
Заметим, что кольцо Z(2) является иА-кольцом, однако векторное пространство Z(2) © Z(2) не является 1-эндоморфным модулем. Отображение / Z(2)© Z(2) ^ Z(2)© Z(2), действующее по правилу /(1,1) = (1,1) и /(х) = (0,0) во всех остальных случаях, не сохраняет сложение.
Во многих случаях абелевы группы, эндоморфные как модули над своим кольцом эндоморфизмов, имеют иА-кольцо эндоморфизмов.
Предложение 9. Пусть А - периодическая группа, такая, что ее 2-компонента не изоморфна группе Z(2), а 3-компонента не изоморфна группе Z(3). Следующие условия равносильны:
1. А - эндоморфный модуль над кольцом End(Л);
2. End(Л) - иА-кольцо.
Доказательство следует из результатов работ [1, §3; 9].
Хорошо известен класс g, состоящий из самомалых смешанных редуцированных абелевых групп, часть без кручения которых является делимой группой конечного ранга.
Предложение 10. Пусть группа А принадлежит классу g и ее 2-компонента не изоморфна группе Z(2), а 3-компонента не изоморфна группе Z(3). Следующие условия эквивалентны:
1. А - эндоморфный модуль над кольцом End(Л);
2. End(Л) - иА-кольцо;
3. Если р-компонента tp(A) группы А отлична от нуля, то она содержит прямое слагаемое Z(pk) © Z(pk), где рк - наибольший из порядков элементов группы рЛ).
Для доказательства данного факта нам понадобится следующее утверждение [8, лемма 1].
Лемма 11. Предположим, что кольцо К обладает такой системой идемпотен-тов Е = {в,- | , е I}, что
1) для любого 0 Ф к е К найдется идемпотент в1 е Е, для которого кв1 Ф 0;
2) для всякого идемпотента в1 е Е существует ортогональный ему идемпотент вj е Е, такой, что для х е К из в1 хв,■ Квj = 0 = в}Кв1 хв, следует, что в,хв, = 0.
Тогда К - иА-кольцо.
Доказательство предложения 10. Эквивалентность условий 1 и 3 следует из [1, теорема 40].
Пусть End(Л) - иА-кольцо. Предположим, что некоторая ненулевая р-компо-нента tp(Л) не содержит слагаемое Z(pk) © Z(pk), где рк - наибольший из порядков элементов группы рЛ). В этом случае кольцо End(tp(Л)) не является иА-кольцом [9]. Имеет место прямое разложение Л = ^(Л) © В, где В - некоторая р-делимая группа. Откуда
End(Л) = End(tp(Л)) х End(B).
Построим отображение
Р: End(tp(Л)) х End(B) ^ End(tp(Л)) х End(B), (г,5) ^ (а(г), s), где а: End(tp(Л)) ^ End(tp(Л)) - мультипликативный, но не аддитивный автоморфизм. Легко видеть, что отображение р является мультипликативным автоморфизмом, не сохраняющим сложение. Противоречие.
Пусть выполнено условие 3. Каждая ненулевая р-компонента группы А имеет вид
tp(A) = Z(pk) © Z(pk) © А'р для некоторой р-группы А р, не содержащей элементы, порядок которых превосходит рк. Пусть Е - множество всех примитивных идемпотентов кольца End(Л). Для любого 0 Ф ф е End(Л) выполнено условие 1) леммы 11. В противном случае эндоморфизм ф аннулирует периодическую часть ^Л) группы А и, следовательно, существует ненулевой гомоморфизм ЛЛ(Л) ^ Л, что невозможно, поскольку группа А - редуцированная, а группа ЛЛ(Л) - делимая.
Для любого е е Е группа е(Л) изоморфна группе Z(pk) для некоторыхр и к. Далее, Л = в(Л) © Л'. Группа А' содержит прямое слагаемое в'(Л), изоморфное Z(pm), где т > к и в’ е Е. Заметим, что
вEnd(Л)в' = Нот^(рт), Z(pk)), вEnd(Л)в = Z(pk).
В силу точности Z(pk)-модуля Hom(Z(pm), Z(pk)) условие 2) леммы 11 выполнено, End(Л) - иА-кольцо. Предложение доказано.
Пусть А - абелева группа без кручения ранга 1. Согласно [2, теорема 3.5; 8], £^(Л)-модуль А не является эндоморфным, а кольцо End(Л) не обладает свойством однозначности сложения.
Пусть А - сепарабельная абелева группа без кручения. Прямое слагаемое В ранга 1 группы Л назовем полусвязанным, если в его дополнительном прямом слагаемом найдется прямое слагаемое ранга 1, тип которого сравним с типом В. Группу О назовем полусвязанной, если всякое ее прямое слагаемое ранга 1 полу-связанно.
Предложение 12. Пусть А - сепарабельная абелева группа без кручения. Следующие условия эквивалентны:
1. А - эндоморфный модуль над кольцом End(Л);
2. End(Л) - иА-кольцо;
3. А - полусвязанная группа.
Доказательство следует из результатов работ [1, предложение 29; 8].
Будем говорить, что группа А квазиравна группе В (А ~Б), если А квазисодер-жится в Б и Б квазисодержится в А (т.е. если пЛ с В, тВ с Л для некоторых п, т е №). Квазиравенство А ~©е1 А, где I - конечное множество, называется квазиразложением или квазипрямым разложением группы А. При этом подгруппы А, называются квазислагаемыми группы А [14, §4].
Абелеву группу без кручения Л можно естественным образом вложить в 0-пространство 0®Л = 0Л, которое является делимой оболочкой группы Л. Естественный образ вложения подразумевает отождествление элемента ае Л с элементом 1®а е 0Л. Каждый эндоморфизм а е End(Л) единственным образом продолжается до линейного преобразования 1®а 0-пространства 0Л. Кольцо End(Л) содержится в Endo(QЛ) [14, §5].
Таким образом, End(Л) = {а е EndQ(QA)| аЛ с Л}. 0-алгебра Q®End(Л) = = QEnd(Л) называется кольцом квазиэндоморфизмов группы Л.
Далее речь пойдет о сильно неразложимых абелевых группах без кручения конечного ранга. Факты, касающиеся этого класса групп и используемые в работе, могут быть найдены в книге [14].
Пусть А - абелева группа без кручения конечного ранга, такая, что N(End(Л)) = 0. В этой ситуации группа А квазиравна прямой сумме ©г=1/Лгп(г) сильно неразложимых групп А,, при этом каждое из колец QEnd(Л1) является телом и группыАь... Л/ образуют жесткую систему [14, теорема 7.3].
Предложение 13. Пусть А - абелева группа без кручения конечного ранга и N(End(Л)) = 0.
1. End(A)-модуль А эндоморфен тогда и только тогда, когда п(/)>1 для всех I = 1,.,/.
2. Если End(A)-модуль А не является эндоморфным, то кольцо QEnd(Л) не обладает свойством однозначности сложения.
Доказательство. Первое утверждение доказано в [1, теорема 32]. Предположим, что п(к) = 1 для некоторого ке{1,...,/}. Тогда QEnd(Л) = QEnd(Лk) х Т. Кольцо QEnd(Лk) не является кольцом с однозначным сложением, поскольку тело является иА-кольцом тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет полиномиальному тождеству х(х + 1)(х2 + х + 1) = 0 [7, теорема 5.2]. Следовательно, кольцо QEnd(Л) не обладает свойством однозначности сложения. Предложение доказано.
Теорема 14. Пусть А - абелева группа без кручения конечного ранга, такая, что QEnd(A)/QN(End(A)) = О.
Тогда QEnd(Л) не является иА-кольцом и группа А не является эндоморфным модулем над своим кольцом эндоморфизмов.
Доказательство. Напомним, что из условий теоремы непосредственно вытекает, что кольцо QEnd(Л) артиново и не содержит нетривиальных идемпотентов [14, замечание перед леммой 5.1, следствие 5.12]. Кроме того, данное кольцо является локальным с единственным максимальным идеалом QN(End(Л)). На основании [14, теорема 5.18, следствие 5.19] заключаем, что ниль-радикал N(End(Л)) нильпотентен. Следовательно, QN(End(Л))k = 0 для некоторого натурального числа к.
Кроме того, имеется прямое разложение аддитивной группы QEnd(Л) = Я © QEnd(Л), где Я - подкольцо кольца QEnd(Л), состоящее из всех квазиэндоморфизмов вида q®1. Каждый квазиэндоморфизм и е QEnd(Л) представим в виде и = а + Ь, где а е Я, Ье QN(End(Л)). Заметим, что кольцо Я содержится в центре кольца QEnd(Л).
В случае, когда QN(End(A)) = 0, получаем QEnd(A) = Q. Но поле рациональных чисел не является UA-кольцом [7, теорема 5.2].
Пусть QN(End(A)) Ф 0 и QN(End(A))2 = 0. Определим биекцию t: QEnd(A) ^ QEnd(A) по правилу
t(x) = x, если x е QEnd(A) \ QN(End(A)), и t(x) = - x в противном случае. Покажем, что отображение t сохраняет умножение.
Зафиксируем обозначения: u = a1 + b1, v = a2 + b2, где a1, a2 е R, b1, b2 е
QN(End(A)). Тогда
1) если a1, a2 Ф 0, то uv - обратимый элемент и t(uv) = uv = t(u)t(v);
2) если a1 = 0, a2 Ф 0, то t(uv) = -uv = t(u)t(v);
3) если a2 = 0, a1 Ф 0, то t(uv) = -uv = t(u)t(v);
4) если a1, a2 = 0, то t(uv) = t(0) = 0 = (-u)(-v) = t(u)t(v).
Однако t(1 + x) = 1 + x Ф 1 - x = t(1) + t(x), 0 Ф x е QN(End(A)).
Пусть QN(End(A))k = 0, k > 2, причем k - наименьшее натуральное число с таким условием. В этом случае найдется элемент d е QN(End(A)), такой, что d = c1 ...ck_1 Ф 0, где сь... ,ck_1 е QN(End(A)).
Полагаем c = c1.ck_2. Рассмотрим биективное отображение t: QEnd(A) ^ QEnd(A), определяемое правилом
t(x) = x, если x е QEnd(A) \ QN(End(A)), и t(x) = (c + 1)x в противном случае.
Покажем, что отображение t сохраняет умножение. Так же, как и выше:
1) если a1, a2 Ф 0, то uv - обратимый элемент и t(uv) = uv = t(u)t(v);
2) если a1 = 0, a2 Ф 0, то t(uv) = (c + 1)b1(a2 + b2) = t(u)t(v);
3) если a1 Ф 0, a2 = 0, то t(uv) = (c + 1)(a1 + b1)b2 = c a1 b2 + a1 b2 + b1 b2 = t(u)t(v);
4) если a1, a2 = 0, то t(uv) = (c + 1) b1 b2 = b1 b2 = t(u)t(v).
Остается заметить, что
t(l + ck_1) = 1 + ck_1 Ф 1 + d + ck_1 = t(l) + t(ck_1).
Кольцо QEnd(A) не обладает свойством однозначности сложения. Второе утверждение следует из [1, теорема 33]. Теорема доказана.
Заметим, что условиям теоремы 14 удовлетворяют сильно неразложимые абелевы группы без кручения А конечного ранга р, где р - простое число и N(End(A)) Ф 0 [16, теорема 4.4.12].
Автор благодарен коллективу кафедры алгебры Томского государственного университета за внимание к работе.
ЛИТЕРАТУРА
1. Albrecht U., Breaz S., Wickless W. Generalized endoprimal abelian groups // J. Alg. and Its Appl. 2006. V. 5. No. 1. P. 1-17.
2. Hausen J. and Johnson J.A. Centralizer near-rings that are rings // J. Austr. Math. Soc. 1995. V. 59. P. 173-183.
3. Чистяков Д. С. Эндопримальные абелевы группы и модули // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2012. № 3(19). С. 31-34.
4. Чистяков Д.С., Любимцев О.В. Абелевы группы как эндоморфные модули над своим кольцом эндоморфизмов // Фундамент. и прикл. матем. 2007. Т. 13. № 1. С. 229-233.
5. Чистяков Д.С. Однородные отображения абелевых групп // Изв. вузов. Математика. 2014. № 2. С. 61-68.
6. Stephenson W. Unique addition rings // Can. J. Math. 1969. V. 21. No. 6. P. 1455-1461.
7. Михалев А.В. Мультипликативная классификация ассоциативных колец // Мат. сб. 1988. Т. 135 (177). № 2. С. 210-224.
8. Любимцев О.В. Сепарабельные абелевы группы без кручения с UA-кольцами эндоморфизмов // Фундамент. и прикл. матем. 1998. Т. 4. № 4. С. 1419-1422.
9. Любимцев О.В. Периодические абелевы группы с UA-кольцами эндоморфизмов // Матем. заметки. 2001. Т. 70. № 5. С. 736-741.
10. B. van der Merwe. Unique addition modules // Communications in Algebra. 1999. 27(9). P. 4103-4115.
11. Любимцев О.В., Чистяков Д.С. Абелевы группы как UA-модули над кольцом Z // Матем. заметки. 2010. Т. 87. № 3. С. 412-416.
12. Чистяков Д.С. Абелевы группы как UA-модули над своим кольцом эндоморфизмов // Матем. заметки. 2012. Т. 91. № 6. С. 934-941.
13. ТуганбаевА.А. Теория колец. Арифметические модули и кольца. М.: МЦНМО, 2009.
14. Крылов П.А., Михалев А.В., Туганбаев А.А. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов. М.: Факториал пресс, 2006.
15. Чистяков Д.С., Любимцев О.В. Об абелевых группах без кручения с UA-кольцом эндоморфизмов // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2011. № 2. С. 55-58.
16. Faticoni T. Direct Sum Decompositions of Torsion-Free Finite Rank Groups, Taylor&Francis Group, 2007.
Статья поступила 11.03.2014 г.
Chistyakov D.S. ABELIAN GROUPS WITH UA-RING OF ENDOMORPHISMS AND THEIR HOMOGENEOUS MAPPINGS
A ring R is said to be a unique addition ring (UA-ring) if a multiplicative semigroup isomorphism (R, *) s (S, *) is a ring isomorphism for any ring S. Moreover, a semigroup (R, *) is said to be a UA-ring if there exists a unique binary operation + turning (R, *, +) into a ring. An R-module A is called an n-endomorphal if any R-homogeneous mapping from An to itself is linear. An R-module A is called endomorphal if it is n-endomorphal for each positive integer n. In this paper, we consider the following classes of Abelian groups: torsion groups, torsion-free separable groups, and some indecomposable torsion-free groups of finite rank. We show that if an Abelian group is an endomorphal module over its endomorphism ring, then this ring is a UA-ring, and vice versa.
Keywords: unique addition ring, homogeneous mapping.
CHISTYAKOV Denis Sergeevich (Candidate of Physics and Mathematics,
Moscow State Pedagogical University, Moscow, Russian Federation)
E-mail: [email protected]
REFERENCES
1. Albrecht U., Breaz S., Wickless W. Generalized endoprimal abelian groups (2006) J. Alg. and Its Appl., v. 5, no. 1, pp. 1-17.
2. Hausen J. and Johnson J.A. Centralizer near-rings that are rings (1995) J. Austr. Math. Soc., v. 59., pp. 173-183.
3. Chistyakov D.S. Endoprimal'nye abelevy gruppy i moduli (2012) Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika, no. 3(19), pp. 31-34. (in Russian)
4. Chistyakov D.S., Lyubimtsev O.V. Abelevy gruppy kak endomorfnye moduli nad svoim kol'tsom endomorfizmov (2007) Fundament. i prikl. matem., v. 13, no. 1, pp. 229-233. (in Russian)
5. Chistyakov D.S., Odnorodnye otobrazheniya abelevykh grupp (2014) Izv. vuzov. Matematika, no. 2, pp. 61-68. (in Russian)
6. Stephenson W. Unique addition rings (1969) Can. J. Math., v. 21, no. 6, pp. 1455-1461.
7. Mikhalev A.V. Mul'tiplikativnaya klassifikatsiya assotsiativnykh kolets (1988) Mat. sb., v. 135 (177), no. 2, pp. 210-224. (in Russian)
В. Lyubimtsev O.V. Separabel'nye abelevy gruppy bez krucheniya s UA-kol'tsami endomor-fizmov (199В) Fundament. iprikl. matem., v. 4, no. 4, pp. 1419-1422. (in Russian)
9. Lyubimtsev O.V., Periodicheskie abelevy gruppy s UA-kol'tsami endomorfizmov (2001) Matem. zametki, v. 10, no. 5, pp. 136-141. (in Russian)
10. B. van der Merwe. Unique addition modules (1999) Communications in Algebra, v. 2l(9), pp. 4103-4115.
11. Lyubimtsev O.V., Chistyakov D.S. Abelevy gruppy kak UA-moduli nad kol'tsom Z (2010) Matem. zametki, v. В1, no. 3, pp. 412-416. (in Russian)
12. Chistyakov D.S. Abelevy gruppy kak UA-moduli nad svoim kol'tsom endomorfizmov (2012) Matem. zametki, v. 91, no. б, pp. 934-941. (in Russian)
13. Tuganbaev A.A. Teoriya kolets. Arifmeticheskie moduli i kol'tsa. Moscow, MTsNMO Publ., 2009. (in Russian)
14. Krylov P.A., Mikhalev A.V., Tuganbaev A.A. Abelevy gruppy i ikh kol'tsa endomorfizmov. Moscow, Faktorial press Publ., 2006. (in Russian)
15. Chistyakov D.S., Lyubimtsev O.V. Ob abelevykh gruppakh bez krucheniya s UA-kol'tsom endomorfizmov (2011) Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika, no. 2, pp. 55-5В. (in Russian)
16. Faticoni T. Direct Sum Decompositions of Torsion-Free Finite Rank Groups. Taylor&Francis Group, 2001.
