CC BY
610. Куликовский А.Г. О многопараметрических фронтах сильных разрывов в механике сплошных сред// Прикл. матем и механ. 2011. 75, вып. 4. 531-550.
11. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Образование анизотропной упругой среды на фронте уплотнения потока частиц // Прикл. матем. и механ. 2015. 79, вып. 6. 739-755.
12. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Гос. изд-во технико-теор. лит., 1953.
Поступила в редакцию 19.02.2016
УДК 539.3
О ЗАДАЧЕ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ПРИМЕНЯЕМЫХ В МЕХАНИКЕ ТЕНЗОРОВ И О ЧИСЛЕ СУЩЕСТВЕННЫХ УСЛОВИЙ СОВМЕСТНОСТИ ДЕФОРМАЦИИ СЕН-ВЕНАНА
М. У. Никабадзе1
Рассмотрены некоторые вопросы, касающиеся задачи на собственные значения тензора А е ILi(f2) со специальными симметриями, где О. — некоторая область, вообще говоря, четырехмерного (трехмерного) риманова пространства. Доказано, что в данном случае невырожденный тензор четвертого ранга для четырехмерного (трехмерного) риманова пространства имеет не больше шести (трех) существенных компонент. Показано, что число существенных условий совместности деформации Сен-Венана меньше шести.
Ключевые слова: условия совместности, тензор деформаций, тензор несовместности, тензор напряжений, собственный тензор, полная ортонормированная система собственных тензоров, символ анизотропии тензора, символ структуры.
Several questions related to the problem on the eigenvalues of the tensor AelifO) with special symmetries are considered. Here Q is a certain region of, in general, four-dimensional (three-dimensional) Riemann space. It is proved that in this case a non-degenerate tensor of the fourth rank in the case of a four-dimensional (three-dimensional) Riemann space has no more than six (three) essential components. It is shown that the number of essential conditions of deformation Saint-Venant compatibility less than six.
Key words: compatibility conditions, strain tensor, incompatibility tensor, stress tensor, eigentensor, complete orthonormal system of eigentensors, symbol of anisotropy, symbol of structure.
О задаче на собственные значения тензора четвертого ранга со специальными симметриями. Пусть А — тензор модуля R^Q), состоящего из тензоров четвертого ранга, где Q — некоторая область, вообще говоря, четырехмерного риманова пространства (определения и свойства модулей см. в [1-3]). При этом компоненты тензора обладают симметриями Aijki = AkUj = —Ajiki-В этом случае его можно представить в виде2
6 6
^ — A^j^iGiGjG^Gi — ^ ^ ^ ^ AmnGmGn. (1)
т=1п=1
Здесь г = 1,2,3,4, — ортонормированный базис относительно однократного скалярного умножения, a Gi, г = 1,6, — ортонормированный базис относительно внутреннего 2-произведения, обо-
2
значаемого символом ® и являющегося также в этом случае скалярным произведением [1-3]. Базис Gi, г = 1,6, и компоненты Атп, т,п = 1,6, через базис е^, г = 1,2,3,4, и компоненты A^ki,
1 Никабадзе Михаил Ушангиевич — доктор физ.-мат. наук, доцент каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: nikabadzeQmail.ru.
Применяются обычные правила тензорного исчисления [1, 3—5]. В частности, по повторяющимся строчным латинским индексам в одночлене происходит суммирование от 1 до 4 включительно. Случаи, где нарушается это правило, оговариваются особо или там применяется знак суммы. Тензорное умножение опускается.
г, ], к, I = 1,2,3,4, выражаются формулами
= ^т=(е1е2 - е2е1), е2 = ^(е^з - е3е1), е3 = ^(е2е3 - е3е2)
е4 = —р(е1в4 - е4е1), е5 = -^(е2е4 - е4е2), е6 = -^(е3е4 - е4е3),
¿11 = 2 ¿1212, а 12 = 2^1213, А13 = 2^4-1223) а 14 = 2^1214, А15 = 2^1224, А16 = 2^1234
а21 = 2 ¿1312, а22 = 2^1313, а23 = 2^1323, а24 = 2^1314, а25 = 2^1324, а26 = 2^1334
со = 2А2312, Аз2 = 2^2313, а33 = 2^2323, а34 = 2^2314, а35 = 2а2з24, а36 = 2^2334
а41 = 2^1412, а42 = 2^1413, а43 = 2^1423, а44 = 2^1414, а45 = 2^1424, а46 = 2^1434
¿51 = 2А2412, а52 = 2^2413, а53 = 2^2423, а54 = 2^2414, а55 = 2^2424, а56 = 2а24з4
¿61 = 2А3412, а62 = 2У1З41З , а63 = 2А3423, а64 = 2А3414, а65 = 2А3424, а66 = 2А3434
а условия ортонормированности базисов представляются в следующем виде: е^ • е^ = г,] = 1,4,
и ет ® еп = 5тп, т, п = 1,6, где 5рд — дельта Кронекера.
Так как рассматриваемый тензор А — симметричный тензор (симметричность понимается относительно первой и последней пар индексов) и кососимметричный относительно первых двух индексов, а также последних двух индексов, то невырожденный тензор имеет шесть отличных от нуля действительных собственных значений, где каждое значение считается столько раз, какова его кратность, а собственными тензорами являются кососимметричные тензоры второго ранга. Пусть Л^, г = 1,6, — собственные значения (корни характеристического уравнения), а а^, г = 1,6, — соответствующая им полная система ортонормированных собственных тензоров (задачи на собственные значения тензора и тензорно-блочной матрицы любого четного ранга рассматривались в [3], а частные задачи на собственные значения тензора — в [2, 6-8]). Тогда тензор А можно записать в каноническом виде:
Л
А = Хк^к^к (ак ® аг = йы), (2)
к= 1
где в скобках выписаны условия ортонормированности собственных тензоров. Видно, что число независимых условий ортонормированности равно 21. Каждый собственный тензор в произвольном базисе имеет 6 существенных компонент. Итак, 36 компонент шести собственных тензоров связаны между собой 21 условием ортонормированности, поэтому независимыми компонентами (параметрами) остаются 15 компонент, с помощью которых строится полная система ортонормированных собственных тензоров (их выражения ввиду ограниченности объема статьи мы не приводим). Они легко получаются из соответствующих формул, приведенных в [3]. В силу представления (2) в каноническом базисе в общем случае рассматриваемый невырожденный тензор А характеризуется не менее чем одним параметром (случай шестикратного корня характеристического уравнения) и не более чем шестью параметрами (случай шести простых корней характеристического уравнения). Здесь следует отметить, что число независимых (существенных) компонент тензора — неинвариантная характеристика тензора и, конечно, зависит от выбора системы координат.
Далее, не нарушая общности, занумеруем собственные значения в порядке убывания: х\ ^ х2 ^ ... ^ Аб и для классификации тензора А введем определение символа анизотропии (структуры) тензора.
Определение. Символ {0:1 ,а2,... , а^}, где к — число различных собственных значений тензора, а од — кратность собственного значения Л^ (г = 1, 2,..., к), называется символом анизотропии (структуры) тензора.
Нетрудно заметить, что в этом случае справедливо соотношение
а\ + а2 + ... + а.к = 6, 1 ^ щ ^ 6 — (к — 1) = 7 — к, г = 1 ,к, 1 ^ к ^ 6.
Имеется 6 классов (групп) анизотропии. Каждый класс содержит несколько подклассов (подгрупп). Всего имеем 32 подгруппы, которые приведены ниже. Для каждого класса указывается символ анизотропии. Для некоторых тензоров дано каноническое представление. Число тензоров в каждом классе выражается соответствующим биномиальным коэффициентом.
1. Символ анизотропии состоит, из одного элемента:
{а}, а = 6, Л = А1 = Л2 = • • • = Аб-Число таких тензоров = 1. Тензор А имеет представление 6 6
А = ^^ Ар ар ар = А арар = АЕ (Е — единичный тензор четвертого ранга).
р=1 р= 1
2. Символ анизотропии состоит из двух элементов:
{аьа2}, а1 + а2 = 6, 1 ^ ат ^ 5, т = 1,2; {1,5}, {2,4}, {3,3}, {4,2}, {5,1}.
Число таких тензоров С1 = 5. Тензор {1,5} имеет вид
6
4 = А^а! + А2 У^ арар = (А1 - АгЭшШ + А2®.
р=2
3. Символ анизотропии состоит из трех элементов:
{а\, ск2, а3}, а\ + а2 + скз = 6, 1 ^ ат ^ 4, т = 1,2,3;
{1,1,4}, {1,2,3}, {1,3,2}, {1,4,1}, {2,1,3}, {2,2,2}, {2,3,1},
{3,1,2}, {3,2,1}, {4,1,1},
{1,1,4} (А1 > А2 > А3 = А4 = • • • = А6) «Ф
^ (А = (А1 - А3)а1а1 + (А2 - А3)а2а2 + А3Е).
Число таких тензоров С| = 10.
4. Символ анизотропии состоит из четырех элементов:
{а1,а2,а3,а4}, а\ + а2 + а3 + а4 = 6, 1 ^ ат ^ 3, т = 1,2,3,4; {1,1,1,3}, {1,1,2,2}, {1,1,3,1}, {1,2,1,2}, {1,2,2,1}, {1,3,1,1}, {2,1,1,2}, {2,1,2,1}, {2,2,1,1}, {3,1,1,1}, {1,1,1,3} «Ф (А1 > А2 > А3 > А4 = А5 = А6) «Ф-
(А = (А1 - А4)а1а1 + (А2 - А4)а2а2 + (А3 - А4)а3а3 + А4Е).
Число таких тензоров С5 = 10.
5. Символ анизотропии состоит из пяти элементов:
{а1,а2,аз,а.4,а5}, а\ + а2 + а3 + а4 + а5 = 6, 1 ^ ат ^ 2, т = 1,2,3,4,5; {1,1,1,1,2}, {1,1,1,2,1}, {1,1,2,1,1}, {1,2,1,1,1}, {2,1,1,1,1}, {1,1,1,1,2} «Ф- (А1 > А2 > А3 > А4 > А5 = А6)
^ (А = (Ах - А5)а1а1 + (А2 - А5)а2а2 + (А3 - А5)а3а3 + (А4 - А5)а4а4 + А5|У). Число таких тензоров С5 = 5.
6. Символ анизотропии состоит из шест,и элементов:
{а1,а2,аз,а4,а5,ав}, а\ + а2 + а3 + а4 + а5 + а6 = 1, 1 ^ ат ^ 1, ш = 1,6;
{1,1,1,1,1,1} «Ф (А1 > А2 > А3 > А4 > А5 > А6)
^ (А = А^а! + А2а2а2 + Аза3а3 + А4а4а4 + А5а5а5 + Аба6а6).
Число таких тензоров С| = 1.
5
В итоге число всех тензоров равно ^ = 25 = 32.
к=о
Заметим, что если в качестве А € 1Ц(Г2) рассматривается тензор кривизны (тензор Рн.мана Кристоффеля), то в силу условия Ац^к — 0 для каждого из приведенных выше 32
тензоров число существенных компонент уменьшается на единицу. Поэтому нетрудно видеть, что, например, тензора кривизны, символ анизотропии которого состоит из одного элемента или из шести элементов, не существует. Вообще говоря, аналогичным образом (см. также [2, 3]) несложно провести тщательное изучение внутренних структур важных тензора кривизны и тензора Риччи и установить числа существенных компонент для этих тензоров, которые меньше приведенных в научной литературе чисел. Аналогичное изучение внутренних структур тензора кривизны и соответствующего тензора Риччи в случае пространства любой конечной размерности в силу работ [2, 3] не составляет труда. На этих вопросах мы также останавливаться не будем.
Следует особо отметить, что если тензор А € М4(0), где О, — некоторая область трехмерного пространства, то вместо (1) и (2) будем иметь соответственно
зз з 2
А = А^к^е^еке1 Атпетеп, А = ^ Хкакак (ад. ® а ¡ = 5^), г, ], к, I = 1, 2, 3. (3)
т=1п=1 к=1
Видно, что в случае выполнения условий ортонормированности (см. соотношение в скобках из (3)) полная система собственных тензоров в произвольном базисе определяется с помощью трех параметров, а невырожденный тензор А в общем случае определяется с помощью этих трех параметров и трех собственных значений, среди которых могут быть кратные. В зависимости от крат-ностей собственных значений число независимых параметров меняется от 4 до 6 включительно. В данном случае классификация невырожденного тензора проводится аналогично указанной выше для тензора четвертого ранга в четырехмерном пространстве. Случай вырожденного, отличного от нуля тензора подлежит тщательному исследованию. Отметим, что если вырожденный тензор тождественно равен нулю, то он не имеет независимых (существенных) компонент. Поэтому, по мнению автора, доказательство того, что из равенства нулю тензора кривизны, который в случае евклидова пространства тождественно равен нулю, следует шесть независимых условий евклидовости пространства (совместности деформации), нецелесообразно. Согласно сказанному выше, этих условий намного меньше шести или их вообще нет. Из канонического представления тензора А € 1Ц(Г2) (см. второе соотношение из (3)) видно, что параметров, характеризующих невырожденный тензор в каноническом базисе, не меньше одного и не больше трех, а тензор, который тождественно равен нулю, вообще не имеет ни одной существенной компоненты.
О числе существенных условий совместности деформации Сен-Венана. Как известно [9-11] (случай микрополярной среды см. также в [11-13]), при малых градиентах вектора перемещений условие совместности деформации Сен-Венана сводится к тождественному равенству нулю симметричного тензора-оператора несовместности второго ранга, который не имеет существенных компонент. Поэтому утверждение, что из равенства нулю тензора несовместности следует, что число существенных условий совместности Сен-Венана равно шести, по мнению автора, не имеет смысла, а для установления числа существенных условий совместности Сен-Венана необходимо провести тщательное исследование. Очевидно, что этих условий меньше шести.
Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ № 14—01—00317-а, 15-01-00848-а, а также гранта Национального научного фонда им. Шота Руставели № 01-2016-41.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. М.: Наука, 1978.
2. Никабадзе М. У. К построению собственных тензорных столбцов в микрополярной линейной теории упругости // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2014. № 1. 30-39.
3. Никабадзе М. У. О некоторых вопросах тензорного исчисления с приложениями к механике // Современная математика. Фундаментальные направления. Тензорный анализ. Т. 55. М.: РУДН, 2015.
4. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.
5. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1986.
6. Рыхлевский Я. "СЕПШОЗЗЗТТиУ". Математическая структура упругих тел. Препринт № 217 Ин-та проблем механики АН СССР. М., 1983.
7. Остросаблин Н.И. Анизотропия и общие решения уравнений линейной теории упругости: Докт. дис. Новосибирск: Ин-т гидромеханики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 2000.
8. Аннин Б.Д., Остросаблин Н.И. Анизотропия упругих свойств материалов // Прикл. механ. и техн. физ. 2008. 49, № 6. 131-151.
9. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности: Учеб. пособие. 2-е изд. М.: Изд-во МГУ, 1995.
10. Победря Б.Е., Шешенин C.B., Холматов Т. Задача в напряжениях. Ташкент: Фан, 1988.
11. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.
12. Никабадзе М.У. К условиям совместности в линейной микрополярной теории // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2010. № 5. 48-51.
13. Никабадзе М. У. К условиям совместности и уравнениям движения в микрополярной линейной теории упругости // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 1. 63-66.
Поступила в редакцию 20.04.2016
