О задаче управления подвижными источниками для систем с распределенными параметрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2013 Математика и механика № 1(21)

УДК 517.977

Р.А.Теймуров О ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ПОДВИЖНЫМИ ИСТОЧНИКАМИ ДЛЯ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

В работе исследуется задача оптимального управления процессами, описываемыми совокупностью уравнений параболического типа и обыкновенным дифференциальным уравнением, с управлениями подвижных источников.

Для рассмотренной ниже задачи оптимального управления доказана теорема существования и единственности решения, получены необходимые условия оптимальности в виде точечного и интегрального принципов максимума, найдены достаточные условия дифференцируемости по Фреше критерия качества и получено выражение для его градиента.

Ключевые слова: подвижные источники, редуцированная задача, необходимые условия оптимальности, принцип максимума, интегральное тождество.

Несмотря на прикладную важность задач с управлениями подвижных источников, они в настоящее время наиболее мало изучены [1, 5]. Для некоторых классов линейных и нелинейных краевых задач, в которых участвуют импульсные функции, исследованы вопросы существования и единственности обобщенного решения. В частности в [5] эти вопросы исследованы при условии, что управление возможно только интенсивностью неподвижных источников.

В указанных практических примерах нельзя ограничиться только рассмотрением систем с распределенными параметрами. Приходится учитывать вспомогательные элементы, без которых невозможно управлять процессом. Эти элементы обычно имеют сосредоточенные параметры. Поведение таких систем описывается совокупностью дифференциальных уравнений в обыкновенных и частных производных при начальных и граничных условиях. В настоящей работе рассматривается задача оптимального управления подвижными источниками, заданная параболическим уравнением и обыкновенным дифференциальным уравнением при начальных и граничных условиях. Для этой задачи будет доказана теорема существования и единственности решения, затем получены необходимые условия оптимальности в виде точечного и интегрального принципов максимума.

1. Постановка задачи

Пусть I > 0, Т > 0 - заданные числа, 0 < х < I, 0 < t < Т, Ц = (0,1) х (0, t), О = ОТ . В дальнейшем понадобятся функциональные пространства Г21,0(ОТ), ^21,1(ОТ), У2(О.Т),К21,0(ОТ),Н1(0,Т), которые введены, например, в [4].

Пусть состояние управляемого процесса описывается функциями и(х,1) и ¿•(1). Будем предполагать, что внутри области ОТ функция и( х, t) удовлетворяет следующему параболическому уравнению:

П

и=а 2ихх+X Рк(1 )8( х - ^ о1 эх (1)

к=1

с начальным и граничными условиями

и(х, о) = ф(х), 0 < х <1; (2)

их|х=с = 0, их|х= = 0,0 <t < Т, (3)

где a > 0 - заданное число, ф(х) е 22(0, I) - заданная функция; 5(-) - функция

Дирака; p(t) = (p1(t), p2(t),..., pП (t)) е 2П2(0,Т) - управляющая функция.

Также будем предполагать, что функции ^ (!) е H1(0, Т), k = 1, п являются решением следующей задачи Коши:

Ч ^) = fk (Ч ^), 9^), t), 0 < t < Т, Sk (о) = Sk0, k = 1, п, (4)

где 5^ еЛП ; 9=9(0 = (9Д0, 92(0,..., 9г(t)) е 22,(0,Т) - управляющая функция; функция f (5,9, 0 = (У1(5,9, t), ^(^’, 9, t),..., ^ (5,9, 0) является непрерывной

и имеет непрерывные ограниченные производные по 5 и 9 при

(5,9,0 е ЕП х Ег х [о,Т] : ^ (5,9,0| < Ма ,|/; (5,9, 0| < М,,Ма > 0,МХ > 0.

Пару функций 9 = (р(1 ), 9(0) будем называть управлением. Для краткости обозначим Н = П2(0,Т)хП2(0,Т) - гильбертово пространство пар 9 = (р(0,9^)) со скалярным произведением

Т

>н =

<9',92 >Н =|[р1 ^)р2 (t) + 91 (t)92(t)]Л

0

1191Н =у1 (<9,9>Н) = .

и нормой |

Положим

V = {(р,9)е Н :0< рг <4,0<9у ,I = 1,П,у = 1г}, (5)

где А > 0,1 = 1, п, > 0, у = 1, г - заданные числа и

1 П Т г Т

3 (9) = | [и( х, Т) - у( х)]2ёх + а! Х{ [ Рk ^) - Р k (t )]2 ^ + а 2 X {[9т (t) -9 т (t)]2 ¿й, (6)

0 k=1 0 т=1 0

где 9 = (р(1 ),9^)) е Н ; а1, а2 > 0,а1 +а2 > 0 - заданные параметры;

у(х) е 2^(0,1), ю = (р(t),-9(t)) е Н , р(0 = (РД0,.Й2(1),...,Рп(t)) е L2(0,Т),

9(0 = (9 1(t),92(t),...,9г(0 е ¿Тг(0,Т))

- заданные функции.

Требуется найти такое управление 9 = (р(1 ), 9(0) из множества V и функции и(х, t) и ^), чтобы функционал (6) принимал наименьшее возможное значение при ограничениях (1) - (4).

2. Существование и единственность решения

Определение. Задачу о нахождении функции (и(х, ^, ^)) = (и(х, ^ 9), ¿'(^ 9)) из

условий (1) - (4) при заданном управлении 9е V назовем редуцированной задачей. Под решением редуцированной задачи (1) - (4), соответствующей управле-

нию 9 = (р(ґ),9(ґ)) є V, понимается функция (и(х,ґ),¿(ґ)) из (^1,0(Ц),Я1”(0,Т)), где функция и = и (х, ґ) удовлетворяет интегральному тождеству

I Т I п т

Ц[-ипґ + а2ихпх\dxdt =|ф( х)п( х,0)ёх + Х{ Рк (/)п(5к (ґ), ґ )^ґ, (7)

0 0 0 к=1 0

для 'у'п='л(х,ґ) єУ21,1(0) и п(х,Т) = 0, а функция 5к(/) = sk(/;9) удовлетворяет интегральному уравнению

ґ ________________________________________

¿к (ґ) = 1 /к (¿к (т), 9(т), т)dт + 5к0,0 < ґ < Т, к = 1, п. (8)

0

Из результатов работ [2, 4] следует, что при каждом фиксированном 9є V редуцированная задача (1) - (4) имеет единственное решение из (^1,0(Ц),Я1п(0,Т)). Пусть выполнены условия, принятые при постановке задачи (1) - (6). Тогда задача (1) - (6) имеет хотя бы одно решение. Следует отметить, что задача (1) - (6) при а у = 0, у = 1,2, некорректна в классическом смысле [8]. Однако имеет место Теорема 1. Существует плотное подмножество К пространства Н, такое, что для любого гає К при аі > 0, і = 1,2, задача (1) - (6) имеет единственное решение. Доказательство. Докажем непрерывность функционала

30(9) = ||и(х,Т) - у(х)\\12[0,,].

Пусть Д9 = (Др, Д9) єV - приращение управления на элементе 9 = (р, 9) єV, такое, что 9 + Д9є V. Обозначим

Дм = Дм(х, ґ) = и(х, ґ; 9 + Д9) - и(х, ґ, 9),

Дк =Д^к (ґ) = ¿к (ґ; 9 + Д9) - Sk (ґ; 9).

Из (1) - (4) следует, что функция Ди является обобщенным решением краевой задачи:

п

Диґ = а2Дихх +Х[(Рк+ДРк)8(х-(5к +Д5к))-Рк8(х-)], (x,ґ)є^т; (9)

к=1

Дих1х=0 = Дих1х=/ =0, ґє [0,Т]; (10)

Ди[=0 = 0, х є [0,1] , (11)

а функции Д'к, к = 1, п, являются решением задачи Коши:

Дїк (ґ) = Д/к (¿к (ґ), 9(ґ), ґ), Д^к (0) = 0, к = Щ, (12)

где Д/к (^ (ґ), 9(ґ), ґ) = /к (¿к +Д5,9 + Д9, ґ) - /к (^к, 9, ґ).

Докажем, что для функции Ди( х, ґ) имеет место оценка

Мгш) < Ф9^ Г <13>

где с1 > 0 - некоторая постоянная.

Умножая обе части уравнения (9) на п = п(х,,) и интегрируя по частям полученное равенство, имеем соотношение

1Т „ т

11[Ди,п + а2ДихПх= Х{ [к + Арк,,)- РкП(5к,(. (14)

0 0 к=1 0

Пусть /1, ,2 е [0,Т] такие, что 4 < к . В тождестве (14) положим

[Дм(х,,) , , е (,1,,2],

П( ^ ^ '|0 , , е [0, ,1] и (,2,Т ],

и применяя формулы конечных приращений для функции Ди(^'к (,) + Д5к, ,) в виде Дм(5к + Д5к,,) = Дм(5к,,) + Дих(5к,,) • Д^, 5к = 5к +0Д5к, 9 е [0,1], получим уравнение энергетического баланса для задачи (9) - (12):

11Дм (х, ) 11=12 + а 211Дмх(х, ОЦ^о,) 11=12 =

П 2

=Х! [(Рк+ДРк )Д5к Дих (5к, о+ДРк Дм(5к, (15)

к=1 г1

где 5к = А'к + 9Д5к, 9 е [0,1].

Применяя неравенство Коши - Буняковского к правой части уравнения (15), получим

2|1Ди(х, 1И2(0,1) +а211Дих(х, оНад) Й <

< X [ЙРк1|£2(,1,,2) +ИДРк И^,^) ) ,) ) ^НК (5к , ^й,« + к=1 Г1 <Г 2

+11ДРк1112(,1,,2)11Ди (5к, ОИад,^ ]. (16)

Поскольку Д^,) является решением задачи Коши (12), то из свойств функции

/(5,9, ,) при достаточно малом е = ,2 — имеем

,тах К0^ = 0 (НЦ¿2(М2)), Vk,1 < к < П .

Кроме того, несложно показать, что верны неравенства:

11Ди(5к, {^12(Ш < С2 11Ди11к21,0(О) ,

||Дих(5к,,^Ь2(Ш < сз|N1^0(0), где с2 > 0,с3 > 0 - некоторые постоянные.

Но тогда правую часть неравенства (16) можно ограничить сверху следующим образом:

21Ди(х?)£(0,г) \% + а2| 1Дих(x, 1 ^(Ц)\‘1 < с41|Д\Й,,2)11Ди1Ц,0(О), (17)

при Д9 ^ 0, где с4 > 0 - некоторая константа. Как и в работе [2,

II 1^2(,1,,2)

с. 166-168], для произвольного , е [0,Т] разобьем отрезок [0,,] на конечное чис-

ло подотрезков, на каждом из которых выполняется неравенство (17). Затем, сложив полученные неравенства для каждого подотрезка, получим

|| 1Ди(Х^2(о,г) + а2| 1Дих(хОЦад) < С41|Д\(0,Т)11Дм11к21,0(о), откуда вытекает неравенство (13). Тогда ||Ди|^1,0(а) ^ 0 при ||Д9|^ (0Т) ^ 0 . Отсюда и из теоремы о следах [8] получим, что ||Ди (х,Т^1 ¿2(0,1) ^0 при N1 ¿2(0,г) ^0.

Приращение функционала I (9) представимо в виде

Т

и ( X Т ) — у( х)] Д и ( X Т )Их + II Д и ( X Т)..

N¿2(0,1 )■

J0 (9 + Д9) — ^0(3) = 21 [и( х, Т) — у( х)]Ди (х, Т )Их + ||Ди( х, Т )\^

0

Отсюда и из того, что ||Ди(х,Т)||^(01) ^ 0 при ||Д^|ь (0Т) ^0 , следует непрерывность функционала J0 (9).

Функционал J0 (9) снизу ограничен и в силу доказанного является непрерывным в V . Кроме того, Н - равномерно выпуклое и рефлексивно банахово пространство [7]. Тогда из теоремы Бидо, приведенной в работе [9], следует существование плотного подмножества К пространства Н, такого, что для любого

ю = (р(/),^)) е Н при аг >0, г = 1,2, задача (1) - (6) имеет единственное реше-

ние. Теорема доказана.

3. Необходимое условие оптимальности

Пусть у = у(х, t) - решение из ^1,0(Ц) сопряженной задачи

Уt +а2ухх = 0 (х о е^Т; (18)

Ух|х=0 = Ух|х= = 0 0 <t < Т; (19)

у(х,Т) = 2[и(х,Т) — у(х)], 0 < х < I, (20)

где и(х,Т) — значение при t = Т решения редуцированной задачи (1) - (6), и пусть

Чк ^) — решение из Н1 (0, Т) сопряженной задачи

___

ЧкСО = —СО + РкШх^'к0%4 0 <t <T,Чк(Т) = 0,к = 1,». (21)

&к

Интегрируя по частям тождество

| + а2у^)^1(х,t)И0.Т = 0,

□Т

получим, что функция у = у( х, t) удовлетворяет интегральному тождеству

I Т I

II [уПи + а 2у х П1х ] ИхИ = 21 [и( х, Т) — у( х)]г|1( х, Т )Их (22)

0 0 0

для Уп1 =^1(х, t) е^21,1(П) и пДх,0) = 0, а функция чк ^) удовлетворяет интегральному уравнению

q,(t) = |

df

q,(т) - Pk (т) v х (sk т)

dsk

dт, 0 < t < T,k = 1,n. (23)

Сопряженная задача (9) - (12) является смешанной задачей для линейного параболического уравнения. Если в соотношениях (9) - (12) вместо переменной t взять новую независимую переменную т = T -1, то получим краевую задачу того же типа, что и (1) - (4). Поэтому из фактов, установленных для задачи (1) - (4), следует, что для каждого заданного 9 = (p(t),9(t))eV задача (9) - (12) имеет

единственное решение из (V21,0(Q), НП (0, T)).

Функцию

Н(t, s, у, q, 9) = - i ¿ [-fk (Sk (t), 9(t), t)qk (t) + y (Sk (t), t)Pk (t) +

lk=1

+ a1 (Pk (t) - pk (t))2 ] + a2 L (9m (t) - 9m (t))2 } (24)

m=1 J

назовем функцией Гамильтона - Понтрягина задачи (1) - (6).

Теорема 2. Пусть функции fk (sk, 9, t), k = 1, n, непрерывны по совокупности своих аргументов и имеют непрерывные ограниченные частные производные по переменным s, 9 при (s,9, t) e Rn x Rr x [0,T] и, кроме того, выполнены следующие условия:

\fk (Sk +AS, 9 + A9,t) - fk (Sk,9,t)| < L(\As| +1Д9|),

\fks (sk +As, 9 + A9, t) - fks (sk, 9, t )| < L(| As| + |A9|),

\fk9 (Sk + As, 9 + A9, t) - fk^ (sk, 9, t )| < L(| As| + |A9|),

при всех (s + As, 9 +A9, t), (s, 9, t) eEn x Er x [0, T], где L = const > 0 .

Тогда, если (y( х, t), q(t)) - решение сопряженной задачи (9) - (12), то функ-

ционал (6) дифференцируем по Фреше на множестве V и для его градиента справедливо соотношение

j =№, J9 1=(-дН,-дН), (25)

^ 5р 59 ) dp 59

где

дн =[5нан _дН) дН= (_дН_дН Ш.

др ^ dpj , др2, ’ 5pn ), 59 ^ 59j , д92, , 59r

^дН = -У( sk(tX t) - 2а1 (pk(t) - pk(t)), k =1, n

5pk

дН ^ дЛ, (s, (t), 9(t), t) ¡ ~ ч —

= L---------д9------qk (t) - 2a2 pm (t) - 9m (t)) , m = 1 r.

д9т k=1 д9т

Доказательство. Рассмотрим приращение функционала

T T

AJ = J(9 + A9) - J(9) = 21 [u (х, T) - ><х)]Am (х, T)dx + J |Am (х, T)|2 dx-

+S12ai j Рk(t)- pk(t)] ^Рк(t )dt+аі j \APt(t )l2 dt і+

к=1 I 0 0 J

r f T _ T I

+ Ei2a2 j IX (t) - &m (t)] • A&m (t)dt + a2 j Hm (tf dt

(26)

м=1 [ 0 0 J

где 9 = (р, 9) е К, 9 + Д9еК, Дм (х,Т) = м(х,Т; 9 + Д9)-м (х,Т ;9), м = м (х,Т ;9).

Если в (22) положим п1 = Дм(х, /), в (14) положим п = у(х, t) и вычтем полученные соотношения, то имеем

е п Т

12[м(х, Т) - у(х)]Дм(х,Т)ёх = ^ |[(рк + Дрк)у (sk + Д^,t) - рку (^,t)]dt. (27)

0 к=1 0

Из (12) следует, что функция Дк^) удовлетворяет интегральному тождеству:

j|X (t )0 k (t) + Д/к (Sk (t), 9(t), t )0k (t) ] dt = 0,

(28)

для У0к (t) е 12(0, Т), 0к (Т) = 0, к = 1, п .

Из (21) следует, что функция дк^) удовлетворяет интегральному тождеству:

%(t )0ik(t) -| (t) - Pk(t x(sk(t xt) |0ik(t)

dt = 0,

(29)

для У01к (t) е Ь2 (0, Т), 01к (0) = 0, к = 1, п .

Если в (29) положим 01к ^) = Д'к (t), в (28) 0к (t) = дк ^) и сложим полученные соотношения, то получим

1

p(t )4k(t )]00 = j

5s,

4k(t) - Pk(t)Vx (sk(tXt) | Ask(t) - Afk4k(t)

dt.

По условию теоремы функцию Д/k = Д/k (sk (t),9(t), t) можно представить в виде

Д/k =/As, +Ї /Д&m + Я1.

dsk m=1 59m

где

R1 = 0(VlNI^) +INIl(0,T) ) .

Тогда из последнего равенства имеем

і

[pk(t q(t)] = j

d/k

5s,

q,(t) - Pk(t) v x(sk(t xt)) | Ask(t) -

- X dr- ASm(t q(t) - f Ask(t )4k(t)

m=1 d&m

что с учетом (12) и (21) равносильно

5s,

T r T df

j Pk (t)VX (Sk (tX t)Ask (t)dt = -Z A&m (t)?k (t)dt + R1.

0 m=1 0 m

Ясно, что при сделанных выше предположениях по формуле Тейлора справед ливо разложение

У(А +Дк, 1:) = У(5к, 1:) + У х(¿к, 1: )Д5к + о(|| Д5к| |).

Учитывая это, из (27) получим

е п Т

12[м( х, Т) - у( х)]Дм( х, Т )ёх = £ [(Рк ^ )у х (¿к (t), t )Дяк (t) +

0 к=1 0

+У (¿к ^), t )ДРк ^) + у х (¿к ^), t) ДРк (t ) Д^ ^) + о(|| ДSk I\)]Ж.

Тогда из последнего равенства и из соотношения (30) имеем

е п Т

12[м( х,Т) - у( х)]Дм( х,Т )ёх = £ |

к=1 0

-£ (t)Д9т (t) + У (5к, t)ДРк ] ё ^ (31)

т=1 99 т

где Я2 = !/[ х (¿к ^), t) ДРк (t) Д^к (t) + о(|| Д^ 11)] Ж + ] .

к=1 0

По обычной схеме (см., например, [2]) можно доказать справедливость оценки

НД^Нь2(0,Т) - С5 ||Д9 1ь2(0,Т) , (32)

где с5 > 0 - некоторая постоянная.

Отсюда имеем Я2 = о(|Д9|^ (0Т)). С другой стороны, из оценки (13) следует, что

1Дм( х,Т )|| вд) = О (И ^Т)).

Подставляя полученные соотношения в (26) имеем

Ы = £ ( ^(к) + ±J2(k, т) 1 +о(| д9||^0,т )),

к=1 V т=1 )

Т

где J1(k) = | [у (5к [), t) + 2а! (Рк ^) - Р к ^))] ДРк ] )ё,

ДЦт V)М.

J2(к,т) = | Чк(t) + 2а2 (9т(t)-9т(t))

0 \- д9т

Отсюда с учетом выражения для функции Гамильтона - Понтрягина получим

"=¡(тж, д5)я л+0(1 Д9))•

что показывает дифференцируемость по Фреше функционала (1) и справедливость формулы (25). Теорема доказана.

* *

Теорема 3. Пусть выполнены все условия теоремы 2 и (м (х, t), 5 ^)), (у*(х^),д*(0) - соответственно решения задачи (1) - (4) и (9) - (12) при 9=9 е¥.

—*

Тогда для оптимальности управления 9 необходимо выполнение условия

Н^,¿*(Г),у*(х,t),д*(0,9 (0) = шахН^),у*(х,t),д*(0,9),У(х,t) е О. (33)

Доказательство. Предположим, что 9 = (р ,9 ) - оптимальное управление.

Допустим противное, то есть найдется такое управление ¿9 = 9* + НД9 е У и число Р> 0 , для которых

Н(^¿*^), у*(х,0, д*(0,9) -Н(^/(О, у*(х,0, д*(0,9*) > Р > 0 , (34)

где Н > 0 - некоторое число, ¿9 = (р* + НДр, 9* + НД9), Д9 = (Др, Д9).

Если в (34) учесть формулу (24), то получим

н (J'(9),д9)н <-р< 0,

где 9 = Н01Д9 = Н01(Др, Д9) е У, 01 е (0,1), - некоторое число. Отсюда и из формулы конечного приращения имеем

J (9) - J (9 *) = н (J' (9), д9)н =

= н (р'(9), д9)н + н (р'(9) - J'(9), д9)н << -р+н • 0(||Д9||Н), (35)

где 9 = Й92Д9 = А92(Др, Д9) е¥, 02 е (0,1), - некоторое число.

Пусть 0 < h < h такое число, что -ß + h10(|Д9||H) < 0. Положим 9 = 9 +А1Д9. Рассуждая аналогично доказательству неравенства (35), получим

J (9) - J (9*) <-ß +hl • 0(1 дЩ h ) < 0

Это противоречит оптимальности управления 9*. Отсюда получим справедливость соотношения (33). Теорема доказана.

Теорема 4. Пусть выполнены все условия теоремы 2. Тогда для оптимально—* * *

сти управления 9 = (p (t), 9 (t)) необходимо выполнение условия

T n

{ Х[(*(а (t) t)+2ai(p*k(t) - pk(t)), Pk(t) - p*k(t))+

0 k=1

+£ Г q* (t) + 2a2 (9*m(t) - 9m (t)), 9m (t) - 9l (t))] dt > 0, (36)

m=1 V m

для V9 = (p(t), 9(t)) eV . Здесь y*(5*(t), t), q*(t)- соответственно решения задач

(18) - (20) и (21) при 9 = 9*(p*(t), 9*(t)).

Доказательство. В силу известной теоремы [2, с. 28] для оптимальности управления 9* = (p*,9*) е V необходимо выполнение неравенства

(J'(9*),Щ-Щ*)l2(0,t) > 0, V9 е V. (37)

Используя формулу (25) и учитывая выражения функции Гамильтона - Пон-трягина, вычислим градиент функционала (6) и, подставив его в (37), получим справедливость неравенства (36). Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бутковский А.Г., Пустыльников Л.М. Теория подвижного управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1980. 384 с.

2. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. 400 с.

3. Ладыженска О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1976. 736 с.

4. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.

5. Лионс Ж.Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 416 с.

6. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983. 392 с.

7. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. 406 с.

8. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. 286 с.

9. GoebelM. On existence of optimal control // Math. Nuchr. 1979. V. 93. P. 67-93.

Статья поступила 12.04.2012 г.

Teimurov R.A. THE PROBLEM OF OPTIMAL CONTROL FOR MOVING SOURCES FOR SYSTEMS WITH DISTRIBUTED PARAMETERS. A problem on optimal control of processes described by a set of equations of the parabolic type and an ordinary differential equation, with moving sources is investigated in the paper. For the considered problem of optimum control, the theorem of existence and uniqueness of the solution is proved, necessary conditions of optimality in the form of pointwise and integrated maximum principles are obtained, and sufficient conditions of Frechet differentiability of the criterion of quality are found and an expression for its gradient is obtained.

Keywords: moving sources, reduced problem, necessary conditions of optimality, maximum principle, integral identity.

TEYMUROVRafigAgacan (Institute of Mathematics and Mechanics of National Academy of Sciences of Azerbaijan)

E-mail: [email protected]