Коэффициентная обратная задача типа управления для эллиптического уравнения с дополнительным интегральным условием Текст научной статьи по специальности «Математика»

2017

Математика и механика

№ 48

УДК 517. 95

DOI 10.17223/19988621/48/2

Р.К. Тагиев, Р.С. Касымова

КОЭФФИЦИЕНТНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ТИПА УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ

Рассматривается обратная задача типа управления для эллиптического уравнения. Исследована корректность постановки задачи управления. Доказана дифференцируемость целевого функционала, составленная на основе дополнительного интегрального условия, и найдена формула для его градиента. Установлено необходимое условие оптимальности.

Ключевые слова: эллиптическое уравнение, обратная задача, интегральное условие

В работе А.Н.Тихонова [1] предложена идея использования методов оптимального управления для решения обратных задач. Дело в том, что обратные задачи для уравнений с частными производными могут быть поставлены в вариационной форме, т.е. как задачи оптимального управления соответствующими системами. При этом роль причинных характеристик выполняют управляющие воздействия, вследствии изменения которых реализуется тот или иной эффект управления. Эффект управления обычно определяется критериями качества составленными на основе дополнительной информации для состояния системы. Управляющие воздействия должны быть определены таким образом, чтобы получить наилучшую эффект управления. Определение управляющих воздействий по состоянию системы можно трактовать как обратную задачу типа управления.

Если управляющие воздействия входят в коэффициенты уравнений состояния, то такие обратные задачи называют коэффициентными обратными задачами типа управления. В работах [2-9] и др. исследовались коэффициентные обратные задачи типа управления для уравнений с частными производными. Во многих из них дополнительные условия для состояния системы являются локальными. Коэффициентные обратные задачи типа управления с дополнительными нелокальными условиями мало изучены [9].

В данной работе рассматривается коэффициентная обратная задача типа управления для эллиптического уравнения с критерием качества, соответствующим дополнительному интегральному условию. Исследованы вопросы корректности постановки обратной задачи типа управления. Доказана дифференцируемость по Фреше критерия качества и найдено выражение для его градиента. Установлено необходимое условие оптимальности в виде вариационного неравенства.

1. Постановка задачи

Пусть требуется минимизировать функционал

2

dx.

(1)

о

о

на решениях u(x)= u(x ;u) = u(x1,x2;и) краевой задачи

-]Г ^|u(x2 | + q (x)u = f (x), x ей ; (2)

¿=1 dxi \ dxi J

-u(x2)-du = g(x) , xer-i; (3)

dx1

u(x;u)= 0, x е Г\Г-1, (4) соответствующих всем допустимым управлениям и = и( x2) из множества

V = {и = u(x2) е W1 (0,1) :0 < v < u(x2) < ц,|u'(x2)| < ц п.в. на (0,1)}. (5)

Здесь Q = {x = (x1, x2) :0 < xi < 1, i = 1,2} - квадрат в R2 с границей Г , Г-1 ={x = (0, x2) :0 < x2 < 1} - левая вертикальная сторона квадрата й ,

H (x) = H (x1, x2), q (x), f (x), g (x) = g (0, x2 ) = g (x2) - заданные функции,

удовлетворяющие условиям

H (x) е W^1 (й), q (x) е Lx (й), f (x) е L2 (й), g (x2 (0,1);

|H(x)| < d1,\dH(x)/dx2 \ < d2 п.в. на й ,0 < q1 < q(x) < q2 , d1,d2,q1,q2 = const > 0 .

Обозначения используемых в работе функциональных пространств соответствуют принятым в [10, с. 27]. Ниже положительные постоянные, не зависящие от оцениваемых величии и допустимых управлений, обозначим через М.

Под решением краевой задачи (2) - (4), соответствующим управлению ие V,

будем понимать обобщенное решение из W^0 (й), т.е. функцию u (x) = u (x; и) из W10 (й), удовлетворяющую интегральному тождеству

" 2 du dn " 1

{ ZU(x2 )"д_"д"Г + q (x)undx ={ f (x)ndx +{ g (x2 )n(0, x2 ) dx2 (6)

й L ¿=1 dxi dxi J й 0

для всех Vn = n(x)е w2q (й). Здесь w2q (й) - подпространство пространства W\ (й), плотным множеством в котором является множество всех функций из С1 (й), равных нулю вблизи Г \Г-1.

При сделанных предположениях краевая задача (2) - (4) однозначно разрешима при каждом заданном uеV [10, с. 200]. Кроме того, можно показать, что

обобщенное решение из W^q (й) краевой задачи (2) - (4) принадлежит также пространству W220 (й) = W22 (й)п W^q (й), удовлетворяет уравнению (2) при почти всех x ей и справедлива оценка

1142й< M [II flU+llgllH J . (7)

Отсюда и из ограниченности вложений W22q (й)^^1 (Г-1), W^ (й)^ L4 (й) [11, с.78] следует, что также верна оценка

и 121Г-1 +l luxi кй<M Lll А Lo+

l|g| 121Г-1J. (8)

Из условия |Н (х)| < йх п.в. на О и из оценок (7), (8) следует, что функционал (1) определен на V и принимает конечные значения.

Задача (1) - (5) тесно связана с коэффициентной обратной задачей, заключающейся в определении функций {и(х2), и (х)}, удовлетворяющих условиям (2) -(5) и дополнительному интегральному условию

1

и (0, х2) = | Н (х1, х2 )и (х1, х2) аХ1,0 < х2 < 1. (9)

о

Целевой функционал (1) является функционалом невязки в Ь2 (0,1), соответствующей условию (9). Если в задаче (1) - (5) окажется, что сушествует управление и» е V, такое, что 3(и») = 3» = тГ {3(и): и е V} = 0, то это управление решает

обратную задачу (2) - (5), (9).

Задача (1) - (5) является задачей оптимального управления для эллиптического уравнения с управлениями в коэффициентах. Такие задачи в других постановках исследованы в работах [12-14] и др.

2. Корректность постановки задачи

Следующая теорема показывает, что задача (1) - (5) корректно поставлена в слабой топологии пространства W21 (0,1).

Теорема 1. Пусть выполнены условия, принятые в п.1. Тогда множество оптимальных управлений задачи (1) - (5) V» = {и» е V : 3(и») = ,/„} не пусто, слабо

компактно в W21 (0,1) и любая минимизирующая последовательность {ип}с V функционала (1) слабо в W21 (0,1) сходится к множеству V».

Доказательство. Покажем, что функционал (1) слабо в W21 (0,1) непрерывен на множестве V . Пусть ие V - некоторый элемент, {ип}сV - произвольная последовательность, такая, что

ип (х2) ^ и(х2) слабо в W21 (0,1). (10)

Из (10) и компактности вложения W21 (0,1) ^ С [0,1] [11, с. 78] следует, что

ип (х2х2) сильно в С[0,1]. (11)

Кроме того, в силу однозначной разрешимости краевой задачи (2) - (4), каждому управлению ип еV соответствует единственное решение ип (х ) = и (х; ип)

из ^20 (О) задачи (2) - (4) и справедлива оценка

||ип||(2^О< М, п = 1,2,..., (12)

т.е. последовательность {ип} равномерно ограничена в пространстве W220 (О).

Тогда из (12) и компактности вложений W22()(О)^^^(О), W22()(О)^^1 (Г-1) следует, что из последовательности {ип} можно извлечь подпоследовательность {ип }, такую, что

ип (х) ^ и (х) слабо в W220 (О), сильно в W210 (О) и в W21 (Г_1),

(13)

где и (х) - некоторый элемент из W220 (О).

Покажем, что и (х) = и (х; и), х еО , т.е. и (х) является решением задачи (2) -(4), соответствующим управлению иеК . Ясно, что справедливы тождества

2 дип дп

Уипт (х2+ ?(хКП .1 =1

дх, дх{

ёх =| / (х )пёх + (х2 )п(0, х2 )ёг2

Уп = п(х) е W21,o (О).

(14)

Используя ограничение 0 и(х2) <ц п.в. на О , неравенство Коши - Бу-

няковского и соотношения (11), (13), получаем

ГУ ип (х2^^х- ГУ о(х2)ди^ Л пт \ 2> дх дх Л ^ У 21 дх дх

О ' =1

' ' О-=1

!Уип„ (х2 )

О ¿=1

(ди„

ди

V дх , дх1 /

дп

дх

ёх

дип пт ди дп

дх, дх, 2,О дх,

2,О

+ 1К (х2 )-и(х2 )\\С[0,Ч'^

Яип (х2 )-и(х2 )~1 ди дп ёх

п-У 2' У2' ^ дх,. схг

дп

ди

дх,-

2,О

дх,

^0, (15)

2,О

при т ^го .

Тогда переходя к пределу при т ^го в равенстве (14) и учитывая соотношения (13), (15), получаем, что функция и (х) удвлетворяет тождеству (6). Отсюда и

из включения и (х) е W220 (О) следует, что и (х) = и (х; и), т.е. и (х) является решением задачи (2) - (4), соответствующим управлению ие V .

Используя единственность решения задачи (1) - (3), соответствующего управлению ие V, нетрудно показать, что соотношение (13) с функцией и (х) = и (х; и)

справедливо не только для подпоследовательности {ип }, но и для всей последовательности {ип}, т.е.

ип (х) = и (х; ип) ^ и (х) = и (х; и) слабо в W220 (О),

сильно в W21,0 (О) и в W21 (Г-1). (16)

Покажем, что 3(ип) ^ 3(и) при п ^го . Используя равенство (1), очевидное неравенство (а + Ь)2 < 2(а2 + Ь2), неравенство Коши - Буняковского и условию \И (х)| < п.в. на О , имеем

VК)-V (°Ы/[|и (0,и„)-и (0,х2;и) + 10

1

+ | |И (х1, х2 )| • |и (х1, х2; и») - и (х1, х2; и) сСх1

о

| |и(°х2;)+|и(°х2;и) + {|И(xl,х2)• |и(xl,х2;иЖ

,1/2

Сх2 > х

+ |\И (х1, х2 ) • |и (х1, х2; и) Сх1

1/2

1/2

Сх21 < 2л/2 ||[| и (0, х2; и»)-и (0, х2; и)2 +

+ |И2 (х1,х2)Сх1 • ||и(х1,х2;и»)-и(х1,х2;и)2 Сх1 0 0 р 1 1 2 |[|и (0,х2;и» )2 + |и (0,х2;и)2 +|И2 (х1,х2 )сСх1 |и (х1,х2;и»)) Сх1

1/2

+| И2 (х1, х2 )Сх1 |и (х1, х2; и)2 Сх1 ёх2\ < 2\р2 [| |и» - и||2Г + С1 ||и» - и||2й^х 0 0 _| ]

х[||ип\|2,Г_1 +1 \и\ 12,Г_1 + С1 (11и»112,й +1И2,й)] • Отсюда, используя оценки (7), (8), (12) и соотношения (15), получаем, что V(и») ^ V(и) при » ^да, т.е. функционал V(и) слабо в W21 (0,1) непрерывен на V • Кроме того, множество V , определяемое равенством (5), выпукло, замкнуто и ограничено в гильбертовом пространстве W21 (0,1) и поэтому слабо компактно в W21 (0,1) [15, с. 51]. Тогда применяя результать из [15, с. 49], получаем, что справедливы утверждения теоремы 1. Теорема 1 доказана.

3. Дифференцируемость целевого функционала и условие оптимальности

Пусть у = у(х) = у(х;и) - обобщенное решение из W210 (й) сопряженной краевой задачи, соответствующей задаче (1) - (5)

дЧ и(х2 )дгг4 (х )^ =

г=1 дхг \ дхг

= -2И (х1, х2)

-и(х2 2 ах-,

*(0, х2; И х2 )и х2; и)с §1

0

1

<(0, х2; И х2 )и х2; и)с §1

0

у (х;и) = 0, хе Г\Г-1.

х ей; (17)

х е Г-1; (18) (19)

Под решением краевой задачи (17) - (19), соответствующим управлению uеV, будем понимать обобщенное решение из W210 (О), т.е функцию

у (х) = у(х; и) е W210 (О), удовлетворяющую интегральному тождеству

ёх =

Г Уи(х2ч(х)уп

[ 1 _2Г Н (х1, х2) и (0, х2; и) - ГН х2 )и х2; и) ёх1

пёх -

-2Г и (0, х2; и) - ГН х2)и х2; и)ёх1

0 I 0

при любой функции п = п (х)е W210 (О). Введем обозначения:

п (0, х2) ёх2

(20)

Г(х)= -2

<(0, х2; и)-|Н х2 )и х2; и)ё §

Н (х1, х2), х е О,

Р (х2 ) = 2

((0, х2; и) - Г Н х2) и х2; и) ё §

= (0,1).

Покажем, что Г (х) е Ь2 (О), р (х2) е W21 (0,1). Используя очевидное неравенство (а + Ь )2 < 2 ( а2 + Ь2), неравенство Коши - Буняковского и ограничения |Н (х)| < ё1, |дН (х)/дх2| < ё2 п.в. на О , имеем

Г Г2 (х)ёх = 4Г и (0, х2; и) -1Н х2 )и х2; и)ё§

О О 0

Г1 1 1

< 8 Г Г и 2 (0, х2; и) +Г Н2 (§1, х2 Г и 2 (§1, х2; и)ё§

Н2 (х)ёх< Н2 (х)ёх <

О[ 0

< 8ё12 [II и| 12,г-1 + ё2 ||и| 12,о

];

(21)

}[| Р (х2 )2 +| Р'(х2 )2 ] ёх2 = 4]

К0, х2; и)-{ Н х2 )и х2; и)ё §1

ИМ^-} и х2; и)ё §1 -} Н (§, х2 ё §

ох, 0 дх2 i дх2

>йх2 <

< 4Г 2и2 (0,х2;и) + 21Н2 (§1,х2)ё§1 и2 (§1,х2;и)ё§1 + 2

0 [

ди (0, х2; и)

дх2

О

2

+4/

4

дИ (§1, х,)

дх2

ди (§^ х2;и)

с§1 • /и2 (§1, х2; и) с§1 + 4/И2 (§1, х2) сС§1

дх2

С §1

Сх2 <!

И 2,г_, + с12 И 2,й +

ди

дх2

2,Г_

+2С2 ||и|| 2й+ 2С,2

ди

дх2

2,й

(22)

Отсюда и из оценок (7), (8) следует, что ^ (х) е Ь2 (й), р (х2) е W21 (0,1).

Тогда из результатов монографии [10, с. 200] следует, что краевая задача (17) -(19) однозначно разрешима в W210 (й) при каждом функсированном uеV, его

обобщенное решение из W210 (й) принадлежит также пространству W220 (й) и справедлива оценка

Ы|(22й< М [||^|2,й+|р||(21,Г_1 ] .

Учитывая здесь оценки (21), (22), (7), получаем

Н2, йг ы ег.1 ].

||(2) 112, й

(23)

Отсюда и из ограниченности вложений W22() (й)^^1 (Г_,), W210 (й)^ Ь4 (й) [11, с. 78] следует, что верна также оценка

1121Г

, +||у х| |4,й< М [||/| |2,й+| Ы |21Г_1 ] .

(24)

Введем еще одну вспомогательную краевую задачу для определения функции ю (х2) = ю (х2; и) из условий

„ гЛ ди ду -ю +ю=1>--— сх,,0 < х2 < 1;

0 г =1 дхг дхг

(25)

ю'( 0 ) = ю'(1) = 0. (26)

Под решением краевой задачи (25), (26) при фиксированном ие V будем понимать функцию ю(х2) = ю(х2;и)е W\ (0,1), удовлетворяющую интегральному тождеству

Л

/ (ю'П + юГ1)Сх2 = /1 /^ ^Сх1 0 0 10 г=1 г г )

1

пСх2

(27)

при любой функции п = П(х2(0,1).

Из включений -ди, е Ь4 (й) следует, что правая часть уравнения (25) при-

дхг дхг

надлежит пространству Ь2 (0,1). Тогда из результатов работы [10, с. 200] следует, что краевая задача (25), (26), при заданном иеV, имеет единственное обобщенное решение из W21 (0,1) и справедлива оценка

0

+

2

ц(1) 112,(0

1)<М X

ди ду

дхг 4,й дхг 4,й

Отсюда и из оценок (8), (24) следует, что верна оценка

И^л^ М (II/I (2,0 +1Ы! 12, Г_,). (28)

Теорема 2. Пусть выполнены условия при постановке задачи (1) - (5). Тогда функционал (1) непрерывно дифференцируем по Фреше на V и его градиент в произвольной точке ие V определяется равенством

У'(о) = ю (х2; и),0 < х2 < 1. (29)

Доказательство. Пусть u,u + ДuеV - произвольные управления, Дие W21 (0,1) и Ди (х) = и (х; и + Ди) - и (х; и), х ей . Из (6) следует, что Ди удовлетворяет тождеству

сСх =

/ X (и(х2 ) + Ди(х2 ))~Дх~ •"дП + ?ДиП

й[ г=1 г дхг _

/XДо(х2)ди•Щсх,^ = л(х) е W21,о (й).

й г=1

дхг дхг

Для функции Ди справедлива оценка [10, с. 200]:

1М £й< М X

г =1

Ди

ди

дх

(30)

(31)

2,й

Используя неравенство Коши - Буняковского и оценки (7), имеем

2

X

г=1

Ди

ди дх

<Д

2,й

2

12,(0,1) X

г =1

ди

дх

< М| Д

2,й

112,(0,1)

Учитывая эту оценку в (31), получаем

1|Ди|| %< М\|ДЦе(0.1).

(32)

Отсюда и из ограниченности вложения W210 (й) ^ Ь2 (Г-1) следует, что верна также оценка

1Н |2,г-1 < М1 N121(0,1).

Прирашение функционала (1) имеет вид

1 и 1

Д1 (и) = V (и +Ди) - V (и) = 2И и (0, х2; и) - /И (х,, х2 )и (х,, х2; и)Сх,

0 1[ 0

" 1

Ди (0, х2) - / И (х,, х2) Ди (х,, х2) Сх,

_ 0

1 1 ь/ Ди (0, х2) - /И (х,, х2) Ди (х,, х2) сх, Сх2 .

(33)

>Сх2 +

=1

Если в тождестве (20) положим п = Ди , а в (30) положим п = у и полученные равенства вычтем, то получим равенство

1 Г [ 1

2| • и (0, х2; и) - ГН (х1, х2)и (х1, х2; и) ёх1 0 1[ 0 1 " Ди (0, х2) - Г Н (х1, х2) Ди (х1, х2) ёх1

>ёх2 =

2

ГУДи(х2 )ди •дт^ + ГУ Ди(х2 )ддДи •|уёх .

дх, дх, О дх, дх,

о ,=1

Учитывая это равенство в (34), имеем

2 ди ду

где

Д3(о)=ГУ^•—УДиёх + Я ,

□,=1 дх, дх,

1 1 Я = Г Ди (0, х2) - ГН (х1, х2) Ди (х1, х2 )ёх1

0 0

ьГу Ди(х2 )дДи •-дуёх.

дх, дх,

(35)

ёх2 +

□ ,=1

Полагая в (27) п = Ди и учитывая полученное равенство в (35), имеем

Д3(и) = |(ю'Ди'+юДи)ёх2 + Я .

(36)

(37)

Теперь проведем оценку остаточного члена Я , определяемого равенством (36). Используя (36), очевидное неравенство (а + Ь)2 < 2(а2 + Ь2), неравенство Коши - Буняковского и оценки (32), (33), (23), получаем

|Я| < 2}

1

+ 1Н1 С[0,1] У

2

У

,=1

дДи

дх,

2,О

0

ду

ёх2 +

|Ди (0, х2 )2 +| ГН (х1, х2)Ди (х1, х2) ёх1

<2 [|Н1 2,г-1 + \Д4 2,о] М (ДЧ1(21,(0,1)}2.

дх,

2,О

дДи ду

дх, 2,О дх, 2,О

НМГ^иУ

Учитывая это неравенство в (35), получаем, что функцонал (1) дифференцируем по Фреше на множестве V .

Покажем, что отображение и^3'(и) непрерывно действует из W21 (0,1) в W2L (0,1). Пусть

Ду (х) = у (х; и + Ди) - у (х; и), у( х ) = у( х; и), Дю( х2) = ю( х2; и + Ди)-ю( х2; и), ю( х2) = ю( х2; и).

2

Из (20) следует,что функция Ду (х) удовлетворяет интегральному тождеству

Г У(и(х2)+Ди(х2)))у--|п+чдУП ёх=-1УДи(х2)ду-^|пёх-

^ г)у гЬг •' ох, дх,

О[,=1

дх, дх, 1

О 2=1

-2 Г Ди ( х2 )-{ Н (§^ х2 )Ди (§^ х2 )ё §1

О[ 1

-2Г Ди (0, х2) - ГН (§1, х2) Ди (§1, х2) ё§1

Н (х )пёх -п(0, х2 )ёх2 .

Для функции Ду справедлива оценка [10, с. 200]

2,0

Ди

ду

дх

2,О

<«|х

1

Ди (С0, х2 )-Г Н (§l, х2 )Ди (§^ х2 )ё §1

Н (х)

2,О

Ди (0, х2) - ГН (§1, х2) Ди (§1, х2) ё§1

2,Г-

Оценивая правую часть этого неравенства и используя оценки (23), (32) и (33), получаем оценку

|ду|£0< м\ ^ЦЁИГ-! - (38)

Из (25), (26) следует, что Дю является обобщенным решением из W21 (0,1) краевой задачи

12

-Дю" + Дю = Ю Дух + Дих у х + Дих,. Ду х ) , 0 =1

Дю'(0 ) = Дю'(1) = 0. Для решения этой задачи справедлива оценка [10, с. 200]:

12

| У ( Ду х + Дих, у х + Дих Ду х) ёх1

ПДЮ121,С0,1) < М

0 =1

2,(0,1)

Оценивая правую часть этого неравенства и используя оценки (8), (24), (31) и (35), получаем оценку

1Н1Й 0,1) < М N122 0,1) •[!+Ид4!( 0,1)].

Отсюда и из (29) получаем

II3'( и + Ди)-3'( 0)2!) 0,1)=||Ду|| 2,( 0,1) < М\ Н1 2,( 0,1) {! + 1Н1 0,1)] . Отсюда следует, что отображение и^ 3 '(и) действует непрерывно из W21 (0,!) в W(, (0,!). Теорема 2 доказана.

Необходимое условие оптимальности в задаче (1) - (5) устанавливает Теорема 3. Пусть выполнены условия при постановке задачи (1) - (5). Тогда

для оптимальности управления и» е V в задаче (1) - (5) необходимо, чтобы выполнялось неравенство

1

|ю(х2;u»)[u(x2)-и„(х2)]dx2 >0

о

для любого ие V, где ю ( x2 ; и» ) - решение задачи (25), (26) при и = и».

Справедливость утверждения теоремы 3 следует из теоремы 5 работы [15,

с. 28].

ЛИТЕРАТУРА

1. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // ДАН СССР. 1963. Т. 151. № 3. С. 501-504.

2. Искендеров А.Д. О вариационных постановках многомерных обратных задач математической физики // ДАН СССР. 1984. Т. 274. № 3. С. 531-533.

3. Алифанов О.А., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Эксеремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988. 288 с.

4. Karchevsky A.L. Properties the misfit functional for a nonlinear one - dimensional coefficient hyperbolic inverse problem // J. Inverse III - Posed. Probl. 1997. V. 5. No 2. P. 139-165.

5. Кабанихин С.И., Искаков К.Т. Обоснование метода наискорейшего спуска в интегральной постановке обратной задачи гиперболического уравнения // Сиб. матем. журн. 2001. Т. 42. № 3. С.567-584.

6. Тагиев Р.К. Вариационный метод решения обратной задачи об определении коэффициентов эллиптических уравнений // Международная конференция «Обратные задачи теоритической и математической физики». Азербайджан, Сумгаит, Май 2003 г. С. 29-31.

7. Искендеров А.Д., Гамидов Р.А. Оптимальная идентификация коэффициентов эллиптических уравнений // Автоматика и телемеханика. 2011. № 12. С. 144-155.

8. Iskenderov A.D., Tagiyev R.K. Variational method solving the problem of identification of the coefficients of quasilinear parabolic problem // The 7th International Conference "Inverse Problems: modelling and Simulation" (IPMS - 2014). May 26 - 31, 2014. P. 31.

9. Тагиев Р.К., Касумов Р.А. Об оптимизационной постановке коеффициентной обратной задачи для параболического уравнения с дополнительным интегральным условием // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2017. № 45. С. 49-59.

10. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 576 c.

11. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

12. Тагиев Р.К. Об оптимальном управлении коэффициентами эллиптических уравнений // Дифференц. уравнения. 2011. Т .47. № 6. С. 871-879.

13. Tagiyev R.K. Optimal control problems for elliptic equations with controls in coefficients // Trans. Nat. Acad. of Sci. of Azerb. Ser. Phys.-Techn. and Math. Sci. 2003. V. 23. No. 4. P. 251-260.

14. Casado D., Couce C., Martin G. Optimality conditions for nonconvex multistate control problems in the coefficients // SIAM. J. Control and Optimiz. 2004. V.43. No. 1. P. 216-239.

15. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. 400 с.

Статья поступила 17.05.2017 г.

Tagiev R.K, Kasymova R.S. (2017) COEFFICIENT INVERSE PROBLEM OF CONTROL TYPE FOR ELLIPTIC EQUATIONS WITH ADDITIONAL INTEGRAL CONDITION. Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 48. pp. 17-29

DOI 10.17223/19988621/48/2

Let it be required to minimize the functional

J (uW

( (0,x2;u) -1H(xJ,x2)u (xJ,x2;u)dxJ

on solutions u(x)= u(x ;u) = u(xj,x2;u) of the boundary-value problem

-zdr(u(x2 )fu]+q (x)u=f (x), x eQ,

-u(x2= g(x), xer^

dxJ

u (x;u)= 0 , x er\T_J, corresponding to all admissible controls in the set

V = {u = o(x2 ) e W2J (0,1) :0 < v < o(x2) < |i,|o'(x2 )| < ^ п.в.«a (0,J)} .

where Q = {x = (xj, x2 ):0 < xj < J, i = 1,2} , r_j = {x = (0, x2 ):0 < x2 < J}, H (xj, x2 ), q (x), f (x) , g(x) are given functions.

In this paper, we consider a coefficient inverse problem of the control type for an elliptic equation with a quality criterion corresponding to an additional integral condition. The questions of correctness of the formulation of the inverse problem of the control type are investigated. The Frechet differentiability of the quality criterion is proved and an expression for its gradient is found. A necessary optimality condition is established in the form of a variational inequality.

Keywords: Elliptic equation, Inverse problem, Integral condition.

2

TAGIEV Rafig Kalandar (Dr. Math. Sciences, prof. Baku State University, Azerbaijan) E-mail: [email protected]

KASIMOVA Rena Sattar gizih (Baku State University, Azerbaijan) E-mail: [email protected]

REFERENCES

1. Tikhonov A.N.(1963) O reshenii nekorrektno postavlennykh zadach i metode regulyarizatsii [On the solution of ill-posed problems and regularization method]. Dokl. USSR Academy of Sciences. 151 (3). pp. 501 - 504.

2. Iskenderov A.D. (1984) O variatsionnykh postanovkakh mnogomernykh obratnykh zadach matematicheskoy fiziki [On the variational formulations of multidimensional inverse problems of mathematical physics]. Dokl. USSR Academy of Sciences. 274 (3). pp. 531-533.

3. Alifanov O.A., Artyukhin E.A., Rumyantsev S.V.(1988) Ekstremal'nye metody resheniya nekorrektnykh zadach [Extreme methods of solving ill-posed problems]. Moscow: Nauka

4. Karchevsky A.L. (1997) Properties of the misfit functional for a nonlinear one-dimensional coefficient hyperbolic inverse problem. J. Inverse Ill - Posed. Probl. 5(2). pp. 139-165. DOI: 10.1515/jiip.1997.5.2.139.

5. Kabanikhin S.I., Iskakov K.T. (2001) Justification of the steepest descent method for the integral statement of an inverse problem for a hyperbolic equation. Sib. Math. J. 42( 3). pp. 478-494. DOI: 10.1023/A:1010471125870.

6. Tagiev R.K. (2003) A Variational Method for Solving the Inverse Problem of Determining the Coefficients of Elliptic Equations. International Conference "Inverse Problems of Theoretical and Mathematical Physics" Azerbaijan. Sumgait. pp. 29-31.

7. Iskenderov A.D., Hamidov R.A. (2011) Optimal identification of coefficients of elliptic equations. Automation and Remote Control. 72(2). pp. 2553-2562.

8. Iskenderov A.D., Tagiyev R.K. (2014) Variational method solving the problem of the quasilinear parabolic problem. The 7th International Conference "Inverse Problems: modelling and Simulation" (IPMS-2014). P. 31.

9. Tagiyev R.K., Kasumov R.A. (2017) Ob optimizatsionnoy postanovke koeffitsientnoy obratnoy zadachi dlya parabolicheskogo uravneniya s dopolnitel'nym integral'nym usloviem [On the optimization formulation of a coefficient inverse problem for a parabolic equation with an additional integral condition]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 45. pp. 49 - 59. DOI: 10.17223/19988621/45/4.

10. Ladyzhenskaya O.A., Uraltseva N.N. (1973) Lineynye i kvazilineynye uravneniya ellipticheskogo tipa [Linear and quasilinear equations of the elliptic type]. Moscow: Nauka.

11. Ladyzhenskaya O.A., Solonnikov V.A., Uraltseva N.N. (1967) Lineynye i kvazilineynye uravneniya parabolicheskogo tipa [Linear and quasilinear equations of the parabolic type]. Moscow: Nauka.

12. Tagiyev R.K. (2011) On Optimal Control by Coefficients in an Elliptic Equations. Diff. Equat. 47(6). P. 877-886. DOI: 10.1134/S0012266111060139.

13. Tagiyev R.K. (2003) Optimal control problems for elliptic equations with controls in coefficients. Trans. Nat. Acad. of Sci. of Azerb. Ser. Phys.-Techn. and Math. Sci., 23 (4), pp. 251-260.

14. Casado D., Couce C., Martin G.(2004) Optimality conditions for nonconvex multistate control problems in the coefficients. SIAM. J. Control and Optimiz.. 43(1). pp. 216-239. DOI: 10.1137/S0363012902411714.

15. Vasilyev F.P.(1981) Metody resheniya ekstremal'nykh zadach [Methods for solving extreme problems]. Moscow: Nauka.