CC BY
46
УДК 517.946
О ЗАДАЧАХ КОШИ, ДАРБУ, ГУРСА ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
© 2009 Зайнулабидова З.М.
Дагестанский государственный педагогический университет
Рассматриваются задачи Коши, Дарбу и Гурса, которые часто используются для одного класса вырождающихся гиперболических уравнений.
Koshy, Darbu and Gursa ’s problems have been researched for one class degenerating hyperbolic equations.
Ключевые слова: уравнение Абеля, задача Коши, Дарбу и Гурса.
Keywords: Abel’s equation, problems by Koshy, Darbu and Gursa.
Вырождающиеся гиперболические уравнения
xUxx±yUxy=0, yUxx+xUXy=0, Uxx+xUxy=0, Uxx-yU^Q, Uxx-xyUxy=0, (1)
относятся к одному классу, так как они выражают равенство нулю скалярного произведения вектора на векторы (x,±y), (y,±x), (1,±x), (1,—xy) соответственно.
Естественно полагать, что существуют процессы и явления природы,
математическое описание которых приводит к необходимости нахождения их решений, удовлетворяющих
определенным начально-краевым
условиям, чем и объясняется актуальность их исследования.
Предлагаемая статья посвящена исследованию задач Коши, Дарбу и Гурса для уравнений (1) как в их классических, так и в видоизмененных постановках.
Прямые y=const определяют семейство характеристик всех уравнений (1), второе семейство характеристик -соответственно равенства:
y = C, yx = C, x
у2 -
y -x2=C, y +x2=C, y——=C, yi=C, ye2 =C
Поэтому легко показать, что решения U=(x,y) уравнений (1) имеют соответственно представления:
І)
x0
x
U(xy)= Mt] dt + Р(У)’
U (x y )= jV(У-) dt + P( y),
2)
U (л, y )= jv(y2 - -2) dt + P(y),
З)
U (x y )= j ¥(y2 + -2) dt + p(y),
4)
5)
U(xy)= jVly--j dt+р(уI
x0 V J
x
U(x y)= \v(ye) dt + p(y),
6)
и (х, у)= ^ ^1 уе2 dt + ^( у),
7) х ^ ' (2)
где хо - фиксированное значение переменной х; щ(у), ф(х,у) - заданные достаточно гладкие функции.
Из представлений (2) видно, что для уравнений с решениями 1), 2), 6), 7) характеристика у=0 является особой и не может быть носителем данных задачи.
x
x0
x
x
x0
x
Далее краевое условие и(х0,у)=т(у) в случае 1) сразу определяет функцию
ф(у)=т(у).
Следовательно, для корректной постановки задачи второе условие необходимо выбирать так, чтобы,
подчиняя ему общее решение из (2), можно было бы однозначно определить функцию р(у).
Рассмотрим несколько интересных случаев.
Для уравнения хихх-уиху=0 задачи Коши, Дарбу, Гурса с начально-краевыми условиями:
а) ^ у)=?Ы Ух^ уМу! х *о
б)
и(х0. уЫу).
*Ы. )=/-) х> *°,
Хо) \хо
в) и(х), уМуі и, уо)=^, ТлЫх);
и(x, у. )=т(x), и^-у, у)=у(у),
Т
у.
=у( уо )> у. * °;
а также неклассическая задача с краевыми условиями
д) и(о у)=Тy), у)=Аy), х> >°
поставлены корректно, и их
единственные решения и=(х,у) представимы в виде:
Л,Л
и (х, у )= Г
а) I У хо)
йг + т( у);
и (х, у ) = —
б) хо
и (х, у) = уо
в) у
и (х, у ) = Уо-
г) у
Т ух і-у'ух
+ у>
(у);
V ух і -V ух,
{ уо ) { уо
-Т
+ т( у);
+ v( у);
и (x, у) = —
д) хо
V ух |-Т ух
+т( у)-
(3)
Обратим внимание на то, что в формулах (3) х0ф0, у0ф0. Это означает, что прямые х=0, у=0 в соответствующих задачах носителями данных не могут быть.
Для уравнения хихх+уиху=0 решение и=(х,у) задачи Коши с начальными условиями
и^ у) = у(у), их (■хр у) = т(у), хо * О определяется формулой
и(х, у)= }/у° \ йг + у(у)
хо ; решение
и=(х,у) задачи Дарбу с условиями
и(xо, у) = Иу)>
и (y, у) = т(уI ^(хо ) = т(хо), хо * 0 задается формулой
х 'о
и (х, у ) = —
х,
У\У^1 - тТ Ухо
+ т( у )
решение задачи Гурса с условиями
и(x, Уо
и (У, У ) = т( УІ Н У о ) = т( Уо I Уо * о,
формулой:
задается и (х, у ) = ^
у
V
т( Уо)
+ т( У )•
И в этих задачах прямые х=0, у=0 носителями данных не могут быть.
Для уравнений с общими решениями 3), 4), 5) из (2) прямые х=0, у=0, что легко показать, могут выступать как носители данных задач Коши, Дарбу, Гурса.
Для уравнения ихх—уиху=0 с общим решением 6) из (2) задачи Коши, Дарбу, Гурса удовлетворяют начально-краевым условиям:
и(° у)=т(у), их(о, у)=^у);
и(о у)=^y), u(x, Уо ^УІ Уо);
и (хехр(- х)) = т(х), и(х, уо ) = у(х),
у(- 1п Уо ) = т(- 1п Уо )
о о , корректно
поставленные их решения имеют
представления
х
и (х, у) = |к(у ехр(г)) йг + у(у),
и (х, у ) = V и(х, у) = у
^ у ехр(х) 1 Г, у I
” 1п —
1п -
у
Уо
- V
Уо
+ Т( у),
1п—+1п х
Уо
соответственно.
+т[- 1п у]-у[-1п Уо ]
1
У
У
х
х
о
о
Т
о
х
х
Более интересным является уравнение ихх-хуиху=0 с линиями параболического вырождения х=0, у=0.
Общее решение 7) из (2) сразу определяет решение задачи Коши с начальными условиями
( Л
и (xо, У )=М У), иу (xо, У ) =
¥
у ехр
Определяем произвольные функции ф(у), щ(у), исходя из общего решения при решении задачи Дарбу, с условиями, например,
и (о, у )= в (у), и
(
х, ехр
..2 'Л
2
= / (х)
о<у<1, о<х<да получаем, что ф(y)=g(y), а у(у) должна являться решением интегрального уравнения
1
ехр| 2 II йг = /(х)- вI ехр1 -у || = ^(х)
^ Г 2 2
которое путем замены г = V х - я
сводится к уравнению
1¥|ехр|- у
йя = Б (х)
х" - я" . (4)
2
Уравнение (3) путем замены х=у, х=82 можно переписать в виде однозначно разрешимого уравнения Абеля [1. С. 1оо]
¥| ехр
йт ■
(У - т)2
2Б (л/х),
что и означает однозначную ч^разрешимость задачи Дарбу для рассматриваемого уравнения. у Единственное решение задачи Гурса с краевыми условиями, например и (х,1) = т(х),
(
и
х, ехр
о<х<+да
х
на
/)
у(x), т(о) = у(о)
характеристиках У=1,
у = ехр
V 2 )
имеет представление
и(х, у) = 21п у + г2) йг + у(]- 21п у),
о
о<у<1.
Аналогично можно показать, что решение задачи Гурса с условиями
и (x, уо ) = т(х),
и(х,ехр(- х)) = у(х), о < уо < 1, т(- 1п уо ) = И- 1п уо)
для
уравнения
ихх-уиху=0 имеет
представление
и(х, у) = т(1п уехрх)- 1п уо)+^-1п у) -т(- 1п уо)
В заключение отметим, что можно выписать решения задач Коши, Дарбу, Гурса и для других, не рассмотренных выше уравнений из (1).
Примечания
1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М. : Наука, 1988. С. 448.
2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнение математической физики. М. : Наука, 1977.
у
о
2
о
х
о
Статья поступила в редакцию 08.03.2009 г.
