К построению собственных тензорных столбцов в микрополярной линейной теории упругости Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика

УДК 539.3

К ПОСТРОЕНИЮ СОБСТВЕННЫХ ТЕНЗОРНЫХ СТОЛБЦОВ В МИКРОПОЛЯРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

М. У. Никабадзе1

Посвящается 75-летию профессора Б.Е. Победри

В работе изучается внутренняя структура тензорно-блочной матрицы тензоров модулей упругости микрополярной теории. В частности, рассмотрена задача о нахождении собственных значений и собственных тензорных столбцов тензорно-блочной матрицы. Построена полная ортонормированная система собственных тензорных столбцов тензорно-блочной матрицы. Приведены некоторые определения и теоремы. Даны различные представления удельной энергии деформации и определяющих соотношений в новых терминах.

Ключевые слова: микрополярная теория, тензорный столбец, собственный тензорный столбец, тензорно-блочная матрица, тензор моментных напряжений, полная ортонорми-рованная система собственных тензорных столбцов тензорно-блочной матрицы.

In the paper we study the internal structure of the tensor-block matrix of tensors of moduls of elasticity of micropolar theory. In particular, we consider the problem of finding the eigenvalues and eigentensor columns of the tensor-block matrix. We construct a complete orthonormal system of eigentensor columns of the tensor-block matrix. We present some definitions and theorems. Various representations of the specific energy of deformation and constitutive relations are given in new terms.

Key words: micropolar theory, tensor column, eigentensor column, tensor-block matrix, couple-stress tensor, complete orthonormal system of tensor columns of tensor-block matrix.

Введение. Механические свойства линейно-упругого материала в классической теории упругости определяются тензором четвертого ранга модулей упругости, а в микрополярной линейной теории упругости в общем случае, когда материал не обладает центром симметрии в смысле упругих свойств, — тремя тензорами. Хотя закон Гука сформулирован давно, тензоры модулей упругости пока еще недостаточно изучены, а для проектирования и создания композитных материалов, обладающих высшей степенью анизотропии, требуется знание внутренней структуры тензоров модулей упругости, т.е. их собственных значений и собственных тензоров. При этом если микрополярный материал не обладает центром симметрии в смысле упругих свойств, то в этом случае необходимо знать собственные значения и собственные тензорные столбцы тензорно-блочной матрицы тензоров модулей упругости. Следует отметить, что в микрополярной теории компоненты тензоров модулей упругости обладают меньшим количеством свойств симметрии, чем компоненты тензора модулей упругости в классической теории. Кроме того, в микрополярной теории не все тензоры имеют одинаковые свойства, что, конечно, усложняет отыскание собственных значений и собственных тензоров для тензоров модулей упругости в микрополярной теории.

Собственные модули (значения) и собственные состояния (тензоры) для изотропного материала изучал еще Стокс (см. [1]). Для анизотропных материалов понятия собственных модулей и собственных состояний под другими названиями были введены Кельвином в середине XIX в. Однако все это было надолго забыто, и лишь примерно 30 лет назад исследователи вернулись к изучению этой проблемы. В частности, этой проблемой занимались Я. Рыхлевский [2, 3], Л.М. Минкевич, Л.А. Толоконников, Н.М. Матченко, А.С. Пипкин, К.С. Александров, К.Л. Лурье, А.И. Чанышев, А.Ф. Ревуженко, Е.И. Шемякин, Н.И. Остросаблин [4-7] и др. К сожалению, в связи с ограниченностью объема статьи в списке литературы не приведены работы всех этих авторов (заинтересованного читателя отсылаем к докторской диссертации Н.И. Остросаблина [7], в списке литературы которой представлены работы перечисленных выше исследователей, а также к работе [8]). Следует отметить, что Н.И. Остросаблин довольно полно изучил внутреннюю структуру классического тензора модулей упругости, дал классификацию анизотропных классических линейно-упругих материалов, а также исследовал другие важные проблемы, которые отра-

1 Никабадзе Михаил Ушангиевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

жены в его докторской диссертации. Задачу о нахождении у тензора любого четного ранга собственных значений и собственных тензоров рассматривал И.Н. Векуа [9] (см. также [10]). Понятие собственных упругих состояний нашло применение в построении теории пластичности [11, 12] и теории течения [13]. Публикации по этой проблеме для микрополярных материалов автору неизвестны. В настоящей работе исследуется внутренняя структура тензорно-блочной матрицы тензоров модулей упругости микрополярной теории.

1. Представления удельной энергии деформации и определяющих соотношений в линейной микрополярной теории упругости. Удельную энергию деформации и определяющие соотношения (ОС) в линейной микрополярной теории упругости анизотропного тела [14-16], не обладающего центром симметрии в смысле упругих свойств, при изотермических процессах можно записать в форме2

Ф(7,х) = +2Вг^к1Ъзкк1 + В^к1щ3кк1) =

1 , 2 2 2 2 2 2 . =-(7®А®7 + 27®В®х + Х®Б®Х), (1)

дФ 2 2 д Ф 2 2

V — а 7 н к. ц = — = с®7 + б®ж, (2)

д7 ~ ~ ~ ~ дк ~ ~ ~

где 7 = Уи — С • ф — тензор деформаций, к = Уф — тензор изгиба-кручения, и — вектор перемещений,

ф — вектор внутренних вращений, С — дискриминантный тензор третьего ранга; Ат = А, = Ю,

Ст = В — материальные тензоры четвертого ранга, называемые тензорами модулей упругости; Р и р — ~ ~ 2 ~ тензоры напряжений и моментных напряжений; ! — внутреннее 2-произведение [8, 9, 19, 20] (при таком

произведении зацепление индексов производится по правилу, указанному в (1)).

Вводя в рассмотрение тензорные столбцы тензоров деформаций и изгиба-кручения и тензоров напряжений и моментных напряжений, а также тензорно-блочную матрицу тензоров модулей упругости

X =1 ~1 (Жт = *)), У = ^ (ут = (Р,~)), (3)

М = ^ (Мт = М), (4)

удельную энергию деформации (1) и ОС (2) можно записать следующим образом:

2Ф(~,к) = Хтс!Мс!X, У = М®X ((р) = (с б)К))' (5)

Если материал обладает центром симметрии в смысле упругих свойств, то В = 0, где 0 — нулевой тензор четвертого ранга, и тензорно-блочная матрица тензоров модулей упругости (4) получит вид тензорно-блочно-диагональной матрицы

с0

М = ~ ~ . (6)

Отметим, что при дальнейшем изложении для несимметричных тензоров второго ранга используем двухиндексные и одноиндексные, а для несимметричных тензоров четвертого ранга — четырехиндексные и двухиндексные представления. Например, если Р — тензор второго ранга, а с — тензор четвертого ранга, то для них будем иметь ~ ~

9

Р — Pij eiej — ^ ^ Ртет — Pmem, ег • ej — ;

т=1

2 Применяются обычные правила тензорного исчисления [8, 9, 17-20]. В частности, по повторяющимся индексам в одночлене происходит суммирование. Прописные и строчные латинские индексы пробегают значения 1, 2 и 1, 2, 3 соответственно. Знак тензорного умножения ® часто опускается, индекс Т означает операцию транспонирования. При транспонировании тензора четвертого ранга, например при четырехиндексном представлении, меняются местами первая и вторая пары индексов или соответствующие им базисные диады.

9 9

^ — А-цМ&г&у&кЩ — ^ ^ ^ ^ Атпё.тё.п — Атпё.тё.т Ь — 1, 2, 3, Ш, П — 1)9,

т=1п=1

где ет, т, = 1,9, — тензоры ортонормированного базиса для тензора второго ранга относительно операции внутреннего 2-произведения, которые представляются в виде

в! = е1в1, е2 = е2е2, е3 = е3е3, е4 = —(е!в2 + в!е2),

£5 = (е2е3 + е3е2), е6 =(е3в1 + е1в3), е7 =(е!в2 - в!е2),

1 12 _

£8 = (е2е3 — е3е2), е9 = -д (е3в1 - е^з), ет®ет = 5тп, т,п = 1,9.

Здесь и далее 5рд обозначает дельту Кронекера.

В настоящей работе в основном речь пойдет о тензорно-блочной матрице (4), но проведенное исследование в равной мере можно использовать для тензорно-блочно-диагональной матрицы (6), а также для тензора четвертого ранга, компоненты которого симметричны по крайней мере относительно первой и последней пар индексов. Естественно, как и в классической теории упругости, можно рассматривать задачу о нахождении собственных значений и собственных тензорных столбцов тензорно-блочной матрицы (4), которую можно сформулировать следующим образом.

1.1. Задача на собственные значения тензорно-блочной матрицы. Найти все тензорные столбцы

Ш =

0 (®т = («•*>)•

здесь и и V — тензоры второго ранга, которые удовлетворяют уравнению

2 2

2 I ( АВ I А®и + В®V , ,

М®Ш = ЛШ = I % ~ " 2 ~ II , (7)

С ® и + Б® V,

СБ

где Л — скаляр.

Заметим, что левая часть (7) содержит две операции — матричное умножение тензорно-блочной матрицы М на тензорный столбец Ш и внутреннее 2-произведение (справа в круглых скобках в развернутом виде выписаны левая часть (7) и результат этих операций). Заметим также, что уравнение (7) всегда имеет тривиальное решение Ш = О, где О — нулевой тензорный столбец второго ранга. В дальнейшем, говоря о решении уравнения (7), будем иметь в виду только нетривиальное нормированное решение, т.е. будем считать, что

Ж/О, НЖН = \/жт|)¥= \/и1и + у1х = 1,

где УЖУ обозначает норму тензорного столбца Ш, а (Ш, Ш) = ШТ ®Ш — скалярное произведение тензорного столбца Ш на себя.

Если для некоторого скаляра Л уравнение (7) имеет нетривиальное решение Ш, то Л называется собственным значением (числом) тензорно-блочной матрицы М, а Ш — собственным тензорным столбцом,

гр т 2 гтл

соответствующим собственному значению Л. Заметим, что так как МТ = М, то ШТ ® М = ЛШТ . Более того, поскольку собственный тензорный столбец определяется с точностью до постоянного множителя, то его всегда можно нормировать. Далее введем определение положительно-определенной симметрической тензорно-блочной матрицы.

Определение 1. Симметрическая тензорно-блочная матрица М называется положительно-определенной, если образуемая по ней квадратичная форма ШТ®М®Ш положительна для любого отличного от нуля вещественного тензорного столбца Ш.

Нетрудно заметить, что в силу положительной определенности удельной энергии деформации [14, 15] и определения 1 имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Тензорно-блочная матрица М тензоров модулей упругости и как следствие тензоры модулей упругости (субтензоры) А и Б полож.ительно определены.

Нетрудно видеть, что уравнение (7) можно записать в виде

/А - ЛЕВ \2/ и\ / 2 \

Г сиБ --ле)ЧИИ) — и ((М- Ла)0н—а) ■ (8)

где Е = С(2) = егеуегеу — единичный тензор четвертого ранга относительно операции внутреннего 2-произведения, а Е — единичная тензорно-блочная матрица вида

- (ЕЕ)-

Уравнение (8) представляет собой однородную систему 18 уравнений относительно 18 неизвестных (два несимметричных тензора и и у), которая должна иметь нетривиальное решение. Для существования нетривиального решения необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю, т.е.

/А - ЛЕВ\ ( Л - ЛЕ В \ ( , ч ч

£'ЧИ СИ с -- Ле] ='еЧ С О -ЛЕ^ — 0 Н* - ЛЕ) = 0) ■ (9)

где Л, В, С, О и Е — матрицы компонент тензоров А, В, С, С и Е соответственно относительно муль-тибазиса етега, т,п = 1,9.

Заметим, что при написании (9) было учтено следующее легкодоказуемое предложение: определитель тензорно-блочной матрицы равен определителю блочной матрицы, составленной из соответствующих матриц компонент тензоров, образующих тензорно-блочную матрицу. Очевидно, (9) — алгебраическое уравнение 18-й степени относительно Л, называемое характеристическим уравнением тензорно-блочной матрицы М. Так как в силу теоремы 1 тензорно-блочная матрица М положительно определена, то она с помощьюи правого унитреугольного преобразования переменных пириводится к диагональной матрице, диагональные элементы которой, согласно теореме Сильвестра, положительны. Другими словами, алгебраическое уравнение (9) имеет 18 положительных корней (собственных значений), причем каждый корень считается столько раз, какова его кратность.

Сформулируем некоторые используемые в дальнейшем определения и теоремы из работ [8, 19, 20] для тензорно-блочных матриц и тензорных столбцов.

Определение 2. Комплексная тензорно-блочная матрица называется нормальной, если она коммутирует со своей сопряженной.

Очевидно, действительная симметрическая, действительная ортогональная, единичная, эрмитова, а также унитарная тензорно-блочные матрицы суть нормальные тензорно-блочные матрицы.

Определение 3. Система тензорных столбцов Н1, Н2, - - - ,Нп называется ортонормированной, если выполняются условия

2.

Х^Я) — Л^-р 0 — иРЯ,

Определение 4. Ортонормированная система собственных тензорных столбцов тензорно-блочной матрицы, состоящая из тензорных столбцов, число которых равно степени характеристического уравнения тензорно-блочной матрицы, называется полной ортонормированной системой собственных тензорных столбцов тензорно-блочной матрицы.

Теорема 2. Симметрическая действительная тензорно-блочная матрица всегда имеет полную ортонормированную систему собственных тензорных столбцов.

В силу теоремы 2 положительно-определенная симметрическая тензорно-блочная матрица всегда имеет полную ортонормированную систему собственных тензорных столбцов. В рассматриваемом случае полная ортонормированная система собственных тензорных столбцов тензорно-блочной матрицы (4) состоит из 18 тензорных столбцов. Обозначим через Шр = (цр,ур)т, р = 1,18, полную ортонормированную систему собственных тензорных столбцов положительно-опиредиеленной симметрической тензорно-блочной матрицы (4), отвечающих собственным значениям Лр, р = 1,18, соответственно. Тогда матрицу (4) можно представить в следующем виде:

18 ™ 18 / ир \ / ч 18 / ир 0 ир ир 0 Ур

М — £ ЛрШр 0 Н — £ лЛ ~р и (ир Ур) — £ л^ ~р _ жр Ир жр |, (Ю)

_ Я - ■ , , ^ - ■ ,

р=1 р=1 \Ур/ р=1 \Ур 0 ир Ур 0 Ур

где, конечно, имеют место условия ортонормированности

(Жр,Ю = Жр Iwç = Upcluç + vpêvç = Spg, p,q= ТД8. (n)

Учитывая выражение для тензорно-блочной матрицы (4), из (10) получим

18 18 18 A = Е ApUpUp, B = CT = E ApUpVp, D =52 ApVpVp.

p=i p=i p=i

Нетрудно доказать, что обратная к (10) тензорно-блочная матрица M_1 имеет вид

18 1 ^ 18 -, ( UpUp Up Vp\

M"1 = 18 Ap"1WpWT = 18 A-1 ~p~p ~p~p . (12)

p=1 p=1 \VpUp VpVp /

Вообще говоря, для любого целого числа а

18 m 18 /UpUp U„V„\

M" = E KWWTT = E Kl . (13)

p=1 p=1 \VpUp VpVp)

В частности, из (13) при а = 0 имеем

18 ^ 18 /цЛ / ч 18 f Up ® Up Up ® Vp\

e = M0 = 18 Wp ® WT = 18 ® (uP Vp) = 18 rp ~p ~p . (14)

p=1 p=1 \ Vp / p=1 V Vp ® Up Vp ® Vp)

Заметим, что в соотношениях (10) и (14) применяется знак прямого тензорного умножения который, как было сказано выше, в других соотношениях опускается.

1.2. Представления удельной энергии деформации и определяющих соотношений с помощью собственных значений и собственных тензорных столбцов. В силу (10) из (5) получим

18 2 2 18 2 18 2Ф(7, к) = e ApXT®WpWT®X, Y = e ApWpWT®X = e ApXpWp. (15)

p=1 p=1 p=1

Умножая обе части второго соотношения (15) скалярно на W« и учитывая (11), определяющие соотношения можно записать в виде3

2 2

(J,Wa) = A«(X,W„) (YTcx)Wa = A«XTcx)Wa), (а = М8). (16)

Заметим, что формулами (16) даны эквивалентные записи определяющих соотношений. Вводя обозначения

T 2 2 2 2 Xa = (X, Wa) = XT ® Wa = Wl ® X = Ua ®Y + Va ® K, T 2 T 2 2 2

(17)

Y« = (Y,W„) = Y1 ®Wa = Wi<S>Y = ua®p + va®/i, (a = 1,18), удельную энергию деформации и ОС (16) представим соответственно в форме

18

2Ф(7,*) = Е АрХ2, ¥а = А«Ха, (а = 1,18).

р=1

Умножая обе части первого равенства (17) слева тензорно на Ша, а затем суммируя полученное соотношение от 1 до 18, в силу (14) будем иметь

18 18 2 2 18 18 2 2 X =£ ХаШа =£(и« + Va ® К)Ша, I = Е 1аШа ^ (и« + V« ® *)Ша, (18)

а=1 а=1 а=1 а=1

3 Запись {а = 1,18} означает, что а изменяется от 1 до 18 и нет суммирования по а.

где вторая формула (18) написана по аналогии с первой. Следует заметить, что формулы (18) представляют собой разложения тензорных столбцов X и ¥ по ортонормированному базису Ша, а = 1,18, а Ха и ¥а являются проекциями X и ¥ соответственно на Ша.

Учитывая первое равенство (17), из второго соотношения (15) в силу второй формулы (3) получим следующие представления тензоров напряжений и моментных напряжений:

18 18 2 2 18 18 2 2 Р — £ ЛрХрир — Е Лр(ир07 + Ур0к)ир, V — Е ЛрХрУр — Е Лр(ир07 + Ур0к)Ур- (19) р=1 р=1 р=1 р=1

Нетрудно выписать обратные определяющие соотношения. В самом деле, например, из второго равенства (5) в силу (12) и второго равенства (17) будем иметь

2 18 2 18

— \-1таг татТ^^ _ V"* таг ^г — \-1ч

X = M"i®¥= Е к WpWp®J= Е к YpWp, Х« = Л-1¥а, (а = 1,18). (20)

p=i p=i

Учитывая второе равенство (17), из первого соотношения (20) аналогично (19) найдем

18 18 2 2 18 18 2 2 Y = Е Ар 1¥pUp = Е A-1 (UpâP + Vpâß)up, к = Е A-1¥pVp = Е A-1(upâP + Vp®ß)Vp-p=1 p=1 p=1 p=1

2. Собственные тензорные столбцы тензорно-блочной матрицы. На основании формул (10) и (16) заключаем, что, по существу, нет необходимости решать уравнение 18-й степени (9), достаточно просто представить (4) в виде (10) и использовать определяющие соотношения (16). Согласно (10), для задания тензорно-блочной матрицы (4) кроме 18 собственных значений Лр, р = 1,18, называемых еще собственными модулями упругости, необходимо задать 18 собственных тензорных столбцов Wp, р = 1,18, называемых еще собственными тензорными столбцами упругих состояний. Построим эти собственные тензорные столбцы упругих состояний в явном виде. Прежде всего отметим, что условия ортонорми-рованности (11) представляют собой 171 соотношение. Эти соотношения связывают между собой 324 компоненты тензорных столбцов Wp = (uр, vp)T, р = 1,18. Итак, свободными (независимыми) остаются 153 компоненты (параметра), с помощью которых следует построить собственные тензорные столбцы тензорно-блочной матрицы (4). В этой связи рассмотрим тензоры четвертого ранга

— emum — umn emen' ^^12 — em vm — vmn emeni . .

~ ~ (21)

W21 = emu9+m — u9+mnemeni W22 = emv9+m — v9+mn emen' посредством которых построим следующую тензорно-блочную матрицу:

( W11 Wu\ ( T ( WT W21 W , ,

W — И5 ^ WT = ^i^TM . (22)

~ VW21 W22/ VWT2 WTT2

Если тензорные столбцы Wp = (цр, vp) , p = 1,18, удовлетворяют условиям ортонормальности (11), то тензорно-блочная матрица (22) удовлетворяет условиям

wâ WT = WT â W = I' (23)

на основании которых заключаем, что W — ортогональная тензорно-блочная матрица четвертого ранга. Следует отметить, что последнее равенство в (23) доказывается с помощью (14). Кроме того, легко проверить, что соотношения (11) эквивалентны соотношению

W â wt=I- (24)

Итак, тензорно-блочная матрица (22) имеет 324 компоненты, которые связаны между собой тензорным соотношением (24), равносильным 171 соотношению (11), и, значит, среди 324 компонент независимыми остаются 153 компоненты, с помощью которых следует построить собственные тензорные столбцы тензорно-блочной матрицы M. Используем теорему о разложении невырожденной квадратной матрицы [21], которую для тензора любого четного ранга можно сформулировать следующим образом.

Теорема 3. Для того чтобы квадратный невырожденный тензор любого 'четного ранга представлялся в виде произведения левого треугольного (унитреугольного) и правого унитреугольного (треугольного) тензоров, необходимо и достаточно, чтобы определители всех ведущих главных субтензоров этого тензора были отличны от нуля.

Очевидно, теорему 3 для невырожденной квадратной тензорно-блочной матрицы можно сформулировать в следующем виде.

Теорема 4. Для того чтобы квадратная невырожденная тензорно-блочная матрица представлялась в виде произведения левой треугольной (унитреугольной) и правой унитреугольной (треугольной) тензорно-блочных матриц, необходимо и достаточно, чтобы определители всех ведущих главных субтензоров этой тензорно-блочной матрицы были отличны от нуля.

Применяя теорему 4 к тензорно-блочной матрице (22), можем написать

Ш = ь® м, (25)

где левая треугольная Ь и правая унитреугольная М тензорно-блочные матрицы имеют вид

/Ъи 0 \ /Яц Я12\ , Л

Ь = ~ ~ , М = ~ ~ . (26)

\^21 ^22 У \ 0 §-22 /

Заметим, что матрицы Ь, Ьц, £21, ¿22 и Я, Яц, Я12, Я22, соответствующие тензорам Ь, Ьц, £¡21, ^22 и М, Яц, И,12, Я22, представляются следующим образом:

L = [ Т г ) ; R = ( п D ) ; ¿11 = matr(^), kj = 0, г < j, i,j = 1, 9;

(27)

Lll 0 \ ; R (Яц r12

L21 L22 J V 0 Я22,

L21 = matr(/9+ii), i,j = 1, 9; L22 = matr(/9+i9+i), h+i9+j = 0, i < j, i,j = 1, 9; Ru = matr(rij)) гы = 1, nj = 0, i>j, i,j = 1,9; Ri2 = matr(ri9+i), i,j = 1,9; R22 = matr(r9+i9+j), r9+i9+i = 1, r9+i9+j = 0, i > j, i,j = 1,9.

Левый треугольный тензор Lll, квадратный тензор L21 и левый треугольный тензор L22, а также правый унитреугольный тензор И,ц, квадратный тензор R12 и правый унитреугольный тензор R22 можно представить в виде

L11 = SpJp -j l21 = ep mp., L22 = Spb+p •; B-ll = ёрХр • J B-12 = ёрЦр-, g-22 = ёр£9+р •, P= 1,9, где для составляющих тензоров введены следующие обозначения:

р 9 р _

ip- = Е ¿pgggj Щр = Е r9+pq£p, ip- = Е l9+p9+q&q, P = 1,9; q=l q=l q=l

9 _____

Zi-=&i+ E Пр&р, г = 1,8, r9. = e9; rij. = rj9+qeq, J = 1,9 (q = 1,9); (28)

p=i+l

9 _

rg+fc- = fife + E r9+fc9+q&q, k = 1,8, £18. = £9. q=2

Учитывая (22) и (26), из (25) получим

i2 2

Lii ®Rn Lii ®§i2

t 1T3 т 1ТЭ I т 2

L21 ®Rii L21 ®R12 + L22 ®R22

Отсюда, очевидно, находим

Wii = Lll ®Rll, Wl2 = Lll ®Rl2, W2I = L2I ®Rll, W22 = L2I ®R12 + L22 ®R-22-

(29)

Учитывая (21), (27) и (28), из (29) будем иметь

йр — ^рт^т-, ур — 1ртпт-, и9+р — 19+рд£д-, т=1 т=1

р ___

Х9+р = ¿9+рдЦд. + £ ¿9+р9+т£9+т., р = 1, 9 (<? = 1, 9).

т=1

(30)

Нетрудно доказать, что системы тензоров гр., р = 1,18, и ид., д = 1,9 (см. (28) и (30)), линейно независимы. Введем в рассмотрение тензорные столбцы

Мт = (гт.,пт.)т, т=1Д Мга = (0,гп.)Т, п = Щ18, (31)

где 0 — нулевой тензор второго ранга, а гт., пт. и гд+т., т = 1, 9, задаются соответствующими формулами (28). Не доставляет труда доказать, что система тензорных столбцов Мр, р = 1,18, линейно независима. Следовательно, линейно независимы и подсистемы Мт, т = 1, 9, и Мга, п = 10,18, как и любая подсистема

(32)

системы Мр, р = 1,18. Имеют место соотношения

р

Е

д=1

Жр = (цр, Хр)Т = Е 1рдШд, Р=1, 18,

из которых заключаем, что ортонормированную систему собственных тензорных столбцов Щр — (ир, ур)Т, р = 1,18, можно получить с помощью процесса ортогонализации и нормирования (Грама-Шмпдта) [9, 21] линейно независимой системы тензорных столбцов Мр, р = 1,18 (см. (31)). В самом деле, проводя процесс ортогонализации и нормирования системы тензорных столбцов Мр, р = 1,18, для коэффициентов 1рд, р = 1,18, д = 1 ,р, после простых, хотя и громоздких вычислений получим следующие выражения:

¿11=-

(о

1рк -

С

(р)

рк

р = 2,9, А; = где введены обозначения

(р) / ч (12 ...к - 1 кк + 1 ...р - 1 —(-1)р+к с'

,12 ...к - 1 к + 1

р

(33)

«11 «12 . . «1р

(о — 1, (р — ёе! Бр — «21 «22 . . «2р

«р1 «р2 . . «рр

■р ^йЗ д

, р,9 — 1,18;

с (р) — срк —

«11 «12 . . «1к-1 0 «1к+1 . . «1р

«21 «22 . . «2к-1 0 «2к+1 . . «2р

«к1 «к2 . . «кк-1 0 «кк+1 . . «кр

«р-11 «р-12 . .вр-1к-1 0 «р-1к+1. . «р-1р

0 0 . 0 1 0 . 0

<р = 1,18), л =

5

12 ...к - 1 кк + 1 ...р- 1 12 ...к - 1 к + 1 ... р

«11 «12 . . «1к-1 «1к+1 . . «1р

«21 «22 . . «2к-1 «2к+1 . . «2р

«к1 «к2 . . «кк-1 «кк+1 . . «кр

«р-11 «р-12 . .«р-1к-1 «р-1к+1 . . «р-1р

с

(р)

рк

алгебраическое дополнение элемента зрк субматрицы Бр = т&Хг (8тп)^ т,п = 1,р, а

5

'12...к - 1 кк + 1 ...р - 1

\12... к - 1 к + 1 ... р

ванием р-й строки и к-го столбца.

— минор (р - 1)-го порядка определителя ёе! Бр, получающийся вычерки-

2

Учитывая (33), из (32) после несложных преобразований для собственных тензорных столбцов тензор-но-блочной матрицы М получим следующие выражения:

Ж1 —

±л/(Щ1

:М1

Жр —

±д/ С1р-\(1р

( «11 «12 «21 «22 «31 «32

«р1 «р2

«1р-1 «2р-1 В 2 «3р-1В;

«рр-1 ■

р — 2,18.

(34)

1

1

р

Заметим, что с помощью формул (34) собственные тензорные столбцы Шр, р = 1,18, тензорно-блочной матрицы М определяются с помощью 153 независимых параметров (компонент унитреугольной тензорно-блочной матрицы М или компонент составляющих Мр, р = 1,18, унитреугольной тензорно-блочной матрицы В) относительно произвольной системы координат (произвольного базиса ер, р — 1, 2, 3). Очевидно, за счет выбора системы координат число независимых параметров можно уменьшить. Это зависит от типа корней характеристического уравнения, например тензора Г1.. Если все три корня характеристического уравнения тензора Г1. — простые действительные числа, или среди корней два комплексно-сопряженных, или характеристическое уравнение имеет трехкратный корень, то во всех этих случаях число независимых параметров уменьшается на 6 и становится равным 147.

Таким образом, для описания механических свойств микрополярного материала, не обладающего центром симметрии в смысле упругих свойств, достаточно вместо компонент тензоров модулей упругости А, В — Ст и Б в какой-то системе координат задать инвариантные характеристики тензорно-блочной матрицы (4), т.е. собственные значения > 0, к = 1,18, и собственные тензорные столбцы р = 1,18, которые определяются с помощью 153 независимых параметров относительно произвольной системы координат, а относительно специально выбранной системы координат посредством 147 независимых параметров. Заметим, что эти инвариантные характеристики могут служить для сравнения и классификации микрополярных линейно-упругих анизотропных материалов, не обладающих центром симметрии в смысле упругих свойств. Следовательно, провести аналогичное исследование для микрополярного материала, обладающего центром симметрии, как частного случая микрополярного материала, не обладающего центром симметрии, не представляет большого труда (см. работу [8], в которой более подробно изучены эти вопросы, а также дана классификация микрополярных линейно-упругих анизотропных материалов). Для классического линейно-упругого материала, как было сказано выше, аналогичное исследование было проведено Н.И. Остросаблиным [4-7].

Автор глубоко признателен рецензенту за замечания, послужившие улучшению рукописи.

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ № 11-01-00181-а, 12-01-00020-а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ляв А. Математическая теория упругости. М.; Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1935.

2. Рыхлевский Я. Математическая структура упругих тел. Препринт № 217 Ин-та проблем механики АН СССР. М., 1983.

3. Рыхлевский Я. О законе Гука // Прикл. матем. и механ. 1984. 48, вып. 3. 420-435.

4. Остросаблин Н.И. О структуре тензора модулей упругости. Собственные упругие состояния // Динамика сплошной среды. Вып. 66. Новосибирск: ИГиЛ СО АН СССР, 1984. 113-125.

5. Остросаблин Н.И. О структуре тензора модулей упругости и классификация анизотропных материалов // Журн. прикл. механ. и техн. физ. 1986. № 4. 127-135.

6. Остросаблин Н.И. Собственные модули упругости и состояния для материалов кристаллографических синго-ний // Динамика сплошной среды. Вып. 75. Новосибирск: ИГиЛ СО АН СССР, 1986. 113-125.

7. Остросаблин Н.И. Анизотропия и общие решения уравнений линейной теории упругости: Докт. дис. Новосибирск: Ин-т гидромеханики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 2000.

8. Никабадзе М.У. Некоторые вопросы тензорного исчисления с приложениями к механике. Деп. в ВИНИТИ РАН 05.08.13. № 231-В2013. М., 2013.

9. Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. М.: Наука, 1978.

10. Никабадзе М.У. К задаче о нахождении у тензора четного ранга собственных значений и собственных тензоров // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2008. № 4. 77-94.

11. Победря Б.Е. Теория пластичности анизотропных материалов // Прикладные проблемы прочности и пластичности: Всесоюз. межвуз. сб. Вып. 26. Горький, 1984. 110-115.

12. Победря Б.Е. О теории пластичности трансверсально-изотропных материалов // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. 1990. № 3. 96-101.

13. Победря Б.Е. Теория течения анизотропной среды // Прочность, пластичность и вязкоупругость материалов и конструкций. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986. 101-108.

14. Eringen A.C. Microcontinuum field theories. 1: Foundation and solids. N.Y.: Springer-Verlag, 1999.

15. Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976.

16. Победря Б.Е. О теории определяющих соотношений в механике деформируемого твердого тела // Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А.Ю. Ишлинского / Под ред. Д.М. Климова. М.: Физматлит, 2003. 635-657.

17. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.

18. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1986.

19. Nikabadze M.U. On some problems of tensor calculus. I // J. Math. Sci. 2009. 161, N 5. 668-697.

20. Nikabadze M.U. On some problems of tensor calculus. II // J. Math. Sci. 2009. 161, N 5. 698-733.

21. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.

Поступила в редакцию 22.06.2012

УДК 531.396

РОБАСТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

В. В. Александров1, И.О. Зуева2, Г. Ю. Сидоренко3

Применение вариационных методов в теории устойчивости позволяет получить новые результаты в случае управляемых систем, описание которых включает различные параметры, известные с точностью до некоторых множеств. В настоящей статье делается попытка рассмотреть эти возможности на примере расширения классического понятия об устойчивости при постоянно действующих возмущениях, введенного Г.Н. Дубошиным и И.Г. Малкиным в 1941-1944 гг.

Ключевые слова: робастная устойчивость, устойчивость при постоянно действующих возмущениях, предельный цикл, автоколебания.

Application of variational methods in stability theory leads to new results in the case of control systems whose description includes various parameters known up to some sets. This paper attempts to consider these possibilities by the example of expansion of the classical concept of stability under constantly acting perturbations introduced by G.N. Duboshin and I.G. Malkin in 1941-1944.

Key words: robust stability, stability under constantly acting perturbations, limit cycle, auto-oscillations.

1. Рассмотрим управляемую механическую систему при наличии постоянно действующего возмущения v(t):

Х = f (x, v,t), f (0, 0,t) = 0, ||x(to)|| Oc, v(-) G V = {v(-) G Lx | ||v(t)|| < §0 п.в. } .

(1)

Здесь Ь^ — пространство измеримых, ограниченных почти всюду функций; ||-|| — норма в Ят, определяемая следующим образом: ||у(£)|| = 50, где 50 = тах5%, 1 ^ г ^ т, ||у%(¿)|| ^ 5%.

1 Александров Владимир Васильевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

2 Зуева Ирина Олеговна — студ. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

3 Сидоренко Галина Юрьевна — канд. физ.-мат. наук, ассист. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].